Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 6
38 câu hỏi
Người ta tiến hành phỏng vấn 40 người về một mẫu áo khoác. Người điều tra yêu cầu cho điểm mẫu áo đó theo thang điểm là \(100.\) Kết quả được trình bày trong bảng ghép nhóm sau:
Nhóm | \(\left[ {50;60} \right)\) | \(\left[ {60;70} \right)\) | \(\left[ {70;80} \right)\) | \(\left[ {80;90} \right)\) | \(\left[ {90;100} \right)\) |
|
Tần số | \(4\) | \(5\) | \(23\) | \(6\) | \(2\) | \(N = 40\) |
Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến hàng đơn vị) là
\({Q_1} \approx 71,\,\,{Q_2} \approx 76,\,\,{Q_3} \approx 78.\)
\({Q_1} \approx 71,\,\,{Q_2} \approx 75,\,\,{Q_3} \approx 78.\)
\({Q_1} \approx 70,\,\,{Q_2} \approx 76,\,\,{Q_3} \approx 79.\)
\({Q_1} \approx 70,\,\,{Q_2} \approx 75,\,\,{Q_3} \approx 79.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\({Q_1} = 70 + \frac{{10 - 9}}{{23}}.10 \approx 70\); \({Q_2} = 70 + \frac{{20 - 9}}{{23}}.10 \approx 75\) và \({Q_3} = 70 + \frac{{30 - 9}}{{23}}.10 \approx 79\).
Xét phép thử gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Gọi\[A\] là biến cố “Lần đầu xuất hiện mặt 6 chấm” và \[B\]là biến cố “Lần thứ hai xuất hiện mặt 6 chấm”. Khẳng định nào sau đây SAI?
\[A\] và \[B\]là hai biến cố độc lập.
\[A \cap B\] là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện của hai lần gieo bằng 12”
\[A \cup B\]là biến cố “ Ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm”
\[A\] và \[B\]là hai biến cố xung khắc.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đáp án sai là D: \[A\] và \[B\]là hai biến cố xung khắc.
Bạn Minh gieo một con xúc xắc cân đối, đồng nhất. Cho biết không gian mẫu \[\Omega \] ?
\[\Omega = \{ 1;2;3;4;5;6\} \].
\[\Omega = \{ 1;6\} \].
\[\Omega = \{ 1\} \].
\[\Omega = \{ 6\} \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\[\Omega = \{ 1;2;3;4;5;6\} \].
Bạn Toàn gieo một con xúc xắc cân đối, đồng nhất. Gọi biến cố A “Số chấm trên mặt xuất hiện nhỏ hơn 3” và biến cố B “Số chấm trên mặt xuất hiện lớn hơn 3”. Chọn mệnh đề đúng?
\[P(A \cup B) = \frac{5}{6}.\]
\[P(A \cup B) = 1.\]
\[P(A \cup B) = 1.\]
\[P(A \cup B) = \frac{2}{3}.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Có \(A = \left\{ {1;2} \right\}\)\( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{1}{3}\);
\(B = \left\{ {4;5;6} \right\} \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{1}{2}\).
Vì \(A,B\) là hai biến cố xung khắc nên \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}\).
Hai xạ thủ M và N cùng bắn súng vào một tấm bia. Biết rằng xác suất bắn trúng của xạ thủ M là 0,3, của xạ thủ N là 0,2. Khả năng bắn trúng của hai xạ thủ là độc lập. Xác suất của biến cố "Cả hai xạ thủ đều bắn trúng" là
0,05.
0,06.
0,07.
0,08.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Gọi A là biến cố: “Xạ thủ M bắn trúng bia”.
B là biến cố: “Xạ thủ N bắn trúng bia”.
C là biến cố: “Cả hai xạ thủ đều bắn trúng bia”.
Khi đó \(C = A.B\).
Theo đề có \(P\left( A \right) = 0,3;P\left( B \right) = 0,2\).
Vì \(A,B\) là hai biến cố độc lập nên \(P\left( C \right) = P\left( {A.B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = 0,3.0,2 = 0,06\).
Khẳng định nào sau đây đúng ?
\({a^0} = 1\), với mọi số thực a < 0.
\({a^0} = 1\), với mọi số thực a > 0.
\({a^0} = 1\), với mọi số thực a.
\({a^0} = 1\), với a là số thực khác 0.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\({a^0} = 1\), với a là số thực khác 0.
Rút gọn biểu thức \(Q = {b^{\frac{5}{3}}}:\sqrt[3]{b}\) với \(b > 0\).
\[Q = {b^{ - \frac{4}{3}}}.\]
\[Q = {b^{\frac{4}{3}}}.\]
\[Q = {b^{\frac{5}{9}}}.\]
\[Q = {b^2}.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \(Q = {b^{\frac{5}{3}}}:\sqrt[3]{b}\)\( = {b^{\frac{5}{3}}}:{b^{\frac{1}{3}}}\)\( = {b^{\frac{5}{3} - \frac{1}{3}}} = {b^{\frac{4}{3}}}\).
Với \(a\) là số thực dương tùy, \({\log _5}{a^2}\) bằng
\(2{\log _5}a\).
\(2 + {\log _5}a\).
\(\frac{1}{2} + {\log _5}a\).
\(\frac{1}{2}{\log _5}a\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \({\log _5}{a^2} = 2{\log _5}a\).
Cho \(a,b,c > 0,a \ne 1\) và số \(\alpha \in \mathbb{R}\), mệnh đề nào dưới đây sai?
\({\log _a}{a^c} = c\).
\({\log _a}a = 1\).
\({\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\).
\({\log _a}\left| {b - c} \right| = {\log _a}b - {\log _a}c\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Theo tính chất của lôgarit mệnh đề sai là \({\log _a}\left| {b - c} \right| = {\log _a}b - {\log _a}c\).
\[{\log _a}\left( {\frac{{{a^2}\sqrt[3]{{{a^2}}}\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[{15}]{{{a^7}}}}}} \right)\] bằng :
3.
\[\frac{{12}}{5}\].
\[\frac{9}{5}\].
2.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\[{\log _a}\left( {\frac{{{a^2}\sqrt[3]{{{a^2}}}\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[{15}]{{{a^7}}}}}} \right) = {\log _a}\left( {\frac{{{a^2}.{a^{\frac{2}{3}}}.{a^{\frac{4}{5}}}}}{{{a^{\frac{7}{{15}}}}}}} \right) = {\log _a}\left( {\frac{{{a^{\frac{{52}}{{15}}}}}}{{{a^{\frac{7}{{15}}}}}}} \right) = {\log _a}{a^3} = 3\].
Trong các hình sau, hình nào là dạng đồ thị của hàm số \(y = {a^x},0 < a < 1\)?
(I).
(II).
(IV).
(III).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Đồ thị của hàm số \(y = {a^x},0 < a < 1\) là hình II.
Trong các hình sau, hình nào là dạng đồ thị của hàm số \(y = {\log _a}x,0 < a < 1\)
(I).
(II).
(IV).
(III).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Đồ thị của hàm số \(y = {\log _a}x,0 < a < 1\) là hình IV.
Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = {\log _5}\left( {30 - {x^2}} \right)\) chứa bao nhiêu số nguyên?
\(11\).
\(5\).
\(6\).
\(10\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Điều kiện: \(30 - {x^2} > 0 \Leftrightarrow - \sqrt {30} < x < \sqrt {30} \).
Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4;5} \right\}\).
Vậy có 11 giá trị nguyên trong tập xác định.
Nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {5x} \right) = 2\) là
\(x = \frac{8}{5}\).
\(x = 9\).
\(x = \frac{9}{5}\).
\(x = 8\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Điều kiện \(x > 0\).
\({\log _3}\left( {5x} \right) = 2\)\( \Leftrightarrow 5x = {3^2} \Leftrightarrow x = \frac{9}{5}\) (thỏa mãn).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{9}{5}\).
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({3^{2x - 1}} + 2{m^2} - m - 3 = 0\) có nghiệm.
\(m \in \left( { - 1;\frac{3}{2}} \right)\).
\(m \in \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\).
\(m \in \left( {0; + \infty } \right)\).
\(m \in \left[ { - 1;\frac{3}{2}} \right]\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \({3^{2x - 1}} + 2{m^2} - m - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow {3^{2x - 1}} = - 2{m^2} + m + 3\)
Phương trình có nghiệm khi \( - 2{m^2} + m + 3 > 0\)\( \Leftrightarrow - 1 < m < \frac{3}{2}\).
Vậy \(m \in \left( { - 1;\frac{3}{2}} \right)\).
Cho hàm số \(y = f(x)\). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) có dạng \(y = f'({x_0})\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\) trong đó hệ số góc của tiếp tuyến là:
\({x_0}\).
\(f'({x_0})\).
\({y_0}\).
\(\frac{1}{{f'({x_0})}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Hệ số góc của tiếp tuyến là \(f'({x_0})\).
Đạo hàm của hàm số \(y = f(x) = {x^2} + 2x\) tại điểm \({x_0} = 1\) được kí hiệu là:
\({x_1}\).
\(f'(1)\).
\(y(1)\).
\(\frac{1}{{f'(1)}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Đạo hàm của hàm số tại điểm \({x_0} = 1\) là \(f'\left( 1 \right)\).
Hàm số \[y = {x^n}\,\,\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\] có đạo hàm trên \[\mathbb{R}\] đạo hàm của hàm số \[y = {x^n}\] là
\[{\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{x^{n - 1}}\].
\[{\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{x^{n + 1}}\].
\(y' = {x^{n - 1}}\).
\[y = {x^n}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\[y' = {\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{x^{n - 1}}\].
Quy tắc tính đạo hàm nào sau đây là đúng?
\({\left( {u + v} \right)^\prime } = u' + v'\).
\({\left( {u + v} \right)^\prime } = u'v + uv'\).
\({\left( {u + v} \right)^\prime } = u' - v'\).
\({\left( {u + v} \right)^\prime } = u'v - uv'\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \({\left( {u + v} \right)^\prime } = u' + v'\).
Đạo hàm của hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} + 2x - 1\) bằng biểu thức nào sau đây?
\(y' = 4{x^3} - 6x + 3\).
\(y' = 4{x^4} - 6x + 2\).
\(y' = 4{x^3} - 3x + 2\).
\(y' = 4{x^3} - 6x + 2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(y' = 4{x^3} - 6x + 2\).
Tìm đạo hàm của hàm số \[y = {\rm{log}}\,(x + 1)\].
\(y' = \frac{1}{{(x + 1)\ln 10}}\).
\(y' = \frac{1}{{x + 1}}\).
\(y' = \frac{{\ln 10}}{x}\).
\(y' = \frac{1}{{10\ln x}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \[y' = {\left[ {{\rm{log}}\,(x + 1)} \right]^\prime } = \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\ln 10}}\].
Đạo hàm cấp 2 của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2}\] bằng biểu thức nào sau đây?
\[2\].
\[x\].
\[3\].
\[2x\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Có \[f'\left( x \right) = 2x;f''\left( x \right) = {\left( {2x} \right)^\prime } = 2\].
Cho hàm số \(f\left( x \right) = - 2{x^4} + {x^2} - 5\). Giá trị \(f''\left( 0 \right)\) bằng
\[ - 22\].
\[ - 24\].
\(2\).
\( - 5\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Có \(f'\left( x \right) = - 8{x^3} + 2x;f''\left( x \right) = {\left( { - 8{x^3} + 2x} \right)^\prime } = - 24{x^2} + 2\).
Do đó \(f''\left( 0 \right) = - {24.0^2} + 2 = 2\).
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
Góc giữa hai đường thẳng \[m\] và \[n\] bằng góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[b\] cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với \[m\] và \[n\].
Góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[b\] bất kì luôn là góc tù.
Góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[b\] bất kì luôn là góc nhọn.
Góc giữa hai đường thẳng \[m\] và \[n\] bằng góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[b\] tương ứng song song với \[m\] và \[n\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Góc giữa hai đường thẳng \[m\] và \[n\] bằng góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[b\] cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với \[m\] và \[n\].
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì các đường thẳng vuông góc với a cũng vuông góc với (P).
Có vô số mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, cạnh bên SA vuông góc với đáy. H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SC, SD. Khẳng định nào sau đây đúng ?
\(BD \bot (SAC).\)
\(AK \bot (SCD).\)
\(BC \bot (SAC).\)
\(AH \bot (SCD).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Có \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(CD \bot AD\) (1).
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD\) (2).
Từ (1) và (2), ta có: \(CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AK\) mà \(AK \bot SD\)\( \Rightarrow AK \bot \left( {SCD} \right).\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông, \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng đáy là
\(\widehat {SCB}.\)
\(\widehat {SDA}.\)
\(\widehat {SCA}.\)
\(\widehat {SAC}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Do đó \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) =
\widehat {SCA}\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\). Khi đó góc nhị diện \(\left[ {S,BD,A} \right]\) bằng
\(60^\circ .\)
\(45^\circ .\)
\(30^\circ .\)
\(75^\circ .\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
![Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và SA =a căn bậc hai 6/6. Khi đó góc nhị diện [S,BD,A] bằng (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid1-1766563847.png)
Gọi \(O = AC \cap BD\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC \bot BD\) (1).
Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot BD\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SO\) mà \(AO \bot BD\).
Do đó \(\left[ {S,BD,A} \right] = \widehat {SOA}\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(AC = a\sqrt 2 \Rightarrow AO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Xét \(\Delta SAO\) vuông tại \(A\) có \(\tan \widehat {SOA} = \frac{{SA}}{{AO}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}:\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)\( \Rightarrow \widehat {SOA} = 30^\circ \).
Trong không gian cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\), mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\) ?
\[\left( {AA'B'B} \right)\].
\[\left( {A'B'CD} \right)\].
\[\left( {ADC'B'} \right)\].
\[\left( {BCD'A'} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\)là hình hộp chữ nhật nên \[\left( {AA'B'B} \right) \bot (ABCD)\].
Cho hình lăng trụ đứng \[ABCD.A'B'C'D'\]có đáy \[ABCD\] là hình vuông. Khẳng định nào sau đây đúng ?
\[\left( {AB'C} \right) \bot \left( {B'BD} \right)\].
\[\left( {AB'C} \right) \bot \left( {BA'C'} \right)\].
\[\left( {AB'C} \right) \bot \left( {D'BC} \right)\].
\[\left( {AB'C} \right) \bot \left( {D'AB} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}BB' \bot AC\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow \left( {BB'D} \right) \bot AC\]
\[ \Rightarrow \left( {BB'D} \right) \bot \left( {AB'C} \right)\] .
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(SC\). Khoảng cách từ \(I\) đến mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng độ dài đoạn thẳng nào?
\[IB\].
\[IC\].
\[IA\].
\[IO\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Từ giải thiết, ta có \(OI\) là đường trung bình của \(\Delta SAC\). Do đó \(OI//SA\).
Ta có \(\left. \begin{array}{l}OI//SA\\SA \bot \left( {ABCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow IO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Vậy \(d\left( {I,\left( {ABCD} \right)} \right) = OI\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Tính khoảng cách từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
\(\frac{a}{2}\).
\(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
\(\frac{{a\sqrt 2 }}{3}\).
\[\frac{{a\sqrt 2 }}{4}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC \bot BO\) mà \(BO \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\).
Suy ra \(BO \bot \left( {SAC} \right)\)
Do đó \(d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = BO\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh a nên \(BD = a\sqrt 2 \Rightarrow BO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] cạnh \(a\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB'\) và \(CD'\).
\(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
\(a.\)
\(a\sqrt 2 .\)
\(2a.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
* Do \(AB'{\rm{//}}\left( {CDD'C'} \right)\) nên ta có:
\[d\left( {AB';CD'} \right) = d\left( {AB';\left( {CDD'C'} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {CDD'C'} \right)} \right) = AD = a\].
Xét các mệnh đề sau:
(1) Hình hộp là hình lăng trụ đứng.
(2) Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng.
(3) Hình lập phương là hình lăng trụ đứng.
(4) Hình lăng trụ tứ giác đều là lăng trụ đứng.
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
4.
3
2.
1.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Mệnh đề 1 sai. Các cạnh bên của hình hộp không vuông góc với mặt đáy.
Cho khối chóp tứ giác đều \[S.ABCD\]có cạnh đáy bằng \[\sqrt 2 a\] và tam giác \[SAC\]đều. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
\[\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{2}\].
\[\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\].
\[\frac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\].
\[\frac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{2}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\[{S_{ABCD}} = {\left( {\sqrt 2 a} \right)^2} = 2{a^2}\]
Gọi \[O = AC \cap BD\]\[ \Rightarrow \]\[SO \bot \left( {ABCD} \right)\]
\[ \Rightarrow \]\[SO\]là đường cao của chóp và \[AC = AB\sqrt 2 = 2a\]
\[SO\]là đường cao trong tam giác đều \[SAC\]\[ \Rightarrow \]\[SO = \frac{{2a.\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \]
Vậy \[V = \frac{1}{3}.2{a^2}.a\sqrt 3 = \frac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\].
Một thầy giáo có 20 quyển sách khác nhau gồm 7 quyển sách Toán, 5 quyển sách Lí và 8 quyển sách Hóa. Thầy giáo lấy ngẫu nhiên ra 9 quyển sách để tặng cho học sinh. Tính xác suất để thầy giáo sau khi tặng số sách còn lại của thầy có đủ 3 môn?
Hướng dẫn giải
Số cách chọn 9 quyển sách bất kì từ 20 quyển sách bằng: \(n\left( \Omega \right) = C_{20}^9 = 167960\).
Gọi A là biến cố sau khi tặng số sách còn lại của thầy giáo đủ ba môn
Suy ra \(\overline A \) là biến cố sau khi tặng số sách còn lại không đủ cả 3 môn (đồng nghĩa thầy giáo tặng hết một loại sách)
\(n\left( {\overline A } \right) = C_7^7.C_{13}^2 + C_5^5.C_{15}^4 + C_8^8.C_{12}^1 = 1455\).
Vậy \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{{n\left( {\overline A } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = 1 - \frac{{1455}}{{167960}} = \frac{{33301}}{{33592}}\).
Tính đạo hàm của các hàm số sau
a) \(y = {x^3} - 3{x^2} - 6x + 1\). b) \(y = {2024^x} - 3\sin x\).
Hướng dẫn giải
a) \(y' = 3{x^2} - 6x - 6\).
b) \(y' = {2024^x}.\ln 2024 - 3\cos x\).
Cho khối chóp \[S.ABC\] có đáy là tam giác đều cạnh \[a\], \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(\frac{{3a}}{4}\). Tính thể tích khối chóp đã cho.
Hướng dẫn giải
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SM\).
Vì \(\Delta ABC\) đều mà \(AM\) là trung tuyến nên \(AM \bot BC\) (1).
Lại có \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(BC \bot \left( {SAM} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot AH\) mà \(AH \bot SM \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\).
Khi đó ta có \(AH = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\). Ta có: \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},AH = \frac{{3a}}{4}\).
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{4}{{9{a^2}}} \Rightarrow SA = \frac{{3a}}{2}\).
\[V = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{3a}}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\].
