Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 2
38 câu hỏi
Cho \(a > 0,m,n \in \mathbb{R}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\({a^m} + {a^n} = {a^{m + n}}\).
\({a^m}.{a^n} = {a^{m - n}}\).
\({\left( {{a^m}} \right)^n} = {\left( {{a^n}} \right)^m}\).
\(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{n - m}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Có \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {\left( {{a^n}} \right)^m}.\)
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)\)
\(D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right).\)
\(D = \left[ { - 1;3} \right].\)
\(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right).\)
\(D = \left( { - 1;3} \right).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Điều kiện: \({x^2} - 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 3\end{array} \right.\).
Vậy tập xác định của hàm số là 
Tập xác định của hàm số \(y = {5^x}\) là
\(\mathbb{R}\).
\(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
\(\left[ {0; + \infty } \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
Tập nghiệm của bất phương trình \(\log x \ge 1\) là
\(\left( {10; + \infty } \right)\).
\(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(\left[ {10; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;10} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Điều kiện \(x > 0\).
Ta có \(\log x \ge 1\)\( \Leftrightarrow x \ge 10\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ {10; + \infty } \right)\).
Bất phương trình \({\log _2}\left( {3x - 2} \right) > {\log _2}\left( {6 - 5x} \right)\) có tập nghiệm là \(\left( {a;b} \right)\). Tổng \(a + b\) bằng
\(\frac{8}{3}\).
\(\frac{{28}}{{15}}\).
\(\frac{{26}}{5}\).
\(\frac{{11}}{5}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Điều kiện: \(\frac{2}{3} < x < \frac{6}{5}\).
\({\log _2}\left( {3x - 2} \right) > {\log _2}\left( {6 - 5x} \right)\)
\( \Leftrightarrow 3x - 2 > 6 - 5x\)
\( \Leftrightarrow 8x > 8\)
\( \Leftrightarrow x > 1\).
Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {1;\frac{6}{5}} \right)\).
Khi đó \(1 + \frac{6}{5} = \frac{{11}}{5}\).
Tập nghiệm của bất phương trình \({3^{4 - {x^2}}} \ge 27\) là
\(\left[ { - 1;1} \right]\).
\(\left( { - \infty ;1} \right]\).
\(\left[ { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right]\).
\(\left[ {1; + \infty } \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \({3^{4 - {x^2}}} \ge 27\)\( \Leftrightarrow {3^{4 - {x^2}}} \ge {3^3}\)\( \Leftrightarrow 4 - {x^2} \ge 3\)\( \Leftrightarrow {x^2} \le 1 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 1\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ { - 1;1} \right]\).
Tập nghiệm của bất phương trình \({9^x} + {2.3^x} - 3 > 0\) là
\(\left[ {0; + \infty } \right)\).
\(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(\left( {1; + \infty } \right)\).
\(\left[ {1; + \infty } \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \({9^x} + {2.3^x} - 3 > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^x} < - 3\\{3^x} > 1\end{array} \right.\) mà \({3^x} > 0\) nên \({3^x} > 1 \Leftrightarrow x > 0\).
Do đó tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Một chất điểm chuyển động theo phương trình \(S = - \frac{1}{3}{t^3} + 6{t^2}\), trong đó \(t > 0\), \(t\) được tính bằng giây (s) và tính bằng mét (m). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm \(t = 3\)(giây) bằng
\(33{\rm{m/s}}\).
\({\rm{27m/s}}\).
\(9{\rm{m/s}}\).
\(3{\rm{m/s}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Có \(v\left( t \right) = S'\left( t \right) = - {t^2} + 12t\)
Có \(v\left( 3 \right) = - {3^2} + 12.3 = 27\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{2x - 3}}\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = - 1\) có hệ số góc bằng
5.
\( - \frac{1}{5}\).
\( - 5\).
\(\frac{1}{5}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \(y' = \frac{{\left( {2x - 3} \right) - 2\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}\).
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \({x_0} = - 1\)là:
\(y'\left( { - 1} \right) = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {2.\left( { - 1} \right) - 3} \right)}^2}}} = - \frac{1}{5}\).
Cho \(u = u\left( x \right),v = v\left( x \right)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm \(x\) thuộc khoảng xác định. Mệnh đề nào sau đây sai ?
\({\left( {uv} \right)^\prime } = u'v + uv'.\)
\({\left( {u - v} \right)^\prime } = u' - v'.\)
\({\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'v - uv'}}{v}.\)
\({\left( {u + v} \right)^\prime } = u' + v'.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \({\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}.\)
Đạo hàm của hàm số \(y = \sin x + \cos x\) là
\(y' = - \cos x - \sin x.\)
\(y' = \cos x + \sin x.\)
\(y' = \cos x - \sin x.\)
\(y' = 2\sin x.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(y' = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^\prime } = \cos x - \sin x\).
Mệnh đề nào sau đây sai ?
\({\left( x \right)^\prime } = 1\).
\({\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{\sqrt x }},\left( {x > 0} \right)\).
\({\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{x^{n - 1}}\left( {n \in \mathbb{N},n > 1} \right).\)
\(c' = 0\)(\(c\) là hằng số).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\({\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }},\left( {x > 0} \right)\).
Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 7}}{{x + 4}}\) tại \(x = 2\) ta được:
\(f'\left( 2 \right) = \frac{1}{{36}}\).
\(f'\left( 2 \right) = \frac{{11}}{6}\).
\(f'\left( 2 \right) = \frac{3}{2}.\)
\(f'\left( 2 \right) = \frac{5}{{12}}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{2\left( {x + 4} \right) - \left( {2x + 7} \right)}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}\).
Khi đó \(f'\left( 2 \right) = \frac{1}{{{{\left( {2 + 4} \right)}^2}}} = \frac{1}{{36}}\).
Đạo hàm của hàm số \(y = {\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right)^2}\) bằng:
\(6{x^5} - 20{x^4} - 16{x^3}\).
\(6{x^5} - 20{x^4} + 4{x^3}\).
\(6{x^5} + 16{x^3}\).
\(6{x^5} - 20{x^4} + 16{x^3}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \(y' = 2\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right){\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right)^\prime }\)\( = 2\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right)\left( {3{x^2} - 4x} \right)\)\( = 6{x^5} - 20{x^4} + 16{x^3}.\)
Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} - 5x\). Tập nghiệm của bất phương trình \(y' \ge 0\) là
\(\left[ { - 1;5} \right]\).
\(\emptyset \).
\(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Có \(y' = {x^2} - 4x - 5\).
Để \(y' \ge 0\) thì \({x^2} - 4x - 5 \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le - 1\\x \ge 5\end{array} \right.\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)\).
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \sin 2x\).
\(y'' = 4\cos 2x\).
\(y'' = 4\sin 2x\).
\(y'' = - 4\sin 2x\).
\(y'' = - 4\cos 2x\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(y' = {\left( {\sin 2x} \right)^\prime } = 2\cos 2x\); \(y'' = {\left( {2\cos 2x} \right)^\prime } = - 4\sin 2x\).
Cho hàm số \(y = \sin x\). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
\(y'' + y = 0.\)
\(y'' + y' = 0.\)
\(y' + y = 0.\)
\(y'' + y' + y = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Có \(y' = {\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x\).
\(y'' = {\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x\).
Do đó \(y'' + y = 0.\)
Cho hàm số \(y = {x^5} - 3{x^4} + x + 1\) với \(x \in \mathbb{R}\). Đạo hàm \(y''\) của hàm số là
\(y'' = 5{x^3} - 12{x^2} + 1\).
\(y'' = 5{x^4} - 12{x^3}\).
\(y'' = 20{x^2} - 36{x^3}\).
\(y'' = 20{x^3} - 36{x^2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Có \(y' = 5{x^4} - 12{x^3} + 1\); \(y'' = 20{x^3} - 36{x^2}\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{2x - 1}}\). Tính \(f''\left( { - 1} \right)\).
\( - \frac{8}{{27}}.\)
\(\frac{2}{9}\).
\(\frac{8}{{27}}.\)
\( - \frac{4}{{27}}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(f'\left( x \right) = - \frac{2}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\);
\(f''\left( x \right) = \frac{8}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^3}}}\). Khi đó \(f''\left( { - 1} \right) = \frac{8}{{{{\left( {2.\left( { - 1} \right) - 1} \right)}^3}}} = - \frac{8}{{27}}\).
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + x + 1\). Phương trình \(y'' = 0\) có nghiệm.
\(x = 2\).
\(x = 4\).
\(x = 1\).
\(x = 3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Có \(y' = 3{x^2} - 6x + 1\); \(y'' = 6x - 6\)
Ta có \(y'' = 0\)\( \Leftrightarrow 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 1\).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Góc giữa hai đường thẳng \(A'C'\) và \(BD\) bằng.
\(60^\circ .\)
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(90^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(AC//A'C'\) nên \(\left( {A'C',BD} \right) = \left( {AC,BD} \right) = 90^\circ \) (do \(ABCD\) là hình vuông).
Khẳng định nào sau đây sai?
Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì \(d\) vuông góc với hai đường thẳng trong mặt phẳng\(\left( \alpha \right)\).
Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì \(d\) vuông góc với mặt phẳng\(\left( \alpha \right)\).
Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì \(d\) vuông góc với bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng\(\left( \alpha \right)\).
Nếu \(d \bot \left( \alpha \right)\) và đường thẳng \(a//\left( \alpha \right)\) thì \(d \bot a\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì \(d\) vuông góc với mặt phẳng\(\left( \alpha \right)\)chỉ đúng khi hai đường thẳng đó cắt nhau.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\)là hình vuông, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên \(SB\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(AM \bot SD\).
\(AM \bot \left( {SCD} \right)\).
\(AM \bot CD\).
\(AM \bot \left( {SBC} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(BC \bot AB\) (1).
Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AM\)(3).
Vì \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên \(SB\) nên \(AM \bot SB\) (4).
Từ (3) và (4), suy ra \(AM \bot \left( {SBC} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\); tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\), \(AB = a\) và \(SA = a\sqrt 3 \)(tham khảo hình vẽ bên). Tính số đo theo đơn vị độ của góc nhị diện \(\left[ {A,BC,S} \right]\).
![Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC); tam giác ABC vuông cân tại B, AB = a và SA = a căn bậc hai 3 (tham khảo hình vẽ bên). Tính số đo theo đơn vị độ của góc nhị diện [A,BC,S]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid0-1766541964.png)
\(60^\circ .\)
\(135^\circ \).
\(45^\circ \).
\(90^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Có tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) nên \(AB \bot BC\) (1).
Mà \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\)(2).
Từ (1) và (2), suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot SB\) mà \(AB \bot BC\)
Nên \(\left[ {A,BC,S} \right] = \widehat {SBA}\).
Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A,\)có \(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \)\( \Rightarrow \widehat {SBA} = 60^\circ .\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\). Đường thẳng \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = 2a\). Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(ABCD\) là \(\left( \alpha \right)\). Khi đó \(\tan \alpha \) bằng
\(\sqrt 2 \).
\(\frac{2}{{\sqrt 3 }}\).
\(2\).
\(2\sqrt 2 \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Do đó \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA} = \alpha \).
Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(AC = a\sqrt 2 \).
Xét \(\Delta SAC\) vuông tại \(A,\) có \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \).
Cho lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Góc giữa đường thẳng \(AB'\) và mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) bằng
\(60^\circ .\)
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(90^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Vì \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đều nên \(AA' \bot \left( {A'B'C'} \right)\).
Do đó \(A'B'\) là hình chiếu của \(AB'\) trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\).
Suy ra \(\left( {AB',\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \left( {AB',A'B'} \right) = \widehat {AB'A'}\).
Vì \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đều có tất cả các cạnh bằng \(a\) nên \(\Delta AA'B'\) vuông cân tại \(A'\). Do đó \(\widehat {AB'A'} = 45^\circ .\)
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) song song với nhau và một điểm \(M\)không thuộc \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\). Qua \(M\)có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).
\(3\).
Vô số.
\(1\).
\(2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Qua \(M\)có vô số mặt phẳng vuông góc với \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
\(\left( {ADD'A'} \right)\).
\(\left( {ABC'D'} \right).\)
\(\left( {AB'D'} \right).\)
\(\left( {BDC'} \right).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên \(\left( {ADD'A'} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi và \(SB\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\)?
\(\left( {SBC} \right)\).
\(\left( {SAD} \right)\).
\(\left( {SCD} \right)\).
\(\left( {SAC} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC \bot BD\) (1).
Mà \(SB \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SB \bot AC\) (2).
Từ (1) và (2), ta có \(AC \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) với đáy \(ABCD\) là hình vuông có cạnh \(2a\), \(SA = a\sqrt 6 \) và vuông góc với đáy. Góc \(\left[ {S,BD,A} \right]\) bằng?
\(60^\circ .\)
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(90^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
![Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông có cạnh 2a, SA = a căn bậc hai 6 và vuông góc với đáy. Góc [S,BD,A] bằng? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid5-1766542446.png)
Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC \bot BD\) (1).
Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BD\) (2).
Từ (1), (2) ta có \(BD \bot \left( {SAC} \right)\)\( \Rightarrow BD \bot SO\)
Mà \(AO \bot BD\). Do đó \(\left[ {S,BD,A} \right] = \widehat {SOA}\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\) nên \(AC = 2a\sqrt 2 \Rightarrow AO = a\sqrt 2 \).
Xét \(\Delta SAO\) vuông tại \(A\), ta có \(\tan \widehat {SOA} = \frac{{SA}}{{AO}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SOA} = 60^\circ .\)
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AD = 2a\), \(CD = a,AA' = a\sqrt 2 \). Đường chéo \(AC'\) có độ dài bằng
\(a\sqrt 5 \).
\(a\sqrt 7 \).
\(a\sqrt 6 \).
\(a\sqrt 3 \)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Xét \(\Delta ADC\) vuông tại \(D\), có \(AC = \sqrt {A{D^2} + D{C^2}} = \sqrt {4{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 5 \).
Xét \(\Delta ACC'\) vuông tại C, có \(AC' = \sqrt {A{C^2} + C{{C'}^2}} = \sqrt {5{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt 7 \).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(SA = AB = 2a\), tam giác \(ABC\)vuông tại \(B\) (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng
\(a\sqrt 3 \).
\(a\).
\(2a\).
\(a\sqrt 2 \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hạ \(AH \bot SB\) tại \(H\).
Vì tam giác \(ABC\)vuông tại \(B\) nên \(BC \bot AB\) (1).
Mà \(SA \bot \left( {ABC} \right)\)\( \Rightarrow SA \bot BC\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot AH\) mà \(AH \bot SB\) nên \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).
Do đó \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).
Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A,\) có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}}\)\( = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}}\)\( = \frac{1}{{2{a^2}}} \Rightarrow AH = a\sqrt 2 \).
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Khoảng cách từ tâm \(O\) của đáy tới \(\left( {SCD} \right)\) bằng
\(\frac{a}{{\sqrt 2 }}\).
\(\frac{a}{2}\).
\(\frac{a}{{\sqrt 6 }}\).
\(\frac{a}{{\sqrt 3 }}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hạ \(OE \bot CD\) tại E (1).
Vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow SO \bot CD\) (2).
Từ (1) và (2), ta có \(CD \bot \left( {SOE} \right)\).
Hạ \(OH \bot SE\) tại H (3).
Vì \(CD \bot \left( {SOE} \right)\)\( \Rightarrow CD \bot OH\) (4).
Từ (3) và (4), suy ra \(OH \bot \left( {SCD} \right)\).
Do đó \(d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OH\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(DO = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\); \(OE = \frac{a}{2}\).
Xét \(\Delta SOD\) vuông tại \(O\), có \(SO = \sqrt {S{D^2} - O{D^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Xét \(\Delta SOE\) vuông tại \(O\), có \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{6}{{{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{a}{{\sqrt 6 }}\).
Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) bằng
\(\frac{{a\sqrt {12} }}{7}\).
\(\frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).
\(\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\).
\(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\).
Vì \(\Delta ABC\) đều nên \(AE \bot BC\) mà \(BC \bot AA'\) (do \(AA' \bot \left( {ABC} \right)\)).
Suy ra \(BC \bot \left( {A'AE} \right)\).
Hạ \(AH \bot A'E\) tại H (1).
Vì \(BC \bot \left( {A'AE} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot AH\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(AH \bot \left( {A'BC} \right)\).
Do đó \(d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = AH\).
Vì \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AE = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Xét \(\Delta A'AE\) vuông tại \(A\), ta có
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{{A'}^2}}} + \frac{1}{{A{E^2}}}\)\( = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{7}{{3{a^2}}}\)\( \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).
Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(SA\) vuông góc với đáy và khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\). Tính thể tích của khối chóp đã cho.
\(\frac{{{a^3}}}{3}\).
\({a^3}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\).
\(\frac{{{a^3}}}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Hạ \(AH \bot SB\) tại \(H\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(BC \bot AB\) (1).
Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow SA \bot BC\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot AH\) mà \(AH \bot SB\) nên \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).
Do đó \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A,\) ta có
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} - \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} - \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow SA = a\).
Khi đó \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}.{a^2}.a = \frac{{{a^3}}}{3}\).
Có bao nhiêu số tự nhiên \(x\) không vượt quá \[2023\] thỏa mãn: \({\log _2}\left( {\frac{x}{4}} \right)\log _2^2x \ge 0\)?
Hướng dẫn giải
Điều kiện: \(x > 0\).
\({\log _2}\left( {\frac{x}{4}} \right)\log _2^2x \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{{\log }_2}x - {{\log }_2}4} \right)\log _2^2x \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 0\\\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}x - {\log _2}4 \ge 0\\{\log _2}x \ne 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 4\\0 < x \ne 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x \ge 4\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện \(x > 0\)).
Vậy có \(2021\) số tự nhiên \(x\) thỏa mãn bài ra.
Cho hàm số \(y = - {x^3} + 2x - 2\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(\Delta :x + y + 4 = 0.\)
Hướng dẫn giải
Ta có \(y' = f'(x) = - 3{x^2} + 2,\forall x \in \mathbb{R}.\)
\(\Delta \): \(x + y + 4 = 0 \Rightarrow y = - x - 4 \Rightarrow \)\(\Delta \)có hệ số góc \({k_\Delta } = - 1.\)
Gọi \(d\) là tiếp tuyến thỏa mãn đề bài.
Giả sử \(d\) tiếp xúc với \(\left( C \right)\) tại \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)thì \(d\) có hệ số góc là \({k_d} = f'({x_0}) = - 3{x_0}^2 + 2\).
\(d{\rm{//}}\Delta \Rightarrow \) \({k_d} = {k_\Delta } \Leftrightarrow - 3{x_0}^2 + 2 = - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = - 1\end{array} \right..\)
\({x_0} = 1 \Rightarrow M\left( {1; - 1} \right) \Rightarrow d:y = - x\), thỏa mãn \(d{\rm{//}}\Delta .\)
\({x_0} = - 1 \Rightarrow M\left( { - 1; - 3} \right) \Rightarrow d:y = - x - 4\), trường hợp này \(d \equiv \Delta \) nên không thỏa mãn.
Vậy có duy nhất một tiếp tuyến thỏa mãn đề bài là \(d:y = - x.\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, mặt bên \(SAD\) là tam giác đều cạnh \(2a\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) tạo với mặt phẳng đáy một góc \(30^\circ \). Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\).
Hướng dẫn giải
Gọi \(H\) là trung điểm \(AD\), ta có \(SH \bot AD\), \(\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right),\,\left( {SAD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD\) nên \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SH = a\sqrt 3 \).
Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow SH \bot BC\)
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), ta có \(BC \bot HM,\,BC \bot SH \Rightarrow BC \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\).
Do đó góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và mặt phẳng đáy là \(\widehat {SMH} = 30^\circ \).
Xét \(\Delta SHM\) vuông tại \(H,\) có \[\tan 30^\circ = \frac{{SH}}{{HM}} \Rightarrow HM = \frac{{SH}}{{\tan 30^\circ }} = 3a\].
Khi đó: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.AD.HM = \frac{1}{3}a\sqrt 3 .2a.3a = 2\sqrt 3 {a^3}\).
