Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 3
38 câu hỏi
Học sinh đó là học sinh nữ và có tên bắt đầu bằng chữ Q.
Học sinh đó là học sinh nữ hoặc có tên bắt đầu bằng chữ Q.
Học sinh đó là học sinh nam và có tên bắt đầu bằng chữ Q.
Học sinh đó là học sinh nam hoặc có tên bắt đầu bằng chữ Q.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(A \cap B\): “Học sinh đó là học sinh nữ và có tên bắt đầu bằng chữ Q”.
\[0,05\].
\[0,85\].
\[0,5\].
\[0,67\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \[A\] và \[B\]là hai biến cố độc lập nên \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = 0,4.0,45 = 0,18\).
Do đó \[P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0,4 + 0,45 - 0,18 = 0,67\].
\(\frac{7}{{12}}\) .
\(\frac{{11}}{{12}}\) .
\(\frac{1}{{12}}\) .
\(\frac{5}{{12}}\) .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \(n\left( \Omega \right) = C_{10}^5 = 252\).
Gọi A là biến cố: “Chọn đúng 3 viên bi xanh”.
Suy ra \(n\left( A \right) = C_7^3.C_3^2 = 105\).
Do đó \(P\left( A \right) = \frac{{105}}{{252}} = \frac{5}{{12}}.\)
\[{a^{\frac{4}{3}}}\].
\[{a^{\frac{5}{9}}}\].
\[{a^2}\].
\[{a^5}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Có \[{a^{\frac{5}{3}}}.{a^{\frac{1}{3}}} = {a^{\frac{5}{3} + \frac{1}{3}}} = {a^2}\].
\[2a.\]
\[a.\]
\[1 - a.\]
\[1 + a.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\[P = \frac{{{a^{\frac{1}{4}}} - {a^{\frac{9}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} - {a^{\frac{5}{4}}}}}\]\[ = \frac{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {1 - {a^2}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {1 - a} \right)}}\]\[ = \frac{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {1 - a} \right)\left( {1 + a} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {1 - a} \right)}} = 1 + a\].
\[{\log _a}\frac{x}{y} = \frac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_a}y}}\].
\[{\log _a}\frac{1}{x} = \frac{1}{{{{\log }_a}x}}\].
\[{\log _a}\left( {x + y} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\].
\[{\log _b}x = {\log _b}a.{\log _a}x\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\[{\log _b}x = {\log _b}a.{\log _a}x\].
\[\frac{{3b + 3ac}}{{c + 2}}\].
\[\frac{{3b + 2ac}}{{c + 2}}\].
\[\frac{{3b + 2ac}}{{c + 3}}\]
\[\frac{{3b + 3ac}}{{c + 1}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Có \[{\log _{27}}5 = a \Rightarrow {\log _3}5 = 3a,{\rm{ }}{\log _8}7 = b \Rightarrow {\log _2}7 = 3b\].
Có \[{\log _{12}}35 = \frac{{{{\log }_2}35}}{{{{\log }_2}12}} = \frac{{{{\log }_2}5 + {{\log }_2}7}}{{{{\log }_2}4 + {{\log }_2}3}} = \frac{{{{\log }_2}3.{{\log }_3}5 + {{\log }_2}7}}{{{{\log }_2}4 + {{\log }_2}3}}\].
Do đó \[{\log _{12}}35 = \frac{{3ac + 3b}}{{2 + c}}\].
\(y = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}\).
\(y = {\left( {\frac{{\rm{e}}}{\pi }} \right)^x}\).
\(y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}\).
\(y = {\left( {0,5} \right)^x}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến khi \(a > 1\).
Mà \(\sqrt 2 > 1\) nên \(y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}\) là hàm đồng biến.
Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đây là dạng đồ thị hàm số mũ \(y = {a^x}\). Hàm số này có \(a > 1\).
Mà đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {2;2} \right)\) nên chọn A.
\[\left( {4;5} \right)\].
\[\left( { - \infty ;4} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)\].
\[\left( { - \infty ;4} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\].
\[\left[ {4;5} \right]\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Điều kiện \[{x^2} - 9x + 20 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 4\\x > 5\end{array} \right.\].
Do đó tập xác định của hàm số là \[D = \left( { - \infty ;4} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\].
\(\alpha = {\log _a}b\).
\(\alpha = {\log _b}a\).
\(\alpha = {\log _a}a\).
\(\alpha = {\log _b}b\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\({a^\alpha } = b\)\( \Leftrightarrow \alpha = {\log _a}b\) với \(a,b\) là hai số dương, \(a \ne 1.\)
\(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 4\end{array} \right.\).
\(x = 4\).
\(x = 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \[{3^{{x^2} - 5x + 5}} = 3\]\[ \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 5 = 1\]\[ \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\].
Phương trình \[{\log _2}x + {\log _2}(x - 1) = 1\] có tập nghiệm là:
\[S = \left\{ {1;3} \right\}\].
\[S = \left\{ 1 \right\}\].
\[S = \left\{ 2 \right\}\].
\[S = \left\{ { - 1;3} \right\}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Điều kiện: \(x > 1\).
\[{\log _2}x + {\log _2}(x - 1) = 1\]\[ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {x(x - 1)} \right] = 1\]\[ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) = 2\]\[ \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 1\end{array} \right.\].
Kết hợp điều kiện, ta có \(x = 2\) là nghiệm của phương trình.
\[f'(2) = 3\].
\[f'(x) = 2\].
\[f'(2) = 2\].
\[f'(x) = 3\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\[f'\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = 2.\]
\[y = {x^5} \Rightarrow y' = 5x\].
\[y = {x^3} \Rightarrow y' = 3{x^2}\].
\[y = x \Rightarrow y' = 1\].
\[y = {x^4} \Rightarrow y' = 4{x^3}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\[y = {x^5} \Rightarrow y' = 5{x^4}.\]
\[f\left( x \right) = 2\sqrt x \].
\[f\left( x \right) = \sqrt x \].
\[f\left( x \right) = \sqrt {2x} \].
\[f\left( x \right) = - \frac{1}{{\sqrt {2x} }}\].
Đáp án đúng là: C
Có \[f'\left( x \right) = {\left( {\sqrt {2x} } \right)^\prime } = \frac{{{{\left( {2x} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {2x} }} = \frac{1}{{\sqrt {2x} }}\].
\[y' = \frac{{{{13}^x}}}{{\ln 13}}\].
\[y' = x{.13^{x - 1}}\].
\[y' = {13^x}\ln 13\].
\[y' = {13^x}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Có \[y' = {\left( {{{13}^x}} \right)^\prime } = {13^x}\ln 13\].
\( - 1\).
\( - 2\).
\( - 12\).
\(1.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Có \(f'\left( x \right) = 2\left( {2x - 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 3} \right)\).
Có \(f'\left( 1 \right) = 2\left( {2.1 - 3} \right)\left( {{1^2} - 3.1 + 3} \right) = - 2\).
\( - \frac{3}{{25}}\).
\(\frac{3}{{25}}\).
\(\frac{1}{{25}}\).
\(\frac{{ - 1}}{{25}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(f'\left( x \right) = {\left( {\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}} \right)^\prime } = \frac{{2\left( {x + 1} \right) - \left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.\)
Có \(f'\left( 4 \right) = \frac{3}{{{{\left( {4 + 1} \right)}^2}}} = \frac{3}{{25}}.\)
6 .
3 .
\( - 12\).
\(12\) .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Có \(f'\left( x \right) = 6{x^2};f''\left( x \right) = 12x\).
Do đó \(f''\left( { - 1} \right) = 12.\left( { - 1} \right) = - 12\).
\[A'B \bot DC'\].
\[A'C' \bot BD\].
\[BC' \bot A'D\].
\[BB' \bot BD\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau nên \(ABCD,ABB'A',BCC'B'\) đều là hình thoi.
\(A'B \bot AB'\) mà \(AB'//DC'\). Do đó \(A'B \bot DC'\).
\(AC \bot BD\) mà \(AC//A'C'\). Do đó \(A'C' \bot BD\).
\(B'C \bot BC'\) mà \(B'C//A'D\). Do đó \[BC' \bot A'D\].
Do đó đáp án D sai.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) như hình vẽ bên
Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng \((ABB'A')\)?
\(AD.\)
\(BB'.\)
\(CC'.\)
\(BD.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Có \(AD \bot AB\) (do \(ABCD\) là hình vuông).
Vì \(AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AA' \bot AD\)mà \(AD \bot AB\) nên \(AD \bot \left( {ABB'A'} \right)\).
BI \[ \bot \] (SAI).
BC \[ \bot \] (SIA).
AJ \[ \bot \] (SBC).
AI \[ \bot \] (SBC).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
+) Vì \(\Delta ABC\) đều, \(I\) là trung điểm của \(BC\) nên \(AI \bot BC\) (1).
Lại có \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(BC \bot \left( {SAI} \right)\). Do đó A, B đúng.
+) Vì \(BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot AJ\) (3).
Vì \(AI\) là đường cao tam giác \(ABC\) đều cạnh a nên \(AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = SA\).
Do đó \(\Delta SAI\) cân tại A mà \(J\) là trung điểm \(SI\) nên \(AJ \bot SI\) (4).
Từ (3) và (4), suy ra \(AJ \bot \left( {SBC} \right)\).
\(BA \bot \left( {SAD} \right).\)
\(BA \bot \left( {SAC} \right).\)
\(BA \bot \left( {SBC} \right).\)
\(BA \bot \left( {SCD} \right).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(BA \bot AD\) (1)
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB\)(2)
Từ (1) và (2), suy ra \(BA \bot \left( {SAD} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot (ABC)\)(như hình vẽ minh hoạ). Khi đó góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \((ABC)\)bằng góc nào sau đây?
\(\widehat {SAB}.\)
\(\widehat {ASB}.\)
\(\widehat {SBC}.\)
\(\widehat {SBA}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)là \(AB\).
Do đó góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \((ABC)\)bằng \(\widehat {SBA}\).
\(\widehat {SBA}\).
\[\widehat {SCA}\].
\(\widehat {ASC}\).
\(\widehat {ASB}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
![Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc phẳng nhị diện [S,BC,A] là (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid5-1766545388.png)
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) mà \(BC \bot AB \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot SB\).
Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SB \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \widehat {SBA}\).
\(30^\circ .\)
\(45^\circ .\)
\(60^\circ .\)
\(90^\circ \) .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
![Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC), đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA = 3a/2. Tính số đo góc phẳng nhị diện [S,BC,A]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid6-1766545470.png)
Gọi \(I\) là trung điểm \(BC \Rightarrow AI \bot BC\) (vì \(ABC\) là tam giác đều).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AI\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot SI\).
Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SI \bot BC\\AI \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \widehat {SIA}\).
Mà \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a \Rightarrow AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Xét \(\Delta SAI\) vuông tại \(A\), ta có: \({\rm{tan}}\widehat {SIA} = \frac{{SA}}{{AI}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SIA} = 60^\circ \).
\((BCD'A').\)
\((ADC'B').\)
\((A'B'C'D').\)
\((ADD'A').\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật nên \(\left( {ADD'A'} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\).
Mệnh đề nào sau đây sai?
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.
Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Đáp án B sai vì hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì 2 đường thẳng đó có thể chéo nhau hoặc cắt nhau.
ACB’D’ .
(ACC’A’) (BDD’B’).
(AA’B’B) (ABCD) .
(AA’B’B) (BCC’B’).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(AC \bot BD\) mà \(BD//B'D'\) nên \(AC \bot B'D'.\)
Vì \(BB' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow BB' \bot AC\) mà \(AC \bot BD\) nên \(AC \bot \left( {BDD'B'} \right)\).
Suy ra \(\left( {ACC'A'} \right) \bot \left( {BDD'B'} \right)\).
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp đứng nên \(\left( {AA'B'B} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\).
Do đó đáp án D sai.
SO.
SA.
SB.
SD.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = SO\).
CD là đoạn vuông góc chung của BC và SD.
CD là đoạn vuông góc chung của SB và SA.
CD là đoạn vuông góc chung của BC và AD.
CD là đoạn vuông góc chung của SB và SD.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Có \(BC \bot CD\) và \(CD \bot AD\) (\(ABCD\) là hình chữ nhật).
Lại có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD\) mà \(CD \bot AD\) \( \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot SD\).
Do đó \(CD\) là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(BC,SD\).
\[a\sqrt 2 \].
\[2a\].
\[a\].
\[a\sqrt 3 \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = SA = 2a\).
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy\[B\] và chiều cao \[h\]. Thể tích \[V\]của khối trụ đã cho được tính theo công thức nào sau đây?
\[V = \frac{1}{3}Bh\].
\[V = Bh\].
\[V = 6Bh\].
\[V = \frac{4}{3}Bh\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \(V = B.h\).
\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
\(\frac{{\sqrt 6 }}{2}\).
\(\sqrt 2 \).
\(\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(AB//D'C'\) và \(AB = D'C'\) (cùng song song và bằng \(CD\)).
Do đó \(ABC'D'\) là hình bình hành. Suy ra \(AD'//BC'\)\( \Rightarrow AD'//\left( {BC'D} \right)\).
Do đó \(d\left( {AD',DC'} \right) = d(AD',\left( {BC'D} \right)) = d\left( {A,\left( {BC'D} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {BC'D} \right)} \right) = h\).
Xét tứ diện \(C.BC'D\) có \(CD,CB,CC'\) đôi một vuông góc.
Ta có:\(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{C{D^2}}} + \frac{1}{{C{B^2}}} + \frac{1}{{C{{C'}^2}}} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{2}\)\( \Rightarrow h = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
a) Tính đạo hàm của hàm số \(y = {2^{{x^2} - 3x}}\).
b) Một chất điểm chuyển động có quãng đường được cho bởi phương trình \(s\left( t \right) = \frac{1}{4}{t^4} - {t^3} + \frac{5}{2}{t^2} + 10t\), trong đó \(t > 0\) với \(t\) tính bằng giây (s) và \(s\) tính bằng mét (m). Tính vận tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm chất điểm có gia tốc chuyển động nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải.
a) Ta có \(y' = {\left( {{2^{{x^2} - 3x}}} \right)^\prime } = {2^{{x^2} - 3x}}\ln 2.{\left( {{x^2} - 3x} \right)^\prime } = \left( {2x - 3} \right){.2^{{x^2} - 3x}}\ln 2\).
b) Gọi \(v\left( t \right)\), \(a\left( t \right)\) lần lượt là vận tốc và gia tốc của chất điểm.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}v\left( t \right) = s'\left( t \right) = {t^3} - 3{t^2} + 5t + 10\\a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t + 5\end{array} \right.\).
Mà \(a\left( t \right) = 3{t^2} - 6t + 5 = 3{\left( {t - 1} \right)^2} + 2 \ge 2\) với mọi \(t\), dấu “\( = \)” xảy ra khi chỉ khi \(t = 1.\)
Suy ra gia tốc chuyển động của chất điểm nhỏ nhất bằng \(2{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\) khi \(t = 1\).
Vận tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm gia tốc nhỏ nhất là
\(v\left( 1 \right) = {\left( 1 \right)^3} - 3 \cdot {1^2} + 5 \cdot 1 + 10 = 13\) \(\left( {{\rm{m/}}\,{\rm{s}}} \right)\).
Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[SA\] vuông góc với đáy; \[SA = a\sqrt 3 \]. Tam giác\[ABC\] đều cạnh \[a\]. Gọi \[I\]là trung điểm của \[AB\].
a) Chứng minh \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).
b) Tính khoảng cách \[SB\] và \[CI\].
Hướng dẫn giải
a) Vì \(\Delta ABC\) đều, \(I\) là trung điểm của \(AB\) nên \(CI \bot AB\).
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot CI\).
Ta có: \(CI \bot AB\) và \(CI \bot SA\)
\( \Rightarrow CI \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow \left( {ABC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).
b) Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(IH \bot SB\) tại \(H\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}IH \bot SB\\IH \bot CI{\rm{ }}\left( {CI \bot \left( {SAB} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {SB;CI} \right) = IH\).
Ta có \(IB = \frac{a}{2};SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = 2a\).
\(\Delta IHB\) vuông tại \(H\) nên:\(IH = IB.\sin \widehat {IBH} = \frac{a}{2}.\frac{{SA}}{{SB}} = \frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{{2a}} = \frac{{\sqrt 3 a}}{4}\).
Để nghiên cứu mối liên quan giữa thói quen hút thuốc lá với bệnh viêm phổi, nhà nghiên cứu chọn một nhóm gồm 5000 người đàn ông. Với mỗi người trong nhóm, người nghiên cứu điều tra xem họ có hút thuốc lá và có bị viêm phổi hay không. Kết quả được thống kê trong bảng sau:
| Viêm phổi | Không viêm phổi |
Nghiện thuốc lá | 752 người | 1236 người |
Không nghiện thuốc lá | 575 người | 2437 người |
Từ bảng thống kê trên, hãy chứng tỏ rằng việc nghiện thuốc lá và mắc bệnh viêm phổi có liên quan với nhau?
Hướng dẫn giải
Gọi A là biến cố “Người đó nghiện thuốc lá”
B là biến cố “Người đó mắc bệnh phổi”
A.B là biến cố “Người đó nghiện thuốc lá và mắc bệnh phổi”
Xác suất để người đó nghiện thuốc lá là \[P(A) = \frac{{752 + 1236}}{{5000}} = \frac{{1988}}{{5000}}\].
Xác suất để người đó mắc bệnh phổi là \[P(B) = \frac{{752 + 575}}{{5000}} = \frac{{1327}}{{5000}}\].
Xác suất để người đó nghiện thuốc lá và mắc bệnh phổi là \[P(A.B) = \frac{{752}}{{5000}}\].
Nhận thấy: \[P(A).P(B) = \frac{{1988}}{{5000}}.\frac{{1327}}{{5000}} \ne \frac{{752}}{{5000}} = P(A.B)\]
Vậy A và B không độc lập hay nghiện thuốc lá và mắc bệnh phổi có liên quan với nhau.
