Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 6
39 câu hỏi
Cho số thực \(x\) dương. Với mọi số thực \(a\), \(b\)bất kỳ, khẳng định nào dưới đây đúng?
\({\left( {{x^a}} \right)^b} = {x^{ab}}\).
\({\left( {{x^a}} \right)^b} = {x^{{a^b}}}\).
\({\left( {{x^a}} \right)^b} = {x^{\frac{b}{a}}}\).
\({\left( {{x^a}} \right)^b} = {x^{a + b}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \({\left( {{x^a}} \right)^b} = {x^{ab}}\).
Với \(a\) là số thực dương tùy, \({\log _5}{a^2}\) bằng
\(2{\log _5}a\).
\(2 + {\log _5}a\).
\(\frac{1}{2} + {\log _5}a\).
\(\frac{1}{2}{\log _5}a\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \({\log _5}{a^2} = 2{\log _5}a\).
Trong các hình sau, hình nào là dạng đồ thị của hàm số \(y = {a^x},0 < a < 1\)?
(I).
(II).
(IV).
(III).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Dạng đồ thị của hàm số \(y = {a^x},0 < a < 1\) là hình II.
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.MNPQ\), đường thẳng nào dưới đây vuông góc với đường thẳng\(AD\)?
\(BC\) .
\(AB\).
\(NP\).
\(CM\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Có \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AB \bot AD\).
Trong không gian cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\), mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\) ?
\[\left( {AA'B'B} \right)\].
\[\left( {A'B'CD} \right)\].
\[\left( {ADC'B'} \right)\].
\[\left( {BCD'A'} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\)là hình hộp chữ nhật nên \[\left( {AA'B'B} \right) \bot (ABCD)\].
Cho \(A\) và \(B\) là hai biến cố. Biến cố: “\(A\) hoặc \(B\) xảy ra” được gọi là biến cố hợp của \(A\) và \(B\), kí hiệu là
\(A \cap B\).
\(A \cup B\).
\(A\backslash B\).
\(A + B\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Biến cố: “\(A\) hoặc \(B\) xảy ra” được gọi là biến cố hợp của \(A\) và \(B\), kí hiệu là \(A \cup B.\)
Cho hai biến cố : \(U = \{ \)Bảo; Đăng; Long; Phúc; Tuấn; Yến}; \(V = \){Giang; Long; Phúc; Tuấn \(\} \). Biến cố \(T = U \cap V\) là biến cố nào trong các biến cố sau?
{Long; Phúc\(\} \).
{Long; Phúc; Tuấn}.
{Bảo; Tuấn; Phúc;\(\} \).
{Long; Giang;Tuấn}.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(T = U \cap V\) = {Long; Phúc; Tuấn}.
Biến cố \(A\) và biến cố \(B\) được gọi là xung khắc nếu \(A\) và \(B\) không đồng thời xảy ra. Hai biến cố \(A\) và \(B\) xung khắc khi và chỉ khi?
\(A \cap B = {\rm{\{ }}0{\rm{\} }}\).
\(A \cap B = \emptyset \).
\(A \cap B = A\).
\(A \cap B = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Hai biến cố \(A\) và \(B\) xung khắc khi và chỉ khi \(A \cap B = \emptyset \).
Cho 2 biến cố A và B, nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố B. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A và B là hai biến cố độc lập.
A và B là hai biến cố không độc lập.
A và B là hai biến cố xung khắc.
A và B là hai biến cố đối của nhau.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố B thì A và B là hai biến cố độc lập.
Trong một cuộc khảo sát về mức sống của người Bảo Hà, người khảo sát chọn ngẫu nhiên một gia đình ở Bảo Hà. Xét các biến cố sau:
\(A:\) “Gia đình có tivi”;
\(B:\) “Gia đình có máy vi tính”;
Biến cố \(A \cup B\)là biến cố nào dưới đây?
\(C:\) “Gia đình có tivi hoặc máy vi tính”.
\(D:\) “Gia đình có cả tivi và máy vi tính”.
\(H:\) “Gia đình không có cả tivi và máy vi tính”.
\(G:\) “Gia đình có tivi hoặc máy vi tính hoặc có cả hai thiết bị trên”.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(A \cup B\): “Gia đình có tivi hoặc máy vi tính”.
Một hộp đựng 20 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 20. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Gọi A là biến cố: “Rút được tấm thẻ ghi số chẵn lớn hơn 9”; B là biến cố: “Rút được tấm thẻ ghi số không nhỏ hơn 8 và không lớn hơn 15”. Số phần tử của \(A \cup B\) là
\(11\).
\(10\).
\(12\).
\(13\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(A = \left\{ {10;12;14;16;18;20} \right\};B = \left\{ {8;9;10;11;12;13;14;15} \right\}\)
Vậy \(A \cup B = \left\{ {8;9;10;11;12;13;14;15;16;18;20} \right\}\).
Với hai biến cố xung khắc, ta có công thức tính xác suất của biến cố hợp như sau:
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) - P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
A, B là hai biến cố xung khắc thì \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
Với hai biến cố A và B độc lập với nhau ta có công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập như sau:
\(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
A, B là hai biến cố độc lập thì \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).
Cho hàm số \(y = f(x)\). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) có dạng \(y = f'({x_0})\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\) trong đó hệ số góc của tiếp tuyến là:
\({x_0}\).
\(f'({x_0})\).
\({y_0}\).
\(\frac{1}{{f'({x_0})}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Hệ số góc của tiếp tuyến là \(f'({x_0})\).
Đạo hàm của hàm số \(y = f(x) = {x^2} + 2x\) tại điểm \({x_0} = 1\) được kí hiệu là:
\({x_1}\).
\(f'(1)\).
\(y(1)\).
\(\frac{1}{{f'(1)}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Đạo hàm của hàm số tại điểm \({x_0} = 1\) là \(f'\left( 1 \right)\).
Hàm số \[y = {x^n}\,\,\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\] có đạo hàm trên \[\mathbb{R}\] đạo hàm của hàm số \[y = {x^n}\] là
\[{\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{x^{n - 1}}\].
\[{\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{x^{n + 1}}\].
\(y' = {x^{n - 1}}\).
\[y = {x^n}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\[y' = {\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{x^{n - 1}}\].
Hàm số \[y = \sqrt x \] có đạo hàm trên khoảng \[\left( {0; + \infty } \right)\] đạo hàm của hàm số \[y = \sqrt x \] là
\[{\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}\].
\[y = \sqrt x \].
\[{\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{\sqrt x }}\].
\[{\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{2}{{\sqrt x }}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\[y' = {\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}\].
Hàm số \[y = \cos x\] có đạo hàm là:
\[y' = - \sin x\].
\[y' = - \cos x\].
\[y' = \sin x\].
\[y' = \frac{1}{{\cos x}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\[y' = {\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x\].
Quy tắc tính đạo hàm nào sau đây là đúng?
\({\left( {u + v} \right)^\prime } = u' + v'\).
\({\left( {u + v} \right)^\prime } = u'v + uv'\).
\({\left( {u + v} \right)^\prime } = u' - v'\).
\({\left( {u + v} \right)^\prime } = u'v - uv'\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \({\left( {u + v} \right)^\prime } = u' + v'\).
Đạo hàm của hàm số \(y = {11^x}\) là
\(y' = {11^x}\ln 11\).
\(y' = \frac{{{{11}^x}}}{{\ln 11}}\).
\(y' = x{.11^{x - 1}}\).
\(y' = {11^x}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(y' = {\left( {{{11}^x}} \right)^\prime } = {11^x}\ln 11\).
Nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 2\) là:
\(x = 3\).
\(x = 5\).
\(x = \frac{9}{2}\).
\(x = \frac{7}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\({\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 2\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 > 0\\2x - 1 = {3^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\x = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5\).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 5\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) và cạnh \(SA\) vuông góc với các cạnh \(AB,AC\). Xác định góc giữa \(SB\) và mặt phẳng \((ABC)\) là:
\(\widehat {SAB}\).
\(\widehat {SBA}\).
\(\widehat {SCA}\).
\(\widehat {ABC}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \(SA \bot AB,SA \bot AC \Rightarrow SA \bot \left( {ABC} \right)\).
Do đó \(AB\) là hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Khi đó góc giữa \(SB\)và mặt phẳng \((ABC)\) là \(\widehat {SBA}\).
Gọi S là tập các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được tạo từ tập \(E = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\). Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để số được chọn là một số chẵn?
\(\frac{3}{4}\).
\(\frac{2}{5}\).
\(\frac{3}{5}\).
\(\frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Từ tập \(E = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\) ta lập được \({\rm{A}}_{\rm{5}}^{\rm{4}} = 120\) số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau.
Gọi số chẵn có 4 chữ số khác nhau có dạng \(\overline {abcd} ;\left( {a,b,c,d \in E} \right)\).
Ta có \(d = \left\{ {2;4} \right\}\)\( \Rightarrow d\) có 2 cách chọn.
Chọn 3 số xếp vào vị trí \(a,b,c\) có \({\rm{A}}_{\rm{4}}^{\rm{3}}\) cách chọn.
Do đó có \({\rm{2}}{\rm{.A}}_{\rm{4}}^{\rm{3}} = 48\) cách chọn.
Vậy xác suất để số được chọn là một số chẵn là \(\frac{{48}}{{120}} = \frac{2}{5}\).
Tại một cuộc hội thảo quốc tế có 50 nhà khoa học trong đó có 31 người thành thạo tiếng Anh, 21 người thành thạo tiếng Pháp và 5 người thành thạo cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Chọn ngẫu nhiên một người dự hội thảo. Xác suất để người được chọn thành thạo ít nhất một trong hai thứ tiếng Anh hoặc tiếng Pháp là
\(\frac{{47}}{{50}}\).
\(\frac{{37}}{{50}}\).
\(\frac{{39}}{{50}}\).
\(\frac{{41}}{{50}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Gọi A là biến cố: “Người được chọn thành thạo tiếng Anh”.
B là biến cố: “Người được chọn thành thạo tiếng Pháp”.
AB là biến cố: “Người được chọn thành thạo cả tiếng Anh và tiếng Pháp”.
\({\rm{A}} \cup {\rm{B}}\) là biến cố: “Người được chọn thành thạo ít nhất một trong hai thứ tiếng Anh hoặc tiếng Pháp”.
Theo đề, \({\rm{P}}\left( {\rm{A}} \right) = \frac{{31}}{{50}};{\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right) = \frac{{21}}{{50}};{\rm{P}}\left( {{\rm{AB}}} \right) = \frac{5}{{50}}\).
Ta có \({\rm{P}}\left( {{\rm{A}} \cup {\rm{B}}} \right) = {\rm{P}}\left( {\rm{A}} \right) + {\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right) - {\rm{P}}\left( {{\rm{AB}}} \right) = \frac{{47}}{{50}}.\)
Một hộp đựng 5 quả cầu màu xanh và 3 quả cầu màu đỏ, có cùng kích thước và khối lượng. Chọn ngẫu nhiên hai quả cầu trong hộp. Tính xác suất để chọn được hai quả cầu có cùng màu.
\(\frac{{10}}{{28}}\).
\(\frac{3}{{28}}\).
\(\frac{{13}}{{28}}\).
\(\frac{7}{{28}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Số cách chọn 2 quả cầu là \(C_8^2 = 28\) (cách).
Số cách chọn hai quả cùng màu là \(C_5^2 + C_3^2 = 13\).
Vậy xác suất để chọn được hai quả cùng màu là \(\frac{{13}}{{28}}\).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = {x^2} - x + 3\] tại điểm có hoành độ \[{x_0} = 0\] thì có hệ số góc là
\[k = 2\].
\[k = 1\].
\[k = - 1\].
\[k = - 2\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Có \[y' = 2x - 1\].
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \[{x_0} = 0\] là \(k = y'\left( 0 \right) = - 1\).
Đạo hàm của hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} + 2x - 1\) bằng biểu thức nào sau đây?
\(y' = 4{x^3} - 6x + 3\).
\(y' = 4{x^4} - 6x + 2\).
\(y' = 4{x^3} - 3x + 2\).
\(y' = 4{x^3} - 6x + 2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(y' = 4{x^3} - 6x + 2\).
Tìm đạo hàm của hàm số \[y = {\rm{log}}\,(x + 1)\].
\(y' = \frac{1}{{(x + 1)\ln 10}}\).
\(y' = \frac{1}{{x + 1}}\).
\(y' = \frac{{\ln 10}}{x}\).
\(y' = \frac{1}{{10\ln x}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \[y' = {\left[ {{\rm{log}}\,(x + 1)} \right]^\prime } = \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\ln 10}}\].
Đạo hàm cấp 2 của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2}\] bằng biểu thức nào sau đây?
\[2\].
\[x\].
\[3\].
\[2x\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Có \[f'\left( x \right) = 2x;f''\left( x \right) = {\left( {2x} \right)^\prime } = 2\].
Cho hàm số \(f\left( x \right) = - 2{x^4} + {x^2} - 5\). Giá trị \(f''\left( 0 \right)\) bằng
\[ - 22\].
\[ - 24\].
\(2\).
\( - 5\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Có \(f'\left( x \right) = - 8{x^3} + 2x;f''\left( x \right) = {\left( { - 8{x^3} + 2x} \right)^\prime } = - 24{x^2} + 2\).
Do đó \(f''\left( 0 \right) = - {24.0^2} + 2 = 2\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\). Cạnh bên \(SC\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), \(SC = a\). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(\Delta ABC\) đều nên \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Khi đó \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SC.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Tính khoảng cách từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
\(\frac{a}{2}\).
\(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
\(\frac{{a\sqrt 2 }}{3}\).
\[\frac{{a\sqrt 2 }}{4}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC \bot BO\) mà \(BO \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\).
Suy ra \(BO \bot \left( {SAC} \right)\)
Do đó \(d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = BO\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh a nên \(BD = a\sqrt 2 \Rightarrow BO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác đều cạnh \(a\). Biết \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] và \(SA = a\sqrt 3 \). Gọi \[M;\,N\,;P\] lần lượt là trung điểm của \[SA;\,SB\,;\,SC\]. Tính thể tích khối chóp \[MNP.ABC\].
\(\frac{a}{4}\).
\(\frac{{{a^3}}}{{12}}\).
\(\frac{{7{a^3}}}{{32}}\).
\(\frac{{3{a^3}}}{{32}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 3 .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}}}{4}\).
Vì \(\frac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}}.\frac{{SP}}{{SC}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8}\).
Do đó \({V_{S.MNP}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABC}} = \frac{1}{8}.\frac{{{a^3}}}{4} = \frac{{{a^3}}}{{32}}\).
Suy ra \({V_{MNP.ABC}} = {V_{S.ABC}} - {V_{S.MNP}} = \frac{{7{a^3}}}{{32}}.\)
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = \frac{{{x^3}}}{3} + 3{x^2} - 2\] có hệ số góc \(k = - 9\), có phương trình là :
\(y + 16 = - 9(x + 3)\).
\(y - 16 = - 9(x - 3)\).
\(y - 16 = - 9(x + 3)\).
\(y = - 9(x + 3)\) .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Có \[y' = {x^2} + 6x\].
Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị hàm số.
Khi đó ta có \[y'\left( {{x_0}} \right) = x_0^2 + 6{x_0} = - 9\]\[ \Leftrightarrow {x_0} = - 3 \Rightarrow {y_0} = 16\].
Do đó tiếp tuyến của đồ thị hàm số là \(y - 16 = - 9\left( {x + 3} \right)\).
Đạo hàm của hàm số\[y = \sqrt {2x + 3} \] là :
\[\frac{1}{{\sqrt {2x + 3} }}.\]
\[\frac{2}{{\sqrt {2x + 3} }}.\]
\[\frac{1}{{2\sqrt {2x + 3} }}.\]
\[\frac{1}{{\sqrt {2x - 3} }}.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\[y' = \frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {2x + 3} }} = \frac{1}{{\sqrt {2x + 3} }}\].
Tính đạo hàm của các hàm số sau
a) \(y = {x^3} - 3{x^2} - 6x + 1\). b) \(y = {2024^x} - 3\sin x\).
Hướng dẫn giải
a) \(y' = 3{x^2} - 6x - 6\).
b) \(y' = {2024^x}.\ln 2024 - 3\cos x\).
Một chiếc máy có hai động cơ I và II hoạt động độc lập nhau. Xác suất để động cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,9. Hãy tính xác suất để
a) Cả hai động cơ đều chạy tốt.
b) Có ít nhất một động cơ chạy tốt.
Hướng dẫn giải
a) Gọi A là biến cố "Động cơ I chạy tốt"; B là biến cố "Động cơ II chạy tốt"; C là biến cố "Cả hai động cơ chạy tốt".
Ta có C = AB và các biến cố A, B độc lập.
Do đó, ta có: \(P(C) = P(AB) = P(A).P(B) = 0,8.0,9 = 0,72\).
b) Gọi D là biến cố "Cả hai động cơ đều chạy không tốt"; E là biến cố "Cả hai động cơ có ít nhất một động cơ chạy tốt"
Ta có \(D = \overline {A\,} \overline {B\,} \) và các biến cố \(\overline {A\,} \), \(\overline {B\,} \) độc lập.
Do đó, ta có:
\(P(D) = P(\overline {\rm{A}} \overline {B\,} ) = P(\overline {\rm{A}} ).P(\overline {B\,} ) = (1 - P(A))(1 - P(B)) = 0,2.0,1 = 0,02\).
\( \Rightarrow P(E) = 1 - P(D) = 0,98\).
Một con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát, có phương trình chuyển động \(x = 4\cos \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) + 3\), trong đó \(t\) tính bằng giây và \(x\) tính bằng centimét. Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời của con lắc bằng 0 .
Hướng dẫn giải
Vận tốc tức thời của con lắc là \(v(t) = x'(t) = - 4\pi \,\sin \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\) (m/s).
Khi vận tốc tức thời của con lắc bằng 0 thì
\(\begin{array}{l} - 4\pi \,\sin \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \pi t - \frac{{2\pi }}{3} = k\pi \,(k \in \mathbb{N})\\ \Leftrightarrow \pi t = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \,(k \in \mathbb{N}) \Leftrightarrow t = \frac{2}{3} + k\,(k \in \mathbb{N})\end{array}\)
Vậy khi \(t = \frac{2}{3} + k\,(k \in \mathbb{N})\)thì vận tốc con lắc bằng 0.
Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát như Hình 7, có phương trình chuyển động \(x = 4\sin t\), trong đó t tính bằng giây và \(x\) tính bằng centimet.
Tìm vị trí, vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc tại thời điểm \(t = \frac{{2\pi }}{3}(s)\). Tại thời điểm đó, con lắc di chuyển theo hướng nào?
Hướng dẫn giải
Vận tốc tức thời tại thời điểm t: \(v(t) = x' = 4\cos t\).
Gia tốc tức thời tại thời điểm t: \(a(t) = v'\left( t \right) = - 4\sin t\).
Gia tốc tức thời tại \(t = \frac{{2\pi }}{3}(s)\) là: \(a\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = - 4\sin \frac{{2\pi }}{3} = - 2\sqrt 3 \left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Vận tốc tức thời tại \(t = \frac{{2\pi }}{3}(s)\) là: \[v\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = 4\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = - 2\left( {{\rm{m/s}}} \right)\].
Vị trí của con lắc tại \(t = \frac{{2\pi }}{3}(s)\) là: \(x = 4\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = 2\sqrt 3 \left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Tại thời điểm đó, con lắc đang di chuyển theo hướng ngược chiều dương.
