Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 1
39 câu hỏi
Cho \[a > 0\], \[b > 0\] và \[x\], \[y\] là các số thực bất kỳ. Đẳng thức nào sau đúng?
\({\left( {a + b} \right)^x} = {a^x} + {b^x}\).
\({\left( {\frac{a}{b}} \right)^x} = {a^x}.{b^{ - x}}\)
\({a^{x + y}} = {a^x} + a{}^y\).
\({a^x}{b^y} = {\left( {ab} \right)^{xy}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\({\left( {\frac{a}{b}} \right)^x} = \frac{{{a^x}}}{{{b^x}}} = {a^x}.{b^{ - x}}\).
Giá trị của biểu thức \({\log _4}2\) là:
1.
2.
\(\frac{3}{2}\).
\(\frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\({\log _4}2 = \frac{1}{2}{\log _2}2 = \frac{1}{2}.\)
Đồ thị sau là của hàm số nào?
\(y = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}\).
\(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\).
\(y = {\log _{\frac{1}{3}}}x\).
\(y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đây là hình dạng của đồ thị hàm số \(y = {a^x}\left( {0 < a < 1} \right)\).
Mà đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( { - 1;3} \right)\). Do đó chọn D.
\(y = {x^4}\).
\(y = {\left( \pi \right)^x}\).
\(y = {\log _2}x\).
\(y = {\left( {x - 1} \right)^{ - 2}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = {\left( \pi \right)^x}\) là hàm số mũ.
\(x = 9.\)
\(x = 8.\)
\(x = 10.\)
\(x = 7.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Điều kiện: \(x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\).
\({\log _2}\left( {x - 1} \right) = 3\)\( \Leftrightarrow x - 1 = {2^3} \Leftrightarrow x = 9\) (thỏa mãn).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 9\).
\(x = 4\).
\(x = 3\).
\(x = 2\).
\(x = 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\({3^{x - 1}} = 27\)\( \Leftrightarrow {3^{x - 1}} = {3^3} \Leftrightarrow x - 1 = 3 \Leftrightarrow x = 4\).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 4.\)
\[\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}\].
\[\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\].
\[\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\].
\[\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\[f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\].
\(3.\)
\(4.\)
\(2.\)
\(5.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \(f'\left( x \right) = 2x\). Do đó \(f'\left( 2 \right) = 2.2 = 4.\)
\(y = 5x + 6\).
\(y = - 5x + 6\).
\(y = - 5x - 6\).
\(y = 5x - 6.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \(y' = - 6x + 1\).
Có \(y'\left( 1 \right) = - 5\).
Khi đó phương trình tiếp tuyến của Parabol \(y = - 3{x^2} + x - 2\) tại điểm M(1; 1) là \(y = - 5\left( {x - 1} \right) + 1 = - 5x + 6\).
\({\left( {u + v} \right)^\prime } = u' + v'\).
\({\left( {u + v} \right)^\prime } = u'v + uv'\).
\({\left( {u + v} \right)^\prime } = u' - v'\).
\({\left( {u + v} \right)^\prime } = u'v - uv'\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\({\left( {u + v} \right)^\prime } = u' + v'\).
\[{\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}\].
\[y = \sqrt x \].
\[{\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{\sqrt x }}\].
\[{\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{2}{{\sqrt x }}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\[y' = {\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}\].
\({\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x.\)
\({\left( {\sin x} \right)^\prime } = - \cos x.\)
\({\left( {\cos x} \right)^\prime } = \sin x.\)
\({\left( {\sin x} \right)^\prime } = \sin x.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có\({\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x.\)
\[4\].
\[14\].
\[15\].
\[24\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\[f'\left( x \right) = - 4{x^3} + 12{x^2} - 6x + 2.\]
Khi đó \[f'\left( { - 1} \right) = - 4.{\left( { - 1} \right)^3} + 12.{\left( { - 1} \right)^2} - 6.\left( { - 1} \right) + 2 = 24.\]
\(y' = {2023^x}.\)
\(y' = {2023^{x - 1}}.\)
\(y' = {2023.2023^{x - 1}}.\)
\(y' = {2023^x}\ln 2023.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Có \(y' = {\left( {{{2023}^x}} \right)^\prime } = {2023^x}\ln 2023.\)
\[2\].
\[x\].
\[3\].
\[2x\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Có \[f'\left( x \right) = 2x;f''\left( x \right) = 2.\]
\(P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
\(P\left( A \right).P\left( B \right)\).
\(P\left( A \right) - P\left( B \right)\).
\(\frac{{P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(P\left( {A.B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\). Biến cố "\(A\) hoặc \(B\) xảy ra", kí hiệu là \(A \cup B\), được gọi là biến cố giao của \(A\) và \(B\).
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\). Biến cố "\(A\) hoặc \(B\) xảy ra", kí hiệu là \(A \cap B\), được gọi là biến cố hợp của \(A\) và \(B\).
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\). Biến cố "\(A\) hoặc \(B\) xảy ra", kí hiệu là \(A \cup B\), được gọi là biến cố hợp của \(A\) và \(B\).
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\). Biến cố "\(A\) hoặc \(B\) xảy ra", kí hiệu là \(A \cup B\), được gọi là biến cố xung khắc.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\). Biến cố "\(A\) hoặc \(B\) xảy ra", kí hiệu là \(A \cup B\), được gọi là biến cố hợp của \(A\) và \(B\).
0,58.
0,7.
0,1.
0,12.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì A và B là 2 biến cố độc lập nên \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = 0,4.0,3 = 0,12.\)
0,5.
0,55.
0,06.
0,25.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì A và B là 2 biến cố độc lập nên \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) \Rightarrow P\left( B \right) = 0,15:0,3 = 0,5.\)
"Hai viên bi lấy ra có cùng màu".
"Hai viên bi lấy ra có khác màu".
"Hai viên bi lấy ra có màu bất kì".
"Hai viên bi lấy ra chỉ có màu xanh".
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(A \cup B\): "Hai viên bi lấy ra có cùng màu".
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) - P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(A\), \(B\) là hai biến cố xung khắc thì \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
\[\frac{3}{5}\].
\[\frac{8}{{15}}\].
\[\frac{2}{{15}}\].
\[\frac{1}{{15}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Vì \(A\), \(B\) là hai biến cố xung khắc thì \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\) \( \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2}{{15}}.\)
\(\frac{7}{{12}}\).
\(\frac{1}{{12}}\).
\(\frac{1}{7}\).
\(\frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(A\), \(B\) là hai biến cố xung khắc thì \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{{12}}.\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại.
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.
Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong \(\left( \alpha \right)\)thì \(d\) vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong \(\left( \alpha \right)\).
Nếu đường thẳng \(d \bot \left( \alpha \right)\) thì \(d\) vuông góc với hai đường thẳng trong \(\left( \alpha \right)\).
Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng nằm trong \(\left( \alpha \right)\) thì \(d \bot \left( \alpha \right).\)
Nếu \(d \bot \left( \alpha \right)\) và đường thẳng \(a//\left( \alpha \right)\) thì \(d \bot a\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng nằm trong \(\left( \alpha \right)\) thì \(d \bot \left( \alpha \right)\) chỉ đúng khi hai đường thẳng đó cắt nhau.
Nếu \(b \bot \left( P \right)\) thì \(a{\rm{//}}b\).
Nếu \(b{\rm{//}}a\) thì \(b \bot \left( P \right)\).
Nếu \(b \subset \left( P \right)\) thì \(b \bot a\).
Nếu \(a \bot b\) thì \(b{\rm{//}}\left( P \right)\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đáp án D sai vì có thể \(b \subset \left( P \right)\).
Cho hình lập phương ( như hình vẽ). Mặt phẳng \[(ABCD)\]vuông góc mặt phẳng nào dưới đây?
\[(A'B'BA)\].
\[(A'B'C'D')\].
\[(A'B'CD)\].
\[(ABC'D')\] .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Có \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên \[(A'B'BA) \bot \left( {ABCD} \right)\].
Đường thẳng vừa vuông góc với \(a\) và vuông góc với \(b\).
Đường thẳng vừa vuông góc, vừa cắt hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\).
Đường thẳng vuông góc với \(a\) và cắt đường thẳng \(b\).
Đường thẳng vuông góc với \(b\) và cắt đường thẳng \(a\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng vừa vuông góc, vừa cắt hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\) được gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b.\)
\(V = \frac{1}{2}S.h\).
\(V = \frac{1}{3}S.h\)
\(V = S.h\).
\(V = \frac{1}{6}S.h\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có thể tích của khối chóp là \(V = \frac{1}{3}S.h\).
\(d = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}\).
\(d = a\sqrt 2 \).
\(d = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).
\(d = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Vì \(AD//BC\) nên \(d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\).
Hạ \(AH \bot SB\) tại \(H\).
Có \(BC \bot AB\) và \(SA \bot BC\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\).
Mà \(AH \bot SB\) nên \(AH \bot \left( {SBC} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH.\)
Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A,\) có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{2{a^2}}} = \frac{3}{{4{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}.\)
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}.\)
\(V = {a^3}\sqrt 2 .\)
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 2 .{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).
Nếu đường thẳng \(a\) cắt một đường thẳng \(d \subset \left( P \right)\) thì góc giữa \(a\) và \(d\) là góc giữa đường thẳng \(a\) và \((P)\).
Nếu đường thẳng \(a\) không vuông góc với \((P)\)thì góc giữa \(a\) và hình chiếu \(a'\) của \(a\) trên \((P)\) gọi là góc giữa đường thẳng \(a\) và \((P)\).
Nếu đường thẳng \(a\) vuông góc với đường thẳng \(d \subset \left( P \right)\) thì góc giữa \(a\) và \(d\) là góc giữa đường thẳng \(a\) và \((P)\).
Nếu đường thẳng \(a\) song song với đường thẳng \(d \subset \left( P \right)\) thì góc giữa \(a\) và \(d\) là góc giữa đường thẳng \(a\) và \((P)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Nếu đường thẳng \(a\) không vuông góc với \((P)\)thì góc giữa \(a\) và hình chiếu \(a'\) của \(a\) trên \((P)\) gọi là góc giữa đường thẳng \(a\) và \((P)\).
Nếu đường thẳng \(a\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Khi đó \(\left( {a,\left( P \right)} \right) = ?\)
\(0^\circ \).
\(180^\circ \).
\(90^\circ \).
\(45^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Nếu đường thẳng \(a\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Khi đó \(\left( {a,\left( P \right)} \right) = 90^\circ \).
\(\widehat {SCB}\).
\(\widehat {CAS}\).
\(\widehat {SCA}\).
\(\widehat {ASC}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\widehat {SCA}\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông, \[SB\] vuông góc với đáy, gọi \(O = BD \cap CA\). Góc giữa đường thẳng \(SO\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là:
\(\widehat {SOB}\).
\(\widehat {SOA}\).
\(\widehat {SBO}\).
\(\widehat {OSB}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(SB \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(BO\) là hình chiếu của \(SO\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Do đó góc giữa đường thẳng \(SO\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\widehat {SOB}\).
Tính đạo hàm các hàm số sau:
a)\(y = {x^5} - \cos x - 7\). b) \(y = {\left( {3x + 4} \right)^{11}}\).
Hướng dẫn giải
a) \(y' = 5{x^4} + \sin x\).
b)\(y' = 33{\left( {3x + 4} \right)^{10}}\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(n\left( \Omega \right) = C_{40}^2\)
Gọi các biến cố:
\(D\): “Lấy được 2 bi viên đỏ” ta có: \(n\left( D \right) = C_{20}^2 = 190\);
\(X\): “Lấy được 2 bi viên xanh” ta có:\(n\left( X \right) = C_{10}^2 = 45\);
\(V\): “Lấy được 2 bi viên vàng” ta có: \(n\left( V \right) = C_6^2 = 15\);
\(T\): “ Lấy được 2 bi màu trắng” ta có:\(n\left( T \right) = C_4^2 = 6\).
Ta có \(D,X,V,T\) là các biến cố đôi một xung khắc và \[A = D \cup X \cup V \cup T\].
\(P\left( A \right) = P\left( D \right) + P\left( X \right) + P\left( V \right) + P\left( T \right) = \frac{{256}}{{C_{40}^2}} = \frac{{64}}{{195}}\).
Hướng dẫn giải
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(AB\) là hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Ta có:\(\left( {SB,(ABC)} \right) = \left( {SB,BA} \right) = \widehat {SBA} = \varphi \).
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B,\) có \(AB = \sqrt {A{C^2} - B{C^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} = \sqrt {{a^2}} = a\).
Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A,\) ta có \(\tan \varphi = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \Rightarrow \varphi = 60^\circ \).
Vậy góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đáy bằng .
Kim tự tháp Giza là Kim tự tháp Ai Cập lớn nhất và là lăng mộ của Vương triều thứ Tư của pharaoh Khufu. Được xây dựng vào đầu thế kỷ 26 trước Công nguyên trong khoảng thời gian 27 năm, đây là kim tự tháp lâu đời nhất còn nằm trong Bảy kỳ quan của thế giới cổ đại, và là kim tự tháp duy nhất với phần lớn còn nguyên vẹn. Kim tự tháp này được xây dựng theo mô hình là hình chóp tứ giác đều với kích thước như sau: chiều cao xấp xỉ \(138{\rm{m}}\), độ dài đáy xấp xỉ \(230\,{\rm{m}}\) (theo số liệu mới nhất trên https://vi.wikipedia.org/wiki/). Tính khoảng cách từ tâm của đáy kim tự tháp đến mặt bên.
Hướng dẫn giải
Ta có mô hình kim tự tháp như hình vẽ, là hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\).
Gọi \(O = BD \cap AC \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\), \(K\) là trung điểm \(AB\).
Vì \(O,K\)là trung điểm của \(BD,AB\) \( \Rightarrow OK\)là đường trung bình của \(\Delta BAD\).
Suy ra \(OK{\rm{//}}AD\) mà \(AD \bot AB \Rightarrow OK \bot AB\).
Kẻ \(OH \bot SK\) tại \(H\).
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OK\\AB \bot SO\left( {SO \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SOK} \right) \Rightarrow AB \bot OH\).
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot AB\\OH \bot SK\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SAB} \right)} \right) = OH\).
Theo đề, có \(SO = 138{\rm{m;}}AD = 230{\rm{m}} \Rightarrow OK = 115{\rm{m}}\)
Xét \(\Delta SOK\) vuông tại \(O\), có: \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{{{138}^2}}} + \frac{1}{{{{115}^2}}} = \frac{{61}}{{476100}}\).
\( \Rightarrow OH \approx 88,35\,{\rm{m}}\).
