Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 10
38 câu hỏi
Với \[a\] là số thực dương tùy ý, biểu thức \[{a^{\frac{5}{3}}}.{a^{\frac{1}{3}}}\] là:
\[{a^{\frac{4}{3}}}\].
\[{a^{\frac{5}{9}}}\].
\[{a^2}\].
\[{a^5}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Có \[{a^{\frac{5}{3}}}.{a^{\frac{1}{3}}} = {a^{\frac{5}{3} + \frac{1}{3}}} = {a^2}\].
Cho a > 0 và a ≠ 1, x và y là hai số dương. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
\[{\log _a}\frac{x}{y} = \frac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_a}y}}\].
\[{\log _a}\frac{1}{x} = \frac{1}{{{{\log }_a}x}}\].
\[{\log _a}\left( {x + y} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\].
\[{\log _b}x = {\log _b}a.{\log _a}x\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\[{\log _b}x = {\log _b}a.{\log _a}x\].
Cho \[{\log _{27}}5 = a,{\rm{ }}{\log _8}7 = b,{\rm{ lo}}{g_2}3 = c\]. Tính \[{\log _{12}}35\] bằng:
\[\frac{{3b + 3ac}}{{c + 2}}\].
\[\frac{{3b + 2ac}}{{c + 2}}\].
\[\frac{{3b + 2ac}}{{c + 3}}\].
\[\frac{{3b + 3ac}}{{c + 1}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Có \[{\log _{27}}5 = a \Rightarrow {\log _3}5 = 3a,{\rm{ }}{\log _8}7 = b \Rightarrow {\log _2}7 = 3b\].
Có \[{\log _{12}}35 = \frac{{{{\log }_2}35}}{{{{\log }_2}12}} = \frac{{{{\log }_2}5 + {{\log }_2}7}}{{{{\log }_2}4 + {{\log }_2}3}} = \frac{{{{\log }_2}3.{{\log }_3}5 + {{\log }_2}7}}{{{{\log }_2}4 + {{\log }_2}3}}\].
Do đó \[{\log _{12}}35 = \frac{{3ac + 3b}}{{2 + c}}\].
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó?
\(y = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}\).
\(y = {\left( {\frac{{\rm{e}}}{\pi }} \right)^x}\).
\(y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}\).
\(y = {\left( {0,5} \right)^x}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến khi \(a > 1\).
Mà \(\sqrt 2 > 1\) nên \(y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}\) là hàm đồng biến.
Tập xác định của hàm số \[y = {\log _3}\sqrt {{x^2} - 9x + 20} \]
\[\left( {4;5} \right)\].
\[\left( { - \infty ;4} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)\].
\[\left( { - \infty ;4} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\].
\[\left[ {4;5} \right]\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Điều kiện \[{x^2} - 9x + 20 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 4\\x > 5\end{array} \right.\].
Do đó tập xác định của hàm số là \[D = \left( { - \infty ;4} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\].
Phương trình \[{3^{{x^2} - 5x + 5}} = 3\] có nghiệm là
\(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 4\end{array} \right.\).
\(x = 4\).
\(x = 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \[{3^{{x^2} - 5x + 5}} = 3\]\[ \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 5 = 1\]\[ \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\].
Phương trình \[{\log _2}x + {\log _2}(x - 1) = 1\] có tập nghiệm là:
\[S = \left\{ {1;3} \right\}\].
\[S = \left\{ 1 \right\}\].
\[S = \left\{ 2 \right\}\].
\[S = \left\{ { - 1;3} \right\}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Điều kiện: \(x > 1\).
\[{\log _2}x + {\log _2}(x - 1) = 1\]\[ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {x(x - 1)} \right] = 1\]\[ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) = 2\]\[ \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 1\end{array} \right.\].
Kết hợp điều kiện, ta có \(x = 2\) là nghiệm của phương trình.
Trong hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\] có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
\[A'B \bot DC'\].
\[A'C' \bot BD\].
\[BC' \bot A'D\].
\[BB' \bot BD\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau nên \(ABCD,ABB'A',BCC'B'\) đều là hình thoi.
\(A'B \bot AB'\) mà \(AB'//DC'\). Do đó \(A'B \bot DC'\).
\(AC \bot BD\) mà \(AC//A'C'\). Do đó \(A'C' \bot BD\).
\(B'C \bot BC'\) mà \(B'C//A'D\). Do đó \[BC' \bot A'D\].
Do đó đáp án D sai.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) như hình vẽ bên
Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng \((ABB'A')\)?
\(AD.\)
\(BB'.\)
\(CC'.\)
\(BD.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Có \(AD \bot AB\) (do \(ABCD\) là hình vuông).
Vì \(AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AA' \bot AD\)mà \(AD \bot AB\) nên \(AD \bot \left( {ABB'A'} \right)\).
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a. \[SA = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\] và SA vuông góc với đáy. Gọi I và J lần lượt là trung điểm BC và SI. Tìm mệnh đề sai.
BI \[ \bot \] (SAI).
BC \[ \bot \] (SIA).
AJ \[ \bot \] (SBC).
AI \[ \bot \] (SBC).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
+) Vì \(\Delta ABC\) đều, \(I\) là trung điểm của \(BC\) nên \(AI \bot BC\) (1).
Lại có \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(BC \bot \left( {SAI} \right)\). Do đó A, B đúng.
+) Vì \(BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot AJ\) (3).
Vì \(AI\) là đường cao tam giác \(ABC\) đều cạnh a nên \(AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = SA\).
Do đó \(\Delta SAI\) cân tại A mà \(J\) là trung điểm \(SI\) nên \(AJ \bot SI\) (4).
Từ (3) và (4), suy ra \(AJ \bot \left( {SBC} \right)\).
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng tùy ý nằm trong mỗi mặt phẳng.
Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vec tơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Giá trị \(\sin \)của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {BDA'} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng
\(\frac{{\sqrt 3 }}{4}\).
\(\frac{{\sqrt 6 }}{4}\).
\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Gọi \(I = AC \cap BD\). Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AI\\BD \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {AIA'} \right);\quad BD = \left( {BDA'} \right) \cap \left( {ABCD} \right).\)
Do đó góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {BDA'} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\widehat {AIA'}\).
Ta có: \(\Delta AA'I\) vuông tại \(A\), có:
\(AA' = a;AI = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow A'I = \sqrt {A{{A'}^2} + A{I^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow \sin \widehat {AIA'} = \frac{{AA'}}{{A'I}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi tâm O, SO ⊥ (ABCD). Khi đó khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) là
SO.
SA.
SB.
SD.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = SO\).
Cho hình chóp \[S.ABC\]có \[SA \bot (ABC)\], \[SA = AB = 2a\], tam giác \[ABC\]vuông tại \[B\]. Khoảng cách từ \[S\] đến mặt phẳng \[(ABC)\] bằng:
\[a\sqrt 2 \].
\[2a\].
\[a\].
\[a\sqrt 3 \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = SA = 2a\).
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = 1,BC = 2\), \(AA' = 2\) (tham khảo hình bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AD'\) và \(DC'\) bằng
\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
\(\frac{{\sqrt 6 }}{2}\).
\(\sqrt 2 \).
\(\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(AB//D'C'\) và \(AB = D'C'\) (cùng song song và bằng \(CD\)).
Do đó \(ABC'D'\) là hình bình hành. Suy ra \(AD'//BC'\)\( \Rightarrow AD'//\left( {BC'D} \right)\).
Do đó \(d\left( {AD',DC'} \right) = d(AD',\left( {BC'D} \right)) = d\left( {A,\left( {BC'D} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {BC'D} \right)} \right) = h\).
Áp dụng kết quả bài 7.7 SBT tập 2. Ta có:
\(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{C{D^2}}} + \frac{1}{{C{B^2}}} + \frac{1}{{C{{C'}^2}}} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{2}\)\( \Rightarrow h = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot (ABC)\)(như hình vẽ minh hoạ). Khi đó góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \((ABC)\)bằng góc nào sau đây?
\(\widehat {SAB}.\)
\(\widehat {ASB}.\)
\(\widehat {SBC}.\)
\(\widehat {SBA}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)là \(AB\).
Do đó góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \((ABC)\)bằng \(\widehat {SBA}\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông cạnh a. \[SA = a\sqrt 2 \] và \(SA \bot (ABCD).\) Tính góc giữa \(SC\) và mặt phẳng .\(\left( {ABCD} \right)\)
\(30^\circ .\)
\(45^\circ .\)
\(60^\circ .\)
\(90^\circ \) .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \(SA \bot (ABCD)\) nên \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Do đó góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\widehat {SCA}\).
Vì .\(ABCD\). là hình vuông cạnh a nên \(AC = a\sqrt 2 \).
Xét \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\), có \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = 1 \Rightarrow \widehat {SCA} = 45^\circ .\)
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy\[B\] và chiều cao \[h\]. Thể tích \[V\]của khối trụ đã cho được tính theo công thức nào sau đây?
\[V = \frac{1}{3}Bh\].
\[V = Bh\].
\[V = 6Bh\].
\[V = \frac{4}{3}Bh\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \(V = B.h\).
Cho hình chóp \[S.ABC\] có chiều cao bằng \[3\], đáy \[ABC\] có diện tích bằng \[10\]. Thể tích khối chóp \[S.ABC\] bằng:
\[2\].
\[30\].
\[10\]
\[15\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.10.3 = 10\).
Tính thể tích của hình chóp cụt đều có đáy lớn là hình vuông, cạnh \[6{\rm{cm}}\], đáy nhỏ là hình vuông cạnh \[3{\rm{cm}}\] và chiều cao hình chóp cụt là \[4{\rm{cm}}\]:
\[12\].
\[96\].
\[84\].
\[32\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Diện tích đáy lớn là: \({6^2} = 36\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Diện tích đáy nhỏ là: \({3^2} = 9\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Thể tích hình chóp cụt là \(V = \frac{1}{3}\left( {36 + \sqrt {36.9} + 9} \right).4 = 84\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).
Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét các biến cố
A: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số chẵn”.
B: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số lẻ”.
C: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số nhỏ hơn 4”.
D: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số lớn hơn 2” .
Chọn mệnh đề đúng
A và B xung khắc.
C và B xung khắc.
D và B xung khắc.
C và D xung khắc.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
A và B là hai biến cố xung khắc.
Nhân ngày 8/3, GVCN lớp 11A1 trường THPT Nguyễn Hiền chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp để tặng quà. Xét hai biến cố A: “Học sinh đó là một học sinh nữ”, biến cố B: “Học sinh đó có tên bắt đầu bằng chữ Q”. Khi đó nội dung của biến cố \(A \cap B\) là
Học sinh đó là học sinh nữ và có tên bắt đầu bằng chữ Q.
Học sinh đó là học sinh nữ hoặc có tên bắt đầu bằng chữ Q.
Học sinh đó là học sinh nam và có tên bắt đầu bằng chữ Q.
Học sinh đó là học sinh nam hoặc có tên bắt đầu bằng chữ Q.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(A \cap B\): “Học sinh đó là học sinh nữ và có tên bắt đầu bằng chữ Q”.
Cho \(A\) và \(B\) là hai biến cố. Khi đó
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B).\]
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB).\]
\[P(A \cup B) = P(A).P(B).\]
\[P(A \cup B) = P(B) - P(A).\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB).\]
Cho \({\rm{A}}\), \(\overline {\rm{A}} \) là hai biến cố đối nhau trong cùng một phép thử T; xác suất xảy ra biến cố \[A\] là \(\frac{1}{3}\). Xác suất để xảy ra biến cố \(\overline {\rm{A}} \) là
\[{\rm{P}}\left( {\overline {\rm{A}} } \right) = 1.\]
\[{\rm{P}}\left( {\overline {\rm{A}} } \right) = \frac{1}{2}.\]
\[{\rm{P}}\left( {\overline {\rm{A}} } \right) = \frac{1}{3}.\]
\[{\rm{P}}\left( {\overline {\rm{A}} } \right) = \frac{2}{3}.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Có \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\).
Một hộp đựng 9 tấm thẻ cùng loại được ghi các số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Xét biến cố A “ Số ghi trên tấm thẻ rút ra là số lẻ”. Chọn mệnh đề đúng?
\[A = \{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9\} \].
\(A = \{ 1;3;5;7;9\} \).
\(A = \{ 2;4;6;8\} \).
\(A = \{ 1;9\} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(A = \{ 1;3;5;7;9\} \).
Gọi \(X\)={\(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\)}. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập \(X\). Tính xác suất để số được chọn là số lẻ.
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{1}{4}\).
\(\frac{1}{5}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Gọi A là biến cố: “Số được chọn là số lẻ”.
Khi đó \(P\left( A \right) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\).
Cho hai biến cố \[A\] và \[B\] độc lập với nhau. Biết \[P(A) = 0,4\] và\[P(B) = 0,45\]. Tính xác suất của biến cố \[A \cup B\].
\[0,05\].
\[0,85\].
\[0,5\].
\[0,67\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \[A\] và \[B\]là hai biến cố độc lập nên \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = 0,4.0,45 = 0,18\).
Do đó \[P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0,4 + 0,45 - 0,18 = 0,67\].
Có 7 viên bi xanh khác nhau và 3 viên bi đỏ khác nhau. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi. Xác suất của biến cố A sao cho chọn đúng 3 viên bi xanh là
\(\frac{7}{{12}}\) .
\(\frac{{11}}{{12}}\) .
\(\frac{1}{{12}}\) .
\(\frac{5}{{12}}\) .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \(n\left( \Omega \right) = C_{10}^5 = 252\).
Gọi A là biến cố: “Chọn đúng 3 viên bi xanh”.
Suy ra \(n\left( A \right) = C_7^3.C_3^2 = 105\).
Do đó \(P\left( A \right) = \frac{{105}}{{252}} = \frac{5}{{12}}.\)
Gieo đồng thời hai con xúc xắc. Xác suất để hai con xúc xắc đều xuất hiện mặt chẵn chấm là:
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(n\left( \Omega \right) = {6^2} = 36\).
Gọi A là biến cố: “Hai con xúc xắc đều xuất hiện mặt chẵn chấm”.
\( \Rightarrow A = \left\{ {\left( {2;2} \right);\left( {2;4} \right);\left( {2;6} \right);\left( {4;2} \right);\left( {4;4} \right);\left( {4;6} \right);\left( {6;2} \right);\left( {6;4} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}\).
\( \Rightarrow n\left( A \right) = 9\).
Do đó \(P\left( A \right) = \frac{9}{{36}} = \frac{1}{4}\).
Có hai xạ thủ cùng thi bắn một mục tiêu. Xác suất để xạ thủ 1 bắn trúng mục tiêu là \(0,5\). Xác suất để xạ thủ 2 bắn trúng mục tiêu là \(0,7\). Xác suất để cả 2 xạ thủ bắn trúng mục tiêu là
\(0,35\).
\(0,5\).
\(0,7\).
\(0,65\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Gọi A là biến cố: “Xạ thủ 1 bắn trúng mục tiêu”.
B là biến cố: “Xạ thủ 2 bắn trúng mục tiêu”.
C là biến cố: “Cả 2 xạ thủ bắn trúng mục tiêu”.
Khi đó \(C = AB\).
Theo đề có\(P\left( A \right) = 0,5;P\left( B \right) = 0,7\).
Vì \(A,B\) là hai biến cố độc lập nên ta có
\(P\left( C \right) = P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = 0,5.0,7 = 0,35\).
Cho hàm số \[y = f(x)\] xác định trên \[\mathbb{R}\] thỏa mãn\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = 2\]. Kết quả đúng là:
\[f'(2) = 3\].
\[f'(x) = 2\].
\[f'(2) = 2\].
\[f'(x) = 3\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\[f'\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = 2.\]
Khẳng định nào sau đây sai?
\[y = {x^5} \Rightarrow y' = 5x\].
\[y = {x^3} \Rightarrow y' = 3{x^2}\].
\[y = x \Rightarrow y' = 1\].
\[y = {x^4} \Rightarrow y' = 4{x^3}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\[y = {x^5} \Rightarrow y' = 5{x^4}.\]
Đạo hàm cấp hai của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{4}{5}{x^5} - 3{x^2} - x + 4\) là:
\(16{x^3} - 6x\).
\(4{x^3} - 6\).
\(16{x^3} - 6\).
\(16{x^2} - 6\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(f'\left( x \right) = 4{x^4} - 6x - 1;f''\left( x \right) = 16{x^3} - 6.\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\). Hàm số có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) bằng:
\(\frac{2}{{{{(x + 1)}^2}}}\).
\(\frac{3}{{{{(x + 1)}^2}}}\).
\(\frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}\).
\(\frac{{ - 1}}{{{{(x + 1)}^2}}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(f'\left( x \right) = {\left( {\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}} \right)^\prime } = \frac{{2\left( {x + 1} \right) - \left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} + 1\). Giá trị \(f''\left( { - 1} \right)\) bằng:
6 .
3 .
\( - 12\).
\(12\) .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Có \(f'\left( x \right) = 6{x^2};f''\left( x \right) = 12x\).
Do đó \(f''\left( { - 1} \right) = 12.\left( { - 1} \right) = - 12\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, mặt bên \(SAD\) là tam giác đều cạnh \(2a\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) tạo với mặt phẳng đáy một góc 45o. Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\).
Hướng dẫn giải
Gọi \(H,M\) lần lượt là trung điểm của \(AD,BC\).
Vì \(\Delta SAD\) đều nên \(SH \bot AD\) mà \(\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot BC\).
Lại có \(BC \bot HM \Rightarrow BC \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\).
Do đó góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\widehat {SMH} = 45^\circ \).
Vì \(SH\) là đường cao của \(\Delta SAD\) đều cạnh \(2a\) nên \(SH = a\sqrt 3 \).
Xét \(\Delta SHM\), có \(HM = \frac{{SH}}{{\tan 45^\circ }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{1} = a\sqrt 3 \).
Do đó \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.AD.HM = \frac{1}{3}.a\sqrt 3 .2a.a\sqrt 3 = 2{a^3}.\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{3x - 1}}{{x + 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến của\(\left( C \right)\) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(d:y = 7x + 3\).
Hướng dẫn giải
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).
\[f'\left( x \right) = \frac{7}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\].
Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm \(\left( {{x_0} \ne - 2} \right)\).
Theo giả thuyết, ta có: \(f'\left( {{x_0}} \right) = 7\)\( \Leftrightarrow {\left( {{x_0} + 2} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = - 1\\{x_0} = - 3\end{array} \right.\).
*TH1: \({x_0} = - 1\)\( \Rightarrow {y_0} = - 4\).
Khi đó phương trình tiếp tuyến là: \(y = 7\left( {x + 1} \right) - 4 = 7x + 3\) (loại).
*TH2: \({x_0} = - 3\)\( \Rightarrow {y_0} = 10\).
Khi đó phương trình tiếp tuyến là: \(y = 7\left( {x + 3} \right) + 10 = 7x + 31\).
Để nghiên cứu mối liên quan giữa thói quen hút thuốc lá với bệnh viêm phổi, nhà nghiên cứu chọn một nhóm gồm 5000 người đàn ông. Với mỗi người trong nhóm, người nghiên cứu điều tra xem họ có hút thuốc lá và có bị viêm phổi hay không. Kết quả được thống kê trong bảng sau:
| Viêm phổi | Không viêm phổi |
Nghiện thuốc lá | 752 người | 1236 người |
Không nghiện thuốc lá | 575 người | 2437 người |
Từ bảng thống kê trên, hãy chứng tỏ rằng việc nghiện thuốc lá và mắc bệnh viêm phổi có liên quan với nhau?
Hướng dẫn giải
Gọi A là biến cố “Người đó nghiện thuốc lá”
B là biến cố “Người đó mắc bệnh phổi”
A.B là biến cố “Người đó nghiện thuốc lá và mắc bệnh phổi”
Xác suất để người đó nghiện thuốc lá là \[P(A) = \frac{{752 + 1236}}{{5000}} = \frac{{1988}}{{5000}}\].
Xác suất để người đó mắc bệnh phổi là \[P(B) = \frac{{752 + 575}}{{5000}} = \frac{{1327}}{{5000}}\].
Xác suất để người đó nghiện thuốc lá và mắc bệnh phổi là \[P(A.B) = \frac{{752}}{{5000}}\].
Nhận thấy: \[P(A).P(B) = \frac{{1988}}{{5000}}.\frac{{1327}}{{5000}} \ne \frac{{752}}{{5000}} = P(A.B)\]
Vậy A và B không độc lập hay nghiện thuốc lá và mắc bệnh phổi có liên quan với nhau.
