Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 7
38 câu hỏi
Cho bảng khảo sát về cân nặng học sinh trong lớp
Khoảng cân nặng mà số học sinh chiếm nhiều nhất là:
\(\left[ {60;65} \right)\).
\(\left[ {55;60} \right)\).
\(\left[ {50;55} \right)\).
\(\left[ {60;65} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Dựa vào bảng số liệu ta thấy khoảng cân nặng số học sinh chiếm nhiều nhất là \(\left[ {50;55} \right)\).
Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):
Số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
\(\left[ {7;9} \right)\).
\(\left[ {9;11} \right)\).
\(\left[ {11;13} \right)\).
\(\left[ {13;15} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Số trung bình \(\overline x = \frac{{2.6 + 7.8 + 7.10 + 3.12 + 1.14}}{{20}} = 9,4\).
Cho \(A\) và \(B\) là hai biến cố. Biến cố: “\(A\) hoặc \(B\) xảy ra” được gọi là biến cố hợp của \(A\) và \(B\), kí hiệu là
\(A \cap B\).
\(A \cup B\).
\(A\backslash B\).
\(A + B\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Biến cố: “\(A\) hoặc \(B\) xảy ra” được gọi là biến cố hợp của \(A\) và \(B\), kí hiệu là \(A \cup B.\)
Với hai biến cố A và B độc lập với nhau ta có công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập như sau:
\(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
A, B là hai biến cố độc lập thì \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).
Một bình đựng 7 viên bi trắng và 5 viên bi đen. Lần lượt lấy ngẫu nhiên ra 2 bi. Tính xác suất để lấy được bi thứ 1 màu trắng và bi thứ 2 màu đen?
\(\frac{1}{{35}}\)
\(\frac{{35}}{{132}}\).
\(\frac{{35}}{{144}}\).
\(\frac{1}{{144}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Xác suất để lần thứ 1 lấy được bi màu trắng là \(\frac{7}{{12}}\).
Xác suất để lần thứ 2 lấy được viên bi màu đen là \(\frac{5}{{11}}\).
Suy ra xác suất để lấy được bi thứ 1 màu trắng và bi thứ 2 màu đen là \(\frac{7}{{12}}.\frac{5}{{11}} = \frac{{35}}{{132}}\).
Tại một cuộc hội thảo quốc tế có 50 nhà khoa học trong đó có 31 người thành thạo tiếng Anh, 21 người thành thạo tiếng Pháp và 5 người thành thạo cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Chọn ngẫu nhiên một người dự hội thảo. Xác suất để người được chọn thành thạo ít nhất một trong hai thứ tiếng Anh hoặc tiếng Pháp là
\(\frac{{47}}{{50}}\).
\(\frac{{37}}{{50}}\).
\(\frac{{39}}{{50}}\).
\(\frac{{41}}{{50}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Gọi A là biến cố: “Người được chọn thành thạo tiếng Anh”.
B là biến cố: “Người được chọn thành thạo tiếng Pháp”.
AB là biến cố: “Người được chọn thành thạo cả tiếng Anh và tiếng Pháp”.
\({\rm{A}} \cup {\rm{B}}\) là biến cố: “Người được chọn thành thạo ít nhất một trong hai thứ tiếng Anh hoặc tiếng Pháp”.
Theo đề, \({\rm{P}}\left( {\rm{A}} \right) = \frac{{31}}{{50}};{\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right) = \frac{{21}}{{50}};{\rm{P}}\left( {{\rm{AB}}} \right) = \frac{5}{{50}}\).
Ta có \({\rm{P}}\left( {{\rm{A}} \cup {\rm{B}}} \right) = {\rm{P}}\left( {\rm{A}} \right) + {\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right) - {\rm{P}}\left( {{\rm{AB}}} \right) = \frac{{47}}{{50}}.\)
Cho \(a\) là một số thực dương khác 1. Với mọi số nguyên \(m,\,n\,\)thỏa mãn \(n \ne 0\), mệnh đề nào sau đây đúng?
\({a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[m]{{{a^n}}}\).
\({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m + n}}\).
\({a^m}.{a^n} = {a^{m.n}}\)
\({a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\({a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\).
Rút gọn biểu thức \(P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x}\) với \(x > 0\).
\(P = \sqrt x \).
\(P = {x^{\frac{1}{8}}}\).
\(P = {x^{\frac{2}{9}}}\).
\(P = {x^2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x}\)\( = {x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{2}}}\).
Cho số dương a,b với \(a \ne 1\). Ta có \({\log _a}b = \alpha \) khi nào?
\({b^\alpha } = 2a\).
\({a^\alpha } = 2b\)
\({b^\alpha } = a\).
\({a^\alpha } = b\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\({\log _a}b = \alpha \)\( \Leftrightarrow {a^\alpha } = b\).
Cho \({\log _a}b = 2\) và \({\log _a}c = 3\). Tính \(P = {\log _a}({b^2}{c^3})\).
\(P = 31\).
\(P = 13\).
\(P = 30\)
\(P = 108\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(P = {\log _a}({b^2}{c^3})\)\( = {\log _a}{b^2} + {\log _a}{c^3} = 2{\log _a}b + 3{\log _a}c = 2.2 + 3.3 = 13.\)
Với mọi \(a,b\) thỏa mãn \({\log _2}{a^3} + {\log _2}b = 5\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?
\({a^3}b = 32\).
\({a^3}b = 25\).
\({a^3} + b = 25\).
\({a^3} + b = 32\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \({\log _2}{a^3} + {\log _2}b = 5\)\( \Leftrightarrow {\log _2}{a^3}b = 5\)\( \Leftrightarrow {a^3}b = {2^5} = 32\).
Trong các hàm số sau đây hàm số nào không phải là hàm số mũ?
5x3
y = (3)x
y = 4-x
y = x-4
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = {x^{ - 4}}\)không phải là hàm số mũ.
Tập xác định của hàm số \({\rm{y}} = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x\) là
\(\left[ {0; + \infty } \right)\) .
\(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) .
\((0; + \infty )\).
\(\left[ {2; + \infty } \right)\) .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hàm số \({\rm{y}} = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x\) xác định khi \(x > 0\).
Do đó tập xác định của hàm số \({\rm{y}} = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x\) là \((0; + \infty )\).
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _3}\left( {13 - {x^2}} \right) \ge 2\) là
\(\left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2: + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;2} \right]\).
\(\left( {0;2} \right]\).
\(\left[ { - 2;2} \right]\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\({\log _3}\left( {13 - {x^2}} \right) \ge 2\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}13 - {x^2} > 0\\13 - {x^2} \ge {3^2}\end{array} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \sqrt {13} < x < \sqrt {13} \\ - 2 \le x \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 \le x \le 2\].
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(D = \left[ { - 2;2} \right]\).
Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x + 1}} > 1\) là
\(( - \infty ;0)\).
\((0; + \infty )\).
\(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right)\).
\(\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x + 1}} > 1\)\( \Leftrightarrow 2x + 1 < 0 \Leftrightarrow x < - \frac{1}{2}\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(D = \left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right)\).
Số nghiệm của phương trình \[{\log _3}x.{\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 2{\log _3}x\] là
\[3.\]
\[0.\]
\[2.\]
\[1.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Điều kiện: \(x > \frac{1}{2}\).
\[{\log _3}x.{\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 2{\log _3}x \Leftrightarrow {\log _3}x.\left[ {{{\log }_3}\left( {2x - 1} \right) - 2} \right] = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _3}x = 0\\\left[ {{{\log }_3}\left( {2x - 1} \right) - 2} \right] = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\2x - 1 = 9\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 5\end{array} \right.\] (thỏa mãn điêu kiện).
Vậy phương trình có hai nghiệm.
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \({x_0}\) thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \({M_0}({x_0},{y_0})\)là
\(y - {y_0} = y'({x_0})(x - {x_0}).\)
\(y + {y_0} = y'({x_0})(x - {x_0}).\)
\(y - {y_0} = y'({x_0})(x + {x_0}).\)
\(y + {y_0} = y'({x_0})(x + {x_0}).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \({x_0}\) thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \({M_0}({x_0},{y_0})\) là \(y - {y_0} = y'({x_0})(x - {x_0}).\)
Hàm số \[y = \cos x\] có đạo hàm là:
\[y' = - \sin x\].
\[y' = - \cos x\].
\[y' = \sin x\].
\[y' = \frac{1}{{\cos x}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\[y' = {\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x\].
Đạo hàm của hàm số \(y = {x^3}\) là
\(3{x^2} - 2.\)
\(3{x^2}.\)
\(3{x^3} - 2.\)
\(2{x^2} - 2.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(y' = {\left( {{x^3}} \right)^\prime } = 3{x^2}\).
Cho hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\). Tính \(y'\left( 3 \right)\).
\(\frac{5}{2}.\)
\( - \frac{3}{4}.\)
\( - \frac{3}{2}.\)
\(\frac{3}{4}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(y' = \frac{{\left( {x - 1} \right) - \left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).
Có \(y'\left( 3 \right) = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {3 - 1} \right)}^2}}} = - \frac{3}{4}\).
Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{{x^4}}}{2} + \frac{{5{x^3}}}{3} - \sqrt {2x} + {a^2}\) ( là hằng số) bằng
\(2{x^3} + 5{x^2} - \frac{1}{{\sqrt {2x} }} + 2a\).
\(2{x^3} + 5{x^2} + \frac{1}{{2\sqrt {2x} }}\).
\(2{x^3} + 5{x^2} - \frac{1}{{\sqrt {2x} }}.\)
\(2{x^3} + 5{x^2} - \sqrt 2 \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(y' = {\left( {\frac{{{x^4}}}{2} + \frac{{5{x^3}}}{3} - \sqrt {2x} + {a^2}} \right)^\prime } = 2{x^3} + 5{x^2} - \frac{1}{{\sqrt {2x} }}\).
Cho hàm số \(y = \cos 3x.\sin 2x\). Tính \(y'\left( {\frac{\pi }{3}} \right)\).
\(\frac{1}{2}.\)
\( - \frac{1}{2}.\)
\( - 1.\)
\(1.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(y' = {\left( {\cos 3x.\sin 2x} \right)^\prime }\)\( = - 3\sin 3x\sin 2x + 2\cos 3x\cos 2x\)
\(y'\left( {\frac{\pi }{3}} \right)\)\( = - 3\sin \pi \sin \frac{{2\pi }}{3} + 2\cos \pi \cos \frac{{2\pi }}{3}\)\( = 1\).
Hàm số nào dưới đây có đạo hàm cấp hai là \(6x\)?
\[y = 3{x^2}.\]
\[y = 2{x^3}.\]
\[y = {x^3}.\]
\[y = {x^2}.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \[y' = {\left( {{x^3}} \right)^\prime } = 3{x^2};y'' = 6x\].
Cho hàm số \[y = {x^3} - 3{x^2} + x + 1\]. Phương trình \(y'' = 0\) có nghiệm.
\[x = 2\].
\[x = 4\].
\[x = 1\].
\[x = 3\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \[y' = 3{x^2} - 6x + 1\], \[y'' = 6x - 6\]\[ \Rightarrow y'' = 0\]\[ \Leftrightarrow x = 1\].
Vậy nghiệm của phương trình \(y'' = 0\) có nghiệm là \(x = 1\).
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.MNPQ\), đường thẳng nào dưới đây vuông góc với đường thẳng\(AD\)?
\(BC\) .
\(AB\)
\(NP\).
\(CM\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Có \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AB \bot AD\).
Cho hai đường thẳng phân biệt \(a,b\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\), trong đó \(a \bot \left( P \right)\). Chọn mệnh đề sai.
Nếu \(b//a\) thì \(b//\left( P \right)\).
Nếu \(b//a\) thì \(b \bot \left( P \right)\).
Nếu \(b \bot \left( P \right)\) thì \(b//a\).
Nếu \(b//\left( P \right)\) thì \(b \bot a\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Nếu \(a \bot \left( P \right)\) và \(b//a\) thì \(b \bot \left( P \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = a,AD = a\sqrt 2 .\) Cạnh bên \(SA \bot (ABCD)\) và \(SA = 3a.\) Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \((ABCD)\) bằng
\(45^\circ .\)
\(90^\circ .\)
\(30^\circ .\)
\(60^\circ .\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \) hình chiếu của \(SC\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(AC\).
Do đó góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là \(\widehat {SCA}\).
Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AC = BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt 3 \).
Xét \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\), có \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{3a}}{{a\sqrt 3 }} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SCA} = 60^\circ .\)
Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Gọi \(\alpha \) là góc nhị diện \(\left[ {A,B'C',A'} \right]\). Tính giá trị của \(\tan \alpha \).
\(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}.\)
\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}.\)
\(\frac{{3\sqrt 2 }}{2}.\)
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
![Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi alpha là góc nhị diện [A,B'C',A']. Tính giá trị của tan alpha. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid2-1766566421.png)
Gọi \(H\) là trung điểm của \(B'C'\).
Vì \(A'H \bot B'C'\) (do \(\Delta A'B'C'\) đều) và \(AH \bot B'C'\) (do \(\Delta AB'C'\)cân tại \(A\))
Nên \(\left[ {A,B'C',A'} \right] = \widehat {AHA'}\).
Vì \(\Delta A'B'C'\) đều cạnh \(a\) nên \(A'H = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Xét \(\Delta AA'H\) vuông tại \(A'\), \(\tan \widehat {AHA'} = \frac{{AA'}}{{A'H}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
Cho các đường thẳng \(a,b\) và các mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\left( \beta \right)\). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
\(\left. \begin{array}{l}a \bot \left( \alpha \right)\\a \subset \left( \beta \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\).
\(\left. \begin{array}{l}a \bot b\\a \bot \left( \alpha \right)\end{array} \right\} \Rightarrow b//\left( \alpha \right)\).
\(\left. \begin{array}{l}a \bot b\\a \subset \left( \alpha \right)\\b \subset \left( \beta \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\).
\(\left. \begin{array}{l}\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\\a \subset \left( \alpha \right)\\b \subset \left( \beta \right)\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot b\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(\left. \begin{array}{l}a \bot \left( \alpha \right)\\a \subset \left( \beta \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Gọi \(I\) là trung điểm cạnh \(AC\), \(H\) là hình chiếu của \(I\) trên \(SC\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\left( {SBC} \right) \bot \left( {IHB} \right)\).
\(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).
\(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBC} \right)\).
\(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Có \(AB \bot AC\) (do \(\Delta ABC\) là tam giác vuông tại \(A\)) (1).
Mà \(SA \bot \left( {ABC} \right)\)\( \Rightarrow SA \bot AB\) (2).
Từ (1) và (2), ta có \(AB \bot \left( {SAC} \right)\)\( \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).
Cho hình lập phương ( như hình vẽ). Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(CD\) và \(AA'\)là
\(BB'\).
\(AD\).
\(CA\).
\(CC'.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Có \(AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AA' \bot AD\) tại \(A\) mà \(AD \bot CD\) tại D.
Do đó đoạn vuông góc chung của \(AA'\) và \(CD\) là \(AD\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\), \(AB = a\), \(AC = a\sqrt 3 \), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SA = 2a\). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng
\(\frac{{a\sqrt {57} }}{{19}}\).
\(\frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}\).
\(\frac{{2a\sqrt 3 }}{{19}}\).
\(\frac{{2a\sqrt {38} }}{{19}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Hạ \(AD \bot BC\) tại \(D\) mà \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\). Suy ra \(BC \bot \left( {SAD} \right)\).
Hạ \(AE \bot SD\) tại \(E\)(1).
Vì \(BC \bot \left( {SAD} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot AE\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(AE \bot \left( {SBC} \right)\) hay \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AE\).
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(\frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\).
Xét \(\Delta SAD\) vuông tại A có \(\frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}}\)\( = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}}\).
Do đó \(\frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{{19}}{{12{a^2}}} \Rightarrow AE = \frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}\).
Cho khối chóp \(S.ABC\) có chiều cao bằng 3, đáy \(ABC\) có diện tích bằng \(10\). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng
\(15\).
\(10\).
\(2\).
\(30\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Có \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.h = \frac{1}{3}.10.3 = 10\).
Thể tích của khối chóp cụt đều có chiều cao \(h\) và \(S,S'\)lần lượt là diện tích đáy lớn và đáy nhỏ là
\(V = \frac{1}{3}h\left( {S + \sqrt {SS'} + S'} \right).\)
\(V = \frac{1}{6}Sh.\)
\(V = S'h.\)
\(V = \frac{1}{3}h\left( {S + SS' + S'} \right).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(V = \frac{1}{3}h\left( {S + \sqrt {SS'} + S'} \right).\)
Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác đều cạnh \(a\). Biết \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] và \(SA = a\sqrt 3 \). Gọi \[M;\,N\,;P\] lần lượt là trung điểm của \[SA;\,SB\,;\,SC\]. Tính thể tích khối chóp \[MNP.ABC\].
\(\frac{a}{4}\).
\(\frac{{{a^3}}}{{12}}\).
\(\frac{{7{a^3}}}{{32}}\).
\(\frac{{3{a^3}}}{{32}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 3 .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}}}{4}\).
Vì \(\frac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}}.\frac{{SP}}{{SC}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8}\).
Do đó \({V_{S.MNP}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABC}} = \frac{1}{8}.\frac{{{a^3}}}{4} = \frac{{{a^3}}}{{32}}\).
Suy ra \({V_{MNP.ABC}} = {V_{S.ABC}} - {V_{S.MNP}} = \frac{{7{a^3}}}{{32}}.\)
Một chiếc máy có hai động cơ I và II hoạt động độc lập nhau. Xác suất để động cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,9. Hãy tính xác suất để
a) Cả hai động cơ đều chạy tốt.
b) Có ít nhất một động cơ chạy tốt.
Hướng dẫn giải
a) Gọi A là biến cố "Động cơ I chạy tốt"; B là biến cố "Động cơ II chạy tốt"; C là biến cố "Cả hai động cơ chạy tốt".
Ta có C = AB và các biến cố A, B độc lập.
Do đó, ta có: \(P(C) = P(AB) = P(A).P(B) = 0,8.0,9 = 0,72\).
b) Gọi D là biến cố "Cả hai động cơ đều chạy không tốt"; E là biến cố "Cả hai động cơ có ít nhất một động cơ chạy tốt"
Ta có \(D = \overline {A\,} \overline {B\,} \) và các biến cố \(\overline {A\,} \), \(\overline {B\,} \) độc lập.
Do đó, ta có:
\(P(D) = P(\overline {\rm{A}} \overline {B\,} ) = P(\overline {\rm{A}} ).P(\overline {B\,} ) = (1 - P(A))(1 - P(B)) = 0,2.0,1 = 0,02\).
\( \Rightarrow P(E) = 1 - P(D) = 0,98\).
Một con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát, có phương trình chuyển động \(x = 4\cos \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) + 3\), trong đó \(t\) tính bằng giây và \(x\) tính bằng centimét. Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời của con lắc bằng 0.
Hướng dẫn giải
Vận tốc tức thời của con lắc là \(v(t) = x'(t) = - 4\pi \,\sin \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\) (m/s).
Khi vận tốc tức thời của con lắc bằng 0 thì
\(\begin{array}{l} - 4\pi \,\sin \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \pi t - \frac{{2\pi }}{3} = k\pi \,(k \in \mathbb{N})\\ \Leftrightarrow \pi t = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \,(k \in \mathbb{N}) \Leftrightarrow t = \frac{2}{3} + k\,(k \in \mathbb{N})\end{array}\)
Vậy khi \(t = \frac{2}{3} + k\,(k \in \mathbb{N})\)thì vận tốc con lắc bằng 0.
Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng là hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy dài 262 mét, cạnh bên dài 230 mét. Biết kho báu được đặt ở tâm của đáy kim tự tháp. Hãy xác định vị trí để đào con đường đến kho báu sao cho đoạn đường ngắn nhất.
Hướng dẫn giải
Ta giả sử các cạnh và đỉnh của kim tự tháp như hình vẽ.
H là tâm của đáy, I là trung điểm của BC.
Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(262{\rm{m}}\) nên \(AC = 262\sqrt 2 \Rightarrow HC = 131\sqrt 2 \).
Xét \(\Delta SHC\) vuông tại \(H,\) có
\(SH = \sqrt {S{C^2} - H{C^2}} = \sqrt {{{230}^2} - {{(131\sqrt 2 )}^2}} = \sqrt {18578} \approx 136\)(m).
Vậy chiều cao của kim tự tháp là khoảng 136 mét.
Kẻ HJ vuông góc với SI, suy ra HJ là đoạn đường ngắn nhất.
Trong tam giác SHI vuông tại H, HJ là đường cao, ta có: \(\frac{1}{{H{J^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{18578}} + \frac{1}{{17161}} = \frac{{35739}}{{18578.17161}}\)
\( \Rightarrow H{J^2} = \frac{{18578.17161}}{{35739}} \Rightarrow HJ \approx 94\) (m)
\( \Rightarrow IJ = \sqrt {H{I^2} - H{J^2}} = \sqrt {{{131}^2} - {{94}^2}} \approx 91\) (m).
Vậy vị trí để đào con đường đến kho báu sao cho đoạn đường ngắn nhất là tại điểm J nằm trên trung tuyến của mặt bên, cách cạnh đáy kim tự tháp khoảng 91 mét.
