Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 3
39 câu hỏi
Rút gọn biểu thức \(P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x}\) với \(x > 0\).
\[P = {x^{\frac{1}{8}}}\].
\[P = {x^2}\].
\[P = \sqrt x \].
\[P = {x^{\frac{2}{9}}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x}\)\( = {x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{6}}}\)\( = {x^{\frac{1}{2}}} = \sqrt x \).
Cho \[a\] là số thực dương khác 1. Tính \[I = {\log _{\sqrt a }}a\].
\[I = \frac{1}{2}\].
\[I = 0\].
\[I = - 2\].
\[I = 2\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\[I = {\log _{\sqrt a }}a\]\[ = 2{\log _a}a = 2\].
Trong các hàm số sau đây hàm số nào không phải là hàm số mũ.
\[y = {2023^x}\].
\[y = {\left( {\sqrt {2024} } \right)^x}\].
\[y = {2025^{ - x}}\].
\[y = {x^{ - 2024}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hàm số không phải hàm số mũ là \[y = {x^{ - 2024}}\].
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
\(y = {\log _2}x\).
\(y = {2^x}\).
\(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\).
\(y = {\log _{\frac{1}{2}}}x\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đây là dạng của đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\).
Đây là hàm nghịch biến do đó đây là đồ thị của hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}x\).
Tích tất cả các nghiệm của phương trình \({2^{{x^2} + x}} = 4\) bằng
\(2\).
\(3\).
\( - 2\).
\( - 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\({2^{{x^2} + x}} = 4\)\( \Leftrightarrow {2^{{x^2} + x}} = {2^2} \Leftrightarrow {x^2} + x = 2\)\( \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\end{array} \right.\).
Vậy tích các nghiệm của phương trình là \( - 2.\)
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\), góc giữa hai đường thẳng \(A'B\) và \(B'C\) là
\(90^\circ \).
\(60^\circ \).
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \(A'B'//DC\) và \(A'B' = DC\) (do chúng cùng song song và bằng \(AB\)).
Do đó \(A'B'CD\) là hình bình hành, suy ra \(B'C//A'D\).
Khi đó \(\left( {A'B,B'C} \right) = \left( {A'B,A'D} \right) = \widehat {BA'D}\).
Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên các mặt đều là hình vuông.
Do đó \(A'B = BD = A'D\), suy ra \(\Delta A'BD\) là tam giác đều. Suy ra \(\widehat {BA'D} = 60^\circ \).
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình chữ nhật tâm \[I\], cạnh bên \[SA\] vuông góc với đáy. Gọi \[H\], \[K\] lần lượt là hình chiếu của \[A\] lên \[SC\], \[SD\]. Khẳng định nào sau đây đúng?
\(AH \bot \left( {SCD} \right)\).
\(BD \bot \left( {SAC} \right)\).
\(AK \bot \left( {SCD} \right)\).
\(BC \bot \left( {SAC} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Do \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(CD \bot AD\) (1).
Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \(CD \bot \left( {SAD} \right)\)\( \Rightarrow CD \bot AK\) mà \(AK \bot SD\)\( \Rightarrow AK \bot \left( {SCD} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành tâm \(O\), \(SA = SC,SB = SD\). Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
\(SA \bot \left( {ABCD} \right)\).
\(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
\(SC \bot \left( {ABCD} \right)\).
\(SB \bot \left( {ABCD} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \(O\) là tâm của hình bình hành \(ABCD\) nên \(O\) là trung điểm của \(AC,BD\).
Vì \(SA = SC\) nên \(\Delta SAC\) cân tại \(S\), \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(SO \bot AC\) (1).
Tương tự \(SO \bot BD\)(2).
Từ (1) và (2), suy ra \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác vuông tại \[A\], cạnh bên \[SA\] vuông góc với \[\left( {ABC} \right)\]. Gọi \[I\] là trung điểm cạnh \[AC\], \[H\] là hình chiếu của \[I\] trên \[SC\]. Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\left( {SBC} \right) \bot \left( {IHB} \right)\).
\(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).
\(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBC} \right)\)
\(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \[ABC\] là tam giác vuông tại \[A\] nên \(AB \bot AC\).
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AB\) mà \(AB \bot AC\) nên \(AB \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).
Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] cạnh \(a\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB'\) và \(CD'\).
\(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
\(a.\)
\(a\sqrt 2 .\)
\(2a.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Có \(\left( {ABB'A'} \right)//\left( {DCC'D'} \right)\).
Có
\(\left. \begin{array}{l}CD'//\left( {ABB'A'} \right)\\AB' \subset \left( {ABB'A'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow d\left( {AB',CD'} \right) = d\left( {CD',\left( {ABB'A'} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = CB = a\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) cạnh \(a\), SA vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 3 \). Góc giữa đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \((ABCD)\)bằng
\(\arcsin \frac{3}{5}\).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(30^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AD\) là hình chiếu của \(SD\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Do đó góc giữa đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \((ABCD)\)là \(\widehat {SDA}\).
Xét \(\Delta SDA\) vuông tại \(A\), có \(\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SDA} = 60^\circ \).
Cho khối chóp có diện tích đáy \(B = 3\) và chiều cao \(h = 2\). Thể tích khối chóp đã cho bằng
6
12
2
3
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có .\[V = \frac{1}{3}.B.h = \frac{1}{3}.3.2 = 2\]
Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp ba lần. Gọi \[A\] là biến cố “Có ít nhất hai mặt sấp xuất hiện liên tiếp” và \[B\] là biến cố “Kết quả ba lần gieo là như nhau”. Xác định biến cố \[A \cup B.\]
\[A \cup B = \left\{ {SSS,\,SSN,\,NSS,\,SNS,\,NNN} \right\}\].
\[A \cup B = \left\{ {SSS,\,NNN} \right\}\].
\[A \cup B = \left\{ {SSS,\,SSN,\,NSS,\,NNN} \right\}\].
\[A \cup B = \Omega \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(A = \left\{ {SSS,SSN,NSS} \right\}\); \(B = \left\{ {SSS,NNN} \right\}\).
Khi đó \(A \cup B = \left\{ {SSS,SSN,NSS,NNN} \right\}\).
Xét phép thử gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Gọi \(A\) là biến cố “Lần đầu xuất hiện mặt \(6\) chấm” và \(B\) là biến cố “Lần hai xuất hiện mặt \(6\) chấm”.
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
\(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập.
\(A \cap B\) là biến cố: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai lần gieo bằng \(12\)”.
\(A \cup B\) là biến cố: “Ít nhất một lần xuất hiện mặt \(6\) chấm”.
\(A\) và \(B\) là hai biến cố xung khắc.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hai biến cố A và B có thể cùng xảy ra.
Trong trò chơi “Hãy chọn giá đúng” chiếc kim của bánh xe có thể dừng lại ở 1 trong 20 nấc điểm với khả năng như nhau. Tính xác xuất để trong hai lần quay, chiếc kim của bánh xe đó dừng lại ở hai nấc điểm khác nhau.
\(\frac{1}{{20}}\).
\(\frac{{19}}{{20}}\).
\(\frac{1}{{10}}\).
\(\frac{9}{{10}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = {20^2}\).
Gọi \(A\) là biến cố: “Chiếc kim của bánh xe dừng lại ở hai nấc điểm khác nhau”.
Suy ra \(n\left( A \right) = 20.19\).
Do đó \(P\left( A \right) = \frac{{20.19}}{{{{20}^2}}} = \frac{{19}}{{20}}\).
Cho \(A\), \(B\) là hai biến cố xung khắc. Đẳng thức nào sau đây đúng?
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) - P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(A\), \(B\) là hai biến cố xung khắc thì \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
Cho \(A,B\)là hai biến cố xung khắc. Biết \(P\left( A \right) = \frac{1}{5},\,P\left( {A \cup B} \right) = \frac{1}{3}\). Khi đó \(P\left( B \right)\)bằng
\(\frac{3}{5}\).
\(\frac{8}{{15}}\).
\(\frac{2}{{15}}\).
\(\frac{1}{{15}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Vì \(A,B\)là hai biến cố xung khắc nên \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\)
\( \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2}{{15}}\).
Một nhóm gồm \[6\] học sinh nam và \[4\] học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời \[3\] học sinh trong nhóm đó. Xác suất để trong \[3\] học sinh được chọn luôn có học sinh nữ bằng
\(\frac{5}{6}\).
\(\frac{2}{3}\).
\(\frac{1}{6}\).
\(\frac{1}{3}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Gọi A là biến cố: “3 học sinh được chọn là học sinh nam”.
Khi đó \(P\left( {\rm{A}} \right) = \frac{{C_6^3}}{{C_{10}^3}} = \frac{1}{6}\).
Do đó xác suất để trong \[3\] học sinh được chọn luôn có học sinh nữ bằng \(1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\).
Thầy X có \[15\] cuốn sách gồm \[4\] cuốn sách toán, \[5\] cuốn sách lí và \[6\] cuốn sách hóa. Các cuốn sách đôi một khác nhau. Thầy X chọn ngẫu nhiên \[8\] cuốn sách để làm phần thưởng cho một học sinh. Tính xác suất để số cuốn sách còn lại của thầy X có đủ \[3\] môn.
\(\frac{5}{6}\).
\(\frac{{661}}{{715}}\)
\(\frac{{660}}{{713}}\).
\(\frac{6}{7}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta tìm số cách chọn 7 cuốn còn lại sao cho không có đủ 3 môn.
Có 3 trường hợp :
+) 7 cuốn còn lại gồm 2 môn Toán và Lý có: \(C_9^7\) cách.
+) 7 cuốn còn lại gồm 2 môn Lý và Hóa có: \(C_{11}^7\) cách.
+) 7 cuốn còn lại gồm 2 môn Toán và Hóa có: \(C_{10}^7\) cách.
Suy ra có \(C_9^7 + C_{11}^7 + C_{10}^7 = 486\) cách chọn 7 cuốn còn lại sao cho không có đủ 3 môn. Do đó số cách chọn 8 cuốn sao cho 7 cuốn còn lại có đủ 3 môn là \(C_{15}^7 - 486 = 5949\) cách.
Xác suất cần tìm là \(P = \frac{{5949}}{{C_{15}^7}} = \frac{{661}}{{715}}\).
Xét phép thử với hai biến cố \[A\] và \[B\] độc lập. Mệnh đề nào sau đây đúng?
\[P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\].
\[P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) - P\left( B \right)\].
\[P\left( {A \cap B} \right) \ne P\left( A \right).P\left( B \right)\].
\[P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Hai biến cố \[A\] và \[B\] độc lập thì \[P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\].
Cho hai biến cố độc lập \(A,\;B\) biết \(P\left( A \right) = \frac{1}{3},\;P\left( B \right) = \frac{2}{5}\). Tính \(P\left( {A.B} \right)\)?
\(\frac{{11}}{{15}}\).
\(\frac{2}{{15}}\).
\(\frac{1}{{15}}\).
\(\frac{{13}}{{15}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \(A,B\) là hai biến cố độc lập nên \(P\left( {A.B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = \frac{1}{3}.\frac{2}{5} = \frac{2}{{15}}\).
Trong đợt thi tốt nghiệp THPT năm 2023 của các trường THPT, thống kê cho thấy \[95\% \] học sinh tỉnh \[X\] đậu tốt nghiệp THPT, \[97\% \] học sinh tỉnh \[Y\] đậu tốt nghiệp THPT. Chọn ngẫu nhiên một học sinh tỉnh \[X\] và một học sinh tỉnh \[Y\]. Giả thiết chất lượng học tập của hai tỉnh là độc lập. Tính xác suất để chỉ có đúng một học sinh được chọn đậu tốt nghiệp THPT.
\[0,177\].
\[0,077\].
\[0,999\].
\[0,899\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Gọi biến cố A: “Học sinh tỉnh X được chọn đỗ tốt nghiệp THPT”.
Biến cố B: “Học sinh tỉnh Y được chọn đỗ tốt nghiệp THPT”.
Biến cố C: “Đúng 1 học sinh được chọn đỗ tốt nghiệp THPT”.
Khi đó ta có \(C = \overline A B \cup A\overline B \).
Theo đề, ta có \(P\left( A \right) = 0,95 \Rightarrow P\left( A \right) = 0,05;P\left( B \right) = 0,97 \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = 0,03\).
\(P\left( C \right) = P\left( {\overline A B} \right) + P\left( {A\overline B } \right) = P\left( {\overline A } \right).P\left( B \right) + P\left( A \right).P\left( {\overline B } \right) = 0,05.0,97 + 0,95.0,03 = 0,077.\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \({x_0}\). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) + f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x + {x_0}}}\).
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) + f\left( {{x_0}} \right)}}{{x + {x_0}}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).
Phương trình tiếp tuyến của đường cong \[y = {x^3}\] tại điểm \[M\left( { - 1; - 1} \right)\] là
\[y = - 3x - 4.\]
\[y = - 1.\]
\[y = 3x - 2.\]
\[y = 3x + 2.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Có \(y' = 3{x^2}\); \(y'\left( { - 1} \right) = 3\).
Do đó phương trình tiếp tuyến của đường cong \[y = {x^3}\] tại điểm \[M\left( { - 1; - 1} \right)\] có dạng:
\(y = 3\left( {x + 1} \right) - 1 = 3x + 2.\)
Tìm đạo hàm của hàm số \[y = \frac{{{x^4}}}{2} + \frac{{2{x^3}}}{3} - \frac{1}{x} + 8\].
\[y' = 2{x^3} + 2{x^2} - \frac{1}{{{x^2}}} + 1\]
\[y' = 2{x^3} + 2{x^2} - \frac{1}{{{x^2}}}\].
\[y' = 2{x^3} + 2{x^2} - 1\]
\[y' = 2{x^3} + 2{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\[y' = 2{x^3} + 2{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}\].
Tính đạo hàm của hàm số: \[y = {9^{2x + 1}}\].
\(y' = {2.9^{2x + 1}}.\ln 9\).
\(y' = \left( {2x + 1} \right){.9^{2x + 1}}\).
\(y' = {9^{2x + 1}}.\ln 9\).
\(y' = \left( {2x + 1} \right){.9^{2x + 1}}.\ln 9\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\[y' = {2.9^{2x + 1}}.\ln 9\].
Cho hàm số \(f(x) = \cos (2x + 1)\). Tính \(f'\left( x \right)\).
\(f'\left( x \right) = - 2\sin (2x + 1)\).
\(f'\left( x \right) = \sin (2x + 1)\).
\(f'\left( x \right) = 2\sin (2x + 1)\).
\(f'\left( x \right) = - \frac{1}{2}\sin (2x + 1)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(f'(x) = - 2\sin (2x + 1)\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{3x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}\). Tính \(f'\left( 0 \right)\).
\( - 3\).
\( - 2\).
\(\frac{3}{2}\).
\(3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(f'\left( x \right) = \frac{{3\sqrt {{x^2} + 4} - \left( {3x + 1} \right).\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}}}{{{x^2} + 4}}\)\( = \frac{{ - x + 12}}{{\left( {{x^2} + 4} \right)\sqrt {{x^2} + 4} }}\).
\(f'\left( 0 \right) = \frac{{12}}{8} = \frac{3}{2}\).
Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{x + 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) là
\(\frac{{1 - 3x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}\).
\(\frac{{1 + 3x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}\).
\(\frac{{1 - 3x}}{{{x^2} + 1}}\).
\(\frac{{2{x^2} - x - 1}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(y' = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} - \left( {x + 3} \right).\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{x^2} + 1}}\)\( = \frac{{ - 3x + 1}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}\).
Cho \[f\left( x \right) = {2.5^{{{\log }_{25}}x}} + 3\]. Tính \[f'\left( 1 \right)\].
\(f'\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\).
\(f'\left( 1 \right) = \frac{{ - 1}}{2}\).
\(f'\left( 1 \right) = 1\).
\(f'\left( 1 \right) = 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\[f'\left( x \right) = {2.5^{{{\log }_{25}}x}}.\ln 5.{\left( {{{\log }_{25}}x} \right)^\prime } = {2.5^{{{\log }_{25}}x}}.\ln 5.\frac{1}{{x\ln 25}}\].
\[f'\left( 1 \right) = {2.5^{{{\log }_{25}}1}}.\ln 5.\frac{1}{{1.\ln 25}} = 2.\frac{{\ln 5}}{{\ln 25}} = 1\].
Tính đạo hàm hàm số \(y = {e^x}.\sin 2x\).
\({e^x}\left( {\sin 2x - \cos 2x} \right)\).
\({e^x}.cos2x\).
\({e^x}\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)\).
\({e^x}\left( {\sin 2x + 2\cos 2x} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(y' = {e^x}.\sin 2x + 2{e^x}.\cos 2x\).
Hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^3}\)xác định trên \(D = \left( {0; + \infty } \right)\). Đạo hàm của hàm \(f\left( x \right)\) là
\(f'\left( x \right) = \frac{3}{2}\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{x\sqrt x }} + \frac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)\).
\(f'\left( x \right) = \frac{3}{2}\left( {\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{x\sqrt x }} + \frac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)\).
\(f'\left( x \right) = \frac{3}{2}\left( { - \sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{x\sqrt x }} - \frac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)\).
\(f'\left( x \right) = x\sqrt x - 3\sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{x\sqrt x }}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(f'\left( x \right) = 3{\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^2}{\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^\prime } = 3{\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^2}\left( {\frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{{2\sqrt {{x^3}} }}} \right)\)
\( = 3\left( {x - 2 + \frac{1}{x}} \right)\left( {\frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{{2\sqrt {{x^3}} }}} \right)\)\( = \frac{3}{2}\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{x\sqrt x }} + \frac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)\).
Một vật chuyển động theo quy luật \(s = - \frac{1}{2}{t^3} + 9{t^2}\) với \(t\) (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và \(s\) (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian \[10\] giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
\[216{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\].
\[30{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\].
\[400{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\].
\[54\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Có \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = - \frac{3}{2}{t^2} + 18t\)\( = - \frac{3}{2}\left( {{t^2} - 12t} \right)\)
\( = - \frac{3}{2}\left( {{t^2} - 12t + 36 - 36} \right)\)\( = - \frac{3}{2}{\left( {t - 6} \right)^2} + 54 \le 54\).
Vậy vận tốc lớn nhất của vật là 54 m/s.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 2x\), giá trị của \(f''\left( { - 1} \right)\) bằng
\(6\).
\(12\).
\( - 12\).
\(2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 2\); \(f''\left( x \right) = 12x\).
Có \(f''\left( { - 1} \right) = - 12\).
Cho hàm số \(y = \sqrt {1 + 3x - {x^2}} \). Khẳng định nào dưới đây đúng?
\[{\left( {y'} \right)^2} + y.y'' = - 1\].
\[{\left( {y'} \right)^2} + 2y.y'' = 1\].
\[y.y'' - {\left( {y'} \right)^2} = 1\].
\[{\left( {y'} \right)^2} + y.y'' = 1\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \[{y^2} = 1 + 3x - {x^2}\]\[ \Rightarrow 2y.y' = 3 - 2x\]\[ \Rightarrow 2y'.y' + 2y.y'' = - 2\]\[ \Rightarrow {\left( {y'} \right)^2} + y.y'' = - 1\].
Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) \(y = {({x^2} - 2)^2}\). b) \(y = \frac{{x - 3}}{{x + 1}}\).
Hướng dẫn giải
a) \(y' = {\left( {{{({x^2} - 2)}^2}} \right)^\prime } = 2({x^2} - 2).{\left( {{x^2} - 2} \right)^\prime } = 2({x^2} - 2).2x = 4x({x^2} - 2).\)
b) \(y' = {\left( {\frac{{x - 3}}{{x + 1}}} \right)^\prime } = \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^\prime }.\left( {x + 1} \right) - \left( {x - 3} \right).{{\left( {x + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, SA vuông góc với đáy, \(SA = a\sqrt 2 \), \(AB = a\), \(BC = 2a\). Chứng minh tam giác \(\Delta SBC\) vuông.
Hướng dẫn giải
Ta có \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\)
Mà \(AB \bot BC\) và trong \(\left( {SAB} \right)\): \(SA \cap AB = A\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
\( \Rightarrow BC \bot SB\).
Vậy tam giác \(SBC\) vuông tại \(B\).
Một xạ thủ bắn lần lượt hai viên đạn vào bia. Xác suất bắn không trúng đích của viên thứ nhất và viên thứ hai lần lượt là \(0,2\) và \(0,3\). Biết rằng kết quả các lần bắn độc lập với nhau. Tính xác suất của biến cố: “Có ít nhất một lần bắn trúng đích”.
Hướng dẫn giải
Gọi biến cố \(D\): “Có ít nhất một lần bắn trúng đích ”.
biến cố \(\overline D \): “Cả hai lần bắn đều không trúng đích”.
\( \Rightarrow P\left( {\overline D } \right) = 0,2.0,3 = 0,06.\)
\( \Rightarrow P\left( D \right) = 1 - P\left( {\overline D } \right) = 0,94.\)
Có bao nhiêu số tự nhiên \(x\) không vượt quá \[2023\] thỏa mãn: \({\log _2}\left( {\frac{x}{4}} \right)\log _2^2x \ge 0\)?
Hướng dẫn giải
Điều kiện: \(x > 0\).
\({\log _2}\left( {\frac{x}{4}} \right)\log _2^2x \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{{\log }_2}x - {{\log }_2}4} \right)\log _2^2x \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 0\\\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}x - {\log _2}4 \ge 0\\{\log _2}x \ne 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 4\\0 < x \ne 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x \ge 4\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện \(x > 0\)).
Vậy có \(2021\) số tự nhiên \(x\) thỏa mãn bài ra.
