Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 10
38 câu hỏi
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ (đơn vị tính là năm) của một loại bóng đèn mới như sau
Số trung bình của mẫu số liệu là
\(5,0\).
\(5,32\).
\(5,75\).
\(6,5\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {2;3,5} \right)\) là 2,75.
Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {3,5;5} \right)\) là 4,25.
Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {5;6,5} \right)\) là 5,75.
Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {6,5;8} \right)\) là 7,25.
Giá trị trung bình của mẫu số liệu là
\(\overline x = \frac{{2,75.8 + 4,25.22 + 5,75.35 + 7,25.15}}{{80}} \approx 5,32.\)
Cho \(A\), \(B\) là hai biến cố xung khắc. Đẳng thức nào sau đây đúng?
\(A \cup B = \Omega .\)
\(B \subset A.\)
\(A \cap B = \emptyset .\)
\(A = B.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(A\), \(B\) là hai biến cố xung khắc thì \(A \cap B = \emptyset .\)
Cho hai biến cố \(A\) và \(B.\) Nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia thì hai biến cố \(A\) và \(B\) được gọi là
Xung khắc với nhau.
Biến cố đối của nhau.
Độc lập với nhau.
Không giao với nhau.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia thì hai biến cố \(A\) và \(B\) được gọi là độc lập với nhau.
Một hộp chứa 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi từ hộp. Gọi \(A\) là biến cố "Hai viên bi lấy ra đều có màu xanh", \(B\) là biến cố "Hai viên bi lấy ra đều có màu đỏ". Mô tả bằng lời biến cố \(A \cup B\)
"Hai viên bi lấy ra có cùng màu".
"Hai viên bi lấy ra có khác màu".
"Hai viên bi lấy ra có màu bất kì".
"Hai viên bi lấy ra chỉ có màu xanh".
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(A \cup B\): "Hai viên bi lấy ra có cùng màu".
Trong một kì thi có \(60\% \) thí sinh đỗ. Hai bạn A, B cùng dự kì thi đó. Xác suất để chỉ có một bạn thi đỗ là
\(0,24\).
\(0,36\).
\(0,16\).
\(0,48\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Gọi biến cố A: “Học sinh A thi đỗ”.
Biến cố B: “Học sinh B thi đỗ”.
Biến cố C: “Chỉ có một bạn thi đỗ”.
Theo đề, ta có: \(P\left( A \right) = P\left( B \right) = 0,6\) \( \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = P\left( {\overline B } \right) = 0,4\).
Khi đó ta có \(C = A\overline B \cup \overline A B\).
Do đó \(P\left( C \right) = P\left( {A\overline B \cup \overline A B} \right) = P\left( {A\overline B } \right) + P\left( {\overline A B} \right)\)\( = P\left( A \right).P\left( {\overline B } \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( B \right)\)
\( = 0,6.0,4 + 0,4.0,6 = 0,48\).
Rút gọn biểu thức \(P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x}\) với \(x > 0\).
\[P = {x^{\frac{1}{8}}}\].
\[P = {x^2}\].
\[P = \sqrt x \].
\[P = {x^{\frac{2}{9}}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x}\)\( = {x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{6}}}\)\( = {x^{\frac{1}{2}}} = \sqrt x \).
Cho các số thực \(a,b,m,n\) với \(\left( {a,b > 0} \right)\). Tìm mệnh đề sai.
\(\sqrt {{a^2}} = a\).
\[{\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = {a^m}.{b^{ - m}}\].
\({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m + n}}\).
\({\left( {ab} \right)^m} = {a^m}.{b^m}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}}\).
Cho \[a\] là số thực dương khác 1. Tính \[I = {\log _{\sqrt a }}a\].
\[I = \frac{1}{2}\].
\[I = 0\].
\[I = - 2\].
\[I = 2\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\[I = {\log _{\sqrt a }}a\]\[ = 2{\log _a}a = 2\].
Cho \(a\,,\,b > 0\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
\(\ln \left( {a + b} \right) = \ln a + \ln b\).
\(\ln \left( {ab} \right) = \ln a.\ln b\).
\(\ln \left( {{a^b}} \right) = \ln b.\ln a\).
\(\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b\)
Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực dương thỏa mãn \({a^2}{b^3} = 16\). Giá trị của \(2{\log _2}a + 3{\log _2}b\) bằng
\[2\].
\[8\].
\[16\].
\[4\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \({a^2}{b^3} = 16\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}{a^2}{b^3} = {\log _2}16\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}{a^2} + {\log _2}{b^3} = 4\)
\( \Leftrightarrow 2{\log _2}a + 3{\log _2}b = 4\).
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
\(y = {\log _2}x\).
\(y = {2^x}\).
\(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\).
\(y = {\log _{\frac{1}{2}}}x\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đây là dạng của đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\).
Đây là hàm nghịch biến do đó đây là đồ thị của hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}x\).
Anh An gửi số tiền 58 triệu đồng vào một ngân hàng theo hình thức lãi kép và ổn định trong 9 tháng thì lĩnh về 61 758 000 đồng. Hỏi lãi suất ngân hàng hàng tháng là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất không thay đổi trong thời gian gửi.
\(0,8\% \).
\(0,6\% \).
\(0,7\% \).
\(0,5\% \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Áp dụng công thức \({A_n} = {A_0}{\left( {1 + r} \right)^n}\) với \(n\) là số kỳ hạn, \({A_0}\) là số tiền ban đầu, \({A_n}\) là số tiền có được sau \(n\) kỳ hạn, \(r\) là lãi suất.
Suy ra \({A_9} = {A_0}{\left( {1 + r} \right)^9} \Rightarrow r = \sqrt[9]{{\frac{{{A_9}}}{{{A_0}}}}} - 1 = \sqrt[9]{{\frac{{61758000}}{{58000000}}}} - 1 \approx 0,7\% \).
Tích tất cả các nghiệm của phương trình \({2^{{x^2} + x}} = 4\) bằng
\(2\).
\(3\).
\( - 2\).
\( - 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\({2^{{x^2} + x}} = 4\)\( \Leftrightarrow {2^{{x^2} + x}} = {2^2} \Leftrightarrow {x^2} + x = 2\)\( \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\end{array} \right.\).
Vậy tích các nghiệm của phương trình là \( - 2.\)
Tập nghiệm của bất phương trình \(\log \left( {{x^2} - 4x + 5} \right) > 1\) là
\(\left( { - 1;5} \right)\)
\(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).
\(\left( {5; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(\log \left( {{x^2} - 4x + 5} \right) > 1\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 5 > 0\\{x^2} - 4x + 5 > 10\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 2} \right)^2} + 1 > 0\\\left[ \begin{array}{l}x > 5\\x < - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 5\\x < - 1\end{array} \right.\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\).
Một người gửi tiết kiệm 200 triệu đồng với lãi suất 5% một năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Sau ít nhất bao nhiêu năm nhận được số tiền nhiều hơn 300 triệu đồng?
8 năm.
9 năm.
10 năm.
11 năm.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Số tiền người đó nhận được sau n năm là \(A = {200.1,05^n}\) (triệu đồng).
Để nhận được số tiền nhiều hơn 300 triệu đồng thì
\(A = {200.1,05^n} > 300\)\( \Leftrightarrow {1,05^n} > 1,5 \Leftrightarrow n > {\log _{1,05}}1,5 \approx 8,3\) (năm).
Vậy sau ít nhất 9 năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 300 triệu đồng.
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm tại \[{x_0}\] là \[f'\left( {{x_0}} \right)\]. Khẳng định nào sau đây sai?
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( {x + {x_0}} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h}\).
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Dựa vào định nghĩa đạo hàm, ta có đáp án B là đáp án sai.
Cho \(f\left( x \right) = {x^{2018}} - 1009{x^2} + 2019x\). Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {\Delta x + 1} \right) - f\left( 1 \right)}}{{\Delta x}}\) bằng:
\(1009\)
\(1008\)
\(2018\)
\(2019\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {\Delta x + 1} \right) - f\left( 1 \right)}}{{\Delta x}} = f'\left( 1 \right)\).
Mà \(f'\left( x \right) = 2018{x^{2017}} - 2018x + 2019\).
Do đó \(f'\left( 1 \right) = {2018.1^{2017}} - 2018.1 + 2019 = 2019.\)
Một chất điểm chuyển động theo phương trình \(s\left( t \right) = {t^2}\), trong đó \(t > 0,\) \(t\) tính bằng giây và \(s\left( t \right)\) tính bằng mét. Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm \(t = 2\) giây.
\(2{\rm{m/s}}{\rm{.}}\)
\({\rm{3m/s}}{\rm{.}}\)
\({\rm{4m/s}}{\rm{.}}\)
\({\rm{5m/s}}{\rm{.}}\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 2t\).
Khi đó \(v\left( 2 \right) = 2.2 = 4\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
Đạo hàm của hàm số \(y = {x^2}\) là
\(2x.\)
\(0\)
\(1\).
\(2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(y' = {\left( {{x^2}} \right)^\prime } = 2x\).
Đạo hàm của hàm số \(y = \cos x\) là
\(\sin x.\)
\( - \sin x\).
\(\tan x\).
\( - \cot x\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(y' = {\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x\).
Tìm đạo hàm của hàm số \[y = \frac{{{x^4}}}{2} + \frac{{2{x^3}}}{3} - \frac{1}{x} + 8\]
\[y' = 2{x^3} + 2{x^2} - \frac{1}{{{x^2}}} + 1\].
\[y' = 2{x^3} + 2{x^2} - \frac{1}{{{x^2}}}\].
\[y' = 2{x^3} + 2{x^2} - 1\].
\[y' = 2{x^3} + 2{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\[y' = 2{x^3} + 2{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}\].
Một vật chuyển động có phương trình \(s\left( t \right) = \frac{1}{3}{t^3} - 3{t^2} + 36t\) , trong đó \(t > 0\) và tính bằng giây \(\left( {\rm{s}} \right)\) và \(s\left( t \right)\) tính bằng mét \(\left( {\rm{m}} \right)\). Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu.
\(27\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) .
\(0\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) .
\(63\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) .
\(90\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = {t^2} - 6t + 36\); \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 2t - 6\).
Tại thời điểm gia tốc triệt tiêu, tức là \(2t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 3\).
Khi đó \(v\left( 3 \right) = {3^2} - 6.3 + 36 = 27\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
Đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \sin x\)là
\( - \sin x.\)
\(\cos x.\)
\(\sin x.\)
\( - \cos x.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(y' = {\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x\); \(y'' = {\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x\).
Đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \ln x + {x^2}\) là
\(y'' = \frac{1}{x} + 2x\).
\[y'' = - \frac{1}{{{x^2}}} + 2\].
\(y'' = \frac{1}{{{x^2}}} + 2\).
\(y'' = - \frac{1}{x} + 2x\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(y' = \frac{1}{x} + 2x\); \(y'' = - \frac{1}{{{x^2}}} + 2\).
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
\(A'C' \bot BB'\).
\(A'C' \bot BD\).
\(A'C'//AC\).
\(A'C' \bot DD'\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Có \(BB' \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow BB' \bot A'C'\).
Có \(AA'//CC'\) và \(AA' = CC'\)(do cùng song song và bằng \(DD'\)) nên \(AA'C'C\) là hình bình hành. Suy ra \(AC//A'C'\).
\(DD' \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow DD' \bot A'C'\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình chữ nhật và \(SA \bot (ABCD).\) Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
\(AB \bot (SAD).\)
\(BC \bot (SAD).\)
\(AC \bot (SAD).\)
\(BD \bot (SAD).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(SA \bot (ABCD)\)\( \Rightarrow SA \bot AB\) mà \(AB \bot AD\) (do \(ABCD\) là hình chữ nhật).
Do đó \(AB \bot \left( {SAD} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot (ABC)\)(như hình vẽ minh hoạ). Khi đó góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \((ABC)\)bằng góc nào sau đây?
\(\widehat {SAB}.\)
\(\widehat {ASB}.\)
\(\widehat {SBC}.\)
\(\widehat {SBA}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)là \(AB\).
Do đó góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \((ABC)\)bằng \(\widehat {SBA}\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\) và \(AB = a\sqrt 2 \). Biết \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SA = a\). Số đo góc nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\) là
\(30^\circ .\)
\(45^\circ .\)
\(60^\circ .\)
\(90^\circ .\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
![Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = a căn bậc hai 2. Biết SA vuông góc (ABC) và SA = a. Số đo góc nhị diện [S,BC,A] là (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid3-1766633821.png)
Kẻ \(AM \bot BC\) tại \(M\).
Có \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) mà \(AM \bot BC\)\( \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\).
Do đó \(\left[ {S,BC,A} \right] = \widehat {SMA}\).
Vì \(AM\) là đường cao của \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) nên ta có:
\(\frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{2}{{2{a^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow AM = a\).
Mà \(SA = a\) nên \(\Delta SAM\) vuông cân tại \(A\). Do đó \(\widehat {SMA} = 45^\circ \).
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì giao tuyến của chúng nếu có cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến đều vuông góc với mặt phẳng kia.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc cắt nhau theo một giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông, \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây ?
\((SAC).\)
\((SBD).\)
\((SCD).\)
\((SBC).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC \bot BD\) mà \(SA \bot BD\) (do \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)).
Do đó \(BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\)là hình vuông. Tam giác \(SAB\) là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Trong số các mặt phẳng chứa mặt đáy và các mặt bên của hình chóp, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \((SAB)\)?
\(1\).
\(2\).
\(3\).
\[4\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Có \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\).
Vì \(\Delta SAB\) đều nên \(SH \bot AB\) mà \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Suy ra \(SH \bot BC,SH \bot AD\).
Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(BC \bot AB\) và \(AD \bot AB\).
Vì \(SH \bot BC\) và \(BC \bot AB\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).
Vì \(SH \bot AD\) và \(AD \bot AB\) nên \[AD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SAD} \right) \bot \left( {SAB} \right)\].
Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy là hình vuông , \(SA\)vuông góc với đáy. Khoảng cách từ \(S\)đến mặt phẳng \((ABCD)\)là
\(SA\).
\(SB\).
\(SC\).
\(SD\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = SA\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA \bot (ABCD),\)\(AB = a\) và \(SB = \sqrt 2 a.\) Khoảng cách từ điểm \(S\) đến mặt phẳng \((ABCD)\) bằng
\(a.\)
\(\sqrt 2 a.\)
\(2a.\)
\(\sqrt 3 a.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = SA\).
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot AB\).
Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A\), có \(SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} = \sqrt {2{a^2} - {a^2}} = a\).
Vậy \(d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = a\).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng 1. Tính khoảng cách \(d\) từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {BDA'} \right)\).
\(d = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\)
\(d = \frac{{\sqrt 6 }}{4}.\)
\(d = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
\(d = \sqrt 3 .\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\).
Ta có \(\left. \begin{array}{l}AO \bot BD\\AA' \bot BD\end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot \left( {AOA'} \right)\).
Kẻ \(AH \bot A'O\) tại \(H\).
Vì \(BD \bot \left( {AOA'} \right)\)\( \Rightarrow BD \bot AH\) mà \(AH \bot A'O\) nên \(AH \bot \left( {BDA'} \right)\).
Do đó \(d\left( {A,\left( {BDA'} \right)} \right) = AH\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng 1 nên \(AC = \sqrt 2 \Rightarrow AO = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Xét \(\Delta A'AO\) vuông tại \(A\), có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{{A'}^2}}} + \frac{1}{{A{O^2}}} = 1 + 2 = 3 \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\)
Mặt bên của hình lăng trụ là:
Tam giác.
Hình bình hành.
Hình chữ nhật.
Hình thang.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Hình lăng trụ có các mặt bên là hình bình hành.
Sau khi có kết quả của kỳ thi tốt nghiệp THPT thì xác suất để An đậu NV1 vào trường Đại học Y Dược TPHCM là \(97\% \) và Bình đậu NV1 vào trường Đại học Bách Khoa TPHCM là \(96\% \). Tính xác suất để ít nhất có một trong hai bạn đậu NV1.
Hướng dẫn giải
Gọi \(A\) là biến cố “An đậu NV1”; \(B\) là biến cố “Bình đậu NV1”.
Khi đó \(P\left( A \right) = 0,97;P\left( B \right) = 0,96\).
\(P\left( {\overline A \overline B } \right) = P\left( {\overline A } \right)P\left( {\overline B } \right) = \left( {1 - 0,97} \right)\left( {1 - 0,96} \right) = 0,03.0,04 = 0,0012\)
Xác suất cần tìm là: \(1 - P\left( {\overline A \overline B } \right) = 1 - 0,0012 = 0,9988\).
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình chữ nhật, \[AB = a\], \[AD = 2a\]. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] bằng \[45^\circ \]. Tính thể tích của khối chóp \[S.ABCD\].
Hướng dẫn giải
Ta có: \[{S_{ABCD}} = AB.AD = 2{a^2}\].
Gọi M là trung điểm của AB, khi đó
\[SM \bot AB \Rightarrow SM \bot \left( {ABCD} \right)\].
Do đó \[\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,MC} \right) = \widehat {SCM} = 45^\circ \].
Khi đó \[SM = MC = \sqrt {B{C^2} + B{M^2}} = \sqrt {4{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}\].
Vậy \[{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SM.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt {17} }}{2}.2{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt {17} }}{3}\].
Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left( {{3^x} - 27} \right)\left( {\log _3^2x - 7{{\log }_3}x + 10} \right) < 0\)?
Hướng dẫn giải
Điều kiện: \(x > 0\).
TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}{3^x} - 27 > 0\\\log _3^2x - 7{\log _3}x + 10 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^x} > 27\\2 < {\log _3}x < 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\9 < x < 243\end{array} \right. \Leftrightarrow 9 < x < 243\).
Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {10;11;12;...;242} \right\}\)\( \Rightarrow \) có 233 số nguyên thỏa mãn.
TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}{3^x} - 27 < 0\\\log _3^2x - 7{\log _3}x + 10 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 3\\\left[ \begin{array}{l}{\log _3}x > 5\\{\log _3}x < 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 3\\\left[ \begin{array}{l}x > 243\\x < 9\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x < 3\).
Mà \(x > 0\) nên \(0 < x < 3\).
Vì \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {1;2} \right\}\)\( \Rightarrow \) có 2 số nguyên.
Vậy có tất cả 235 số nguyên \(x\) thỏa mãn.
