Bộ 10 đề thi Cuối kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 10
38 câu hỏi
Cho \[a\] là số thực dương tùy ý, \[\frac{{{a^{\frac{2}{3}}}.{a^{\frac{3}{4}}}}}{{\sqrt[6]{a}}}\] bằng
\[{a^{\frac{1}{3}}}\].
\[{a^{\frac{5}{4}}}\].
\[{a^{\frac{3}{4}}}\].
\[{a^{\frac{4}{5}}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\[\frac{{{a^{\frac{2}{3}}}.{a^{\frac{3}{4}}}}}{{\sqrt[6]{a}}} = \frac{{{a^{\frac{{17}}{{12}}}}}}{{{a^{\frac{1}{6}}}}} = {a^{\frac{5}{4}}}\].
Cho hai số dương \[a,b(a \ne 1)\]. Mệnh đề nào dưới đây SAI?
\[{\log _a}{a^\alpha } = \alpha \].
\[{\log _a}1 = 0\].
\[{\log _a}a = 2a\].
\({\log _{{a^\alpha }}}b = \frac{1}{\alpha }{\log _a}b\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\[{\log _a}a = 1.\]
Với a là số thực dương tùy ý, log5 a2
2 log5a
2 + log5a
12 + log5a
12 log5a
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \({\log _5}{a^2} = 2{\log _5}a\).
Nếu loga x = 12 loga9 - loga5 + loga2 ( a>0, a ≠1)thì x bằng
25
35
65
3
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó?
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hàm số y= logax đồng biến khi a > 1. Do đó chọn đáp án D.
Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức \(S = A.{e^{rt}}\), trong đó \(A\) là số lượng vi khuẩn ban đầu, \(r\) là tỉ lệ tăng trưởng \(\left( {r > 0} \right)\), \(t\) là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Để số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi thì thời gian tăng trưởng \(t\) gần với kết quả nào sau đây nhất.
3 giờ 9 phút.
3 giờ 2 phút.
3 giờ 16 phút.
3 giờ 30 phút.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Trước tiên, ta tìm tỉ lệ tăng trưởng mỗi giờ của loài vi khuẩn này.
Từ giả thiết, ta có: \(300 = 100.{e^{5r}} \Leftrightarrow {e^{5r}} = 3 \Leftrightarrow 5r = \ln 3 \Leftrightarrow r = \frac{{\ln 3}}{5} \approx 0,2197\).
Tức là tỉ lệ tăng trưởng của loại vi khuẩn này là 21,97% mỗi giờ.
Từ 100 con để có 200 con thì thời gian cần thiết là bao nhiêu?
Ta có \(200 = 100.{e^{rt}} \Leftrightarrow rt = \ln 2 \Leftrightarrow t = \frac{{\ln 2}}{r} = \frac{{\ln 2}}{{\frac{{\ln 3}}{5}}} \approx 3,15\) (giờ) = 3 giờ 9 phút.
Nghiệm của phương trình \[{\log _{2023}}\left( {2024x} \right) = 0\] là:
\(x = \frac{1}{{2024}}\).
\(x = 2024\).
\(x = {2023^{2024}}\).
\(x = 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\[{\log _{2023}}\left( {2024x} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\2024x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{1}{{2024}}.\]
Số nghiệm của phương trình \({3^{{x^2} - x}} = 9\) là
\(2.\)
\(0.\)
\(1.\)
\(3.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\({3^{{x^2} - x}} = 9\)\( \Leftrightarrow {3^{{x^2} - x}} = {3^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} - x = 2\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 1\end{array} \right.\).
Vậy phương trình có 2 nghiệm.
Bất phương trình \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{{x^2} - 4x - 12}} > 1\) có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên?
\(3.\)
\(5.\)
\(7.\)
Vô số.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{{x^2} - 4x - 12}} > 1\)\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{{x^2} - 4x - 12}} > {\left( {\frac{1}{3}} \right)^0}\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 12 < 0\)\( \Leftrightarrow - 2 < x < 6\).
Vì \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { - 1;0;1;2;3;4;5} \right\}\).
Cho hàm số \[y = f(x)\] xác định trên \[\mathbb{R}\] thỏa mãn\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) - f(3)}}{{x - 3}} = 2\] . Kết quả đúng là:
\[f'(2) = 3\].
\[f'(x) = 2\].
\[f'(3) = 2\].
\[f'(x) = 3\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\[f'\left( 3 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) - f(3)}}{{x - 3}} = 2\].
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm\({M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right){\rm{\;l\`a }}\)
\(f\left( {{x_0}} \right)\).
\(f'\left( {{x_0}} \right)\).
\(f\left( x \right)\).
\({x_0}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\;\) là\(f'\left( {{x_0}} \right)\).
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 2x\;\)tại điểm\({\rm{\;}}{x_{0\;}} = 1{\rm{\;l\`a }}\):
\(y = 4x + 2\).
\({\rm{\;}}y = 4x\).
\(y = 4x - 4\).
\(y = 4x - 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Có \(y' = 2x + 2\; \Rightarrow y'\left( 1 \right) = 4\).
Với \({x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = 3\).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là: \(y = 4\left( {x - 1} \right) + 3 = 4x - 1\).
Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(s = {t^3} - 3{t^2} - 9t + 2\) (\(t\) tính bằng giây, \(s\) tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng?
Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi \(t = 0\) hoặc \(t = 2\).
Vận tốc của chuyển động tại thời điểm \(t = 2\) là \(v = 18{\rm{m/s}}\).
Gia tốc của chuyển động tại thời điểm \(t = 3\) là \(a = 12{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}\).
Gia tốc của chuyển động bằng 0 khi \(t = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Có \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t - 9\); \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 6t - 6.\)
Vận tốc của chuyển động bằng 0 thì \(3{t^2} - 6t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 3\).
\(v\left( 2 \right) = {3.2^2} - 6.2 - 9 = - 9{\rm{m/s}}\).
\(a\left( 3 \right) = 6.3 - 6 = 12{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}.\)
Gia tốc bằng 0 khi \(6t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1\).
Hàm số có đạo hàm trên \[\mathbb{R}\] đạo hàm của hàm số \[y = {x^n}\,\,\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\] là
\[{\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{x^{n - 1}}\].
\[{\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{x^{n + 1}}\].
\(y' = {x^{n - 1}}\).
\[y = {x^n}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\[y' = {\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{x^{n - 1}}\].
Quy tắc tính đạo hàm nào sau đây là đúng?
\({\left( {u + v} \right)^\prime } = u' + v'\).
\({\left( {u + v} \right)^\prime } = u'v + uv'\).
\({\left( {u + v} \right)^\prime } = u' - v'\).
\({\left( {u + v} \right)^\prime } = u'v - uv'\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \({\left( {u + v} \right)^\prime } = u' + v'\).
Đạo hàm của hàm số \(y = {11^x}\) là
\(y' = {11^x}\ln 11\).
\(y' = \frac{{{{11}^x}}}{{\ln 11}}\).
\(y' = x{.11^{x - 1}}\).
\(y' = {11^x}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(y' = {\left( {{{11}^x}} \right)^\prime } = {11^x}\ln 11\).
Hàm số \[y = \cos x\] có đạo hàm cấp 2 là:
\[y'' = - \sin x\].
\[y'' = - \cos x\].
\[y'' = \sin x\].
\[y'' = \frac{1}{{\cos x}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\[y' = {\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x\]; \[y'' = {\left( { - \sin x} \right)^{\prime \prime }} = - \cos x\].
Hàm số \(y = 2{x^5}\) có đạo hàm là
\(y' = 5{x^6}\).
\(y' = 10{x^5}\).
\(y' = 5x\).
\(y' = 10{x^4}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Có \(y' = {\left( {2{x^5}} \right)^\prime } = 10{x^4}\).
Cho hàm số \[f(x) = {x^3} + 2x\], giá trị của \[f''(1)\] bằng:
\[8\].
\[2\].
\[6\].
\[3\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Có \[f'(x) = {\left( {{x^3} + 2x} \right)^\prime } = 3{x^2} + 2;f''\left( x \right) = 6x\].
Do đó \[f''\left( 1 \right) = 6.1 = 6\].
Bạn Minh gieo một con xúc xắc cân đối, đồng nhất. Cho biết không gian mẫu \[\Omega \] ?
\[\Omega = \{ 1;2;3;4;5;6\} \].
\[\Omega = \{ 1;6\} \].
\[\Omega = \{ 1\} \].
\[\Omega = \{ 6\} \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\[\Omega = \{ 1;2;3;4;5;6\} \].
Xét phép thử gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Gọi\[A\] là biến cố “Lần đầu xuất hiện mặt 6 chấm” và \[B\]là biến cố “Lần thứ hai xuất hiện mặt 6 chấm”. Khẳng định nào sau đây SAI?
\[A\] và \[B\]là hai biến cố độc lập.
\[A \cap B\] là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện của hai lần gieo bằng 12”
\[A \cup B\]là biến cố “ Ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm”
\[A\] và \[B\]là hai biến cố xung khắc.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đáp án sai là D: \[A\] và \[B\]là hai biến cố xung khắc.
Gieo hai con xúc xắc cân đối đồng chất. Gọi X là biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên hai mặt con súc sắc là số lẻ”. Tính xác suất của X.
\[\frac{1}{3}\].
\[\frac{1}{5}\].
\[\frac{1}{4}\].
\[\frac{1}{2}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Gọi A là biến cố: “Con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt lẻ” \( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{1}{2}\).
B là biến cố: “Con xúc xắc thứ hai xuất hiện mặt lẻ” \( \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{1}{2}\).
C là biến cố: “Tích số chấm xuất hiện trên hai mặt con súc sắc là số lẻ”.
Có \(C = A.B\) mà \(A,B\) là hai biến cố độc lập nên
\(P\left( C \right) = P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = \frac{1}{4}\).
Cho hai biến cố\[A\]và \[B\] độc lập với nhau. Biết \(P\left( A \right) = 0,5;P\left( {AB} \right) = 0,15\). Tính xác suất của biến cố \[A \cup B\].
\[0,65\].
\[0,3\].
\[0,15\].
\[0,45\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \[A\] và \[B\]là hai biến cố độc lập nên \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right) \Rightarrow P\left( B \right) = 0,3\).
Có \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0,5 + 0,3 - 0,15 = 0,65.\)
Bạn Toàn gieo một con xúc xắc cân đối, đồng nhất. Gọi biến cố A “Số chấm trên mặt xuất hiện nhỏ hơn 3” và biến cố B “Số chấm trên mặt xuất hiện lớn hơn 3”. Chọn mệnh đề đúng?
\[P(A \cup B) = \frac{5}{6}.\]
\[P(A \cup B) = 1.\]
\[P(A \cup B) = 1.\]
\[P(A \cup B) = \frac{2}{3}.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Có \(A = \left\{ {1;2} \right\}\)\( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{1}{3}\);
\(B = \left\{ {4;5;6} \right\} \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{1}{2}\).
Vì \(A,B\) là hai biến cố xung khắc nên \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}\).
Trong một lớp học có\[15\] học sinh nam và \[10\] học sinh nữ. Giáo viên gọi \[4\] học sinh lên bảng làm bài tập. Tính xác suất để \[4\] học sinh lên bảng có cả nam và nữ.
\[\frac{{400}}{{501}}\].
\[\frac{{307}}{{506}}\].
\[\frac{{443}}{{501}}\].
\[\frac{{443}}{{506}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = C_{25}^4 = 12650\).
Gọi A là biến cố: “\[4\] học sinh lên bảng có cả nam và nữ”.
TH1: Có 1 nam 3 nữ \( \Rightarrow C_{15}^1.C_{10}^3 = 1800\) cách
TH2: Có 2 nam 2 nữ \( \Rightarrow C_{15}^2.C_{10}^2 = 4725\) cách
TH3: Có 3 nam 1 nữ \( \Rightarrow C_{15}^3.C_{10}^1 = 4550\) cách.
Do đó \(n\left( A \right) = 11075\) cách.
Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{11075}}{{12650}} = \frac{{443}}{{506}}.\)
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
Góc giữa hai đường thẳng \[m\] và \[n\] bằng góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[b\] cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với \[m\] và \[n\].
Góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[b\] bất kì luôn là góc tù.
Góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[b\] bất kì luôn là góc nhọn.
Góc giữa hai đường thẳng \[m\] và \[n\] bằng góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[b\] tương ứng song song với \[m\] và \[n\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Góc giữa hai đường thẳng \[m\] và \[n\] bằng góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[b\] cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với \[m\] và \[n\].
Cho hình chóp \[S.ABC\]có \[SA \bot (ABC)\]và \[H\] là hình chiếu vuông góc \[S\] của lên \[BC\]. Hãy chọn khẳng định đúng?
\[BC \bot AC\].
\[BC \bot AB\].
\[BC \bot SC\].
\[BC \bot AH\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \[H\] là hình chiếu vuông góc \[S\] của lên \(BC\) nên \(SH \bot BC\) (1).
Mà \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(BC \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BC \bot AH\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông, cạnh bên \[SA\] vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) (như hình vẽ minh hoạ). Hãy chọn khẳng định đúng.
\(CD \bot (SAB)\).
\(BC \bot (SAC)\).
\(AC \bot (SBD)\).
\(BC \bot (SAB)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(BC \bot AB\)(1).
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) (2).
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\).
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\) ?
\((BCD'A').\)
\((ADC'B').\)
\((A'B'C'D').\)
\((ADD'A').\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật nên \(\left( {ADD'A'} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\).
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\)vuông góc với nhau. Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
(1) Góc giữa hai mặt phẳng là \(90^\circ \).
(2) Mọi đường thẳng trong \(\left( P \right)\) đều vuông góc với \(\left( Q \right)\).
(3) Tồn tại đường thẳng trong \(\left( Q \right)\)vuông góc với \(\left( P \right)\).
(4) Nếu \(\left( R \right)\)vuông góc với \(\left( Q \right)\)thì \(\left( R \right)\)song song với \(\left( P \right)\).
(5) Nếu mặt phẳng \(\left( R \right)\)vuông góc với \(\left( P \right),\left( R \right)\)vuông góc với \(\left( Q \right)\)thì \(\left( R \right)\)vuông góc với giao tuyến của \(\left( P \right)\)và \(\left( Q \right)\).
3.
4.
1.
5.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Mệnh đề thứ nhất đúng theo định nghĩa về góc.
Mệnh đề thứ hai sai và mệnh đề thứ ba đúng theo định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc.
Mệnh đề thứ tư sai vì \[\left( R \right)\] có thể trùng với \[\left( Q \right)\].
Mệnh đề thứ năm đúng theo tính chất hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng sẽ vuông góc với mặt phẳng ấy.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA \bot (ABCD),\)\(AB = a\) và \(SB = \sqrt 2 a.\) Khoảng cách từ điểm \(S\) đến mặt phẳng \((ABCD)\) bằng
\(a.\)
\(\sqrt 2 a.\)
\(2a.\)
\(\sqrt 3 a.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = SA\).
Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A,\) có \(SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} = \sqrt {2{a^2} - {a^2}} = a\).
Cho tứ diện đều \[ABCD\] có cạnh bằng \(a\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \[AB\] và \[CD\] bằng:
\[\frac{a}{2}\].
\[\frac{{\sqrt 2 a}}{2}\].
\[\frac{{\sqrt 3 a}}{2}\].
\[a\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Gọi \(K\) là trung điểm \(CD\). Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AK\\CD \bot BK\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {ABK} \right).\]
Dựng \[HK \bot AB \Rightarrow HK = d\left( {AB;CD} \right).\]
Xét tam giác \(BHK\) vuông tại \(H\), ta có
\[HK = \sqrt {B{K^2} - B{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\] Vậy \[d\left( {AB,CD} \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\]
Cho hình chóp S.ABC có SC vuông góc với (ABC) . Góc giữa SA với (ABC) là góc giữa:
\[SA\] và \[AB\].
\[SA\] và \[SC\].
\[SB\] và \[BC\].
\[SA\] và \[AC\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì nên là hình chiếu của \(SC \bot \left( {ABC} \right)\)\(SA\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Do đó góc giữa với là góc giữa hai đường thẳng \[SA\] và \[AC\].
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông cạnh a. \[SA = a\sqrt 2 \] và \(SA \bot (ABCD).\) Tính góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
\(30^\circ .\)
\(45^\circ .\)
\(60^\circ .\)
\(90^\circ \) .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \(SA \bot (ABCD)\) nên \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Do đó góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\widehat {SCA}\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh a nên \(AC = a\sqrt 2 \).
Xét \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\), có \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = 1 \Rightarrow \widehat {SCA} = 45^\circ .\)
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và \(SA = \frac{{3a}}{2}\). Tính số đo góc phẳng nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\).
\(30^\circ .\)
\(45^\circ .\)
\(60^\circ .\)
\(90^\circ \) .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
![Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC), đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA =3a/2. Tính số đo góc phẳng nhị diện [S,BC,A]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid4-1767086526.png)
Gọi \(I\) là trung điểm \(BC \Rightarrow AI \bot BC\) (vì \(ABC\) là tam giác đều).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AI\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot SI\).
Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SI \bot BC\\AI \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \widehat {SIA}\).
Mà \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a \Rightarrow AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Xét \(\Delta SAI\) vuông tại \(A\), ta có: \({\rm{tan}}\widehat {SIA} = \frac{{SA}}{{AI}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SIA} = 60^\circ \).
a) Tính đạo hàm của hàm số\[y = \sqrt {2x + 3} \].
b) Một con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát, có phương trình chuyển động \(x = 4\cos \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) + 3\), trong đó \(t\) tính bằng giây và \(x\) tính bằng centimét. Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời của con lắc bằng 0 .
Hướng dẫn giải
a) \[y' = \frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {2x + 3} }} = \frac{1}{{\sqrt {2x + 3} }}\].
b) Vận tốc tức thời của con lắc là \(v(t) = x'(t) = - 4\pi \,\sin \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\) (m/s).
Khi vận tốc tức thời của con lắc bằng 0 thì
\(\begin{array}{l} - 4\pi \,\sin \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \pi t - \frac{{2\pi }}{3} = k\pi \,(k \in \mathbb{N})\\ \Leftrightarrow \pi t = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \,(k \in \mathbb{N}) \Leftrightarrow t = \frac{2}{3} + k\,(k \in \mathbb{N})\end{array}\)
Vậy khi \(t = \frac{2}{3} + k\,(k \in \mathbb{N})\)thì vận tốc con lắc bằng 0.
Một thầy giáo có 20 quyển sách khác nhau gồm 7 quyển sách Toán, 5 quyển sách Lí và 8 quyển sách Hóa. Thầy giáo lấy ngẫu nhiên ra 9 quyển sách để tặng cho học sinh. Tính xác suất để thầy giáo để sau khi tặng số sách còn lại của thầy có đủ 3 môn?
Hướng dẫn giải
Số cách chọn 9 quyển sách bất kì từ 20 quyển sách bằng: \(n\left( \Omega \right) = C_{20}^9 = 167960\).
Gọi A là biến cố sau khi tặng số sách còn lại của thầy giáo đủ ba môn
Suy ra \(\overline A \) là biến cố sau khi tặng số sách còn lại không đủ cả 3 môn (đồng nghĩa thầy giáo tặng hết một loại sách)
\(n\left( {\overline A } \right) = C_7^7.C_{13}^2 + C_5^5.C_{15}^4 + C_8^8.C_{12}^1 = 1455\).
Vậy \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{{n\left( {\overline A } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = 1 - \frac{{1455}}{{167960}} = \frac{{33301}}{{33592}}\).
Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[SA\] vuông góc với đáy; \[SA = a\sqrt 3 \]. Tam giác\[ABC\] đều cạnh \[a\]. Gọi \[I\]là trung điểm của \[AB\].
a) Chứng minh \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).
b) Tính khoảng cách \[SB\] và \[CI\].
Hướng dẫn giải
a) Vì \(\Delta ABC\) đều, \(I\) là trung điểm của \(AB\) nên \(CI \bot AB\).
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot CI\).
Ta có: \(CI \bot AB\) và \(CI \bot SA\)
\( \Rightarrow CI \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow \left( {ABC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).
b) Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(IH \bot SB\) tại \(H\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}IH \bot SB\\IH \bot CI{\rm{ }}\left( {CI \bot \left( {SAB} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {SB;CI} \right) = IH\).
Ta có \(IB = \frac{a}{2};SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = 2a\).
\(\Delta IHB\) vuông tại \(H\) nên:\(IH = IB.\sin \widehat {IBH} = \frac{a}{2}.\frac{{SA}}{{SB}} = \frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{{2a}} = \frac{{\sqrt 3 a}}{4}\).
