Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 4
38 câu hỏi
Cho biểu thức \(P = \sqrt[4]{{{x^5}}}\), với \(x > 0\). Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
\(P = {x^{\frac{4}{5}}}\).
\(P = {x^9}\).
\(P = {x^{20}}\).
\(P = {x^{\frac{5}{4}}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \(P = \sqrt[4]{{{x^5}}} = {x^{\frac{5}{4}}}\).
Cho \(a\) là số thực dương khác \(1\). Tính \(I = {\log _a}\sqrt[3]{a}\)
\(I = \frac{1}{3}\).
\(I = 3\).
\(I = 0\).
\(I = - 3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(I = {\log _a}\sqrt[3]{a} = {\log _a}{a^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3}\).
Cho \(a\) là số thực dương khác \[1\]. Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số dương \(x,{\rm{ }}y\)?
\({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y\).
\({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}\left( {x - y} \right)\).
\({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x + {\log _a}y\).
\({\log _a}\frac{x}{y} = \frac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_a}y}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y\).
Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án \[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C,{\rm{ }}D\] dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
\[y = {\log _2}x\].
\[y = {2^x}\].
\[y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\].
\[y = {x^2}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Đây là hình dạng của hàm số mũ \(y = {a^x}\) mà hàm số này đồng biến nên \(a > 1\).
Do đó chọn B.
Nghiệm của phương trình \({5^{2x - 4}} = 25\) là
\(x = 3\).
\(x = 2\).
\(x = 1\).
\(x = - 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\({5^{2x - 4}} = 25\)\( \Leftrightarrow {5^{2x - 4}} = {5^2} \Leftrightarrow 2x - 4 = 2 \Leftrightarrow x = 3\).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 3.\)
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Góc giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(B'D\) bằng
\[90^\circ .\]
\[45^\circ .\]
\[60^\circ .\]
\[30^\circ .\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Có \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên ta có \(DD' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow DD' \bot AC\).
Mà \(AC \bot BD\) nên \(AC \bot \left( {DBB'D'} \right)\)\( \Rightarrow AC \bot B'D\).
Cho tứ diện \[S.ABC\] có \[ABC\] là tam giác vuông tại \[B\] và \[SA \bot \left( {ABC} \right)\]. Gọi \[AH\] là đường cao của tam giác \[SAB\], thì khẳng định nào sau đây đúng nhất.
\[AH \bot AB\].
\[AH \bot SC\].
\[AH \bot \left( {SAC} \right)\].
\[AH \bot AC\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] \( \Rightarrow SA \bot BC\) mà \(BC \bot AB\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\).
Lại có \(AH \bot SB\). Do đó \(AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC\).
Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(SB\), trong các khẳng định sau:
\(\left( 1 \right):\,AH \bot SC\). \(\left( 2 \right):\,BC \bot \left( {SAB} \right)\). \(\left( 3 \right):\,SC \bot AB\).
Có bao nhiêu khẳng định đúng?
\(1\).
\(2\).
\(3\).
\(0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] \( \Rightarrow SA \bot BC\) mà \(BC \bot AB\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\).
Lại có \(AH \bot SB\). Do đó \(AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC\).
Cho \(a\), \(b\), \(c\) là các đường thẳng. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Cho \(a \bot b\). Mọi mặt phẳng chứa \(b\) đều vuông góc với \(a\).
Nếu \(a \bot b\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa \(a\); mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) chứa b thì \(\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\).
Cho \(a \bot b\) nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Mọi mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) chứa \(a\) và vuông góc với \(b\) thì \(\left( \beta \right) \bot \left( \alpha \right).\)
Cho \(a\parallel b\). Mọi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa \(c\) trong đó \(c \bot a\) và \(c \bot b\) thì đều vuông góc với mặt phẳng \(\left( {a,b} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Cho \(a \bot b\) nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Mọi mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) chứa \(a\) và vuông góc với \(b\) thì \(\left( \beta \right) \bot \left( \alpha \right).\)
Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] cạnh \(a\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB'\) và \(CD'\).
\(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
\(a.\)
\(a\sqrt 2 .\)
\(2a.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Có \(\left( {ABB'A'} \right)//\left( {DCC'D'} \right)\).
Có
\(\left. \begin{array}{l}CD'//\left( {ABB'A'} \right)\\AB' \subset \left( {ABB'A'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow d\left( {AB',CD'} \right) = d\left( {CD',\left( {ABB'A'} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = CB = a\).
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = 1,BC = 2;AA' = 3\) (tham khảo hình vẽ).
Khoảng cách từ \[A'\] đến mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] bằng
\(3.\)
\(1.\)
\(2.\)
\(\sqrt {14} .\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(d\left( {A',\left( {ABCD} \right)} \right) = A'A = 3\).
Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau đây?
Góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\) thì mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song hoặc trùng với mặt phẳng \(\left( Q \right)\).
Góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng góc giữa đường thẳng \(b\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì đường thẳng \(a\) song song với đường thẳng \(b\).
Góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng góc giữa đường thẳng \(b\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì đường thẳng \(a\) song song hoặc trùng với đường thẳng \(b\).
Nếu đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Nếu đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) cạnh \(a\), SA vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 3 \). Góc giữa đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \((ABCD)\)bằng
\(\arcsin \frac{3}{5}\).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(30^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AD\) là hình chiếu của \(SD\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Do đó góc giữa đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \((ABCD)\)là \(\widehat {SDA}\).
Xét \(\Delta SDA\) vuông tại \(A\), có \(\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SDA} = 60^\circ \).
Khẳng định nào sau đây là sai?
Thể tích của khối chóp có diện tích đáy \(B\) và chiều cao \(h\) là \(V = \frac{1}{3}Bh\).
Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy \(B\) và chiều cao \(h\) là \(V = Bh\).
Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng tích ba kính thước của nó.
Thể tích của khối chóp có diện tích đáy \(B\) và chiều cao \(h\) là \(V = 3Bh\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Thể tích của khối chóp có diện tích đáy \(B\) và chiều cao \(h\) là \(V = \frac{1}{3}Bh\) không phải \(V = 3Bh\).
Thể tích của khối hình hộp chữ nhật có 3 kích thước \(a,7a,9a\) là
\(63{a^3}.\)
\(16{a^3}.\)
\(21{a^3}.\)
\(63{a^2}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(V = a.7a.9a = 63{a^3}\).
Cho \(A\), \(B\) là hai biến cố xung khắc. Đẳng thức nào sau đây đúng?
\(A \cup B = \Omega .\)
\(B \subset A.\)
\(A \cap B = \emptyset .\)
\(A = B.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(A\), \(B\) là hai biến cố xung khắc thì \(A \cap B = \emptyset .\)
Xét phép thử gieo con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Gọi \(A\) là biến cố “Lần đầu xuất hiện mặt \(6\) chấm” và \(B\) là biến cố “Lần hai xuất hiện mặt \(6\) chấm”.
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
\(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập.
\(A \cap B\) là biến cố: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai lần gieo bằng \(12\)”.
\(A \cup B\) là biến cố: “Ít nhất một lần xuất hiện mặt \(6\) chấm”.
\(A\) và \(B\) là hai biến cố xung khắc.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hai biến cố A và B có thể cùng xảy ra.
Cho \(A\), \(B\) là hai biến cố xung khắc. Đẳng thức nào sau đây đúng?
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) - P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
Đáp án đúng là: A
\(A\), \(B\) là hai biến cố xung khắc thì \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
Gọi \[A\] và \(B\) là hai biến cố liên quan đến phép thử ngẫu nhiên \(T\). Cho \(P\left( A \right) = \frac{1}{4},P\left( {A \cup B} \right) = \frac{1}{2}\). Biết \(A,B\)là hai biến cố xung khắc, thì \(P\left( B \right)\) bằng
\[\frac{3}{4}\].
\[\frac{1}{8}\].
\[\frac{1}{3}\].
\[\frac{1}{4}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(A\), \(B\) là hai biến cố xung khắc nên \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\)
\( \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\).
Từ một đội văn nghệ gồm \(5\) nam và \(8\) nữ cần lập một nhóm gồm \(4\) người hát tốp ca. Tính xác suất để trong \(4\) người được chọn đều là nam.
\(\frac{{C_5^4}}{{C_{13}^4}}\).
\(\frac{{C_5^4}}{{C_8^4}}\).
\(\frac{{A_5^4}}{{A_{13}^4}}\).
\(\frac{{A_5^4}}{{A_8^4}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = C_{13}^4\).
Gọi \[A\] là biến cố “\(4\) người được chọn đều là nam”, ta có: \(n\left( A \right) = C_5^4\).
Xác suất để trong \(4\) người được chọn đều là nam: \(P\left( A \right) = \frac{{C_5^4}}{{C_{13}^4}}\).
Từ một hộp chứa \[9\] quả cầu đỏ và \[6\] quả cầu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời \[3\] quả cầu. Xác suất để “lấy được \[3\] quả cầu cùng màu” bằng?
\(\frac{{12}}{{65}}\).
\(\frac{5}{{21}}\).
\(\frac{{24}}{{35}}\).
\(\frac{8}{{35}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Lấy ngẫu nhiên đồng thời \[3\] quả cầu từ \[15\] quả cầu đã cho có \[C_{15}^3 = 455\] cách.
Lấy được \[3\] quả cầu cùng màu từ các quả cầu đã cho có \[C_9^3 + C_6^3 = 104\] cách.
Vậy xác suất để lấy được \[3\] quả cầu cùng màu là \(P = \frac{{104}}{{455}} = \frac{8}{{35}}\).
Cho hai biến cố \(A\) và \(B.\) Nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia thì hai biến cố \(A\) và \(B\) được gọi là
Xung khắc với nhau.
Biến cố đối của nhau.
Độc lập với nhau.
Không giao với nhau.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia thì hai biến cố \(A\) và \(B\) được gọi là độc lập với nhau.
Cho\[A\], \[B\]là hai biến cố độc lập với nhau, biết\[P\left( A \right) = 0,4\];\[P\left( B \right) = 0,3\]. Khi đó \[P\left( {AB} \right)\]bằng
\(0,58\).
\(0,7\).
\(0,1\).
\(0,12\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \[A\], \[B\]là hai biến cố độc lập với nhau nên \[P\left( {AB} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right) = 0,4.0,3 = 0,12\].
Trong một kì thi có \(60\% \) thí sinh đỗ. Hai bạn A, B cùng dự kì thi đó. Xác suất để chỉ có một bạn thi đỗ là
\(0,24\).
\(0,36\).
\(0,16\).
\(0,48\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Gọi biến cố A: “Học sinh A thi đỗ”.
Biến cố B: “Học sinh B thi đỗ”.
Biến cố C: “Chỉ có một bạn thi đỗ”.
Theo đề, ta có: \(P\left( A \right) = P\left( B \right) = 0,6\) \( \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = P\left( {\overline B } \right) = 0,4\).
Khi đó ta có \(C = A\overline B \cup \overline A B\).
Do đó \(P\left( C \right) = P\left( {A\overline B \cup \overline A B} \right) = P\left( {A\overline B } \right) + P\left( {\overline A B} \right)\)\( = P\left( A \right).P\left( {\overline B } \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( B \right)\)
\( = 0,6.0,4 + 0,4.0,6 = 0,48\).
Một công ty may mặc có hai hệ thống máy chạy độc lập với nhau. Xác suất để hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt là \(95\% \), xác suất để hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt là \(85\% \). Công ty chỉ có thể hoàn thành đơn hàng đúng hạn nếu ít nhất một trong hai hệ thống máy hoạt động tốt. Xác suất để công ty hoàn thành đúng hạn là
\[0,9925\].
\[0,9825\].
\[0,9725\].
\[0,9625\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Goi \(A\) là biến cố: “Hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt”.
\(B\) là biến cố: “Hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt”.
\(C\) là biến cố: “Công ty hoàn thành đúng hạn”.
Ta có \(\overline A \) là biến cố: “Hệ thống máy thứ nhất hoạt động không tốt”.
\(\overline B \) là biến cố: “Hệ thống máy thứ hai hoạt động không tốt”.
\(\overline C \) là biến cố: “Công ty hoàn thành không đúng hạn”.
\(P(A) = 0,95\) ; \(P(B) = 0,85\) ;\[P(\overline A ) = 0,05\] ; \[P(\overline B ) = 0,15\].
Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập nên\(\overline A \) và \(\overline B \) là hai biến cố độc lập
Mà \(\overline C = \overline A \overline {.B} \)
\[P(\overline C ) = P(\overline A .\overline B ) = P(\overline A ).P(\overline B ) = 0,0075\].
\[ \Rightarrow P(C) = 1 - P(\overline C ) = 0,9925.\]
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \[{x_0}\]. Đạo hàm của \(f\left( x \right)\) tại \[{x_0}\] là
\(f\left( {{x_0}} \right)\).
\[\frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}\].
\[\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}\] (nếu tồn tại giới hạn).
\[\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0} - \Delta x)}}{{\Delta x}}\] (nếu tồn tại giới hạn).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Đạo hàm của \(f\left( x \right)\) tại \[{x_0}\] là \[\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}\](nếu tồn tại giới hạn).
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = 2{x^3} - 3{x^2} + 2\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 2\) là
\(18\).
\(12\).
\(6\).
\(14\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Có \(y' = 6{x^2} - 6x\).
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = 2{x^3} - 3{x^2} + 2\) tại điểm có hoành độ\({x_0} = 2\) là \(y'\left( 2 \right) = {6.2^2} - 6.2 = 12\).
Đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt x \) là
\(\frac{1}{{2\sqrt x }}.\)
\(\frac{1}{{\sqrt x }}.\)
\(1.\)
\( - \frac{1}{{2\sqrt x }}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(y' = {\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}\).
Trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), đạo hàm của hàm số \(y = {\log _3}x\) là
\(y' = \frac{1}{{x\ln 3}}\).
\(y' = \frac{{\ln 3}}{x}\).
\(y' = \frac{{\mathop{\rm l}\nolimits} }{x}\).
\(y' = \frac{1}{{3x}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(y' = {\left( {{{\log }_3}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{x\ln 3}}\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x\). Tính \(f'\left( x \right)\).
\(f'\left( x \right) = 2\sin 2x\).
\(f'\left( x \right) = \cos 2x\).
\(f'\left( x \right) = 2\cos 2x\).
\(f'\left( x \right) = - \frac{1}{2}\cos 2x\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(f'\left( x \right) = {\left( {\sin 2x} \right)^\prime } = 2\cos 2x\).
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x}}{{x - 2}}\) đạo hàm của hàm số tại \(x = 1\) là
\(y'\left( 1 \right) = - 4\).
\(y'\left( 1 \right) = - 5\).
\(y'\left( 1 \right) = - 3\).
\(y'\left( 1 \right) = - 2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(y' = {\left( {\frac{{{x^2} + x}}{{x - 2}}} \right)^\prime } = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} + x} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).
\(y'\left( 1 \right) = \frac{{{1^2} - 4.1 - 2}}{{{{\left( {1 - 2} \right)}^2}}} = - 5\).
Tính đạo hàm của hàm số \(y = x{{\rm{e}}^x}\).
\(y' = 2x.\)
\(y' = {{\rm{e}}^x}.\)
\(y' = \left( {x + 1} \right){{\rm{e}}^x}.\)
\(y' = \left( {x - 1} \right){{\rm{e}}^x}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(y' = {\left( {x{{\rm{e}}^x}} \right)^\prime } = {e^x} + x{e^x} = \left( {x + 1} \right){e^x}\).
Một chất điểm chuyển động theo phương trình \[s\left( t \right) = 10 + t + 9{t^2} - {t^3}\] trong đó \(s\) tính bằng mét, \(t\) tính bằng giây. Thời gian để vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất (tính từ thời điểm ban đầu) là
\[t = 6\,\left( {\rm{s}} \right)\].
\[t = 3\,\left( {\rm{s}} \right)\].
\[t = 2\,\left( {\rm{s}} \right)\].
\[t = 5\,\left( {\rm{s}} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \[v\left( t \right) = s'\left( t \right) = - 3{t^2} + 18t + 1 = - 3\left( {{t^2} - 6t + 9 - 9} \right) + 1 = - 3{\left( {t - 3} \right)^2} + 28 \le 28\].
Vậy giá trị lớn nhất của vận tốc chất điểm là 28 m/s đạt được khi \(t = 3\left( {\rm{s}} \right)\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 2x\), giá trị của \(f''\left( 1 \right)\) bằng
\(6\).
\(8\)
\(3\).
\(2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2;f''\left( x \right) = 6x\).
Do đó \(f''\left( 1 \right) = 6.1 = 6\).
Cho hàm số \[y = f\left( x \right) = - \frac{1}{x}\]. Xét hai mệnh đề:
(I) \[y'' = f''\left( x \right) = \frac{2}{{{x^3}}}\,\] (II) \[y' = f'\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^2}}}\,\]
Mệnh đề nào đúng?
Cả hai đều đúng.
Chỉ (I).
Cả hai đều sai.
Chỉ (II).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C.
\[y' = f'\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}}\];
\[y'' = {\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^\prime } = - \frac{2}{{{x^3}}}\].
Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^3} + \frac{2}{{x + 1}} - \sqrt x + 1\).
Hướng dẫn giải
Ta có \(f'\left( x \right) = 9{x^2} - \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{{2\sqrt x }}\).
Hai người độc lập nhau ném bóng vào rổ. Mỗi người ném vào rổ của mình một quả bóng. Biết rằng xác suất ném bóng vào rổ của từng người tương ứng là \(\frac{1}{5}\) và \(\frac{2}{7}\). Gọi \(A\) là biến cố: “Cả hai cùng ném bóng vào rổ”. Tính xác suất của biến cố \(A\).
Hướng dẫn giải
Gọi \[A\] là biến cố: “Cả hai cùng ném bóng vào rổ”
Gọi \[X\] là biến cố: “Người thứ nhất ném vào rổ”\( \Rightarrow P\left( X \right) = \frac{1}{5}.\)
Gọi \[Y\] là biến cố: “Người thứ hai ném vào rổ”\( \Rightarrow P\left( Y \right) = \frac{2}{7}.\)
Ta thấy biến cố \[X,Y\] là \[2\] biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:
\(P\left( A \right) = P\left( {X.Y} \right) = P\left( X \right).P\left( Y \right) = \frac{1}{5}.\frac{2}{7} = \frac{2}{{35}}\).
Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 3 (m3). Tỉ số giữa chiều cao của hố (h) và chiều rộng của đáy (y) bằng 4. Biết rằng hố ga chỉ có các mặt bên và mặt đáy (không có nắp). Tính chiều dài của đáy (x) để người thợ tốn ít nguyên vật liệu để xây hố ga. (x,y,h > 0).
Hướng dẫn giải
Thể tích hố được tính là \(V = xyh = 3 = 4x{y^2} \Leftrightarrow x = \frac{3}{{4{y^2}}}\)vì \(h = 4y\)
Vật liệu tốn ít nhất khi diện tích toàn phần cái hố (không nắp) nhỏ nhất
\(S = xy + 2xh + 2yh = \frac{3}{{4y}} + \frac{6}{y} + 8{y^2}\)
\( = \frac{{27}}{{8y}} + \frac{{27}}{{8y}} + 8{y^2} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{27}}{{8y}}.\frac{{27}}{{8y}}.8{y^2}}} = \frac{{27}}{2}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{{27}}{{8y}} = 8{y^2} \Leftrightarrow y = \frac{3}{4} \Leftrightarrow x = \frac{3}{{4{y^2}}} = \frac{4}{3}\left( {\rm{m}} \right)\).
