Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 5
39 câu hỏi
Cho \(a\) là một số thực dương khác 1. Với mọi số nguyên \(m,\,n\,\)thỏa mãn \(n \ne 0\),mệnh đề nào sau đây đúng?
\({a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[m]{{{a^n}}}\).
\({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m + n}}\).
\({a^m}.{a^n} = {a^{m.n}}\).
\({a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\({a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\).
Cho số dương a,b với \(a \ne 1\). Ta có \({\log _a}b = \alpha \) khi nào?
\({b^\alpha } = 2a\).
\({a^\alpha } = 2b\).
\({b^\alpha } = a\).
\({a^\alpha } = b\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\({\log _a}b = \alpha \)\( \Leftrightarrow {a^\alpha } = b\).
Cho \({\log _a}b = 2\) và \({\log _a}c = 3\). Tính \(P = {\log _a}({b^2}{c^3})\).
\(P = 31\).
\(P = 13\).
\(P = 30\).
\(P = 108\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(P = {\log _a}({b^2}{c^3})\)\( = {\log _a}{b^2} + {\log _a}{c^3} = 2{\log _a}b + 3{\log _a}c = 2.2 + 3.3 = 13.\)
Trong các hàm số sau đây hàm số nào không phải là hàm số mũ?
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = {x^{ - 4}}\)không phải là hàm số mũ.
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _3}\left( {13 - {x^2}} \right) \ge 2\) là
\(\left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2: + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;2} \right]\).
\(\left( {0;2} \right]\).
\(\left[ { - 2;2} \right]\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\({\log _3}\left( {13 - {x^2}} \right) \ge 2\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}13 - {x^2} > 0\\13 - {x^2} \ge {3^2}\end{array} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \sqrt {13} < x < \sqrt {13} \\ - 2 \le x \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 \le x \le 2\].
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(D = \left[ { - 2;2} \right]\).
Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x + 1}} > 1\) là
\(( - \infty ;0)\).
\((0; + \infty )\).
\(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right)\).
\(\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x + 1}} > 1\)\( \Leftrightarrow 2x + 1 < 0 \Leftrightarrow x < - \frac{1}{2}\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(D = \left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right)\).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Góc giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(B'D\) bằng
\[90^\circ .\]
\[45^\circ .\]
\[60^\circ .\]
\[30^\circ .\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Có \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên ta có \(DD' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow DD' \bot AC\).
Mà \(AC \bot BD\) nên \(AC \bot \left( {DBB'D'} \right)\)\( \Rightarrow AC \bot B'D\).
Cho hình lập phương ( như hình vẽ). Mặt phẳng \[(ABCD)\]vuông góc mặt phẳng nào dưới đây?
\[(A'B'BA)\].
\[(A'B'C'D')\].
\[(A'B'CD)\].
\[(ABC'D')\] .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Có \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên \[(A'B'BA) \bot \left( {ABCD} \right)\].
Cho hình lập phương ( như hình vẽ). Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(CD\) và \(AA'\)là
\(BB'\).
\(AD\).
\(CA\).
\(CC'.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Có \(AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AA' \bot AD\) tại \(A\) mà \(AD \bot CD\) tại D.
Do đó đoạn vuông góc chung của \(AA'\) và \(CD\) là \(AD\).
Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \[a\], cạnh bên \[SA\] vuông góc với mặt phẳng đáy ( hình vẽ ). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) là
\(\widehat {SBC}\).
\(\widehat {SBD}\).
\(\widehat {SAB}\).
\(\widehat {SBA}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \) hình chiếu của \(SB\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(AB\).
Do đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) là \(\widehat {SBA}\).
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = 1,BC = 2;AA' = 3\) (tham khảo hình vẽ).
Khoảng cách từ \[A'\] đến mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] bằng
\(3.\)
\(1.\)
\(2.\)
\(\sqrt {14} .\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(d\left( {A',\left( {ABCD} \right)} \right) = A'A = 3\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = a,AD = a\sqrt 2 .\) Cạnh bên \(SA \bot (ABCD)\) và \(SA = 3a.\) Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \((ABCD)\) bằng
\(45^\circ .\)
\(90^\circ .\)
\(30^\circ .\)
\(60^\circ .\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \) hình chiếu của \(SC\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(AC\).
Do đó góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là \(\widehat {SCA}\).
Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AC = BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt 3 \).
Xét \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\), có \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{3a}}{{a\sqrt 3 }} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SCA} = 60^\circ .\)
Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \[a\], cạnh bên \[SA\] vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a.\) Góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \((ABCD)\) bằng
\(30^\circ .\)
\(60^\circ .\)
\(90^\circ .\)
\(45^\circ .\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \) hình chiếu của \(SB\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(AB\).
Do đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) là \(\widehat {SBA}\).
Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A\), có \(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{a}{a} = 1 \Rightarrow \widehat {SBA} = 45^\circ \).
Thể tích của khối chóp cụt đều có chiều cao \(h\) và \(S,S'\)lần lượt là diện tích đáy lớn và đáy nhỏ là
\(V = \frac{1}{3}h\left( {S + \sqrt {SS'} + S'} \right).\)
\(V = \frac{1}{6}Sh.\)
\(V = S'h.\)
\(V = \frac{1}{3}h\left( {S + SS' + S'} \right).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(V = \frac{1}{3}h\left( {S + \sqrt {SS'} + S'} \right).\)
Cho \(A\) và \(B\) là hai biến cố. Biến cố: “\(A\) hoặc \(B\) xảy ra” được gọi là biến cố hợp của \(A\) và \(B\), kí hiệu là
\(A \cap B\).
\(A \cup B\).
\(A\backslash B\).
\(A + B\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Biến cố hợp của \(A\) và \(B\), kí hiệu là \(A \cup B\).
Biến cố \(A\) và biến cố \(B\) được gọi là xung khắc nếu \(A\) và \(B\) không đồng thời xảy ra. Hai biến cố \(A\) và \(B\) xung khắc khi và chỉ khi?
\(A \cap B = {\rm{\{ }}0{\rm{\} }}\).
\(A \cap B = \emptyset \).
\(A \cap B = A\).
\(A \cap B = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Hai biến cố \(A\) và \(B\) xung khắc khi và chỉ khi \(A \cap B = \emptyset \).
Với hai biến cố xung khắc, ta có công thức tính xác suất của biến cố hợp như sau:
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\)
\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) - P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Với hai biến cố xung khắc, ta có \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
Cho hai biến cố A và B độc lập. Khi đó \[P\left( {A.B} \right)\] bằng
\[P(A) - P(B).\]
\[P(A) + P(B).\]
\[P(A).P(B).\]
\[\left[ {1 - P(A)} \right]\left[ {1 - P(B)} \right].\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hai biến cố A và B độc lập thì \[P\left( {A.B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\].
Cho hai biến cố A và B. Nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia thì hai biến cố A và B được gọi là
Xung khắc với nhau.
Biến cố đối của nhau.
Độc lập với nhau.
Không giao với nhau.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia thì hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau.
Cho A và B là hai biến cố độc lập. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hai biến cố A và \(\bar B\) không độc lập.
Hai biến cố \(\bar A\) và \(\bar B\) không độc lập.
Hai biến cố A và \(\bar B\) độc lập.
Hai biến cố A và \(A \cup B\)độc lập.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
A và B là hai biến cố độc lập thì hai biến cố A và \(\bar B\) cũng độc lập với nhau.
Với hai biến cố A và B bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\)
\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Với hai biến cố A và B bất kì thì \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\).
Gieo một con súc sắc đồng chất. Tính xác suất để xuất hiện mặt 1 chấm hoặc 6 chấm?
\(\frac{1}{6}\)
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{4}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 6\).
Biến cố A: “Xuất hiện mặt 1 chấm hoặc 6 chấm” \( \Rightarrow n\left( A \right) = 2\).
Do đó \(P\left( A \right) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).
Bộ bài lơ khơ có 52 lá bài. Rút ngẫu nhiên một lá bài.Tính xác suất để lá rút ra là lá át hoặc lá 8?
\(\frac{1}{{13}}\)
\(\frac{2}{{13}}\).
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{4}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 52\).
A là biến cố “Lá rút ra là lá át hoặc lá 8” \( \Rightarrow n\left( A \right) = 8\).
Do đó \(P\left( A \right) = \frac{8}{{52}} = \frac{2}{{13}}\).
Một bình đựng 7 viên bi trắng và 5 viên bi đen. Lần lượt lấy ngẫu nhiên ra 2 bi. Tính xác suất để lấy được bi thứ 1 màu trắng và bi thứ 2 màu đen?
\(\frac{1}{{35}}\)
\(\frac{{35}}{{132}}\)
\(\frac{{35}}{{144}}\).
\(\frac{1}{{144}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Xác suất để lần thứ 1 lấy được bi màu trắng là \(\frac{7}{{12}}\).
Xác suất để lần thứ 2 lấy được viên bi màu đen là \(\frac{5}{{11}}\).
Suy ra xác suất để lấy được bi thứ 1 màu trắng và bi thứ 2 màu đen là \(\frac{7}{{12}}.\frac{5}{{11}} = \frac{{35}}{{132}}\).
Đạo hàm của hàm số \(y = {x^3}\) là
\(3{x^2} - 2.\)
\(3{x^2}.\)
\(3{x^3} - 2.\)
\(2{x^2} - 2.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(y' = {\left( {{x^3}} \right)^\prime } = 3{x^2}\).
Đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt x \) \((x > 0)\)là
\(\frac{1}{{\sqrt x }}.\)
\(\frac{1}{{2\sqrt x }}.\)
\(\frac{2}{{\sqrt x }}.\)
\( - \frac{1}{{\sqrt x }}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(y' = {\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}\).
Đạo hàm của hàm số \(y = \sin x\)là
\(\cos x.\)
\( - \cos x.\)
\(\sin x.\)
\( - \sin x.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(y' = {\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x.\)
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \({x_0}\) thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \({M_0}({x_0},{y_0})\)là
\(y - {y_0} = y'({x_0})(x - {x_0}).\)
\(y + {y_0} = y'({x_0})(x - {x_0}).\)
\(y - {y_0} = y'({x_0})(x + {x_0}).\)
\(y + {y_0} = y'({x_0})(x + {x_0}).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \({x_0}\) thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \({M_0}({x_0},{y_0})\) là \(y - {y_0} = y'({x_0})(x - {x_0}).\)
Phương trình tiếp tuyến của Parabol \(y = - 3{x^2} + x - 2\) tại điểm M(1; 1) là:
\(y = 5x + 6\).
\(y = - 5x + 6\).
\(y = - 5x - 6\).
\(y = 5x - 6.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \(y' = - 6x + 1\).
Có \(y'\left( 1 \right) = - 5\).
Khi đó phương trình tiếp tuyến của Parabol \(y = - 3{x^2} + x - 2\) tại điểm M(1; 1) là \(y = - 5\left( {x - 1} \right) + 1 = - 5x + 6\).
Đạo hàm của hàm số \(y = \cos x\) là
\( - \sin x.\)
\(\sin x.\)
\( - \cos x.\)
\(\cos x.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(y' = {\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x\).
Đạo hàm của hàm số \(y = {x^3} - 2x\) là
\(3{x^2} - 2.\)
\(3{x^2}.\)
\(3{x^3} - 2.\)
\(2{x^2} - 2.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(y' = 3{x^2} - 2\).
Đạo hàm của hàm số \(y = x + \sin x\) là
\(1 + \cos x.\)
\(1 - \cos x.\)
\(\cos x.\)
\( - \cos x.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(y' = {\left( {x + \sin x} \right)^\prime } = 1 + \cos x\).
Hàm số nào dưới đây có đạo hàm cấp hai là \(6x\)?
\[y = 3{x^2}.\]
\[y = 2{x^3}.\]
\[y = {x^3}.\]
\[y = {x^2}.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \[y' = {\left( {{x^3}} \right)^\prime } = 3{x^2}.;y'' = 6x\].
Cho hàm số \(y = - 3{x^3} + 3{x^2} - x + 5\). Khi đó \(y''(1)\)bằng:
4.
−8.
−12.
5.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Có \(y' = - 9{x^2} + 6x - 1;y'' = - 18x + 6\).
Do đó \(y''\left( 1 \right) = - 18.1 + 6 = - 12\).
Cho hàm số \[y = {x^3} - 3{x^2} + x + 1\]. Phương trình \(y'' = 0\) có nghiệm.
\[x = 2\].
\[x = 4\].
\[x = 1\].
\[x = 3\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \[y' = 3{x^2} - 6x + 1\], \[y'' = 6x - 6\]\[ \Rightarrow y'' = 0\]\[ \Leftrightarrow x = 1\].
Vậy nghiệm của phương trình \(y'' = 0\) có nghiệm là \(x = 1\).
Tính đạo hàm hàm số: \(y = {( - 3{x^3} + 3{x^2} - x + 5)^3}\).
Hướng dẫn giải
\[y' = 3{( - 3{x^3} + 3{x^2} - x + 5)^2}( - 3{x^3} + 3{x^2} - x + 5)'\]
\[ = 3{( - 3{x^3} + 3{x^2} - x + 5)^2}( - 9{x^2} + 6x - 1)\].
Một bình đựng 9 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. Lần lượt lấy ngẫu nhiên ra 2 bi, mỗi lần lấy 1 bi. Tính xác suất để bi thứ 2 màu xanh nếu biết bi thứ nhất màu đỏ?
Hướng dẫn giải
Gọi A là biến cố: “Lần thứ nhất lấy được bi màu đỏ”.
Gọi B là biến cố: “Lần thứ hai lấy được bi màu xanh”.
Xác suất để lần thứ nhất lấy được bi màu đỏ là: \(P\left( A \right) = \frac{7}{{16}}.\)
Xác suất để lần thứ hai lấy được bi màu xanh (trong 15 viên bi còn lại) là: \(P\left( A \right) = \frac{9}{{15}} = \frac{3}{5}.\)
Do đó xác suất để bi thứ 2 màu xanh nếu biết bi thứ nhất màu đỏ là \(P = P\left( A \right).P\left( B \right) = \frac{7}{{16}}.\frac{3}{5} = \frac{{21}}{{80}}\).
Cho hình chóp cụt đều có chiều cao bằng 3cm, đáy là hình vuông, độ dài cạnh đáy lớn bằng 2cm và độ dài cạnh đáy nhỏ bằng 1cm. Tính thể tích của chóp cụt.
Hướng dẫn giải
Diện tích đáy lớn \(S = {2^2} = 4\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)
Diện tích đáy nhỏ \(S = {1^2} = 1\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)
Chiều cao \(h = 3\left( {{\rm{cm}}} \right)\)
Thể tích \(V = \frac{1}{3}h\left( {S + \sqrt {SS'} + S'} \right) = \frac{1}{3}.3.(4 + \sqrt {4.1} + 1) = 7\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).
Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng là hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy dài 262 mét, cạnh bên dài 230 mét. Biết kho báu được đặt ở tâm của đáy kim tự tháp. Hãy xác định vị trí để đào con đường đến kho báu sao cho đoạn đường ngắn nhất.
Hướng dẫn giải
Ta giả sử các cạnh và đỉnh của kim tự tháp như hình vẽ.
H là tâm của đáy, I là trung điểm của BC.
Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(262{\rm{m}}\) nên \(AC = 262\sqrt 2 \Rightarrow HC = 131\sqrt 2 \).
Xét \(\Delta SHC\) vuông tại \(H,\) có
\(SH = \sqrt {S{C^2} - H{C^2}} = \sqrt {{{230}^2} - {{(131\sqrt 2 )}^2}} = \sqrt {18578} \approx 136\)(m).
Vậy chiều cao của kim tự tháp là khoảng 136 mét.
Kẻ HJ vuông góc với SI, suy ra HJ là đoạn đường ngắn nhất.
Trong tam giác SHI vuông tại H, HJ là đường cao, ta có: \(\frac{1}{{H{J^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{18578}} + \frac{1}{{17161}} = \frac{{35739}}{{18578.17161}}\)
\( \Rightarrow H{J^2} = \frac{{18578.17161}}{{35739}} \Rightarrow HJ \approx 94\) (m)
\( \Rightarrow IJ = \sqrt {H{I^2} - H{J^2}} = \sqrt {{{131}^2} - {{94}^2}} \approx 91\) (m).
Vậy vị trí để đào con đường đến kho báu sao cho đoạn đường ngắn nhất là tại điểm J nằm trên trung tuyến của mặt bên, cách cạnh đáy kim tự tháp khoảng 91 mét.
