Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Đề 05
22 câu hỏi
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.
Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
\({2^{30}} < {3^{20}}\).
\({0,99^\pi } > {0,99^e}\).
\({\log _{{a^2} + 2}}\left( {{a^2} + 1} \right) \ge 0\).
\({4^{ - \sqrt 3 }}\)<\({4^{ - \sqrt 2 }}\).
Ta có: \(\pi > e\) và \(0,999 < 1\) nên \({0,99^\pi } < {0,99^e}\), do đó đáp án B sai.
Giải phương trình \({4^{x - 1}} = {8^{3 - 2x}}\).
\(x = \frac{{11}}{8}\).
\(x = \frac{4}{3}\).
\(x = \frac{1}{8}\).
\(x = \frac{8}{{11}}\).
Ta có: \({4^{x - 1}} = {8^{3 - 2x}} \Leftrightarrow \frac{{{2^{2x}}}}{4} = \frac{{512}}{{{2^{6x}}}}\)\( \Leftrightarrow {2^{8x}} = 2048\)\( \Leftrightarrow {2^{8x}} = {2^{11}}\)\( \Leftrightarrow 8x = 11\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{11}}{8}\).
Cách khác:
Ta có: \({4^{x - 1}} = {8^{3 - 2x}}\)\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right){\log _2}4 = \left( {3 - 2x} \right){\log _2}8\)\( \Leftrightarrow 2x - 2 = 9 - 6x\)\( \Leftrightarrow 8x = 11\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{11}}{8}\).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Góc giữa hai đường thẳng \(A'C'\) và \(BD\) bằng.
\(60^\circ \).
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\[90^\circ \].
Ta có: \(\left( {\widehat {A'C';BD}} \right) = \left( {\widehat {AC;BD}} \right) = 90^\circ \)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\sqrt 3 \) Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), khi đó \(\alpha \) thỏa mãn hệ thức nào sau đây:
\(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{8}\).
\(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{8}\).
\(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
\(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
Gọi \(O\) là tâm của đáy \(ABCD\).
Ta có \(BO \bot AC\) và \(BO \bot SA\) nên \(SO\) là hình chiếu của \(SB\) trên \(\left( {SAC} \right)\).
Suy ra \(\alpha = \widehat {BSO}\).
Lại có \(BO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\), \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = 2a\). Suy ra \(\sin \alpha = \frac{{BO}}{{SB}} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Khẳng định nào sau đây sai?
\(mp\left( {AA'C'C} \right) \bot mp\left( {ABCD} \right)\).
\(mp\left( {ABB'A'} \right) \bot mp\left( {BDD'B'} \right).\).
\(mp\left( {ABB'A'} \right) \bot mp\left( {A'B'C'D'} \right).\).
\(mp\left( {ACC'A'} \right) \bot mp\left( {BB'D'D} \right).\)
Chọn B
\(\left\{ \begin{array}{l}mp\left( {ABB'A'} \right) \cap mp\left( {BDD'B'} \right) = BB'\\AB \bot BB'\\DB \bot BB'\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {mp\left( {ABB'A'} \right),mp\left( {BDD'B'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AB,DB} \right)} = {45^0}\).
Cho tứ diện \[OABC\] có \[OA\], \[OB\], \[OC\] đôi một vuông góc nhau và \[OA = OB\]\[ = OC = 3a\]. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \[AC\] và \[OB\].
\(\frac{{3a}}{2}\).
\(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
\(\frac{{3a\sqrt 2}}{2}\).
\(\frac{{3a}}{4}\).
Gọi \[M\]là trung điểm của \[AC\] \[ \Rightarrow AC \bot OM\]\[ \Rightarrow \] \[OM\] là đường vuông góc chung của \[AC\] và \[OB\], \[AC = 3a\sqrt 2 \]\[ \Rightarrow OM = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\].
Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[SA\] vuông góc mặt đáy, tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], \[SA = 2{\rm{cm}}\], \[AB = 4{\rm{cm}}\], \[AC = 3{\rm{cm}}\]. Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
\(\frac{{12}}{3}{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
\(\frac{{24}}{5}{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
\(\frac{{24}}{3}{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
\(24{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.2.\frac{1}{2}.4.3 = 4\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).
Nhi và Nhung thường xuyên đến cùng một quán cà phê cùng khung giờ, tuy nhiên hai bạn không đi cùng nhau. Nhi thường đến vào 2 ngày bất kỳ trong tuần, Nhung thì thường đến 3 ngày bất kỳ. Tính xác suất hai bạn gặp được nhau.
\(P = \frac{6}{{49}}\).
\(P = \frac{8}{{49}}\).
\(P = \frac{{15}}{{49}}\).
\(P = \frac{{20}}{{49}}\).
Xác suất Nhi đến quán cà phê là \(\frac{2}{7}\).
Xác suất Nhung đến quán cà phê là \(\frac{3}{7}\).
Xác suất để hai bạn gặp nhau là \(\frac{2}{7} \cdot \frac{3}{7} = \frac{6}{{49}}\).
Chọn A
Tung một đồng xu 3 lần. Xác suất đồng xu xuất hiện 2 lần mặt ngửa và một lần mặt sấp là:
\(\frac{1}{4}\).
\(\frac{2}{3}\).
\(\frac{3}{8}\).
\(\frac{1}{2}\).
Các trường hợp có thể xảy ra là: \(SSS,SSN,SNS,SNN,NSS,NSN,NNS,NNN\).
Xác suất đồng xu xuất hiện 2 lần mặt ngửa và một lần mặt sấp là \(\frac{3}{8}\).
Chọn C
Tìm đạo hàm của hàm số \(y = x{{\rm{e}}^x}\).
\(1 + {{\rm{e}}^x}\).
\(\left( {1 + x} \right){{\rm{e}}^x}\).
\(\left( {1 - x} \right){{\rm{e}}^x}\).
\({{\rm{e}}^x}\).
Ta có \({\left( {x{{\rm{e}}^x}} \right)^\prime } = {\left( x \right)^\prime }.{{\rm{e}}^x} + x.{\left( {{{\rm{e}}^x}} \right)^\prime }\) \( = {{\rm{e}}^x} + x.{{\rm{e}}^x}\) \( = \left( {1 + x} \right){{\rm{e}}^x}\).
Cho chuyển động xác định bởi phương trình \[S = {t^3} - 3{t^2} - 9t\], trong đó \[t\] được tính bằng giây và \[S\] được tính bằng mét. Gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu là
\[12{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}\].
\[ - 6{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}\].
\[ - 12{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}\].
\[6{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}\]
Ta có
\[\begin{array}{l}v\left( t \right) = S'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t - 9\\a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 6t - 6\end{array}\]
Khi vận tốc triệt tiêu ta có \[v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 6t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 3\] (vì \[t > 0\])
Khi đó gia tốc là \[a\left( 3 \right) = 6.3 - 6 = 1{\rm{2m/}}{{\rm{s}}^2}\].
Phương trình tiếp tuyến của đường cong \(y = {x^3} + 3{x^2} - 2\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) là:
\(y = 9x - 7\).
\(y = 9x + 7\).
\(y = - 9x - 7\).
\(y = - 9x + 7\).
\(y' = 3{x^2} + 6x\)
Có \({x_0} = 1\)\( \Rightarrow y\left( 1 \right) = 2\) và \(y'\left( 1 \right) = 9\)
Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm \(\left( {1;\,2} \right)\) có dạng \(y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\) \( \Leftrightarrow y = 9x - 7\).
Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai
Một hộp chứa 15 viên bi xanh và 20 viên bi đỏ, có cùng kích thước và khối lượng. Lần lượt lấy ngẫu nhiên ra 2 viên bi, mỗi lần một viên. Gọi \(A\) là biến cố "Lấy được viên bi màu xanh ở lần thứ nhất" và \(B\) là biến cố "Lấy được viên bi màu xanh ở lần thứ hai”. Khi đó:
Hai biến cố \(A\) và \(B\) không độc lập
\(P(AB) = \frac{3}{{17}}\)
\(P(A\bar B) = \frac{{60}}{{119}}\)
Xác suất để hai viên bi lấy ra khác màu là: \(\frac{{30}}{{119}}\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
a) Hai biến cố \(A\) và \(B\) không độc lập vì việc lần đầu lấy được bi xanh hay không sẽ ảnh hưởng đến việc lần sau lấy bi.
b) Ta có \(P(AB) = \frac{{15}}{{35}} \cdot \frac{{14}}{{34}} = \frac{3}{{17}}\).
d) Xác suất để hai viên bi lấy ra khác màu là:
\(P(A\bar B) + P(\bar AB) = \frac{{15}}{{35}} \cdot \frac{{20}}{{34}} + \frac{{20}}{{35}} \cdot \frac{{15}}{{34}} = \frac{{60}}{{119}}{\rm{. }}\)
Xét khối tứ diện \[ABCD\] có cạnh \[AB = x\], các cạnh còn lại đều bằng \[2\sqrt 3 \]. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Diện tích tam giác \(BCD\) bằng \({S_{BCD}} = 3\sqrt 3 \)
\({V_{ABCD}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}x\sqrt {36 - {x^2}} \)
Khi \(x = 3\) thì \(V = \frac{9}{4}\)
Khi \[x = 3\sqrt 2 \]thì thể tích khối tứ diện \[ABCD\] đạt giá trị lớn nhất.
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm \(CD\) và \(AB\); \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(BM\).
Ta có: \(\left. \begin{array}{l}CD \bot BM\\CD \bot AM\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot \left( {ABM} \right) \Rightarrow \left( {ABM} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).
Mà \(AH \bot BM\); \(BM = \left( {ABM} \right) \cap \left( {ABC} \right)\)\(A\).
Do \(ACD\) và \(BCD\) là hai tam giác đều cạnh \(2\sqrt 3 \Rightarrow AM = BM = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot 2\sqrt 3 = 3\).
Tam giác \(AMN\) vuông tại \(N\), có: \(MN = \sqrt {A{M^2} - A{N^2}} = \sqrt {9 - \frac{{{x^2}}}{4}} \).
Lại có: \({S_{BCD}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = 3\sqrt 3 \).
\({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}AH \cdot {S_{BCD}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{x\sqrt {36 - {x^2}} }}{6} \cdot 3\sqrt 3 = \frac{{\sqrt 3 }}{6}x\sqrt {36 - {x^2}} \).
Ta có: \({V_{ABCD}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}x\sqrt {36 - {x^2}} \le \frac{{\sqrt 3 }}{6} \cdot \frac{{{x^2} + 36 - {x^2}}}{2} = 3\sqrt 3 \).
Suy ra \({V_{ABCD}}\) lớn nhất bằng \(3\sqrt 3 \) khi \({x^2} = 36 - {x^2} \Rightarrow x = 3\sqrt 2 \).
Lạm phát là sự tăng mức giá chung một cách liên tục của hàng hoá và dịch vụ theo thời gian, tức là sự mất giá trị của một loại tiền tệ nào đó. Chẳng hạn, nếu lạm phát là \(5\% \) một năm thì sức mua của 1 triệu đồng sau một năm chỉ còn là 950 nghìn đồng (vì đã giảm mất \(5\% \) của 1 triệu đồng, tức là 50000 đồng). Nói chung, nếu tỉ lệ lạm phát trung bình là \(r\% \) một năm thì tổng số tiền \(P\) ban đầu, sau \(n\) năm số tiền đó chỉ còn giá trị là: \(A = P{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)^n}\)
Nếu tỉ lệ lạm phát là \(7\% \) một năm thì sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm sẽ còn lại 86490000 đồng.
Nếu tỉ lệ lạm phát là \(7\% \) một năm thì sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm sẽ còn lại 96490000 đồng.
Nếu sức mua của 100 triệu đồng sau ba năm chỉ còn lại 80 triệu đồng thì tỉ lệ lạm phát trung bình của ba năm đó là \(9,17\% \) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Nếu tỉ lệ lạm phát trung bình là \(6\% \) một năm thì sau 15 năm sức mua của số tiền ban đầu chỉ còn lại một nửa
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Sai |
a) b) Giả thiết cho \(P = 100\) triệu đồng, \(r\% = 7\% ,n = 2\) năm.
Ta có: \(A = {100.10^6}{\left( {1 - \frac{7}{{100}}} \right)^2} = 86490000\) đồng.
Vậy sau hai năm sức mua còn lại của 100000000 là 86490000 đồng.
c) Giả thiết cho \(P = 100\) triệu đồng, \(A = 80\) triệu đồng, \(n = 3\) năm.
Ta có: \(80 = 100{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)^3} \Leftrightarrow 1 - \frac{r}{{100}} = \sqrt[3]{{\frac{4}{5}}} \Leftrightarrow r \approx 7,17\).
Vậy tỉ lệ lạm phát trung bình của ba năm là \(r\% \approx 7,17\% \).
d) Giả thiết cho \(P = X\) triệu đồng, \(A = \frac{X}{2}\) triệu đồng, \(r\% = 6\% \).
Ta có: \(\frac{X}{2} = X{\left( {1 - \frac{6}{{100}}} \right)^n} \Leftrightarrow {(0,94)^n} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow n \approx 11,2\) (năm).
Vậy sau khoảng 12 năm sức mua của số tiền còn lại là một nửa.
Cho hàm số \[y = {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x\]. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\(2y' + y'' = \sqrt 2 {\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right)\).
\(2y + y'.{\rm{tan}}x = 0\).
\(4y - y'' = 2\).
\(4y' + y''' = 0\).
a) Sai | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Ta có \(y' = \sin 2x\), \(y'' = 2{\rm{cos}}2x\), \(y''' = - 4\sin 2x\).
\(2y' + y'' = 2\left( {\sin 2x + {\rm{cos}}2x} \right) = 2\sqrt 2 {\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right)\),
\[2y + y'.{\rm{tan}}x = 2{\sin ^2}x + 2\sin x.{\rm{cos}}x.{\rm{tan}}x = 4{\sin ^2}x\],
\[4y - y'' = 4{\sin ^2}x - 2{\rm{cos}}2x = 2 - 4{\rm{cos2x}}\],
Phần 3. Câu trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.
Một lớp học có 40 học sinh trong đó có 25 học sinh thích môn Toán, 20 học sinh thích môn Ngữ văn và 12 học sinh thích cả hai môn Ngữ văn và Toán. Tính xác suất để chọn được một học sinh thích môn Ngữ văn mà không thích môn Toán.
Trả lời: \(\frac{8}{{40}}\)
Lời giải
Xác suất để chọn được một học sinh thích môn Ngữ văn mà không thích môn Toán: \(\frac{8}{{40}}\).
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(B,AC = 2a\) và \({A^\prime }B = 3a\). Tính góc phẳng nhị diện \(\left[ {{B^\prime },AC,B} \right]\)?
Trả lời: \({69,3^^\circ }\)
![Cho hình lăng trụ đứng ABC .A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại B,AC = 2a và A'B = 3a. Tính góc phẳng nhị diện [B' .AC,B]? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid1-1765768422.png)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {{B^\prime }AC} \right) \cap (ABC) = AC}\\{{\mathop{\rm Trong}\nolimits} (ABC),BI \bot AC \Rightarrow [A,SC,B] = \widehat {{B^\prime }IB}}\\{{\mathop{\rm Trong}\nolimits} \left( {{B^\prime }AC} \right),{B^\prime }I \bot AC}\end{array}} \right.\)
Ta có: \(BI = \frac{{AC}}{2} = a\)
\({B^\prime }B = \sqrt {{{(3a)}^2} - {{(a\sqrt 2 )}^2}} = \sqrt 7 a\)
Xét \(\Delta B{B^\prime }I\) vuông tại \(B:\tan \widehat {{B^\prime }IB} = \frac{{{B^\prime }B}}{{BI}} = \frac{{\sqrt 7 a}}{a} = \sqrt 7 \Rightarrow \widehat {{B^\prime }IB} \approx {69,3^^\circ }\)
Cho khối lăng trụ đứng \(ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(A,BC = 2a\) và \({A^\prime }C = a\sqrt 7 \). Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
Trả lời: \(\sqrt 5 {a^3}\)
Lời giải
\(\begin{array}{l}V = {S_{ABC}} \cdot {A^\prime }A\\AB = AC = \frac{{2a}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 a\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{S_{ABC}} = \frac{{{{(\sqrt 2 a)}^2}}}{2} = {a^2}\\{A^\prime }A = \sqrt {{A^\prime }{C^2} - A{C^2}} = \sqrt {{{(a\sqrt 7 )}^2} - {{(\sqrt 2 a)}^2}} = \sqrt 5 a\\ \Rightarrow {V_{S.ABC}} = {a^2} \cdot \sqrt 5 a = \sqrt 5 {a^3}\end{array}\)
Một quần thể của loài ong mật lớn lên tại một nhà nuôi ong bắt đầu với \[50\]con ong, tại thời điểm \[t\] số lượng ong của quần thể này được mô hình hóa bởi công thức:\[P\left( t \right) = \frac{{7520}}{{1 + 1503{{\rm{e}}^{ - 0,5932\,t}}}}\].
trong đó \[t\] là thời gian được tính bằng tuần. Hỏi sau bao lâu thì quần thể ong có tốc độ phát triển nhanh nhất.
Trả lời: \[ \approx 12,332\] tuần
Lời giải
Ta có: \[P'\left( t \right) = \frac{{7520.1503.0,5932.{e^{ - 0,5932t}}}}{{1 + 1503{{\rm{e}}^{ - 0,5932\,t}}}}\].
\[P''\left( t \right) = \frac{{7520.1503.{{(0,5932)}^2}.{e^{ - 0,5932t}}\left( { - 1 + 1503{{\rm{e}}^{ - 0,5932\,t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 1503{{\rm{e}}^{ - 0,5932\,t}}} \right)}^3}}}\].
\[ \Rightarrow P''\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 1503{{\rm{e}}^{ - 0,5932\,t}} = 1 \Leftrightarrow {{\rm{e}}^{ - 0,5932\,t}} = \frac{1}{{1503}} \Leftrightarrow t = \frac{{\ln 1503}}{{0,5932}} \approx 12,332\].
Một chất điểm chuyển động theo phương trình \(S = - {t^3} + 3{t^2} - 2\), trong đó t tính bằng giây và S tính theo mét. Vận tốc lớn nhất của chuyển động chất điểm đó bằng bao nhiêu?
Trả lời: \(3m/s\)
Lời giải
Ta có: \(v = S' = - 3{t^2} + 6t\).
\({v_{\max }} \Leftrightarrow t = \frac{{ - b}}{{2a}} = 1\left( s \right)\)
\( \Rightarrow {v_{\max }} = v\left( 1 \right) = 3m/s\).
Cho hàm số \(y = \cos 3x.\sin 2x\). Tính \(y'\left( {\frac{\pi }{3}} \right)\).
Trả lời: 1
Lời giải
Ta có \(y' = {\left( {\cos 3x} \right)^\prime }.\sin 2x + \cos 3x.{\left( {\sin 2x} \right)^\prime }\)\( = - 3\sin 3x.\sin 2x + 2\cos 3x.\cos 2x\).
Do đó \(y'\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = - 3\sin \pi .\sin \frac{{2\pi }}{3} + 2\cos \pi .\cos \frac{{2\pi }}{3} = 1\).
