Bộ 10 đề thi Cuối kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 7
38 câu hỏi
Cho biểu thức \(P = \sqrt[4]{{{x^3}}}\), với \(x > 0\). Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
\(P = {x^{\frac{4}{3}}}\).
\(P = {x^9}\).
\(P = {x^{12}}\).
\(P = {x^{\frac{3}{4}}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \(P = \sqrt[4]{{{x^3}}} = {x^{\frac{3}{4}}}\).
Cho \(a\) là số thực dương tùy ý, \(\frac{{{{\left( {{a^{\sqrt 7 + 1}}} \right)}^3}}}{{{a^{\sqrt 7 - 4}}.{a^{2\sqrt 7 + 9}}}}\) bằng
\[{a^{\sqrt 7 }}\].
\[{a^2}\].
\[{a^{ - \sqrt 7 }}\].
\[{a^{ - 2}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\frac{{{{\left( {{a^{\sqrt 7 + 1}}} \right)}^3}}}{{{a^{\sqrt 7 - 4}}.{a^{2\sqrt 7 + 9}}}} = \frac{{{a^{3\sqrt 7 + 3}}}}{{{a^{3\sqrt 7 + 5}}}} = {a^{3 - 5}} = {a^{ - 2}}\).
Cho \(a\) là số thực dương khác \(1\). Tính \(I = {\log _a}\sqrt[3]{a}\)
\(I = \frac{1}{3}\).
\(I = 3\).
\(I = 0\).
\(I = - 3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(I = {\log _a}\sqrt[3]{a} = {\log _a}{a^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3}\).
Cho \(a\,,\,b > 0\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
\(\ln \left( {a + b} \right) = \ln a + \ln b\).
\(\ln \left( {ab} \right) = \ln a.\ln b\).
\(\ln \left( {{a^b}} \right) = \ln b.\ln a\).
\(\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b\).
Cho \(a,b > 0\), \(a \ne 1\) thỏa \({\log _a}b = 3\). Tính \(P = {\log _{{a^2}}}{b^3}\).
\(P = 18\).
\(P = 2\).
\(P = \frac{9}{2}\).
\(P = \frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Vì \(a,b > 0\) nên ta có: \(P = \frac{3}{2}{\log _a}b = \frac{3}{2}.3 = \frac{9}{2}\).
Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án \[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C,{\rm{ }}D\] dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
\[y = {\log _2}x\].
\[y = {2^x}\].
\[y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\].
\[y = {x^2}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Đây là hình dạng của hàm số mũ \(y = {a^x}\) mà hàm số này đồng biến nên \(a > 1\).
Do đó chọn B.
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
\[y = \frac{1}{{{5^x}}}\].
\[y = {\left( {\frac{\pi }{4}} \right)^x}\].
\[y = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)}^x}}}\].
\[y = {\left( {\frac{{\rm{e}}}{3}} \right)^x}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hàm số \(y = {a^x}\)đồng biến khi \(a > 1\).
Mà \(\frac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }} > 1\). Do đó \[y = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)}^x}}}\] là hàm đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Tích tất cả các nghiệm của phương trình \({2^{{x^2} + x}} = 4\) bằng
\(2\).
\(3\).
\( - 2\).
\( - 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\({2^{{x^2} + x}} = 4\)\( \Leftrightarrow {2^{{x^2} + x}} = {2^2} \Leftrightarrow {x^2} + x = 2\)\( \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\end{array} \right.\).
Vậy tích các nghiệm của phương trình là \( - 2.\)
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \(4\log _4^2\frac{x}{2} - {\log _2}x + 1 \le 0\) là
\(3\).
Vô số.
\(2\).
\(1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có
\[\begin{array}{l}4\log _4^2\frac{x}{2} - {\log _2}x + 1 \le 0\\ \Leftrightarrow 4.\frac{1}{4}\log _2^2\frac{x}{2} - {\log _2}x + 1 \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_2}x - 1} \right)^2} - {\log _2}x + 1 \le 0\end{array}\]
Đặt \(t = {\log _2}x\), ta được: \[{\left( {t - 1} \right)^2} - t + 1 \le 0 \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le t \le 2\].
Suy ra \[1 \le {\log _2}x \le 2 \Leftrightarrow 2 \le x \le 4\] (thỏa mãn điều kiện).
Vậy bất phương trình có \(3\)nghiệm nguyên \(x = 2,x = 3,x = 4\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \[{x_0}\]. Đạo hàm của \(f\left( x \right)\) tại \[{x_0}\] là
\(f\left( {{x_0}} \right)\).
\[\frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}\].
\[\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}\] (nếu tồn tại giới hạn).
\[\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0} - \Delta x)}}{{\Delta x}}\] (nếu tồn tại giới hạn).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Đạo hàm của \(f\left( x \right)\) tại \[{x_0}\] là \[\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}\](nếu tồn tại giới hạn).
Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị \((C)\) và đạo hàm \(f'(1) = 5.\) Hệ số góc của tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M\left( {1;f\left( 1 \right)} \right)\) bằng
\(10.\)
\(2.\)
\(3.\)
\(5.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hệ số góc của tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M\left( {1;f\left( 1 \right)} \right)\) bằng \(f'(1) = 5.\)
Khẳng định nào sau đây sai?
\[y = {x^5} \Rightarrow y' = 5x\].
\[y = {x^3} \Rightarrow y' = 3{x^2}\].
\[y = x \Rightarrow y' = 1\].
\[y = {x^4} \Rightarrow y' = 4{x^3}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\[y = {x^5} \Rightarrow y' = 5{x^4}.\]
Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \tan x\).
\(y' = - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\).
\(y' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\).
\(y' = \cot x\).
\(y' = - \cot x\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(y = \tan x\)\( \Rightarrow y' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\).
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = - 3\cos x\) tại điểm \({x_0} = \frac{\pi }{2}\).
\(y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - 3\).
\(y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 5\).
\(y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\).
\(y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(y = - 3\cos x\)\( \Rightarrow y' = 3\sin x;\,y'' = 3\cos x\).
\(y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x\). Tính \(f'\left( x \right)\).
\(f'\left( x \right) = 2\sin 2x\).
\(f'\left( x \right) = \cos 2x\).
\(f'\left( x \right) = 2\cos 2x\).
\(f'\left( x \right) = - \frac{1}{2}\cos 2x\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(f'\left( x \right) = {\left( {\sin 2x} \right)^\prime } = 2\cos 2x\).
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x}}{{x - 2}}\) đạo hàm của hàm số tại \(x = 1\) là
\(y'\left( 1 \right) = - 4\).
\(y'\left( 1 \right) = - 5\).
\(y'\left( 1 \right) = - 3\).
\(y'\left( 1 \right) = - 2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(y' = {\left( {\frac{{{x^2} + x}}{{x - 2}}} \right)^\prime } = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} + x} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).
\(y'\left( 1 \right) = \frac{{{1^2} - 4.1 - 2}}{{{{\left( {1 - 2} \right)}^2}}} = - 5\).
Tính đạo hàm của hàm số \(y = x{{\rm{e}}^x}\).
\(y' = 2x.\)
\(y' = {{\rm{e}}^x}.\)
\(y' = \left( {x + 1} \right){{\rm{e}}^x}.\)
\(y' = \left( {x - 1} \right){{\rm{e}}^x}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(y' = {\left( {x{{\rm{e}}^x}} \right)^\prime } = {e^x} + x{e^x} = \left( {x + 1} \right){e^x}\).
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
\(A'C' \bot BB'\).
\(A'C' \bot BD\).
\(A'C'//AC\).
\(A'C' \bot DD'\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Có \(BB' \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow BB' \bot A'C'\).
Có \(AA'//CC'\) và \(AA' = CC'\)(do cùng song song và bằng \(DD'\)) nên \(AA'C'C\) là hình bình hành. Suy ra \(AC//A'C'\).
\(DD' \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow DD' \bot A'C'\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Tam giác \(SBC\) là:
Tam giác thường.
Tam giác cân.
Tam giác đều.
Tam giác vuông.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AB\) là hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Mà \(BC \bot AB\) (do \(ABCD\) là hình vuông).
Suy ra \(BC \bot SB\) (theo định lý ba đường vuông góc).
Do đó \(\Delta SBC\) là tam giác vuông.
Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy\[ABC\]là tam giác cân tại\[A,\] cạnh bên \[SA\] vuông góc với đáy, \[M\]là trung điểm \[BC,\]\[J\] là trung điểm \[BM.\] Mệnh đề nào sau đây đúng?
\[BC \bot (SAC).\]
\[BC \bot (SAJ).\]
\[BC \bot (SAM).\]
\[BC \bot (SAB).\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(AM \bot BC\).
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) mà \(AM \bot BC\) nên \(BC \bot \left( {SAM} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) đều. Gọi \(H\) là trung điểm cạnh \(AC\). Tìm mệnh đề sai?
\(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\).
\(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
\(\left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\).
\(CD \bot \left( {SAD} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Vì \(ABCD\)là hình vuông nên \(AC \bot BD\) mà \(SH \bot AC\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\) nên \(AC \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow \left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\).
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = 1,BC = 2;AA' = 3\) (tham khảo hình vẽ).
Khoảng cách từ \[A'\] đến mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] bằng
\(3.\)
\(1.\)
\(2.\)
\(\sqrt {14} .\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(d\left( {A',\left( {ABCD} \right)} \right) = A'A = 3\).
Thể tích của khối chóp có diện tích đáy \(B = 6\) và chiều cao \(h = 2\) bằng:
\(6\).
\(3\).
\(4\).
\(12\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Thể tích của khối chóp là \(V = \frac{1}{3}.6.2 = 4\).
Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] cạnh \(a\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB'\) và \(CD'\).
\(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
\(a.\)
\(a\sqrt 2 .\)
\(2a.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Có \(\left( {ABB'A'} \right)//\left( {DCC'D'} \right)\).
Có
\(\left. \begin{array}{l}CD'//\left( {ABB'A'} \right)\\AB' \subset \left( {ABB'A'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow d\left( {AB',CD'} \right) = d\left( {CD',\left( {ABB'A'} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = CB = a\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy. Góc tạo bởi đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng đáy là
\(\widehat {SCA}\).
\(\widehat {SAC}\).
\(\widehat {ASC}\).
\(\widehat {SCB}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) lên mặt phẳng đáy.
Do đó góc tạo bởi giữa \(SC\) và mặt phẳng đáy là \(\left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}\).
Cho hình lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) và \[\alpha \] là góc tạo bởi đường thẳng \(MC'\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Khi đó \[\tan \alpha \] .
\[\frac{{2\sqrt 7 }}{7}\].
\[\frac{{\sqrt 3 }}{2}\].
\[\sqrt {\frac{3}{7}} \].
\[\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Do \(CC' \bot \left( {ABC} \right)\) nên suy ra \(MC\) là hình chiếu của \(MC'\) lên \(\left( {ABC} \right)\). Khi đó: \(\left( {MC',\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {MC',MC} \right) = \widehat {C'MC} = \alpha \).
Vì \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\), đường cao \(CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Xét tam giác \(MCC'\) vuông tại \(C\) có: \(\tan \alpha = \frac{{CC'}}{{CM}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
Cho hai biến cố \(A\) và \(B.\) Nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia thì hai biến cố \(A\) và \(B\) được gọi là
Xung khắc với nhau.
Biến cố đối của nhau.
Độc lập với nhau.
Không giao với nhau.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia thì hai biến cố \(A\) và \(B\) được gọi là độc lập với nhau.
Cho\[A\], \[B\]là hai biến cố độc lập với nhau, biết\[P\left( A \right) = 0,4\];\[P\left( B \right) = 0,3\]. Khi đó \[P\left( {AB} \right)\]bằng
\(0,58\).
\(0,7\).
\(0,1\).
\(0,12\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \[A\], \[B\]là hai biến cố độc lập với nhau nên \[P\left( {AB} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right) = 0,4.0,3 = 0,12\].
Cho hai biến cố \[A\] và \[B\] có \[P(A) = \frac{1}{3},P(B) = \frac{1}{4},P(AB) = \frac{1}{2}\]. Ta kết luận hai biến cố \[A\] và \[B\] là:
Độc lập.
Không độc lập.
Xung khắc.
Không xung khắc.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Có \[P(A).P(B) = \frac{1}{3}.\frac{1}{4} = \frac{1}{{12}} \ne P(AB) = \frac{1}{2}\].
Do đó \(A\) và \(B\) không độc lập.
Trong một kì thi có \(60\% \) thí sinh đỗ. Hai bạn A, B cùng dự kì thi đó. Xác suất để chỉ có một bạn thi đỗ là
\(0,24\).
\(0,36\).
\(0,16\).
\(0,48\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Gọi biến cố A: “Học sinh A thi đỗ”.
Biến cố B: “Học sinh B thi đỗ”.
Biến cố C: “Chỉ có một bạn thi đỗ”.
Theo đề, ta có: \(P\left( A \right) = P\left( B \right) = 0,6\) \( \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = P\left( {\overline B } \right) = 0,4\).
Khi đó ta có \(C = A\overline B \cup \overline A B\).
Do đó \(P\left( C \right) = P\left( {A\overline B \cup \overline A B} \right) = P\left( {A\overline B } \right) + P\left( {\overline A B} \right)\)\( = P\left( A \right).P\left( {\overline B } \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( B \right)\)
\( = 0,6.0,4 + 0,4.0,6 = 0,48\).
Một công ty may mặc có hai hệ thống máy chạy độc lập với nhau. Xác suất để hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt là \(95\% \), xác suất để hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt là \(85\% \). Công ty chỉ có thể hoàn thành đơn hàng đúng hạn nếu ít nhất một trong hai hệ thống máy hoạt động tốt. Xác suất để công ty hoàn thành đúng hạn là
\[0,9925\].
\[0,9825\].
\[0,9725\].
\[0,9625\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Goi \(A\) là biến cố: “Hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt”.
\(B\) là biến cố: “Hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt”.
\(C\) là biến cố: “Công ty hoàn thành đúng hạn”.
Ta có \(\overline A \) là biến cố: “Hệ thống máy thứ nhất hoạt động không tốt”.
\(\overline B \) là biến cố: “Hệ thống máy thứ hai hoạt động không tốt”.
\(\overline C \) là biến cố: “Công ty hoàn thành không đúng hạn”.
\(P(A) = 0,95\) ; \(P(B) = 0,85\) ;\[P(\overline A ) = 0,05\] ; \[P(\overline B ) = 0,15\].
Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập nên\(\overline A \) và \(\overline B \) là hai biến cố độc lập
Mà \(\overline C = \overline A \overline {.B} \)
\[P(\overline C ) = P(\overline A .\overline B ) = P(\overline A ).P(\overline B ) = 0,0075\].
\[ \Rightarrow P(C) = 1 - P(\overline C ) = 0,9925.\]
Cho \(A\), \(B\) là hai biến cố xung khắc. Đẳng thức nào sau đây đúng?
\(A \cup B = \Omega .\)
\(B \subset A.\)
\(A \cap B = \emptyset .\)
\(A = B.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(A\), \(B\) là hai biến cố xung khắc thì \(A \cap B = \emptyset .\)
Gọi \[A\] và \(B\) là hai biến cố liên quan đến phép thử ngẫu nhiên \(T\). Cho \(P\left( A \right) = \frac{1}{4},P\left( {A \cup B} \right) = \frac{1}{2}\). Biết \(A,B\)là hai biến cố xung khắc, thì \(P\left( B \right)\) bằng
\[\frac{3}{4}\].
\[\frac{1}{8}\].
\[\frac{1}{3}\].
\[\frac{1}{4}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(A\), \(B\) là hai biến cố xung khắc nên \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\)
\( \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\).
Từ một đội văn nghệ gồm \(5\) nam và \(8\) nữ cần lập một nhóm gồm \(4\) người hát tốp ca. Tính xác suất để trong \(4\) người được chọn đều là nam.
\(\frac{{C_5^4}}{{C_{13}^4}}\).
\(\frac{{C_5^4}}{{C_8^4}}\).
\(\frac{{A_5^4}}{{A_{13}^4}}\).
\(\frac{{A_5^4}}{{A_8^4}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = C_{13}^4\).
Gọi \[A\] là biến cố “\(4\) người được chọn đều là nam”, ta có: \(n\left( A \right) = C_5^4\).
Xác suất để trong \(4\) người được chọn đều là nam: \(P\left( A \right) = \frac{{C_5^4}}{{C_{13}^4}}\).
Từ một hộp chứa \[9\] quả cầu đỏ và \[6\] quả cầu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời \[3\] quả cầu. Xác suất để “lấy được \[3\] quả cầu cùng màu” bằng?
\(\frac{{12}}{{65}}\).
\(\frac{5}{{21}}\).
\(\frac{{24}}{{35}}\).
\(\frac{8}{{35}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Lấy ngẫu nhiên đồng thời \[3\] quả cầu từ \[15\] quả cầu đã cho có \[C_{15}^3 = 455\] cách.
Lấy được \[3\] quả cầu cùng màu từ các quả cầu đã cho có \[C_9^3 + C_6^3 = 104\] cách.
Vậy xác suất để lấy được \[3\] quả cầu cùng màu là \(P = \frac{{104}}{{455}} = \frac{8}{{35}}\).
Tính đạo hàm của hàm số
a) \(f\left( x \right) = 3{x^3} + \frac{2}{{x + 1}} - \sqrt x + 1\). b) \[f\left( x \right) = {2.5^{{{\log }_{25}}x}} + 3\].
Hướng dẫn giải
a) Ta có \(f'\left( x \right) = 9{x^2} - \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{{2\sqrt x }}\).
b) \[f'\left( x \right) = {2.5^{{{\log }_{25}}x}}.\ln 5.{\left( {{{\log }_{25}}x} \right)^\prime } = {2.5^{{{\log }_{25}}x}}.\ln 5.\frac{1}{{x\ln 25}} = {2.5^{{{\log }_{25}}x}}.\ln 5.\frac{1}{{2x\ln 5}} = \frac{{{5^{{{\log }_{25}}x}}}}{x}.\]
Hai người độc lập nhau ném bóng vào rổ. Mỗi người ném vào rổ của mình một quả bóng. Biết rằng xác suất ném bóng vào rổ của từng người tương ứng là \(\frac{1}{5}\) và \(\frac{2}{7}\). Gọi \(A\) là biến cố: “Cả hai cùng ném bóng vào rổ”. Tính xác suất của biến cố \(A\) .
Hướng dẫn giải
Gọi \[A\] là biến cố: “Cả hai cùng ném bóng vào rổ”
Gọi \[X\] là biến cố: “Người thứ nhất ném vào rổ”\( \Rightarrow P\left( X \right) = \frac{1}{5}.\)
Gọi \[Y\] là biến cố: “Người thứ hai ném vào rổ”\( \Rightarrow P\left( Y \right) = \frac{2}{7}.\)
Ta thấy biến cố \[X,Y\] là \[2\] biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:
\(P\left( A \right) = P\left( {X.Y} \right) = P\left( X \right).P\left( Y \right) = \frac{1}{5}.\frac{2}{7} = \frac{2}{{35}}\).
Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 3 (m3). Tỉ số giữa chiều cao của hố (h) và chiều rộng của đáy (y) bằng 4. Biết rằng hố ga chỉ có các mặt bên và mặt đáy (không có nắp). Tính chiều dài của đáy (x) để người thợ tốn ít nguyên vật liệu để xây hố ga. (x, y, h > 0).
Hướng dẫn giải
Thể tích hố được tính là \(V = xyh = 3 = 4x{y^2} \Leftrightarrow x = \frac{3}{{4{y^2}}}\)vì \(h = 4y\).
Vật liệu tốn ít nhất khi diện tích toàn phần cái hố (không nắp) nhỏ nhất
\(S = xy + 2xh + 2yh = \frac{3}{{4y}} + \frac{6}{y} + 8{y^2}\)
\( = \frac{{27}}{{8y}} + \frac{{27}}{{8y}} + 8{y^2} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{27}}{{8y}}.\frac{{27}}{{8y}}.8{y^2}}} = \frac{{27}}{2}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{{27}}{{8y}} = 8{y^2} \Leftrightarrow y = \frac{3}{4} \Leftrightarrow x = \frac{3}{{4{y^2}}} = \frac{4}{3}\left( {\rm{m}} \right)\).
