Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 2
38 câu hỏi
Cho \(a > 0,m,n \in \mathbb{R}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\({a^m} + {a^n} = {a^{m + n}}\).
\({a^m}.{a^n} = {a^{m - n}}\).
\({\left( {{a^m}} \right)^n} = {\left( {{a^n}} \right)^m}\).
\(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{n - m}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Có \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {\left( {{a^n}} \right)^m}.\)
\(D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right).\)
\(D = \left[ { - 1;3} \right].\)
\(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right).\)
\(D = \left( { - 1;3} \right).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Điều kiện: \({x^2} - 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 3\end{array} \right.\).
Vậy tập xác định của hàm số là 
\(\mathbb{R}\).
\(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
\(\left[ {0; + \infty } \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
\(\left( {10; + \infty } \right)\).
\(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(\left[ {10; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;10} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Điều kiện \(x > 0\).
Ta có \(\log x \ge 1\)\( \Leftrightarrow x \ge 10\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ {10; + \infty } \right)\).
\(\frac{8}{3}\).
\(\frac{{28}}{{15}}\).
\(\frac{{26}}{5}\).
\(\frac{{11}}{5}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Điều kiện: \(\frac{2}{3} < x < \frac{6}{5}\).
\({\log _2}\left( {3x - 2} \right) > {\log _2}\left( {6 - 5x} \right)\)
\( \Leftrightarrow 3x - 2 > 6 - 5x\)
\( \Leftrightarrow 8x > 8\)
\( \Leftrightarrow x > 1\).
Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {1;\frac{6}{5}} \right)\).
Khi đó \(1 + \frac{6}{5} = \frac{{11}}{5}\).
\(\left[ { - 1;1} \right]\).
\(\left( { - \infty ;1} \right]\).
\(\left[ { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right]\).
\(\left[ {1; + \infty } \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \({3^{4 - {x^2}}} \ge 27\)\( \Leftrightarrow {3^{4 - {x^2}}} \ge {3^3}\)\( \Leftrightarrow 4 - {x^2} \ge 3\)\( \Leftrightarrow {x^2} \le 1 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 1\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ { - 1;1} \right]\).
\(\left[ {0; + \infty } \right)\).
\(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(\left( {1; + \infty } \right)\).
\(\left[ {1; + \infty } \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \({9^x} + {2.3^x} - 3 > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^x} < - 3\\{3^x} > 1\end{array} \right.\) mà \({3^x} > 0\) nên \({3^x} > 1 \Leftrightarrow x > 0\).
Do đó tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(33{\rm{m/s}}\).
\({\rm{27m/s}}\).
\(9{\rm{m/s}}\).
\(3{\rm{m/s}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Có \(v\left( t \right) = S'\left( t \right) = - {t^2} + 12t\)
Có \(v\left( 3 \right) = - {3^2} + 12.3 = 27\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
5.
\( - \frac{1}{5}\).
\( - 5\).
\(\frac{1}{5}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \(y' = \frac{{\left( {2x - 3} \right) - 2\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}\).
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \({x_0} = - 1\)là:
\(y'\left( { - 1} \right) = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {2.\left( { - 1} \right) - 3} \right)}^2}}} = - \frac{1}{5}\).
\({\left( {uv} \right)^\prime } = u'v + uv'.\)
\({\left( {u - v} \right)^\prime } = u' - v'.\)
\({\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'v - uv'}}{v}.\)
\({\left( {u + v} \right)^\prime } = u' + v'.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \({\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}.\)
\(y' = - \cos x - \sin x.\)
\(y' = \cos x + \sin x.\)
\(y' = \cos x - \sin x.\)
\(y' = 2\sin x.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(y' = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^\prime } = \cos x - \sin x\).
\({\left( x \right)^\prime } = 1\).
\({\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{\sqrt x }},\left( {x > 0} \right)\).
\({\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{x^{n - 1}}\left( {n \in \mathbb{N},n > 1} \right).\)
\(c' = 0\)(\(c\) là hằng số).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\({\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }},\left( {x > 0} \right)\).
\(f'\left( 2 \right) = \frac{1}{{36}}\).
\(f'\left( 2 \right) = \frac{{11}}{6}\).
\(f'\left( 2 \right) = \frac{3}{2}.\)
\(f'\left( 2 \right) = \frac{5}{{12}}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{2\left( {x + 4} \right) - \left( {2x + 7} \right)}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}\).
Khi đó \(f'\left( 2 \right) = \frac{1}{{{{\left( {2 + 4} \right)}^2}}} = \frac{1}{{36}}\).
Đạo hàm của hàm số \(y = {\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right)^2}\) bằng:
\(6{x^5} - 20{x^4} - 16{x^3}\).
\(6{x^5} - 20{x^4} + 4{x^3}\).
\(6{x^5} + 16{x^3}\).
\(6{x^5} - 20{x^4} + 16{x^3}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \(y' = 2\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right){\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right)^\prime }\)\( = 2\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right)\left( {3{x^2} - 4x} \right)\)\( = 6{x^5} - 20{x^4} + 16{x^3}.\)
\(\left[ { - 1;5} \right]\).
\(\emptyset \).
\(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Có \(y' = {x^2} - 4x - 5\).
Để \(y' \ge 0\) thì \({x^2} - 4x - 5 \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le - 1\\x \ge 5\end{array} \right.\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)\).
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \sin 2x\).
\(y'' = 4\cos 2x\).
\(y'' = 4\sin 2x\).
\(y'' = - 4\sin 2x\).
\(y'' = - 4\cos 2x\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(y' = {\left( {\sin 2x} \right)^\prime } = 2\cos 2x\); \(y'' = {\left( {2\cos 2x} \right)^\prime } = - 4\sin 2x\).
\(y'' + y = 0.\)
\(y'' + y' = 0.\)
\(y' + y = 0.\)
\(y'' + y' + y = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Có \(y' = {\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x\).
\(y'' = {\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x\).
Do đó \(y'' + y = 0.\)
Cho hàm số \(y = {x^5} - 3{x^4} + x + 1\) với \(x \in \mathbb{R}\). Đạo hàm \(y''\) của hàm số là
\(y'' = 5{x^3} - 12{x^2} + 1\).
\(y'' = 5{x^4} - 12{x^3}\).
\(y'' = 20{x^2} - 36{x^3}\).
\(y'' = 20{x^3} - 36{x^2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Có \(y' = 5{x^4} - 12{x^3} + 1\); \(y'' = 20{x^3} - 36{x^2}\).
\( - \frac{8}{{27}}.\)
\(\frac{2}{9}\).
\(\frac{8}{{27}}.\)
\( - \frac{4}{{27}}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(f'\left( x \right) = - \frac{2}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\);
\(f''\left( x \right) = \frac{8}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^3}}}\). Khi đó \(f''\left( { - 1} \right) = \frac{8}{{{{\left( {2.\left( { - 1} \right) - 1} \right)}^3}}} = - \frac{8}{{27}}\).
\(x = 2\).
\(x = 4\).
\(x = 1\).
\(x = 3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Có \(y' = 3{x^2} - 6x + 1\); \(y'' = 6x - 6\)
Ta có \(y'' = 0\)\( \Leftrightarrow 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 1\).
\(60^\circ .\)
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(90^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(AC//A'C'\) nên \(\left( {A'C',BD} \right) = \left( {AC,BD} \right) = 90^\circ \) (do \(ABCD\) là hình vuông).
Khẳng định nào sau đây sai?
Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì \(d\) vuông góc với hai đường thẳng trong mặt phẳng\(\left( \alpha \right)\).
Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì \(d\) vuông góc với mặt phẳng\(\left( \alpha \right)\).
Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì \(d\) vuông góc với bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng\(\left( \alpha \right)\).
Nếu \(d \bot \left( \alpha \right)\) và đường thẳng \(a//\left( \alpha \right)\) thì \(d \bot a\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì \(d\) vuông góc với mặt phẳng\(\left( \alpha \right)\)chỉ đúng khi hai đường thẳng đó cắt nhau.
\(AM \bot SD\).
\(AM \bot \left( {SCD} \right)\).
\(AM \bot CD\).
\(AM \bot \left( {SBC} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(BC \bot AB\) (1).
Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AM\)(3).
Vì \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên \(SB\) nên \(AM \bot SB\) (4).
Từ (3) và (4), suy ra \(AM \bot \left( {SBC} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\); tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\), \(AB = a\) và \(SA = a\sqrt 3 \)(tham khảo hình vẽ bên). Tính số đo theo đơn vị độ của góc nhị diện \(\left[ {A,BC,S} \right]\).
![Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC); tam giác ABC vuông cân tại B, AB = a và SA = a căn bậc hai 3 (tham khảo hình vẽ bên). Tính số đo theo đơn vị độ của góc nhị diện [A,BC,S]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid0-1766541964.png)
\(60^\circ .\)
\(135^\circ \).
\(45^\circ \).
\(90^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Có tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) nên \(AB \bot BC\) (1).
Mà \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\)(2).
Từ (1) và (2), suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot SB\) mà \(AB \bot BC\)
Nên \(\left[ {A,BC,S} \right] = \widehat {SBA}\).
Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A,\)có \(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \)\( \Rightarrow \widehat {SBA} = 60^\circ .\)
\(\sqrt 2 \).
\(\frac{2}{{\sqrt 3 }}\).
\(2\).
\(2\sqrt 2 \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Do đó \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA} = \alpha \).
Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(AC = a\sqrt 2 \).
Xét \(\Delta SAC\) vuông tại \(A,\) có \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \).
\(60^\circ .\)
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(90^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Vì \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đều nên \(AA' \bot \left( {A'B'C'} \right)\).
Do đó \(A'B'\) là hình chiếu của \(AB'\) trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\).
Suy ra \(\left( {AB',\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \left( {AB',A'B'} \right) = \widehat {AB'A'}\).
Vì \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đều có tất cả các cạnh bằng \(a\) nên \(\Delta AA'B'\) vuông cân tại \(A'\). Do đó \(\widehat {AB'A'} = 45^\circ .\)
\(3\).
Vô số.
\(1\).
\(2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Qua \(M\)có vô số mặt phẳng vuông góc với \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
\(\left( {ADD'A'} \right)\).
\(\left( {ABC'D'} \right).\)
\(\left( {AB'D'} \right).\)
\(\left( {BDC'} \right).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên \(\left( {ADD'A'} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\).
\(\left( {SBC} \right)\).
\(\left( {SAD} \right)\).
\(\left( {SCD} \right)\).
\(\left( {SAC} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC \bot BD\) (1).
Mà \(SB \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SB \bot AC\) (2).
Từ (1) và (2), ta có \(AC \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\).
\(60^\circ .\)
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(90^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
![Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông có cạnh 2a, SA = a căn bậc hai 6 và vuông góc với đáy. Góc [S,BD,A] bằng? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid5-1766542446.png)
Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC \bot BD\) (1).
Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BD\) (2).
Từ (1), (2) ta có \(BD \bot \left( {SAC} \right)\)\( \Rightarrow BD \bot SO\)
Mà \(AO \bot BD\). Do đó \(\left[ {S,BD,A} \right] = \widehat {SOA}\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\) nên \(AC = 2a\sqrt 2 \Rightarrow AO = a\sqrt 2 \).
Xét \(\Delta SAO\) vuông tại \(A\), ta có \(\tan \widehat {SOA} = \frac{{SA}}{{AO}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SOA} = 60^\circ .\)
\(a\sqrt 5 \).
\(a\sqrt 7 \).
\(a\sqrt 6 \).
\(a\sqrt 3 \)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Xét \(\Delta ADC\) vuông tại \(D\), có \(AC = \sqrt {A{D^2} + D{C^2}} = \sqrt {4{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 5 \).
Xét \(\Delta ACC'\) vuông tại C, có \(AC' = \sqrt {A{C^2} + C{{C'}^2}} = \sqrt {5{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt 7 \).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(SA = AB = 2a\), tam giác \(ABC\)vuông tại \(B\) (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng
\(a\sqrt 3 \).
\(a\).
\(2a\).
\(a\sqrt 2 \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hạ \(AH \bot SB\) tại \(H\).
Vì tam giác \(ABC\)vuông tại \(B\) nên \(BC \bot AB\) (1).
Mà \(SA \bot \left( {ABC} \right)\)\( \Rightarrow SA \bot BC\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot AH\) mà \(AH \bot SB\) nên \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).
Do đó \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).
Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A,\) có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}}\)\( = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}}\)\( = \frac{1}{{2{a^2}}} \Rightarrow AH = a\sqrt 2 \).
\(\frac{a}{{\sqrt 2 }}\).
\(\frac{a}{2}\).
\(\frac{a}{{\sqrt 6 }}\).
\(\frac{a}{{\sqrt 3 }}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hạ \(OE \bot CD\) tại E (1).
Vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow SO \bot CD\) (2).
Từ (1) và (2), ta có \(CD \bot \left( {SOE} \right)\).
Hạ \(OH \bot SE\) tại H (3).
Vì \(CD \bot \left( {SOE} \right)\)\( \Rightarrow CD \bot OH\) (4).
Từ (3) và (4), suy ra \(OH \bot \left( {SCD} \right)\).
Do đó \(d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OH\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(DO = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\); \(OE = \frac{a}{2}\).
Xét \(\Delta SOD\) vuông tại \(O\), có \(SO = \sqrt {S{D^2} - O{D^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Xét \(\Delta SOE\) vuông tại \(O\), có \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{6}{{{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{a}{{\sqrt 6 }}\).
\(\frac{{a\sqrt {12} }}{7}\).
\(\frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).
\(\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\).
\(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\).
Vì \(\Delta ABC\) đều nên \(AE \bot BC\) mà \(BC \bot AA'\) (do \(AA' \bot \left( {ABC} \right)\)).
Suy ra \(BC \bot \left( {A'AE} \right)\).
Hạ \(AH \bot A'E\) tại H (1).
Vì \(BC \bot \left( {A'AE} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot AH\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(AH \bot \left( {A'BC} \right)\).
Do đó \(d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = AH\).
Vì \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AE = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Xét \(\Delta A'AE\) vuông tại \(A\), ta có
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{{A'}^2}}} + \frac{1}{{A{E^2}}}\)\( = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{7}{{3{a^2}}}\)\( \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).
\(\frac{{{a^3}}}{3}\).
\({a^3}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\).
\(\frac{{{a^3}}}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Hạ \(AH \bot SB\) tại \(H\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(BC \bot AB\) (1).
Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow SA \bot BC\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot AH\) mà \(AH \bot SB\) nên \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).
Do đó \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A,\) ta có
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} - \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} - \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow SA = a\).
Khi đó \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}.{a^2}.a = \frac{{{a^3}}}{3}\).
Có bao nhiêu số tự nhiên \(x\) không vượt quá \[2023\] thỏa mãn: \({\log _2}\left( {\frac{x}{4}} \right)\log _2^2x \ge 0\)?
Hướng dẫn giải
Điều kiện: \(x > 0\).
\({\log _2}\left( {\frac{x}{4}} \right)\log _2^2x \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{{\log }_2}x - {{\log }_2}4} \right)\log _2^2x \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 0\\\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}x - {\log _2}4 \ge 0\\{\log _2}x \ne 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 4\\0 < x \ne 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x \ge 4\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện \(x > 0\)).
Vậy có \(2021\) số tự nhiên \(x\) thỏa mãn bài ra.
Hướng dẫn giải
Ta có \(y' = f'(x) = - 3{x^2} + 2,\forall x \in \mathbb{R}.\)
\(\Delta \): \(x + y + 4 = 0 \Rightarrow y = - x - 4 \Rightarrow \)\(\Delta \)có hệ số góc \({k_\Delta } = - 1.\)
Gọi \(d\) là tiếp tuyến thỏa mãn đề bài.
Giả sử \(d\) tiếp xúc với \(\left( C \right)\) tại \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)thì \(d\) có hệ số góc là \({k_d} = f'({x_0}) = - 3{x_0}^2 + 2\).
\(d{\rm{//}}\Delta \Rightarrow \) \({k_d} = {k_\Delta } \Leftrightarrow - 3{x_0}^2 + 2 = - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = - 1\end{array} \right..\)
\({x_0} = 1 \Rightarrow M\left( {1; - 1} \right) \Rightarrow d:y = - x\), thỏa mãn \(d{\rm{//}}\Delta .\)
\({x_0} = - 1 \Rightarrow M\left( { - 1; - 3} \right) \Rightarrow d:y = - x - 4\), trường hợp này \(d \equiv \Delta \) nên không thỏa mãn.
Vậy có duy nhất một tiếp tuyến thỏa mãn đề bài là \(d:y = - x.\)
Hướng dẫn giải
Gọi \(H\) là trung điểm \(AD\), ta có \(SH \bot AD\), \(\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right),\,\left( {SAD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD\) nên \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SH = a\sqrt 3 \).
Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow SH \bot BC\)
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), ta có \(BC \bot HM,\,BC \bot SH \Rightarrow BC \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\).
Do đó góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và mặt phẳng đáy là \(\widehat {SMH} = 30^\circ \).
Xét \(\Delta SHM\) vuông tại \(H,\) có \[\tan 30^\circ = \frac{{SH}}{{HM}} \Rightarrow HM = \frac{{SH}}{{\tan 30^\circ }} = 3a\].
Khi đó: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.AD.HM = \frac{1}{3}a\sqrt 3 .2a.3a = 2\sqrt 3 {a^3}\).
