Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 1
38 câu hỏi
Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ \[21\] số nguyên dương đầu tiên. Xác xuất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng:
\(\frac{{11}}{{21}}\).
\(\frac{{221}}{{441}}\).
\(\frac{{10}}{{21}}\).
\(\frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Số cách chọn 2 số trong 21 số nguyên dương đầu tiên là \(C_{21}^2 = 210\) (cách).
Trong 21 số nguyên dương đầu tiên có 11 số lẻ và 10 số chẵn.
Để tổng hai số chọn được là số chẵn thì 2 số được chọn có cùng tính chẵn lẻ tức là cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
TH1: Hai số được chọn cùng lẻ có \(C_{11}^2 = 55\) (cách)
TH2: Hai số được chọn cùng chẵn có \(C_{10}^2 = 45\)(cách).
Vậy xác xuất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng: \(\frac{{55 + 45}}{{210}} = \frac{{10}}{{21}}\).
Cho biểu thức: \(P = {x^{\frac{3}{2}}}.\sqrt[5]{x}\) với \(x > 0\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\[{x^{\frac{{17}}{{10}}}}\].
\[{x^{\frac{3}{{10}}}}\].
\[{x^{\frac{4}{7}}}\].
\[{x^{\frac{{13}}{2}}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(P = {x^{\frac{3}{2}}}.\sqrt[5]{x}\)\( = {x^{\frac{3}{2}}}.{x^{\frac{1}{5}}} = {x^{\frac{{17}}{{10}}}}\).
Cho \(a\) là số thực dương khác \[1\]. Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số dương \(x,{\rm{ }}y\)?
\({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x + {\log _a}y\).
\({\log _a}\frac{x}{y} = \frac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_a}y}}\).
\({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}\left( {x - y} \right)\).
\({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y\).
Tập xác định của hàm số \(y = {\log _2}\left( {x - 2} \right)\) là
\(D = \mathbb{R}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
\(D = \left( {2; + \infty } \right)\).
\(D = \left( { - \infty ;2} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Điều kiện \(x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2.\)
Tập xác định của hàm số \(D = \left( {2; + \infty } \right)\).
Nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 2\) là
\[x = \frac{{11}}{2}\].
\[x = 10\].
\[x = 5\].
\[x = 4\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \({\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 2\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 > 0\\2x - 1 > {3^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\x = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5\).
Nghiệm của phương trình \({3^{x - 2}} = 9\) là.
\(x = 4\).
\(x = - 3\).
\(x = - 4\).
\(x = 3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \({3^{x - 2}} = 9\)\( \Leftrightarrow {3^{x - 2}} = {3^2} \Leftrightarrow x - 2 = 2 \Leftrightarrow x = 4\).
Tập nghiệm của bất phương trình sau: \[\log \left( {x - 21} \right) + \log x < 2\] là
\(\left( { - 4;25} \right)\).
\(\left( {25; + \infty } \right)\).
\(\left( {0;25} \right)\).
\(\left( {21;25} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Điều kiện: \(x > 21\).
Ta có \[\log \left( {x - 21} \right) + \log x < 2\]
\[ \Leftrightarrow \log \left[ {x\left( {x - 21} \right)} \right] < 2\]
\[ \Leftrightarrow x\left( {x - 21} \right) < 100\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} - 21x - 100 < 0\]
\[ \Leftrightarrow - 4 < x < 25\].
Kết hợp với điều kiện, ta có tập nghiệm của phương trình là \(S = \left( {21;25} \right)\).
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({7^{ - {x^2} - 5x + 7}} > {\left( {\frac{1}{7}} \right)^{2x + 3}}\) là
8.
3
2.
6.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\({7^{ - {x^2} - 5x + 7}} > {\left( {\frac{1}{7}} \right)^{2x + 3}}\)
\( \Leftrightarrow {7^{ - {x^2} - 5x + 7}} > {7^{ - 2x - 3}}\)
\( \Leftrightarrow - {x^2} - 5x + 7 > - 2x - 3\)
\( \Leftrightarrow - {x^2} - 3x + 10 > 0\)
\( \Leftrightarrow - 5 < x < 2\).
Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1;0;1} \right\}\).
Phương trình \({\log _2}\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) = 2x + 1\) có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?
\(1\).
\(3\).
\(2\).
\(0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Điều kiện: \({3.2^x} - 1 > 0 \Leftrightarrow {2^x} > \frac{1}{3} \Leftrightarrow x > {\log _2}\frac{1}{3}\).
\({\log _2}\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) = 2x + 1\)
\( \Leftrightarrow {3.2^x} - 1 = {2^{2x + 1}}\)
\( \Leftrightarrow {2.2^{2x}} - {3.2^x} + 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} = {2^{\frac{1}{2}}}\\{2^x} = 1\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\x = 0\end{array} \right.\) (thỏa mãn).
Vậy phương trình có hai nghiệm thực.
Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\) tại \({x_0} = 2\) bằng
\(\frac{1}{4}\).
\( - \frac{1}{4}\).
\(2\).
\(0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Có \(f'\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^2}}}\); \(f'\left( 2 \right) = - \frac{1}{{{2^2}}} = - \frac{1}{4}\).
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\) tại \({x_0} = 1\) có hệ số góc
\(k = 2\).
\(k = 1\).
\(k = 0\).
\(k = - 2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(f'\left( x \right) = 2x\).
Ta có hệ số góc của tiếp tuyến tại \({x_0} = 1\) là \(f'\left( 1 \right) = 2.1 = 2\).
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {e^x}\) tại \({x_0} = 0\) có phương trình
\(y = 1\).
\(y = x\).
\(y = x + 1\).
\(y = - x + 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Có \(y' = {e^x}\). Có \(y'\left( 0 \right) = {e^0} = 1\).
Với \({x_0} = 0\) thì \({y_0} = 1\).
Vậy tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {e^x}\) tại điểm \(\left( {0;1} \right)\)có phương trình là \(y = x + 1\).
Đạo hàm của hàm số \(y = \sin x\) bằng
\(\sin x\).
\( - \sin x\).
\(\cos x\).
\( - \cos x\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(y' = {\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x\).
Đạo hàm của hàm số \(y = {10^x}\) bằng
\({10^x}\).
\(\frac{1}{{{{10}^x}}}\).
\({10^x}.\ln 10\).
\(\frac{{{{10}^x}}}{{\ln 10}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(y' = {\left( {{{10}^x}} \right)^\prime } = {10^x}\ln 10\).
Đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left( {2x - 3} \right)\) bằng
\(\frac{1}{{2x - 3}}\).
\(\frac{2}{{2x - 3}}\).
\(\ln \left( {2x - 3} \right)\).
\(\frac{2}{{\ln \left( {2x - 3} \right)}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \(y' = {\left[ {\ln \left( {2x - 3} \right)} \right]^\prime } = \frac{2}{{2x - 3}}\).
Đạo hàm của hàm số \(y = x\ln x\) bằng
\(1\).
\(\ln x + x\) .
\(\ln x\).
\(\ln x + 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(y' = {\left( {x\ln x} \right)^\prime } = \ln x + x.\frac{1}{x} = \ln x + 1.\)
Một viên đạn được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng theo phương trình \(y = 196t - \frac{1}{2}g{t^2}\) (bỏ qua sức cản của không khí). Khi đó viên đạn có thể bay xa cách mặt đất bao nhiêu mét thì dừng lại và rơi xuống (lấy \(g = 9,8\;{\rm{m}}/{{\rm{s}}^2}\) )?
\(1690\).
\(1955\).
\(1960\).
\(1940\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(v\left( t \right) = y' = 196 - 9,8t\).
Do đó \(v = 0 \Leftrightarrow 196 - 9,8t = 0 \Leftrightarrow t = 20\)(s).
Vậy khi \(t = 20s\) thì viên đạn bắt đầu rơi, lúc đó viên đạn cách mặt đất:
\(y = 196.20 - \frac{1}{2}{.9,8.20^2} = 1960{\rm{m}}\).
Đạo hàm cấp hai của hàm số \[f\left( x \right) = {x^4} - 4{x^2} + 3\] bằng
\[f''\left( x \right) = 12{x^2} - 8\].
\[f''\left( x \right) = 4{x^3} - 8x\].
\[f''\left( x \right) = 12{x^2} + 8\].
\[f''\left( x \right) = 4{x^3} + 8x\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \[f'\left( x \right) = 4{x^3} - 8x\]; \[f''\left( x \right) = 12{x^2} - 8\].
Đạo hàm cấp hai của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{{x + 2}}\] tại\[{x_0} = 2\] bằng
\[32\].
\[\frac{1}{{32}}\].
\[ - \frac{1}{{32}}\].
\[ - 32\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Có \[f'\left( x \right) = - \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\]; \[f''\left( x \right) = \frac{2}{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}\].
Do đó \[f''\left( 2 \right) = \frac{2}{{{{\left( {2 + 2} \right)}^3}}} = \frac{1}{{32}}\].
Trong không gian cho hai đường thẳng \(a,\,b\). Góc giữa hai đường thẳng là\[\left( {a,b} \right)\]. Khẳng định nào sau đây là đúng.
\[0^\circ < \left( {a,b} \right) < 90^\circ \].
\[0^\circ < \left( {a,b} \right) < 180^\circ \].
\[0^\circ \le \left( {a,b} \right) \le 90^\circ \].
\[0^\circ \le \left( {a,b} \right) \le 180^\circ \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \[0^\circ \le \left( {a,b} \right) \le 90^\circ \].
Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng D cho trước?
2.
3.
Vô số.
1.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Trong không gian cho đường thẳng D không nằm trong mặt phẳng \[(P)\]. Đường thẳng D được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu đường thẳng \(\Delta \):
vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong \[(P)\].
vuông góc với đường thẳng \(a\) mà \(a\) song song với mặt phẳng \[(P)\].
vuông góc với một đường thẳng \(a\) nằm trong mặt phẳng \[(P)\].
vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \[(P)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Dựa vào định nghĩa, ta có đường thẳng D được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Đường thẳng \(a\) vuông góc với hai đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng \[(P)\] thì :
\(a\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right).\)
\(a\) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right).\)
\(a\) không thể vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right).\)
\(a\) có thể vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng \(a\) vuông góc với hai đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng \[(P)\] thì \(a\) có thể vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right).\)
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho.
Góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng (P) khi a và b song song (hoặc a trùng với b).
Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).
Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng (P) thì a song song với b.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng (P) khi a và b song song (hoặc a trùng với b).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\), \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\). Góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây ?
\(\left( {SO,BD} \right)\).
\(\left( {SB,OB} \right)\).
\(\left( {SB,OC} \right)\).
\(\left( {SB,AC} \right)\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(OB\) là hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Do đó góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(OB\).
Cho hình lập phương (như hình vẽ). Mặt phẳng \[(ABCD)\]vuông góc mặt phẳng nào dưới đây?
\[(A'B'BA)\].
\[(A'B'C'D')\].
\[(A'B'CD)\].
\[(ABC'D')\] .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Có \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên \[(A'B'BA) \bot \left( {ABCD} \right)\].
Trong không gian, cho đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\). Có bao nhiêu mặt phẳng chứa đường thẳng \(a\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Có duy nhất một.
Có vô số.
Có một hoặc vô số.
Không có.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Nếu \(a \subset \left( P \right)\) thì có duy nhất một mặt phẳng chứa \(a\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Nếu \(a\not \subset \left( P \right)\) thì có vô số mặt phẳng chứa \(a\) và vuông góc với \(\left( P \right).\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước.
Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
A sai. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song hoặc trùng nhau.
B sai. Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước thì có vô số mặt phẳng qua đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng đó. Nếu đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng cho trước thì không có mặt phẳng nào vuông góc với mặt phẳng đó.
D sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao tuyến vuông góc với mặt phẳng kia).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA \bot (ABCD),\)(minh họa như hình vẽ). Khoảng cách từ điểm \(S\) đến mặt phẳng \((ABCD)\) bằng đoạn thẳng nào?
\(SA\).
\(SB\).
\(SC\).
\(SD\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = SA\).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\)cạnh là 2a ( minh họa như hình vẽ).
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \[\left( {A'B'C'D'} \right)\] bằng:
\(a.\)
\(\frac{{2a\sqrt 2 }}{2}.\)
\(2a.\)
\(\sqrt 5 a.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Có \(\left( {ABCD} \right)//\left( {A'B'C'D'} \right)\) mà \(BB' \bot \left( {ABCD} \right);BB' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)\)
Nên \(d\left( {\left( {ABCD} \right),\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = BB' = 2a.\)
Cho hình lăng trụ đứng \[ABC.A'B'C'\] có đáy là tam giác vuông cân tại \[B\] và \[AB = 4\] (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ \[C\] đến mặt phẳng \[\left( {ABB'A'} \right)\] là:
![Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại B và AB = 4 (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ C đến mặt phẳng [ABB'A'] là: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid2-1766482904.png)
\[2\sqrt 2 \].
\[2\].
\[4\sqrt 2 \].
\[4.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(B\) nên \(AB = BC = 4\) và \(AB \bot BC\) (1).
Do \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng nên \(BB' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow BB' \bot BC\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(BC \bot \left( {ABB'A'} \right)\).
Vậy \(d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = CB = 4\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật. Biết \(AD = 2a,SA = a\). Khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {SCD} \right)\) bằng?
\[\frac{{3a}}{{\sqrt 7 }}\].
\(\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\).
\(\frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\).
\(\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hạ \(AH \bot SD\) tại \(H\).
Do \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(CD \bot AD\) (1).
Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(CD \bot \left( {SAD} \right)\)\( \Rightarrow CD \bot AH\) mà \(AH \bot SD\) \( \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right)\).
Do đó \(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH\).
Xét \(\Delta SAD\) vuông tại \(A\)có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}.\)
Chọn câu đúng.
Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật.
Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình thang cân.
Các mặt đáy của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật.
Các mặt đáy của hình lăng trụ đứng là các hình tam giác.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Hình lăng trụ đứng có các mặt bên là các hình chữ nhật.
Hình chóp tứ giác đều có mặt bên là hình gì?
Tam giác cân.
Tam giác đều.
Tam giác vuông.
Tam giác vuông cân.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Hình chóp tứ giác đều có các cạnh bên bằng nhau do đó các mặt bên của hình chóp tứ giác đều là các tam giác cân.
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \[AA' = 2a,\] tam giác \(ABC\) vuông cân và \(AB = BC = a\). Khoảng cách từ điểm \(C'\) đến mặt phẳng \(\left( {AB'C} \right)\) bằng
\(\frac{{2a}}{3}\).
\(\frac{3}{{2a}}\).
\(a\sqrt {\frac{2}{3}} \).
\(\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(BCC'B'\) là hình chữ nhật.
Khi đó \(d\left( {C',\left( {AB'C} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {AB'C} \right)} \right) = h\).
Có \(BB',BC,BA\) đôi một vuông góc nên
\(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{B{{B'}^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}} + \frac{1}{{B{A^2}}}\)\( = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{9}{{4{a^2}}}\)\( \Rightarrow h = \frac{{2a}}{3}\).
a) Tính đạo hàm hàm số \(y = {x^3} - \sin x + 5\).
b) Cho mạch điện như Hình 5. Lúc đầu tụ điện có điện tích \({Q_0}\). Khi đóng khóa \(K\), tụ điện phóng điện qua cuộn dây, điện tích \(q\) của tụ điện phụ thuộc vào thời gian \(t\) theo công thức \(q\left( t \right) = {Q_0}\sin \omega t\), trong đó \(\omega \) là tốc độ góc. Biết rằng cường độ \(I\left( t \right)\) của dòng điện tại thời điểm \(t\) được tính theo công thức \(I\left( t \right) = q'(t)\). Cho biết \({Q_0} = {10^{ - 8}}\left( {\rm{C}} \right)\) và \(\omega = {10^6}\pi \) (rad/s). Tính cường độ của dòng điện tại thời điểm \(t = 6\left( {\rm{s}} \right)\) (tính chính xác đến \({10^{ - 5}}\left( {{\rm{mA}}} \right)\)).
Hướng dẫn giải
a) \(y' = 3{x^2} - \cos x.\)
b) Ta có \(q\left( t \right) = {10^{ - 8}}\sin {10^6}\pi t\)
Ta có cường độ dòng điện tại thời điểm \(t\) là \(I\left( t \right) = q'\left( t \right) = {\left( {{{10}^{ - 8}}\sin {{10}^6}\pi t} \right)^\prime } = {10^{ - 2}}\pi \cos {10^6}\pi t.\)
Cường độ của dòng điện tại thời điểm \(t = 6\left( {\rm{s}} \right)\) là \(I\left( 6 \right) = {10^{ - 2}}\pi \cos {10^6}\pi .6 \approx 0,0314\left( {\rm{A}} \right)\).
Cho hình vuông \(ABCD\) và tam giác đều \(SAB\) cạnh \(a\) nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AD\).
a) Chứng minh rằng \(\left( {SMD} \right) \bot \left( {SNC} \right)\).
b) Tính khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {SNC} \right)\).
Hướng dẫn giải
a) Vì \(\Delta SAB\) đều, \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(SM \bot AB\).
Mà \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SM \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SM \bot NC\) (1).
Vì \(\Delta DAM = \Delta CDN\) (do \(DA = DC,\widehat A = \widehat D = 90^\circ ;AM = DN\)) nên \(\widehat {DMA} = \widehat {CND}\).
Có \(\widehat {DMA} + \widehat {ADM} = 90^\circ \) nên \(\widehat {CND} + \widehat {ADM} = 90^\circ \).
Suy ra \(CN \bot DM\) (2).
Từ (1) và (2) ta có: \(CN \bot \left( {SMD} \right)\)\( \Rightarrow \left( {SMD} \right) \bot \left( {SNC} \right)\).
b) Gọi \(E = MD \cap CN\)
Hạ \(MH \bot SE\) tại \(H\) mà \(CN \bot MH\)(do \(CN \bot \left( {SMD} \right)\)) nên \(MH \bot \left( {SNC} \right)\).
Do đó \(d\left( {M,\left( {SNC} \right)} \right) = MH\).
Tam giác \(SAB\) đều có SM là trung tuyến nên \(SM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Tam giác \(CND\) vuông có \(DE\) là đường cao nên \(\frac{1}{{D{E^2}}} = \frac{1}{{D{N^2}}} + \frac{1}{{D{C^{^2}}}}\). Suy ra \(DE = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}\)
\[\begin{array}{l}DM = \sqrt {A{M^2} + A{{\rm{D}}^{^2}}} \, = \,\frac{{a\sqrt 5 }}{2}\\ME = \,M{\rm{D}} - DE = \,\frac{{3{\rm{a}}\sqrt 5 }}{{10}}\end{array}\]
\[SM \bot (ABC{\rm{D}})\] nên \(SM \bot ME\).
Tam giác \(SME\) vuông tại \(M\) có \(MH\) là đường cao nên \(\frac{1}{{M{H^2}}} = \frac{1}{{S{M^2}}} + \frac{1}{{M{E^{^2}}}}\).
Suy ra: \(MH = \frac{{3{\rm{a}}\sqrt 2 }}{8}\)
Cho lăng trụ đứng tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy là một tam giác vuông cân tại \(B\), \(AB = AA' = 2a,\)\(M\) là trung điểm \(BC\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AM\) và \(B'C\).
Hướng dẫn giải
Gọi \(N\) là trung điểm \(BB'\)\( \Rightarrow MN//B'C\, \Rightarrow B'C//\left( {AMN} \right)\,\).
Khi đó \(d\left( {AM,B'C} \right) = d\left( {B'C,\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AMN} \right)} \right)\).
Ta có \(BC \cap \left( {AMN} \right) = M\) và \(MB = MC\) nên \(d\left( {C,\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {AMN} \right)} \right)\).
Gọi \(h\) là khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\). Tứ diện\(BAMN\)có \(BA,\,BM,\,BN\) đôi một vuông góc nên: \(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{B{A^2}}} + \frac{1}{{B{M^2}}} + \frac{1}{{B{N^2}}}\)
\(AB = 2a = BC\).
\(BN = \frac{1}{2}BB' = \frac{1}{2}AA' = \frac{{2a}}{2} = a\).
\(BM = \frac{1}{2}BC = a\).
Suy ra \(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{9}{{4{a^2}}} \Rightarrow {h^2} = \frac{{4{a^2}}}{9} \Rightarrow h = \frac{{2a}}{3}\).
