Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Đề 03

\(P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[4]{x} = {x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{4}}} = {x^{\frac{7}{{12}}}}\).

Đkxđ: \( - 2{x^2} + x + 1 > 0 \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} < x < 1\). Vậy \(D = \left( { - \frac{1}{2};1} \right)\).

Ta có \({2^{x - 1}} = 8 \Leftrightarrow x - 1 = 3 \Leftrightarrow x = 4\).

Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.

Dễ thấy \[CB \bot \left( {SAB} \right)\]  là hình chiếu vuông góc của \[SC\] lên \[\left( {SAB} \right)\].

Vậy góc giữa đường thẳng \[SC\] và mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] là \[\widehat {CSB}\].

Tam giác \[CSB\]có \[ \Rightarrow SB\].

Vậy \[\widehat {CSB}\]\( = 30^\circ \).

Gọi \(O = AC \cap BD\).

Tứ giác\(ABCD\) là hình thoi nên \(AC \bot BD\) (1).

Mặt khác tam giác \(SAC\) cân tại \(S\)nên \(SO \bot AC\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(AC \bot \left( {SBD} \right)\) nên \(\left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\).

Ta có \[\left( {ADD'A'} \right){\rm{//}}\left( {BCC'B'} \right)\]\[ \Rightarrow d\left( {\left( {ADD'A'} \right);\left( {BCC'B'} \right)} \right)\]\[ = d\left( {A;\left( {\left( {BCC'B'} \right)} \right)} \right)\]\[ = AB = 10\].

Ta có: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA\)\( = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.AB.AC.SA\)\( = \frac{1}{6}a.2a.3a\)\( = {a^3}\).

Gọi \(A\) là biến cố "Minh được tham gia"; \(B\) là biến cố "Hùng được tham gia cuộc thi"; \(X\) là biến cố "Cả hai bạn được tham gia cuộc thi".

Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập và \(P(X) = P(A) \cdot P(B) = 0,45 \cdot 0,68 = 0,306\).

Chọn A.

Số phần tử của không gian mẫu là: \(|\Omega | = 6.6 = 36\).

Gọi biến cố \(A\) : "Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con xúc xắc bằng 7 ".

Các kết quả thuận lợi cho A là: \(A = \{ (1;6);(2;5);(3;4);(4;3);(5;2);(6;1)\} \).

Do đó, \({n_A} = 6\). Vậy \(P(A) = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\).

Chọn C.

Ta có \(y' = {3^{x + 1}}.\ln 3\)\( \Rightarrow y'\left( 1 \right) = 9\ln 3\).

Ta có: \(s = {t^3} - 3{t^2} - 5\)\( \Rightarrow s' = 3{t^2} - 6t\)\( \Rightarrow s'' = 6t - 6\).

Gia tốc tức thời của chuyển động tại giây thứ \(10\) là: \(a = 6.10 - 6\) \( = 54\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}} \right)\)

Xác suất để An ném trước mà vào rổ là \(\frac{{25}}{{30}}\).

Xác suất để An ném sau mà vào rổ là \(\frac{{22}}{{30}}\).

Do việc ném trước hay sau đều là ngẫu nhiên nên xác suất ném trước và ném sau đều bằng \(\frac{1}{2}\).

Xác suất để An ném vào rổ là \(\frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{{25}}{{30}} + \frac{{22}}{{30}}} \right) = \frac{{47}}{{60}}\).

Tương tự tính được xác suất để Bình ném vào rổ là \(\frac{5}{6}\).

Ta thấy xác suất An ném trước mà vào rổ là \(\frac{{25}}{{30}}\), ném sau mà vào rổ là \(\frac{{22}}{{30}}\). Bình cũng có sự khác nhau như vậy nên việc ném bóng vào rổ của An và Bình sẽ phụ thuộc vào việc được ném trước hay ném sau. Hay biến cố ném bóng vào rổ của An và Bình không độc lập với việc chọn thứ tự ném.

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), vì \(SA = SB = SD\) nên \(H \in AO\) với \(O\) là trung điểm của \(BD\)

Ta xét hai tam giác \(SBD\) và \(ABD\) có cạnh \(BD\) chung, \(SB = AB\), \(SD = AD\) nên \(\Delta SBD = \Delta ABD\) suy ra \(AO = SO = OC\) do đó \(\Delta SAC\) vuông tại \(S\).

Ta có \(AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt {1 + {x^2}} \) \( \Rightarrow BO = \frac{{\sqrt {3 - {x^2}} }}{2}\)\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = \frac{{\sqrt {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {3 - {x^2}} \right)} }}{2}\) \(\left( {0 < x < \sqrt 3 } \right)\)

Mặt khác \(SH = \frac{{SA.SC}}{{\sqrt {S{A^2} + S{C^2}} }}\)\( = \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\)

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}}\)\( = \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {3 - {x^2}} \right)} }}{6} \le \frac{1}{4}\).

Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) lớn nhất khi và chỉ khi\({x^2} = 3 - {x^2}\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 2\end{array} \right.\). Suy ra \({a^2} - 8b = 20\).

\({\left( {\frac{1}{6}} \right)^{x + 2}} \le {\left( {\frac{1}{{36}}} \right)^{ - x}} \Leftrightarrow {6^{ - x - 2}} \le {6^{2x}} \Leftrightarrow  - x - 2 \le 2x \Leftrightarrow x \ge  - \frac{2}{3}\) (do \(6 > 1\)).

Một cách giải khác:

\({\left( {\frac{1}{6}} \right)^{x + 2}} \le {\left( {\frac{1}{{36}}} \right)^{ - x}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{6}} \right)^{x + 2}} \le {\left( {\frac{1}{6}} \right)^{ - 2x}} \Leftrightarrow x + 2 \ge  - 2x \Leftrightarrow x \ge  - \frac{2}{3}\) (do. \(0 < \frac{1}{6} < 1\))

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \ge  - \frac{2}{3}\).

Ta có: \(y' = \cos \left( {\ln x} \right) + \sin \left( {\ln x} \right) + x\left[ { - \frac{{\sin \left( {\ln x} \right)}}{x} + \frac{{\cos \left( {\ln x} \right)}}{x}} \right]\)

\( = \cos \left( {\ln x} \right) + \sin \left( {\ln x} \right) - \sin \left( {\ln x} \right) + \cos \left( {\ln x} \right) = 2\cos \left( {\ln x} \right)\).

Suy ra: \(y'' =  - \frac{{2\sin \left( {\ln x} \right)}}{x}\).

Ta có:

 \({x^2}y'' + xy' - 2y =  - 2x\sin \left( {\ln x} \right) + 2x\cos \left( {\ln x} \right) - 2x\left[ {\cos \left( {\ln x} \right) + \sin \left( {\ln x} \right)} \right] =  - 4x\sin \left( {\ln x} \right)\).

Vậy a sai.

 \({x^2}y'' - xy' - 2y =  - 2x\sin \left( {\ln x} \right) - 2x\cos \left( {\ln x} \right) - 2x\left[ {\cos \left( {\ln x} \right) + \sin \left( {\ln x} \right)} \right]\)

\( =  - 4x\left[ {\cos \left( {\ln x} \right) + \sin \left( {\ln x} \right)} \right]\).

Vậy b sai.

 \({x^2}y'' - xy' + 2y =  - 2x\sin \left( {\ln x} \right) - 2x\cos \left( {\ln x} \right) + 2x\left[ {\cos \left( {\ln x} \right) + \sin \left( {\ln x} \right)} \right] = 0\).

Vậy c đúng.

 \({x^2}y' - xy'' + 2y = 2{x^2}\cos \left( {\ln x} \right) + 2\sin \left( {\ln x} \right) + 2x\left[ {\cos \left( {\ln x} \right) + \sin \left( {\ln x} \right)} \right] \ne 0\).

Vậy d sai.

Trả lời: 0,65

Lời giải

Xác suất để hai bạn cùng trượt môn Toán là 0,15 ;

Xác suất hai bạn cùng trượt môn Ngữ văn là 0,5 ;

Xác suất để hai bạn cùng trượt 1 môn là: \(0,15 + 0,5 = 0,65\).

Trả lời: 0,52

Lời giải

Xác suất để hai người cùng trúng sau 1 lượt bắn là: \(\frac{1}{2} \cdot 0,7 \cdot 0,7 + \frac{1}{2} \cdot 0,8 \cdot 0,6 = 0,485\).

Xác suất để hai người cùng trượt sau 1 lượt bắn là: \(\frac{1}{2} \cdot 0,3 \cdot 0,1 + \frac{1}{2} \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,035\).

Xác suất để không có ai thắng sau 1 lượt bắn là: 0,52.

Trả lời: \( \approx {73,4^^\circ }\)

Lời giải

Kẻ \(AI \bot BD\). Mà \(BD \bot {A^\prime }A \Rightarrow BD \bot \left( {A{A^\prime }I} \right)\)

\(\begin{array}{l}{\rm{ Ta c\'o : }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {{A^\prime }BD} \right) \cap (ABD) = BD}\\{{\mathop{\rm Trong}\nolimits} (ABD),AI \bot BD}\\{{\mathop{\rm Trong}\nolimits} \left( {{A^\prime }BD} \right),{A^\prime }I \bot BD}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow \left[ {{A^\prime },BD,A} \right] = \widehat {{A^\prime }IA}\end{array}\)

Ta có: \(AI = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}}} }} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{(2a)}^2}}}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}a\)

Xét \(\Delta A{A^\prime }I\) vuông tại \(A:\tan \widehat {{A^\prime }IA} = \frac{{{A^\prime }A}}{{AI}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\frac{{2\sqrt 5 }}{5}a}} = \frac{{3\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow \widehat {{A^\prime }IA} \approx {73,4^^\circ }\)

Trả lời: \(\frac{{\sqrt {15} }}{{15}}a\)

Trả lời: 6,7

Lời giải

Trả lời: 410m

Lời giải

 Ta có phương trình vận tốc của vật: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) =  - 2t + 40\).

Thời gian vật chuyển động cho đến khi dừng lại: \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow  - 2t + 40 = 0 \Leftrightarrow t = 20(s)\).

Quãng đường vật đi được là: \(s = s\left( {20} \right) = 410(m)\).