Bộ 10 đề thi Cuối kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 5
38 câu hỏi
\({\left( {{x^a}} \right)^b} = {x^{ab}}\).
\({\left( {{x^a}} \right)^b} = {x^{a + b}}\).
\({\left( {{x^a}} \right)^b} = {x^{\frac{b}{a}}}\).\
\({\left( {{x^a}} \right)^b} = {x^{{a^b}}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\({\left( {{x^a}} \right)^b} = {x^{ab}}\).
\(\ln \left( {a + b} \right) = \ln a + \ln b\).
\(\ln \left( {ab} \right) = \ln a.\ln b\).
\(\ln \left( {{a^b}} \right) = \ln b.\ln a\).
\(\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b\).
\[y = {2023^x}\].
\[y = {\left( {\sqrt {2024} } \right)^x}\].
\[y = {2025^{ - x}}\].
\[y = {x^{ - 2024}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hàm số không phải hàm số mũ là \[y = {x^{ - 2024}}\].
\(x = 6.\)
\(x = 4.\)
\(x = 1.\)
\(x = 5.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\({\log _3}(x - 4) = 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 > 0\\x - 4 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 4\\x = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5\).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 5.\)
\[P = {x^{\frac{1}{8}}}\].
\[P = {x^2}\].
\[P = \sqrt x \].
\[P = {x^{\frac{2}{9}}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x}\)\( = {x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{6}}}\)\( = {x^{\frac{1}{2}}} = \sqrt x \).
\[32\].
\[36\].
\[24\].
\[48\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({\log _{40}}75 = \frac{{{{\log }_2}75}}{{{{\log }_2}40}} = \frac{{{{\log }_2}3 + 2{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}40}} = \frac{{{{\log }_2}3 + 2\left( {{{\log }_2}40 - 3} \right)}}{{{{\log }_2}40}} = 2 + \frac{{{{\log }_2}3 - 6}}{{3 + {{\log }_2}5}}\).
Suy ra: \(a = 2,\,b = 6,\,c = 3\). Vậy \(abc = 2.6.3 = 36\).
\(\left( { - 1;5} \right)\)
\(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).
\(\left( {5; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(\log \left( {{x^2} - 4x + 5} \right) > 1\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 5 > 0\\{x^2} - 4x + 5 > 10\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 2} \right)^2} + 1 > 0\\\left[ \begin{array}{l}x > 5\\x < - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 5\\x < - 1\end{array} \right.\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\).
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm tại \[{x_0}\] là \[f'\left( {{x_0}} \right)\]. Khẳng định nào sau đây sai?
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( {x + {x_0}} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h}\).
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Dựa vào định nghĩa đạo hàm, ta có đáp án B là đáp án sai.
\(y = f'(x)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).
\(y = f'(x)\left( {x - {x_0}} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\).
\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).
\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).
\(5\).
\( - 1\).
\( - 5\).
\(4\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(f'\left( { - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = 5\).
\(6x.\)
\(2x.\)
\(3{x^2}.\)
\(0.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(y' = {\left( {{x^3}} \right)^\prime } = 3{x^2}\).
\( - \cos x\).
\(\sin x\).
\(\cos x\).
\( - \sin x\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(y' = {\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x\); \(y'' = - \cos x\).
\(y' = \frac{1}{x} + 2x\).
\[y' = - \frac{1}{{{x^2}}} + 2\].
\(y' = \frac{1}{{{x^2}}} + 2\).
\(y' = - \frac{1}{x} + 2x\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(y' = \frac{1}{x} + 2x\).
\(12.\)
\(6\).
\(24.\)
\(4.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(f'\left( x \right) = 3{\left( {x + 1} \right)^2}\); \(f''\left( x \right) = 6\left( {x + 1} \right)\).
Do đó \(f''\left( 1 \right) = 6\left( {1 + 1} \right) = 12\).
\(A'C' \bot BB'\).
\(A'C' \bot BD\).
\(A'C'//AC\).
\(A'C' \bot DD'\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Có \(BB' \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow BB' \bot A'C'\).
Có \(AA'//CC'\) và \(AA' = CC'\)(do cùng song song và bằng \(DD'\)) nên \(AA'C'C\) là hình bình hành. Suy ra \(AC//A'C'\).
\(DD' \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow DD' \bot A'C'\).
\(90^\circ \).
\(60^\circ \).
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \(A'B'//DC\) và \(A'B' = DC\) (do chúng cùng song song và bằng \(AB\)).
Do đó \(A'B'CD\) là hình bình hành, suy ra \(B'C//A'D\).
Khi đó \(\left( {A'B,B'C} \right) = \left( {A'B,A'D} \right) = \widehat {BA'D}\).
Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên các mặt đều là hình vuông.
Do đó \(A'B = BD = A'D\), suy ra \(\Delta A'BD\) là tam giác đều. Suy ra \(\widehat {BA'D} = 60^\circ \).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) như hình vẽ bên
Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng \((ABB'A')\)?
\(AD.\)
\(BB'.\)
\(CC'.\)
\(BD.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Có \(AD \bot AB\) (do \(ABCD\) là hình vuông).
Vì \(AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AA' \bot AD\)mà \(AD \bot AB\) nên \(AD \bot \left( {ABB'A'} \right)\).
\(SA \bot \left( {ABCD} \right)\).
\(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
\(SC \bot \left( {ABCD} \right)\).
\(SB \bot \left( {ABCD} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \(O\) là tâm của hình bình hành \(ABCD\) nên \(O\) là trung điểm của \(AC,BD\).
Vì \(SA = SC\) nên \(\Delta SAC\) cân tại \(S\), \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(SO \bot AC\) (1).
Tương tự \(SO \bot BD\)(2).
Từ (1) và (2), suy ra \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
\(AH \bot \left( {SCD} \right)\).
\(BD \bot \left( {SAC} \right)\).
\(AK \bot \left( {SCD} \right)\).
\(BC \bot \left( {SAC} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Do \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(CD \bot AD\) (1).
Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \(CD \bot \left( {SAD} \right)\)\( \Rightarrow CD \bot AK\) mà \(AK \bot SD\)\( \Rightarrow AK \bot \left( {SCD} \right)\).
\(\left( {SBC} \right) \bot \left( {IHB} \right)\).
\(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).
\(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBC} \right)\).
\(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \[ABC\] là tam giác vuông tại \[A\] nên \(AB \bot AC\).
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AB\) mà \(AB \bot AC\) nên \(AB \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(30^\circ \).
\(90^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Do \[AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( {ACC'A'} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\].
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông, \[SA\] vuông góc với mặt đáy (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SCD} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\] bằng
Góc \[\widehat {SDA}\].
Góc \[\widehat {SCA}\].
Góc \[\widehat {SCB}\].
Góc \[\widehat {ASD}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Có \(CD \bot AD\) (do \(ABCD\) là hình chữ nhật) (1).
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD\)(2).
Từ (1) và (2), suy ra \(CD \bot \left( {SAD} \right)\).
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}CD \bot \left( {SAD} \right)\\\left( {ABCD} \right) \cap \left( {SCD} \right) = CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\left( {ABCD} \right),\left( {SCD} \right)} \right) = \widehat {SDA}\].
SO.
SA.
SB.
SD.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = SO\).
\[a\sqrt 2 \].
\[2a\].
\[a\].
\[a\sqrt 3 \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = SA = 2a\).
\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
\(\frac{{\sqrt 6 }}{2}\).
\(\sqrt 2 \).
\(\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(AB//D'C'\) và \(AB = D'C'\) (cùng song song và bằng \(CD\)).
Do đó \(ABC'D'\) là hình bình hành. Suy ra \(AD'//BC'\)\( \Rightarrow AD'//\left( {BC'D} \right)\).
Do đó \(d\left( {AD',DC'} \right) = d(AD',\left( {BC'D} \right)) = d\left( {A,\left( {BC'D} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {BC'D} \right)} \right) = h\).
Ta có:\(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{C{D^2}}} + \frac{1}{{C{B^2}}} + \frac{1}{{C{{C'}^2}}} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{2}\)\( \Rightarrow h = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Nếu đường thẳng \(a\) cắt một đường thẳng \(d \subset \left( P \right)\) thì góc giữa \(a\) và \(d\) là góc giữa đường thẳng \(a\) và \((P)\).
Nếu đường thẳng \(a\) không vuông góc với \((P)\)thì góc giữa \(a\) và hình chiếu \(a'\) của \(a\) trên \((P)\) gọi là góc giữa đường thẳng \(a\) và \((P)\).
Nếu đường thẳng \(a\) vuông góc với đường thẳng \(d \subset \left( P \right)\) thì góc giữa \(a\) và \(d\) là góc giữa đường thẳng \(a\) và \((P)\).
Nếu đường thẳng \(a\) song song với đường thẳng \(d \subset \left( P \right)\) thì góc giữa \(a\) và \(d\) là góc giữa đường thẳng \(a\) và \((P)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Nếu đường thẳng \(a\) không vuông góc với \((P)\)thì góc giữa \(a\) và hình chiếu \(a'\) của \(a\) trên \((P)\) gọi là góc giữa đường thẳng \(a\) và \((P)\).
\(\arcsin \frac{3}{5}\).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(30^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AD\) là hình chiếu của \(SD\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Do đó góc giữa đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \((ABCD)\)là \(\widehat {SDA}\).
Xét \(\Delta SDA\) vuông tại \(A\), có \(\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SDA} = 60^\circ \).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
![Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC), đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA = 3a/2. Tính số đo góc phẳng nhị diện [S,BC,A]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid10-1767064616.png)
Gọi \(I\) là trung điểm \(BC \Rightarrow AI \bot BC\) (vì \(ABC\) là tam giác đều).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AI\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot SI\).
Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SI \bot BC\\AI \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \widehat {SIA}\).
Mà \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a \Rightarrow AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Xét \(\Delta SAI\) vuông tại \(A\), ta có: \({\rm{tan}}\widehat {SIA} = \frac{{SA}}{{AI}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SIA} = 60^\circ \).
\[P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\].
\[P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) - P\left( B \right)\].
\[P\left( {A \cap B} \right) \ne P\left( A \right).P\left( B \right)\].
\[P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Hai biến cố \[A\] và \[B\] độc lập thì \[P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\].
Độc lập.
Không độc lập.
Xung khắc.
Không xung khắc.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Có \[P(A).P(B) = \frac{1}{3}.\frac{1}{4} = \frac{1}{{12}} \ne P(AB) = \frac{1}{2}\].
Do đó \(A\) và \(B\) không độc lập.
\(\frac{{11}}{{15}}\).
\(\frac{2}{{15}}\).
\(\frac{1}{{15}}\).
\(\frac{{13}}{{15}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \(A,B\) là hai biến cố độc lập nên \(P\left( {A.B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = \frac{1}{3}.\frac{2}{5} = \frac{2}{{15}}\).
\[\frac{4}{{15}}\].
\[\frac{6}{{25}}\].
\[\frac{1}{9}\].
\[\frac{8}{{15}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Số cách chọn 2 bạn trong tổ 1 để phân công trực nhật là \(C_{10}^2 = 45\) cách.
Số cách chọn 1 bạn nam và 1 bạn nữ để phân công trực nhật là \(C_6^1C_4^1 = 24\) cách.
Xác suất để chọn được 1 bạn nam và 1 bạn nữ là \[\frac{{24}}{{45}} = \frac{8}{{15}}\].
\(\left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\).
\(\left\{ {2;5} \right\}\).
\(\left\{ {1;2;4;5} \right\}\).
\(\left\{ {2;3;5;6} \right\}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(A \cup B = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\).
Độc lập.
Không xung khắc.
Xung khắc.
Không rõ.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Có \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right)\)\( \Rightarrow P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{{30}} \ne 0\).
Do đó \(A\) và \(B\) là hai biến cố không xung khắc.
\(\frac{5}{{22}}\).
\(\frac{6}{{11}}\).
\(\frac{5}{{11}}\).
\(\frac{8}{{11}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Số cách lấy ra \(2\) quả cầu trong \(11\) quả là \(C_{11}^2\). Suy ra \(n\left( \Omega \right) = C_{11}^2\).
Gọi \(A\) là biến cố “lấy được \(2\) quả cùng màu”. Suy ra \(n\left( A \right) = C_5^2 + C_6^2\).
Xác suất của biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{{C_5^2 + C_6^2}}{{C_{11}^2}} = \frac{5}{{11}}\).
a) Tính đạo hàm của hàm số \(y = \left( {2x - 1} \right)\sqrt {{x^2} + x} \).
b) Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Xét các hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( {2x} \right)\) và \(h\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( {4x} \right)\). Biết rằng \(g'\left( 1 \right) = 18\) và \(g'\left( 2 \right) = 1000\). Tính hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(h\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = 1\).
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(y' = 2\sqrt {{x^2} + x} + \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}{{2\sqrt {{x^2} + x} }}\)\[ = \frac{{4{x^2} + 4x + 4{x^2} - 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x} }} = \frac{{8{x^2} + 4x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x} }}.\]
Vậy \[y' = \frac{{8{x^2} + 4x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x} }}.\]
b) Ta có \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 2f'\left( {2x} \right)\), \(h'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 4f'\left( {4x} \right)\).
Do \(\left\{ \begin{array}{l}g'\left( 1 \right) = 18\\g'\left( 2 \right) = 1000\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( 1 \right) - 2f'\left( 2 \right) = 18\\f'\left( 2 \right) - 2f'\left( 4 \right) = 1000\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( 1 \right) - 2f'\left( 2 \right) = 18\\2f'\left( 2 \right) - 4f'\left( 4 \right) = 2000\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow f'\left( 1 \right) - 4f'\left( 4 \right) = 2018\).
Vậy \(h'\left( 1 \right) = 2018\) hay hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(h\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = 1\) bằng 2018.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi cạnh \(a\sqrt 2 \), \(\widehat {BAD} = 60^\circ \), \(SA = a\sqrt 3 \) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(M\) là trung điểm của \(SC\).
a) Chứng minh \(BD \bot \left( {SAC} \right)\).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MD\) và \(AB\).
Hướng dẫn giải
a) Do \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BD\).
Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC \bot BD\).
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot SA\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\).
b) Ta có \(AB//DC \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {AB,\,MD} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\,\left( {SCD} \right)} \right).\)
Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) hạ \(AK \bot DC\) tại \(K.\)
Trong \(\left( {SKA} \right)\) hạ \(AH \bot SK\) tại \(H\,\,\left( 1 \right)\).
Khi đó ta có \[\left\{ \begin{array}{l}DC \bot SA\\DC \bot AK\end{array} \right. \Rightarrow DC \bot \left( {SAK} \right) \Rightarrow DC \bot AH\,\left( 2 \right)\,\]
Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right)\) suy ra \(AH \bot \left( {SDC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\,\left( {SDC} \right)} \right) = AH\).
Ta có: \({S_{ABCD}} = AK.DC = AD.AB\sin \widehat {BAD} \Rightarrow AK = a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).
Xét \(\Delta SAK\)vuông tại \(A,\) có\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{4}{{6{a^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}}\)
\(\,\, \Rightarrow AH = a \Rightarrow d\left( {AB,\,MD} \right) = a\).
Hướng dẫn giải
Từ \[101\] đến \[200\] có \[100\] số gồm \[33\] số chia hết cho \[3\], \[33\] số chia cho \[3\] dư \[1\], và \[34\] số chia cho \[3\] dư \[2\].
Ta có \(n\left( \Omega \right) = C_{100}^3\).
\[A\] là biến cố: “Tổng các số ghi trên \[3\] tấm thẻ đó là một số chia hết cho \[3\]”.
TH1: Cả 3 số lấy được đều chia hết cho 3.
TH2: Cả 3 số lấy được đều chia 3 dư 1.
TH3: Cả 3 số lấy được đều chia 3 dư 2.
TH4: 3 số lấy được có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.
Khi đó \(n\left( A \right) = 2C_{33}^3 + C_{34}^3 + C_{34}^1C_{33}^1C_{33}^1\).
Suy ra \(P\left( A \right) = \frac{{817}}{{2450}}.\)
