Bộ 10 đề thi Cuối kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 4
38 câu hỏi
Với \[a\] là số thực dương tùy ý, biểu thức \[{a^{\frac{5}{3}}}.{a^{\frac{1}{3}}}\] là:
\[{a^{\frac{4}{3}}}\].
\[{a^{\frac{5}{9}}}\].
\[{a^2}\].
\[{a^5}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Có \[{a^{\frac{5}{3}}}.{a^{\frac{1}{3}}} = {a^{\frac{5}{3} + \frac{1}{3}}} = {a^2}\].
Cho \(a\) là số thực dương khác \[1\]. Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số dương \(x,{\rm{ }}y\)?
\({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y\).
\({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}\left( {x - y} \right)\).
\({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x + {\log _a}y\).
\({\log _a}\frac{x}{y} = \frac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_a}y}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y\).
Tính \({\log _2}4 = ?\)
\[\frac{1}{2}\].
\[2\].
\[1\].
\[ - 2\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\({\log _2}4 = {\log _2}{2^2} = 2\).
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó?
\(y = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}\).
\(y = {\left( {\frac{{\rm{e}}}{\pi }} \right)^x}\).
\(y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}\).
\(y = {\left( {0,5} \right)^x}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến khi \(a > 1\).
Mà \(\sqrt 2 > 1\) nên \(y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}\) là hàm đồng biến.
Trong các hình sau, hình nào là dạng đồ thị của hàm số \(y = {\log _a}x,0 < a < 1\)
(I).
(II).
(IV)
(III).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Đồ thị của hàm số \(y = {\log _a}x,0 < a < 1\) là hình IV.
Cho \[{\log _{27}}5 = a,{\rm{ }}{\log _8}7 = b,{\rm{ lo}}{g_2}3 = c\]. Tính \[{\log _{12}}35\] bằng:
\[\frac{{3b + 3ac}}{{c + 2}}\].
\[\frac{{3b + 2ac}}{{c + 2}}\].
\[\frac{{3b + 2ac}}{{c + 3}}\].
\[\frac{{3b + 3ac}}{{c + 1}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Có \[{\log _{27}}5 = a \Rightarrow {\log _3}5 = 3a,{\rm{ }}{\log _8}7 = b \Rightarrow {\log _2}7 = 3b\].
Có \[{\log _{12}}35 = \frac{{{{\log }_2}35}}{{{{\log }_2}12}} = \frac{{{{\log }_2}5 + {{\log }_2}7}}{{{{\log }_2}4 + {{\log }_2}3}} = \frac{{{{\log }_2}3.{{\log }_3}5 + {{\log }_2}7}}{{{{\log }_2}4 + {{\log }_2}3}}\].
Do đó \[{\log _{12}}35 = \frac{{3ac + 3b}}{{2 + c}}\].
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)\)
\(D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\).
\(D = \left[ { - 1;3} \right]\).
\(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).
\(D = \left( { - 1;3} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)\) xác định khi \({x^2} - 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 3\end{array} \right.\).
Do đó tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).
Giá trị nào sau đây là nghiệm của bất phương trình \[{2^x} < 4\]
\[x = 1\].
\[x = 2\].
\[x = 3\].
\[x = 4\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \[{2^x} < 4\]\( \Leftrightarrow {2^x} < {2^2} \Leftrightarrow x < 2\).
Do đó ta chọn đáp án A.
Phương trình \[{\log _2}x + {\log _2}(x - 1) = 1\] có tập nghiệm là:
\[S = \left\{ {1;3} \right\}\].
\[S = \left\{ 1 \right\}\].
\[S = \left\{ 2 \right\}\].
\[S = \left\{ { - 1;3} \right\}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Điều kiện: \(x > 1\).
\[{\log _2}x + {\log _2}(x - 1) = 1\]\[ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {x(x - 1)} \right] = 1\]\[ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) = 2\]\[ \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 1\end{array} \right.\].
Kết hợp điều kiện, ta có \(x = 2\) là nghiệm của phương trình.
Cho hàm số \[y = f(x)\] xác định trên \[\mathbb{R}\] thỏa mãn\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = 2\]. Kết quả đúng là:
\[f'(2) = 3\].
\[f'(x) = 2\].
\[f'(2) = 2\].
\[f'(x) = 3\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\[f'\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = 2.\]
Đạo hàm của hàm số \(y = {x^2}\) là
\(2x.\)
\(0\)
\(1\).
\(2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(y' = {\left( {{x^2}} \right)^\prime } = 2x\).
Đạo hàm của hàm số \(y = \sin x\) là
\(\cos x.\)
\( - \cos x\).
\(\tan x\).
\( - \cot x\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(y' = {\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x\).
Đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = {x^3}\) là
\(6x.\)
\(2x.\)
\(3{x^2}.\)
\(0.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(y' = {\left( {{x^3}} \right)^\prime } = 3{x^2}\);\(y'' = {\left( {3{x^2}} \right)^\prime } = 6x\).
Cho \(f\left( x \right) = 201\). Tính \(f''\left( x \right)\).
\[f''\left( x \right) = 2\].
\[f''\left( x \right) = x\].
\[f''\left( x \right) = 0\].
\[f''\left( x \right) = 1\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Có \(f'\left( x \right) = {\left( {201} \right)^\prime } = 0 \Rightarrow f''\left( x \right) = 0\).
Cho hàm số\(y = f(x) = {x^2} + x + 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\), hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \(M(1;3) \in (C)\)có hệ số góc là
\[ - 3\]
\[3\].
\[ - 2\].
\[2\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Có \(y' = f'(x) = 2x + 1\).
Hệ số góc của tiếp tuyến tuyến tại điểm \(M(1;3) \in (C)\) là: \(f'\left( 1 \right) = 3\).
Một chất điểm chuyển động theo phương trình \(s\left( t \right) = {t^2}\), trong đó \(t > 0,\) \(t\) tính bằng giây và \(s\left( t \right)\) tính bằng mét. Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm \(t = 2\) giây.
\(2{\rm{m/s}}{\rm{.}}\)
\({\rm{3m/s}}{\rm{.}}\)
\({\rm{4m/s}}{\rm{.}}\)
\({\rm{5m/s}}{\rm{.}}\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 2t\).
Khi đó \(v\left( 2 \right) = 2.2 = 4\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + x\;\)tại điểm \({x_0} = 1\) là
\(2\).
\(4\).
\(1\).
\[3\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Có \(f'\left( x \right) = {\left( {{x^2} + x\;} \right)^\prime } = 2x + 1\).
Ta có \(f'\left( 1 \right) = 2.1 + 1 = 3\).
Đạo hàm cấp hai của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{4}{5}{x^5} - 3{x^2} - x + 4\) là:
\(16{x^3} - 6x\).
\(4{x^3} - 6\).
\(16{x^3} - 6\).
\(16{x^2} - 6\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(f'\left( x \right) = 4{x^4} - 6x - 1;f''\left( x \right) = 16{x^3} - 6.\)
Nếu \(A\)và \(B\)là hai biến cố xung khắc thì
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B).\]
\[P(A \cup B) = P(A) - P(B).\]
\[P(A \cup B) = P(A).P(B).\]
\[P(A \cup B) = P(B) - P(A).\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Nếu \(A\)và \(B\)là hai biến cố xung khắc thì \[P(A \cup B) = P(A) + P(B).\]
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập với nhau. Khi đó
\(P(AB) = P(A).P(B).\)
\(P(AB) = P(A) + P(B).\)
\(P(AB) = P(A) - P(B).\)
\(P(AB) = P(B) - P(A).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(P(AB) = P(A).P(B).\)
Gieo một con xúc sắc cân đối đồng chất một lần. Xét hai biến cố A: “Xuất hiện mặt lẻ chấm” và B: “Xuất hiện mặt chẵn chấm”. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(A\) và \(B\)là hai biến cố xung khắc.
\(A\) và \(B\)là hai biến cố độc lập.
\(A \cap B \ne \emptyset .\)
\(P(AB) = P(A).P(B).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(A\) và \(B\)là hai biến cố xung khắc.
Lớp 11A có 40 học sinh, trong đó có 16 học sinh giỏi Toán, 20 học sinh giỏi Văn và 12 học sinh giỏi cả hai môn đó. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp. Xác suất để chọn được học sinh giỏi một trong hai môn Toán hoặc Văn là
\[0,3.\]
\[0,1\].
\[0,5\].
\[0,6\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Gọi biến cố A: “Học sinh đó giỏi Toán”.
Biến cố B: “Học sinh đó giỏi Văn”.
Biến cố AB: “Học sinh đó giỏi cả Văn và Toán”.
Biến cố \({\rm{A}} \cup {\rm{B}}\): “Học sinh đó giỏi một trong hai môn Toán hoặc Văn”.
Ta có \(P\left( A \right) = \frac{{16}}{{40}} = \frac{2}{5};P\left( B \right) = \frac{{20}}{{40}} = \frac{1}{2};P\left( {AB} \right) = \frac{{12}}{{40}} = \frac{3}{{10}}\).
Khi đó \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)\]\( = \frac{2}{5} + \frac{1}{2} - \frac{3}{{10}} = \frac{6}{{10}}\).
Trong một cuộc khảo sát về các môn học yêu thích đối với 40 học sinh lớp 11A. Kết quả 25 học sinh thích môn Lý, 20 học sinh thích môn Hóa và 14 học sinh thích cả Lý và Hóa. Chọn ngẫu nhiêu một học sinh. Xác suất để chọn được học sinh không thích cả hai môn Lý và Hóa là
\[0,225.\]
\[0,125\].
\[0,5\].
\[0,4\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Gọi biến cố A: “Học sinh đó thích môn Lý”.
Biến cố B: “Học sinh đó thích môn Hóa”.
Biến cố AB: “Học sinh đó thích cả môn Lý và Hóa”.
Biến cố \({\rm{A}} \cup {\rm{B}}\): “Học sinh đó thích môn Lý hoặc môn Hóa”.
Theo đề, \(P\left( A \right) = \frac{{25}}{{40}} = \frac{5}{8};P\left( B \right) = \frac{{20}}{{40}} = \frac{1}{2};P\left( {AB} \right) = \frac{{14}}{{40}} = \frac{7}{{20}}\).
Khi đó \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)\]\( = \frac{5}{8} + \frac{1}{2} - \frac{7}{{20}} = \frac{{31}}{{40}}\).
Xác suất để chọn được học sinh không thích cả hai môn Lý và Hóa là:
\(1 - \frac{{31}}{{40}} = \frac{9}{{40}} = 0,225\).
Gieo ngẫu nhiên một đồng xu cân đối đồng chất hai lần. Xác suất để xuất hiện ít nhất một mặt sấp là
\[\frac{3}{4}\]
\[1\].
\[\frac{1}{2}\].
\[\frac{1}{4}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\Omega = \left\{ {SS,NN,SN,NS} \right\}\).
Xét biến cố A: “ít nhất 1 lần xuất hiện mặt sấp”. Khi đó \(A = \left\{ {SS,SN,NS} \right\}\).
Do đó \(P\left( A \right) = \frac{3}{4}\).
Trong hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\] có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
\[A'B \bot DC'\].
\[A'C' \bot BD\].
\[BC' \bot A'D\].
\[BB' \bot BD\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau nên \(ABCD,ABB'A',BCC'B'\) đều là hình thoi.
\(A'B \bot AB'\) mà \(AB'//DC'\). Do đó \(A'B \bot DC'\).
\(AC \bot BD\) mà \(AC//A'C'\). Do đó \(A'C' \bot BD\).
\(B'C \bot BC'\) mà \(B'C//A'D\). Do đó \(BC' \bot A'D\).
Do đó đáp án D sai.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình chữ nhật và \(SA \bot (ABCD).\) Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
\(AB \bot (SAD).\)
\(BC \bot (SAD).\)
\(AC \bot (SAD).\)
\(BD \bot (SAD).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(SA \bot (ABCD)\)\( \Rightarrow SA \bot AB\) mà \(AB \bot AD\) (do \(ABCD\) là hình chữ nhật).
Do đó \(AB \bot \left( {SAD} \right)\).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) như hình vẽ bên
Hình chiếu của \(A'\) trên mặt phẳng \((ABCD)\)là
\(A.\)
\(B.\)
\(C.\)
\(D.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\) nên hình chiếu của \(A'\) trên mặt phẳng \((A'B'C'D')\)là \(A\).
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\) ?
\[(BCD'A').\]
\((ADC'B').\)
\((A'B'C'D').\)
\((ADD'A').\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\left( {ADD'A'} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy là hình vuông , \(SA\) vuông góc với đáy. Khoảng cách từ \(S\)đến mặt phẳng \((ABCD)\)là
\(SA\).
\(SB\).
\(SC\).
\(SD\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = SA\).
Thể tích của khối chóp có diện tích đáy \(B = 6\) và chiều cao \(h = 2\) bằng:
\(6\).
\(3\).
\(4\)
\(12\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Thể tích của khối chóp là \(V = \frac{1}{3}.6.2 = 4\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot (ABC)\)(như hình vẽ minh hoạ). Khi đó góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \((ABC)\)bằng góc nào sau đây?
\(\widehat {SAB}.\)
\(\widehat {ASB}.\)
\(\widehat {SBC}.\)
\(\widehat {SBA}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)là \(AB\).
Do đó góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \((ABC)\)bằng \(\widehat {SBA}\).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Góc giữa \[AC\] và \[AA'\] là:
\[45^\circ .\]
\(90^\circ .\)
\[60^\circ .\]
\[120^\circ .\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \(AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AA' \bot AC\).
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a. \[SA = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\] và SA vuông góc với đáy. Gọi I và J lần lượt là trung điểm BC và SI. Tìm mệnh đề sai.
BI \[ \bot \] (SAI).
BC \[ \bot \] (SIA).
AJ \[ \bot \] (SBC).
AI \[ \bot \] (SBC).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
+) Vì \(\Delta ABC\) đều, \(I\) là trung điểm của \(BC\) nên \(AI \bot BC\) (1).
Lại có \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(BC \bot \left( {SAI} \right)\). Do đó A, B đúng.
+) Vì \(BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot AJ\) (3).
Vì \(AI\) là đường cao tam giác \(ABC\) đều cạnh a nên \(AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = SA\).
Do đó \(\Delta SAI\) cân tại A mà \(J\) là trung điểm \(SI\) nên \(AJ \bot SI\) (4).
Từ (3) và (4), suy ra \(AJ \bot \left( {SBC} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông, \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây ?
\((SAC).\)
\((SBD).\)
\((SCD).\)
\((SBC).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC \bot BD\) mà \(SA \bot BD\) (do \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)).
Do đó \(BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA \bot (ABCD),\)\(AB = a\) và \(SB = \sqrt 2 a.\) Khoảng cách từ điểm \(S\) đến mặt phẳng \((ABCD)\) bằng
\(a.\)
\(\sqrt 2 a.\)
\(2a.\)
\(\sqrt 3 a.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = SA\).
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot AB\).
Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A\), có \(SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} = \sqrt {2{a^2} - {a^2}} = a\).
Vậy \(d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = a\).
Sau một năm đi làm, bạn Nam đã tiết kiệm được \(65\) triệu đồng. Nam gởi tiết kiệm với lãi suất \(6,5\% \) một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi sau bao nhiêu năm bạn Nam có thể mua được một chiếc xe máy với giá 83 triệu đồng.
Hướng dẫn giải
Gọi \(n\), \(\left( {\,n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)là số năm cần tìm.
Số tiền cả gốc lẫn lãi của Nam sau \(n\) năm là \(65.{\left( {1 + 6,5\% } \right)^n}\) triệu đồng.
Ta có: \(65.{\left( {1 + 6,5\% } \right)^n} \approx 83\)\( \Rightarrow \,n = 4\).
Vậy sau 4 năm Nam có thể mua được một chiếc xe máy với giá 83 triệu đồng.
Một chất điểm chuyển động có quãng đường được cho bởi phương trình \(s\left( t \right) = \frac{1}{4}{t^4} - {t^3} + \frac{5}{2}{t^2} + 10t\), trong đó \(t > 0\) với \(t\) tính bằng giây (s) và \(s\) tính bằng mét (m). Tính vận tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm chất điểm có gia tốc chuyển động nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải.
Gọi \(v\left( t \right)\), \(a\left( t \right)\) lần lượt là vận tốc và gia tốc của chất điểm.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}v\left( t \right) = s'\left( t \right) = {t^3} - 3{t^2} + 5t + 10\\a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t + 5\end{array} \right.\).
Mà \(a\left( t \right) = 3{t^2} - 6t + 5 = 3{\left( {t - 1} \right)^2} + 2 \ge 2\) với mọi \(t\), dấu “\( = \)” xảy ra khi chỉ khi \(t = 1.\)
Suy ra gia tốc chuyển động của chất điểm nhỏ nhất bằng \(2{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\) khi \(t = 1\).
Vận tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm gia tốc nhỏ nhất là
\(v\left( 1 \right) = {\left( 1 \right)^3} - 3 \cdot {1^2} + 5 \cdot 1 + 10 = 13\) \(\left( {{\rm{m/}}\,{\rm{s}}} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, mặt bên \(SAD\) là tam giác đều cạnh \(2a\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) tạo với mặt phẳng đáy một góc 45o. Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\).
Hướng dẫn giải
Gọi \(H,M\) lần lượt là trung điểm của \(AD,BC\).
Vì \(\Delta SAD\) đều nên \(SH \bot AD\) mà \(\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot BC.\)
Lại có \(BC \bot HM \Rightarrow BC \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\).
Do đó góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\widehat {SMH} = 45^\circ \).
Vì \(SH\) là đường cao của \(\Delta SAD\) đều cạnh \(2a\) nên \(SH = a\sqrt 3 \).
Xét \(\Delta SHM\), có \(HM = \frac{{SH}}{{\tan 45^\circ }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{1} = a\sqrt 3 \).
Do đó \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.AD.HM = \frac{1}{3}.a\sqrt 3 .2a.a\sqrt 3 = 2{a^3}.\)
