Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 2
39 câu hỏi
Cho các số thực \(a,b,m,n\) với \(\left( {a,b > 0} \right)\). Tìm mệnh đề sai.
\(\sqrt {{a^2}} = a\).
\[{\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = {a^m}.{b^{ - m}}\]
\({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m + n}}\).
\({\left( {ab} \right)^m} = {a^m}.{b^m}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}}\).
Cho biểu thức \(P = \sqrt[4]{{{x^2}\sqrt[3]{x}}}\), \(\left( {x > 0} \right)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\[P = {x^{\frac{6}{{12}}}}\].
\(P = {x^{\frac{8}{{12}}}}\).
\(P = {x^{\frac{9}{{12}}}}\).
\(P = {x^{\frac{7}{{12}}}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(P = \sqrt[4]{{{x^2}\sqrt[3]{x}}}\)\( = \sqrt[4]{{{x^2}.{x^{\frac{1}{3}}}}}\)\( = \sqrt[4]{{{x^{\frac{7}{3}}}}}\)\( = {\left( {{x^{\frac{7}{3}}}} \right)^{\frac{1}{4}}} = {x^{\frac{7}{{12}}}}.\)
Cho \(a\), \(b\), \(c\) là các số dương và \(a \ne 1\), khẳng định nào sau đây sai?
\({\log _a}\left( {b + c} \right) = {\log _a}b.{\log _a}c\).
\({\log _a}\left( {\frac{b}{c}} \right) = {\log _a}b - {\log _a}c\).
\({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\).
\({\log _a}\left( {\frac{1}{b}} \right) = - {\log _a}b\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\({\log _a}\left( {b + c} \right) \ne {\log _a}b.{\log _a}c\).
Trong các hàm số sau đây hàm số nào không phải là hàm số mũ.
\(y = {5^{\frac{x}{3}}}\).
\(y = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}\).
\(y = {4^{ - x}}\).
\(y = {x^{ - 4}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = {x^{ - 4}}\) không phải là hàm số mũ.
Tìm tập nghiệm \[S\] của phương trình \({2^{x + 1}} = 8\).
\(S = \left\{ 1 \right\}\).
\(S = \left\{ { - 1} \right\}\).
\(S = \left\{ 4 \right\}\).
\(S = \left\{ 2 \right\}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \({2^{x + 1}} = 8\)\( \Leftrightarrow {2^{x + 1}} = {2^3}\)\( \Leftrightarrow x + 1 = 3 \Leftrightarrow x = 2.\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left\{ 2 \right\}\).
Cho hàm số \[y = f(x)\] xác định và có đạo hàm trên khoảng (a;b) và \[{x_0} \in (a;b)\]. Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) tại \({x_0}\) là
\[f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\].
\[f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) + f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\].
\[f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x + {x_0}}}\].
\[f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) + f({x_0})}}{{x + {x_0}}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \[f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\].
Cho chuyển động được xác định bởi phương trình \[S = {t^3} - 2{t^2} + 3t\], với \(t\) là thời gian tính bằng giây, \(S\) là quãng đường chuyển động tính bằng mét. Tính từ lúc bắt đầu chuyển động, tại thời điểm \(t = 2\) giây thì vận tốc v của chuyển động có giá trị bằng bao nhiêu?
\[v = 7{\rm{m/s}}\].
\[v = 6{\rm{m/s}}\].
\[v = 8{\rm{m/s}}\].
\[v = 9{\rm{m/s}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \[v\left( t \right) = S'\left( t \right) = 3{t^2} - 4t + 3\].
Khi đó \(v\left( 2 \right) = {3.2^2} - 4.2 + 3 = 7{\rm{m/s}}\).
Giả sử \(u = u(x),\,\,v = v(x)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{u}{v}\,\,\left( {v = v(x) \ne 0} \right)\) là
\(y' = \frac{{u.v' - u'.v}}{v}\).
\(y' = \frac{{u'.v - v'.u}}{v}\).
\(y' = \frac{{u.v' - u'.v}}{{{v^2}}}\).
\(y' = \frac{{u'.v - v'.u}}{{{v^2}}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \(y' = \frac{{u'.v - v'.u}}{{{v^2}}}\).
Giả sử \(\,v = v(x)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{1}{v}\,\,\left( {v = v(x) \ne 0} \right)\) là
\(y' = \frac{{{v^'}}}{v}\).
\(y' = \frac{{v'}}{{{v^2}}}\).
\(y' = - \frac{{v'}}{{{v^{}}}}\).
\(y' = - \frac{{v'}}{{{v^2}}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \(y' = - \frac{{v'}}{{{v^2}}}\).
Hàm số \(y = {x^2} + x + 1\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) là
\(y' = 3x\).
\(y' = 2 + x\).
\(y' = {x^2} + x\).
\(y' = 2x + 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \(y' = 2x + 1.\)
Đạo hàm của hàm số \(y = {\left( {{x^2} + 3} \right)^5}\) là
\(y' = 2x{\left( {{x^2} + 3} \right)^4}.\)
\(y' = 5{\left( {{x^2} + 3} \right)^4}.\)
\(y' = 10x{\left( {{x^2} + 3} \right)^4}.\)
\(y' = 2x{\left( {{x^2} + 3} \right)^5}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(y' = 10x{\left( {{x^2} + 3} \right)^4}.\)
Đạo hàm của hàm số \[y = \cot \left( {2x - 1} \right)\] là
\[\frac{2}{{{{\sin }^2}\left( {2x - 1} \right)}}\].
\[ - \frac{2}{{{{\sin }^2}\left( {2x - 1} \right)}}\].
\[\frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {2x - 1} \right)}}\].
\[\frac{2}{{{{\cos }^2}\left( {2x - 1} \right)}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \[y' = - \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\sin }^2}\left( {2x - 1} \right)}}\]\[ = - \frac{2}{{{{\sin }^2}\left( {2x - 1} \right)}}\].
Trong không gian, cho các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì song song với đường thẳng còn lại.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.
Trong không gian cho đường thẳng \(\Delta \) và điểm \(O\). Qua \[O\] có mấy đường thẳng vuông góc với \(\Delta \)?
\(1\).
\(3\).
Vô số.
\(2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Qua \[O\] có vô số đường thẳng vuông góc với \(\Delta \), các đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng vuông góc với ∆.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\), góc giữa hai đường thẳng \(A'B\) và \(B'C\) là
\(90^\circ \).
\(60^\circ \).
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Có \(A'B'//CD\) và \(A'B' = CD\) (chúng cùng song song và bằng \(AB\)).
Do đó \(A'B'CD\) là hình bình hành \( \Rightarrow A'D//B'C\).
Do đó \(\left( {A'B,B'C} \right) = \left( {A'B,A'D} \right) = \widehat {BA'D}\).
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên \(A'B = BD = DA'\).
Do đó \(\Delta A'BD\) là tam giác đều. Suy ra \(\widehat {BA'D} = 60^\circ \).
Trong hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\] có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Góc giữa đường thẳng \(A'B\) và \(DC'\) là
\[30^\circ \].
\[45^\circ \].
\[60^\circ \].
\[90^\circ \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau nên \(ABB'A'\) là hình thoi.
Suy ra \(A'B \bot AB'\) mà \(AB'//DC'\).
Do đó \(A'B \bot DC'\).
Vậy \(\left( {A'B,DC'} \right) = 90^\circ .\)
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) như hình vẽ bên
Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng \((ABB'A')\)?
\(AD.\)
\(BB'.\)
\(CC'.\)
\(BD.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Có \(AD \bot AB\) (do \(ABCD\) là hình vuông).
Vì \(AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AA' \bot AD\)mà \(AD \bot AB\) nên \(AD \bot \left( {ABB'A'} \right)\).
Cho hai đường thẳng phân biệt \(a,\,\,b\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\), trong đó \(a \bot \left( P \right)\). Chọn mệnh đề sai.
Nếu \(b\;{\rm{//}}\;a\) thì \(b\;{\rm{//}}\;\left( P \right)\).
Nếu \(b\;{\rm{//}}\;a\) thì \(b \bot \left( P \right)\).
Nếu \(b \bot \left( P \right)\) thì \(b\;{\rm{//}}\;a\).
Nếu \(b\;{\rm{//}}\;\left( P \right)\) thì \(b \bot a\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đáp án A sai vì \(\left. \begin{array}{l}a//b\\a \bot \left( P \right)\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot \left( P \right)\).
Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA\), \(OB\), \(OC\) đôi một vuông góc với nhau. Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(H\) là trung điểm của \(AC\).
\(H\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
\(H\) là trung điểm của \(BC\).
\(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Giả sử .\(M = AH \cap BC\)
Có \(\left. \begin{array}{l}OA \bot OB\\OA \bot OC\end{array} \right\} \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC\) (1).
Vì \(OH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow OH \bot BC\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(BC \bot \left( {OAH} \right) \Rightarrow BC \bot AH\).
Chứng minh tương tự, \(CH \bot AB\). Do đó \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC\) và tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\). Vẽ \(SH \bot \left( {ABC} \right)\), \(H \in \left( {ABC} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(H\)trùng với trọng tâm tam giác \(ABC\).
\(H\)trùng với trực tâm tam giác \(ABC\).
\(H\)trùng với trung điểm của \(AC\).
\(H\)trùng với trung điểm của \(BC\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Vì \(SA = SB = SC\) nên \(HA = HB = HC\).
Do đó \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Mà \(\Delta ABC\) vuông tại B, nên tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) là trung điểm của \(AC.\)
Do đó \(H\) là trung điểm của \(AC.\)
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu
mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều vuông góc với mặt phẳng kia.
mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
mặt phẳng này chứa một đường thẳng song song với mặt phẳng kia.
mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước.
Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
A sai. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song hoặc trùng nhau.
B sai. Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước thì có vô số mặt phẳng qua đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng đó. Nếu đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng cho trước thì không có mặt phẳng nào vuông góc với mặt phẳng đó.
D sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao truyến vuông góc với mặt phẳng kia).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Giá trị \(\sin \) của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {BDA'} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng
\(\frac{{\sqrt 3 }}{4}\).
\(\frac{{\sqrt 6 }}{4}\).
\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Gọi \(I = AC \cap BD\). Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AI\\BD \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {AIA'} \right);\quad BD = \left( {BDA'} \right) \cap \left( {ABCD} \right).\)
Do đó góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {BDA'} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\widehat {AIA'}\).
Ta có: \(\Delta AA'I\) vuông tại \(A\), có:
\(AA' = a;AI = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow A'I = \sqrt {A{{A'}^2} + A{I^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow \sin \widehat {AIA'} = \frac{{AA'}}{{A'I}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\), \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\]. Gọi \(I\) là trung điểm của \[SC\]. Khoảng cách từ \(I\) đến mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng độ dài đoạn thẳng nào?
\(IO\).
\(IA\).
\(IC\).
\(IB\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Do \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\) nên \(O\) là trung điểm của \(AC\).
Mà \(I\) là trung điểm của \(SC\) nên \(IO\) là đường trung bình của \(\Delta SAC\).
Suy ra \(IO//SA\) mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(OI \bot \left( {ABCD} \right)\).
Do đó \(d\left( {I,\left( {ABCD} \right)} \right) = IO\).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a.\) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(BCC'B'\) bằng
\(a.\)
\(2a.\)
\(3a.\)
\(\frac{a}{2}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Do \(BB' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow BB' \bot AB\) mà \(AB \bot BC \Rightarrow AB \bot \left( {BCC'B'} \right)\).
Khi đó \(d\left( {A,\left( {BCC'B'} \right)} \right) = AB = a.\)
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot (ABC)\)(như hình vẽ minh hoạ). Khi đó góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \((ABC)\)bằng góc nào sau đây?
\(\widehat {SAB}.\)
\(\widehat {ASB}.\)
\(\widehat {SBC}.\)
\(\widehat {SBA}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)là \(AB\).
Do đó góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \((ABC)\)bằng \(\widehat {SBA}\).
Nếu hai biến cố A và B độc lập thì
\[P(AB) = P(A)P(B).\]
\[P(AB) = P(A) + P(B).\]
\[P(AB) = P(A) - P(B).\]
\[P(AB) = \frac{{P(A)}}{{P(B)}}.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).
Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét các biến cố
A: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số chẵn”.
B: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số lẻ”.
C: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số nhỏ hơn 4”.
D: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số lớn hơn 2” .
Chọn mệnh đề đúng
A và B xung khắc.
C và B xung khắc.
D và B xung khắc.
C và D xung khắc.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
A và B là hai biến cố xung khắc.
Cho \[P(A) = 0,5;P(B) = 0,4;P(AB) = 0,2\]. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Hai biến cố \[A\]và \[B\] không thể cùng xảy ra.
Hai biến cố \[A\]và \[B\] là hai biến cố độc lập.
Hai biến cố \[A\]và \[B\] là hai biến cố xung khắc.
Ta có \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0,9\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \(P\left( A \right).P\left( B \right) = 0,5.0,4 = 0,2 = P\left( {AB} \right)\) nên \[A\]và \[B\] là hai biến cố độc lập.
Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi A là biến cố “Lần đầu gieo xuất hiện mặt chẵn chấm”, B là biến cố “Kết quả hai lần gieo là như nhau”. Tập hợp mô tả biến cố giao AB là
\[\left\{ {(2;2);(2;4);(2;6);(4;2);\left( {4;4} \right);(4;6);(6;2);(6;4);(6;6)} \right\}\].
\[\left\{ {(1;1);(2;2);(3;3);\left( {4;4} \right);(5;5);(6;6)} \right\}\].
\[\left\{ {(1;1);(3;3);(5;5)} \right\}\].
\[\left\{ {(2;2);\left( {4;4} \right);(6;6)} \right\}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(AB\) là biến cố: “Kết quả gieo hai lần là như nhau và lần đầu xuất hiện mặt chẵn chấm”.
Do đó \(AB = \left\{ {\left( {2;2} \right);\left( {4;4} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}\).
Cho hai biến cố A và B xung khắc. Khi đó
\[P(AB) = P(A) + P(B)\].
\[P(A \cap B) = P(A) + P(B)\].
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\].
\[P(A \cup B) = P(A).P(B)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
A và B là hai biến cố xung khắc thì \[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\].
Cho hai biến cố A và B. Khi đó
\[P(AB) = P(A).P(B)\].
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) + P(AB)\].
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\].
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)\].
Cho \(A\) và \(B\) là hai biến cố xung khắc. Biết \(P\left( A \right) = 0,4\) và \(P\left( B \right) = 0,5\). Xác suất của biến cố \(A \cup B\) là
0,9.
0,7.
0,5.
0,2.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố xung khắc nên \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) = 0,4 + 0,5 = 0,9.\)
Chọn ngẫu nhiên \[2\] đỉnh của một hình bát giác đều nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\). Xác suất để khoảng cách giữa hai đỉnh đó bằng \(R\sqrt 2 \) là
\(\frac{2}{7}\).
\(\frac{3}{7}\).
\(\frac{4}{7}\).
\(\frac{5}{{56}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Chọn ngẫu nhiên 2 trong 8 đỉnh ta có \(C_8^2 = 28\) cách. Suy ra \(n\left( \Omega \right) = 28\).
Gọi \(A\) là biến cố: “Khoảng cách hai đỉnh đó bằng \(R\sqrt 2 \)”.
Để khoảng cách hai đỉnh bằng \(R\sqrt 2 \) thì hai đỉnh phải cách nhau 1 đỉnh. Có 8 cách chọn.
Do đó \(P\left( A \right) = \frac{8}{{28}} = \frac{2}{7}\).
Một hộp chứa 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời hai viên bi từ hộp. Gọi A là biến cố “Hai viên bi lấy ra đều có màu xanh”, B là biến cố “Hai viên bi lấy ra đều có màu đỏ”. Tính số kết quả thuận lợi cho biến cố \(A \cup B\)
10.
11.
12.
13.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(A \cup B\) là biến cố: “Hai viên bi lấy ra cùng mầu”.
Do đó \(n\left( {A \cup B} \right) = C_5^2 + C_3^2 = 13\).
Một chất điểm chuyển động có phương trình \[s\left( t \right) = {t^3} + \frac{9}{2}{t^2} - 6t\], trong đó \[t\] được tính bằng giây, s được tính bằng mét. Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm vận tốc bằng \[24\]\[\left( {{\rm{m/s}}} \right)\].
Hướng dẫn giải
Ta có \[v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 3{t^2} + 9t - 6\].
Thời điểm để vận tốc bằng \[24\]\[\left( {{\rm{m/s}}} \right)\] là \[3{t^2} + 9t - 6 = 24\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = - 5\end{array} \right.\].
Vì \(t > 0\) nên \(t = 2\left( {\rm{s}} \right)\).
Lại có \[a\left( t \right) = s''\left( t \right) = 6t + 9 \Rightarrow a\left( 2 \right) = 21\]\[\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}} \right)\].
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\) và \(AB = a\sqrt 2 \). Biết \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SA = a\). Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\).
Hướng dẫn giải
Kẻ \(AM \bot BC\) tại \(M\).
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) mà \(AM \bot BC\)\( \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right)\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SAM} \right) \bot BC\\\left( {SAM} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SM\\\left( {SAM} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AM\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SM,AM} \right)\).
Suy ra góc giữa \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng góc \(\widehat {SMA}\).
Vì \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(\widehat {ABC} = 45^\circ \).
Xét \(\Delta AMB\) vuông tại \(M\), ta có \(AM = AB.\sin \widehat {ABM} = a\sqrt 2 .\sin 45^\circ = a\).
Xét \(\Delta SAM\) vuông tại \(A,\)\(\tan \widehat {SMA} = \frac{{SA}}{{AM}} = \frac{a}{a} = 1 \Rightarrow \widehat {SMA} = 45^\circ \).
Đầu năm 2023, anh Hùng có xe công nông trị giá \[100\] triệu đồng. Biết mỗi tháng thì xe công nông hao mòn mất \(0,4\% \) giá trị, đồng thời làm ra được \[6\] triệu đồng (số tiền làm ra mỗi tháng là không đổi). Hỏi sau một năm, tổng số tiền (bao gồm giá tiền xe công nông và tổng số tiền anh Hùng làm ra) anh Hùng có là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Sau một năm số tiền anh Hùng làm ra là \[6.12 = 72\] triệu đồng
Sau một năm giá trị xe công nông còn \[100{(1 - 0,4\% )^{12}} \approx 95,3042\] triệu đồng
Vậy sau một năm số tiền anh Hùng có là \(167,3042\) triệu đồng.
Một hộp đựng 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10. Người ta chọn ra ngẫu nhiên 3 quả cầu. Tính xác suất sao cho tổng ba số ghi trên 3 quả cầu chia hết cho 3.
Hướng dẫn giải
Không gian mẫu: \[n(\Omega ) = C_{10}^3\]
Gọi A là biến cố tổng ba số chia hết cho 3
+ TH1: Cả 3 số chia hết cho 3 có: \(C_3^3 = 1\)
+ TH2: Cả 3 số chia 3 dư 1 có: \(C_4^3 = 4\)
+ TH3: Cả 3 số chia 3 dư 2 có: \(C_3^3 = 1\)
+ TH4: Cả 3 số đủ 3 loại: \(C_3^1.C_4^1.C_3^1 = 36\)
Vây \[n(A) = 1 + 4 + 1 + 36 = 42\].
\[P(A) = \frac{{42}}{{C_{10}^3}} = 0,35\].
