Bộ 10 đề thi Cuối kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 5
38 câu hỏi
Cho các số thực dương \(x\), \(a\), \(b\). Khẳng định nào dưới đây đúng
\({\left( {{x^a}} \right)^b} = {x^{ab}}\).
\({\left( {{x^a}} \right)^b} = {x^{a + b}}\).
\({\left( {{x^a}} \right)^b} = {x^{\frac{b}{a}}}\).\
\({\left( {{x^a}} \right)^b} = {x^{{a^b}}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\({\left( {{x^a}} \right)^b} = {x^{ab}}\).
Cho \(a\,,\,b > 0\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
\(\ln \left( {a + b} \right) = \ln a + \ln b\).
\(\ln \left( {ab} \right) = \ln a.\ln b\).
\(\ln \left( {{a^b}} \right) = \ln b.\ln a\).
\(\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b\).
Trong các hàm số sau đây hàm số nào không phải là hàm số mũ.
\[y = {2023^x}\].
\[y = {\left( {\sqrt {2024} } \right)^x}\].
\[y = {2025^{ - x}}\].
\[y = {x^{ - 2024}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hàm số không phải hàm số mũ là \[y = {x^{ - 2024}}\].
Giải phương trình .\({\log _3}(x - 4) = 0\)
\(x = 6.\)
\(x = 4.\)
\(x = 1.\)
\(x = 5.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\({\log _3}(x - 4) = 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 > 0\\x - 4 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 4\\x = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5\).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 5.\)
Rút gọn biểu thức \(P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x}\) với \(x > 0\).
\[P = {x^{\frac{1}{8}}}\].
\[P = {x^2}\].
\[P = \sqrt x \].
\[P = {x^{\frac{2}{9}}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x}\)\( = {x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{6}}}\)\( = {x^{\frac{1}{2}}} = \sqrt x \).
Biết \({\log _{40}}75 = a + \frac{{{{\log }_2}3 - b}}{{c + {{\log }_2}5}}\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\) là các số nguyên dương. Giá trị của\(abc\) bằng
\[32\].
\[36\].
\[24\].
\[48\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({\log _{40}}75 = \frac{{{{\log }_2}75}}{{{{\log }_2}40}} = \frac{{{{\log }_2}3 + 2{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}40}} = \frac{{{{\log }_2}3 + 2\left( {{{\log }_2}40 - 3} \right)}}{{{{\log }_2}40}} = 2 + \frac{{{{\log }_2}3 - 6}}{{3 + {{\log }_2}5}}\).
Suy ra: \(a = 2,\,b = 6,\,c = 3\). Vậy \(abc = 2.6.3 = 36\).
Tập nghiệm của bất phương trình \(\log \left( {{x^2} - 4x + 5} \right) > 1\) là
\(\left( { - 1;5} \right)\)
\(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).
\(\left( {5; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(\log \left( {{x^2} - 4x + 5} \right) > 1\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 5 > 0\\{x^2} - 4x + 5 > 10\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 2} \right)^2} + 1 > 0\\\left[ \begin{array}{l}x > 5\\x < - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 5\\x < - 1\end{array} \right.\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\).
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm tại \[{x_0}\] là \[f'\left( {{x_0}} \right)\]. Khẳng định nào sau đây sai?
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( {x + {x_0}} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h}\).
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Dựa vào định nghĩa đạo hàm, ta có đáp án B là đáp án sai.
Nếu hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại \({x_0}\) thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là
\(y = f'(x)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).
\(y = f'(x)\left( {x - {x_0}} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\).
\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).
\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = 5\). Khi đó \(f'\left( { - 1} \right)\)bằng
\(5\).
\( - 1\).
\( - 5\).
\(4\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(f'\left( { - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = 5\).
Đạo hàm của hàm số \(y = {x^3}\) là
\(6x.\)
\(2x.\)
\(3{x^2}.\)
\(0.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(y' = {\left( {{x^3}} \right)^\prime } = 3{x^2}\).
Đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \cos x\) là
\( - \cos x\).
\(\sin x\).
\(\cos x\).
\( - \sin x\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(y' = {\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x\); \(y'' = - \cos x\).
Đạo hàm của hàm số \(y = \ln x + {x^2}\) là
\(y' = \frac{1}{x} + 2x\).
\[y' = - \frac{1}{{{x^2}}} + 2\].
\(y' = \frac{1}{{{x^2}}} + 2\).
\(y' = - \frac{1}{x} + 2x\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(y' = \frac{1}{x} + 2x\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^3}.\) Giá trị của \(f''\left( 1 \right)\) bằng
\(12.\)
\(6\).
\(24.\)
\(4.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(f'\left( x \right) = 3{\left( {x + 1} \right)^2}\); \(f''\left( x \right) = 6\left( {x + 1} \right)\).
Do đó \(f''\left( 1 \right) = 6\left( {1 + 1} \right) = 12\).
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
\(A'C' \bot BB'\).
\(A'C' \bot BD\).
\(A'C'//AC\).
\(A'C' \bot DD'\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Có \(BB' \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow BB' \bot A'C'\).
Có \(AA'//CC'\) và \(AA' = CC'\)(do cùng song song và bằng \(DD'\)) nên \(AA'C'C\) là hình bình hành. Suy ra \(AC//A'C'\).
\(DD' \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow DD' \bot A'C'\).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\), góc giữa hai đường thẳng \(A'B\) và \(B'C\) là
\(90^\circ \).
\(60^\circ \).
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \(A'B'//DC\) và \(A'B' = DC\) (do chúng cùng song song và bằng \(AB\)).
Do đó \(A'B'CD\) là hình bình hành, suy ra \(B'C//A'D\).
Khi đó \(\left( {A'B,B'C} \right) = \left( {A'B,A'D} \right) = \widehat {BA'D}\).
Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên các mặt đều là hình vuông.
Do đó \(A'B = BD = A'D\), suy ra \(\Delta A'BD\) là tam giác đều. Suy ra \(\widehat {BA'D} = 60^\circ \).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) như hình vẽ bên
Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng \((ABB'A')\)?
\(AD.\)
\(BB'.\)
\(CC'.\)
\(BD.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Có \(AD \bot AB\) (do \(ABCD\) là hình vuông).
Vì \(AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AA' \bot AD\)mà \(AD \bot AB\) nên \(AD \bot \left( {ABB'A'} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành tâm \(O\), \(SA = SC,SB = SD\). Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
\(SA \bot \left( {ABCD} \right)\).
\(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
\(SC \bot \left( {ABCD} \right)\).
\(SB \bot \left( {ABCD} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \(O\) là tâm của hình bình hành \(ABCD\) nên \(O\) là trung điểm của \(AC,BD\).
Vì \(SA = SC\) nên \(\Delta SAC\) cân tại \(S\), \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(SO \bot AC\) (1).
Tương tự \(SO \bot BD\)(2).
Từ (1) và (2), suy ra \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình chữ nhật tâm \[I\], cạnh bên \[SA\] vuông góc với đáy. Gọi \[H\], \[K\] lần lượt là hình chiếu của \[A\] lên \[SC\], \[SD\]. Khẳng định nào sau đây đúng?
\(AH \bot \left( {SCD} \right)\).
\(BD \bot \left( {SAC} \right)\).
\(AK \bot \left( {SCD} \right)\).
\(BC \bot \left( {SAC} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Do \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(CD \bot AD\) (1).
Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \(CD \bot \left( {SAD} \right)\)\( \Rightarrow CD \bot AK\) mà \(AK \bot SD\)\( \Rightarrow AK \bot \left( {SCD} \right)\).
Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác vuông tại \[A\], cạnh bên \[SA\] vuông góc với \[\left( {ABC} \right)\]. Gọi \[I\] là trung điểm cạnh \[AC\], \[H\] là hình chiếu của \[I\] trên \[SC\]. Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\left( {SBC} \right) \bot \left( {IHB} \right)\).
\(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).
\(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBC} \right)\).
\(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \[ABC\] là tam giác vuông tại \[A\] nên \(AB \bot AC\).
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AB\) mà \(AB \bot AC\) nên \(AB \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).
Cho hình lập phương\(ABCD.A'B'C'D'\). Tính góc giữa mặt phẳng\(\left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {ACC'A'} \right)\).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(30^\circ \).
\(90^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Do \[AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( {ACC'A'} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\].
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông, \[SA\] vuông góc với mặt đáy (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SCD} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\] bằng
Góc \[\widehat {SDA}\].
Góc \[\widehat {SCA}\].
Góc \[\widehat {SCB}\].
Góc \[\widehat {ASD}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Có \(CD \bot AD\) (do \(ABCD\) là hình chữ nhật) (1).
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD\)(2).
Từ (1) và (2), suy ra \(CD \bot \left( {SAD} \right)\).
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}CD \bot \left( {SAD} \right)\\\left( {ABCD} \right) \cap \left( {SCD} \right) = CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\left( {ABCD} \right),\left( {SCD} \right)} \right) = \widehat {SDA}\].
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi tâm O, SO ⊥ (ABCD). Khi đó khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) là
SO.
SA.
SB.
SD.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = SO\).
Cho hình chóp \[S.ABC\]có \[SA \bot (ABC)\], \[SA = AB = 2a\], tam giác \[ABC\]vuông tại \[B\]. Khoảng cách từ \[S\] đến mặt phẳng \[(ABC)\] bằng:
\[a\sqrt 2 \].
\[2a\].
\[a\].
\[a\sqrt 3 \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = SA = 2a\).
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = 1,BC = 2\), \(AA' = 2\) (tham khảo hình bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AD'\) và \(DC'\) bằng
\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
\(\frac{{\sqrt 6 }}{2}\).
\(\sqrt 2 \).
\(\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(AB//D'C'\) và \(AB = D'C'\) (cùng song song và bằng \(CD\)).
Do đó \(ABC'D'\) là hình bình hành. Suy ra \(AD'//BC'\)\( \Rightarrow AD'//\left( {BC'D} \right)\).
Do đó \(d\left( {AD',DC'} \right) = d(AD',\left( {BC'D} \right)) = d\left( {A,\left( {BC'D} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {BC'D} \right)} \right) = h\).
Ta có:\(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{C{D^2}}} + \frac{1}{{C{B^2}}} + \frac{1}{{C{{C'}^2}}} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{2}\)\( \Rightarrow h = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Khẳng định nào ĐÚNG trong các khẳng định sau:
Nếu đường thẳng \(a\) cắt một đường thẳng \(d \subset \left( P \right)\) thì góc giữa \(a\) và \(d\) là góc giữa đường thẳng \(a\) và \((P)\).
Nếu đường thẳng \(a\) không vuông góc với \((P)\)thì góc giữa \(a\) và hình chiếu \(a'\) của \(a\) trên \((P)\) gọi là góc giữa đường thẳng \(a\) và \((P)\).
Nếu đường thẳng \(a\) vuông góc với đường thẳng \(d \subset \left( P \right)\) thì góc giữa \(a\) và \(d\) là góc giữa đường thẳng \(a\) và \((P)\).
Nếu đường thẳng \(a\) song song với đường thẳng \(d \subset \left( P \right)\) thì góc giữa \(a\) và \(d\) là góc giữa đường thẳng \(a\) và \((P)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Nếu đường thẳng \(a\) không vuông góc với \((P)\)thì góc giữa \(a\) và hình chiếu \(a'\) của \(a\) trên \((P)\) gọi là góc giữa đường thẳng \(a\) và \((P)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) cạnh \(a\), SA vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 3 \). Góc giữa đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \((ABCD)\)bằng
\(\arcsin \frac{3}{5}\).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(30^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AD\) là hình chiếu của \(SD\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Do đó góc giữa đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \((ABCD)\)là \(\widehat {SDA}\).
Xét \(\Delta SDA\) vuông tại \(A\), có \(\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SDA} = 60^\circ \).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và \(SA = \frac{{3a}}{2}\). Tính số đo góc phẳng nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
![Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC), đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA = 3a/2. Tính số đo góc phẳng nhị diện [S,BC,A]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid10-1767064616.png)
Gọi \(I\) là trung điểm \(BC \Rightarrow AI \bot BC\) (vì \(ABC\) là tam giác đều).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AI\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot SI\).
Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SI \bot BC\\AI \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \widehat {SIA}\).
Mà \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a \Rightarrow AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Xét \(\Delta SAI\) vuông tại \(A\), ta có: \({\rm{tan}}\widehat {SIA} = \frac{{SA}}{{AI}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SIA} = 60^\circ \).
Xét phép thử với hai biến cố \[A\] và \[B\] độc lập. Mệnh đề nào sau đây đúng?
\[P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\].
\[P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) - P\left( B \right)\].
\[P\left( {A \cap B} \right) \ne P\left( A \right).P\left( B \right)\].
\[P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Hai biến cố \[A\] và \[B\] độc lập thì \[P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\].
Cho hai biến cố \[A\] và \[B\] có \[P(A) = \frac{1}{3},P(B) = \frac{1}{4},P(AB) = \frac{1}{2}\]. Ta kết luận hai biến cố \[A\] và \[B\] là:
Độc lập.
Không độc lập.
Xung khắc.
Không xung khắc.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Có \[P(A).P(B) = \frac{1}{3}.\frac{1}{4} = \frac{1}{{12}} \ne P(AB) = \frac{1}{2}\].
Do đó \(A\) và \(B\) không độc lập.
Cho hai biến cố độc lập \(A,\;B\) biết \(P\left( A \right) = \frac{1}{3},\;P\left( B \right) = \frac{2}{5}\). Tính \(P\left( {A.B} \right)\)?
\(\frac{{11}}{{15}}\).
\(\frac{2}{{15}}\).
\(\frac{1}{{15}}\).
\(\frac{{13}}{{15}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \(A,B\) là hai biến cố độc lập nên \(P\left( {A.B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = \frac{1}{3}.\frac{2}{5} = \frac{2}{{15}}\).
Tổ \(1\) của lớp 11A có 10 học sinh gồm 6 nam và 4 nữ. Cần chọn ra 2 bạn trong tổ 1 để phân công trực nhật. Xác suất để chọn được 1 bạn nam và 1 bạn nữ là
\[\frac{4}{{15}}\].
\[\frac{6}{{25}}\].
\[\frac{1}{9}\].
\[\frac{8}{{15}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Số cách chọn 2 bạn trong tổ 1 để phân công trực nhật là \(C_{10}^2 = 45\) cách.
Số cách chọn 1 bạn nam và 1 bạn nữ để phân công trực nhật là \(C_6^1C_4^1 = 24\) cách.
Xác suất để chọn được 1 bạn nam và 1 bạn nữ là \[\frac{{24}}{{45}} = \frac{8}{{15}}\].
Cho phép thử có không gian mẫu \(\Omega = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\). Cho biến cố \(A = \left\{ {1;2;4;5} \right\}\), biến cố \(B = \left\{ {2;3;5;6} \right\}\). Biến cố \(A \cup B\)bằng
\(\left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\).
\(\left\{ {2;5} \right\}\).
\(\left\{ {1;2;4;5} \right\}\).
\(\left\{ {2;3;5;6} \right\}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(A \cup B = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\).
Cho hai biến cố \[A\] và \[B\] có \[P(A) = \frac{1}{3},P(B) = \frac{1}{5},P(A \cup B) = \frac{1}{2}\]. Ta kết luận hai biến cố \[A\] và \[B\] là:
Độc lập.
Không xung khắc.
Xung khắc.
Không rõ.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Có \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right)\)\( \Rightarrow P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{{30}} \ne 0\).
Do đó \(A\) và \(B\) là hai biến cố không xung khắc.
Một hộp chứa \[11\] quả cầu gồm \(5\) quả màu xanh và \(6\) quả cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời \(2\) quả cầu từ hộp đó. Xác suất để \(2\) quả cầu chọn ra cùng màu bằng
\(\frac{5}{{22}}\).
\(\frac{6}{{11}}\).
\(\frac{5}{{11}}\).
\(\frac{8}{{11}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Số cách lấy ra \(2\) quả cầu trong \(11\) quả là \(C_{11}^2\). Suy ra \(n\left( \Omega \right) = C_{11}^2\).
Gọi \(A\) là biến cố “lấy được \(2\) quả cùng màu”. Suy ra \(n\left( A \right) = C_5^2 + C_6^2\).
Xác suất của biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{{C_5^2 + C_6^2}}{{C_{11}^2}} = \frac{5}{{11}}\).
a) Tính đạo hàm của hàm số \(y = \left( {2x - 1} \right)\sqrt {{x^2} + x} \).
b) Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Xét các hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( {2x} \right)\) và \(h\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( {4x} \right)\). Biết rằng \(g'\left( 1 \right) = 18\) và \(g'\left( 2 \right) = 1000\). Tính hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(h\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = 1\).
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(y' = 2\sqrt {{x^2} + x} + \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}{{2\sqrt {{x^2} + x} }}\)\[ = \frac{{4{x^2} + 4x + 4{x^2} - 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x} }} = \frac{{8{x^2} + 4x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x} }}.\]
Vậy \[y' = \frac{{8{x^2} + 4x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x} }}.\]
b) Ta có \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 2f'\left( {2x} \right)\), \(h'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 4f'\left( {4x} \right)\).
Do \(\left\{ \begin{array}{l}g'\left( 1 \right) = 18\\g'\left( 2 \right) = 1000\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( 1 \right) - 2f'\left( 2 \right) = 18\\f'\left( 2 \right) - 2f'\left( 4 \right) = 1000\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( 1 \right) - 2f'\left( 2 \right) = 18\\2f'\left( 2 \right) - 4f'\left( 4 \right) = 2000\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow f'\left( 1 \right) - 4f'\left( 4 \right) = 2018\).
Vậy \(h'\left( 1 \right) = 2018\) hay hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(h\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = 1\) bằng 2018.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi cạnh \(a\sqrt 2 \), \(\widehat {BAD} = 60^\circ \), \(SA = a\sqrt 3 \) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(M\) là trung điểm của \(SC\).
a) Chứng minh \(BD \bot \left( {SAC} \right)\).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MD\) và \(AB\).
Hướng dẫn giải
a) Do \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BD\).
Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC \bot BD\).
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot SA\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\).
b) Ta có \(AB//DC \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {AB,\,MD} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\,\left( {SCD} \right)} \right).\)
Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) hạ \(AK \bot DC\) tại \(K.\)
Trong \(\left( {SKA} \right)\) hạ \(AH \bot SK\) tại \(H\,\,\left( 1 \right)\).
Khi đó ta có \[\left\{ \begin{array}{l}DC \bot SA\\DC \bot AK\end{array} \right. \Rightarrow DC \bot \left( {SAK} \right) \Rightarrow DC \bot AH\,\left( 2 \right)\,\]
Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right)\) suy ra \(AH \bot \left( {SDC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\,\left( {SDC} \right)} \right) = AH\).
Ta có: \({S_{ABCD}} = AK.DC = AD.AB\sin \widehat {BAD} \Rightarrow AK = a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).
Xét \(\Delta SAK\)vuông tại \(A,\) có\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{4}{{6{a^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}}\)
\(\,\, \Rightarrow AH = a \Rightarrow d\left( {AB,\,MD} \right) = a\).
Trong một hộp có \[100\] tấm thẻ được đánh số từ \[101\] đến \[200\] (mỗi tấm thẻ được đánh một số khác nhau). Lấy ngẫu nhiên đồng thời \[3\] tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất để tổng các số ghi trên \[3\] tấm thẻ đó là một số chia hết cho \[3\].
Hướng dẫn giải
Từ \[101\] đến \[200\] có \[100\] số gồm \[33\] số chia hết cho \[3\], \[33\] số chia cho \[3\] dư \[1\], và \[34\] số chia cho \[3\] dư \[2\].
Ta có \(n\left( \Omega \right) = C_{100}^3\).
\[A\] là biến cố: “Tổng các số ghi trên \[3\] tấm thẻ đó là một số chia hết cho \[3\]”.
TH1: Cả 3 số lấy được đều chia hết cho 3.
TH2: Cả 3 số lấy được đều chia 3 dư 1.
TH3: Cả 3 số lấy được đều chia 3 dư 2.
TH4: 3 số lấy được có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.
Khi đó \(n\left( A \right) = 2C_{33}^3 + C_{34}^3 + C_{34}^1C_{33}^1C_{33}^1\).
Suy ra \(P\left( A \right) = \frac{{817}}{{2450}}.\)
