Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Đề 03

Ta có \(y' = {3^{x + 1}}.\ln 3\)\( \Rightarrow y'\left( 1 \right) = 9\ln 3\).

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\).

\(f\prime \left( x \right) = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\), \(f\prime \prime \left( x \right) = \frac{8}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^3}}}\).

Khi đó \(f\prime \prime \left( { - 1} \right) =  - \frac{8}{{27}}\).

Gọi \(M\) là tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị hàm số. Theo giả thiết: \(M\left( {1;\, - 2} \right)\)

Gọi \(k\) là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại \(M\).

Ta có \(y' = 2x - 1\), \(k = y'\left( 1 \right) = 1\)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y = 1\left( {x - 1} \right) - 2 \Leftrightarrow x - y - 3 = 0\)

a) Xác suất để chọn được 1 học sinh nam ở trường không thuận tay trái là:

\(\frac{5}{8}.0,89 = \frac{{89}}{{160}}{\rm{. }}\)

b) Xác suất để chọn được 1 học sinh nữ ở trường không thuận tay trái là:

\(\frac{3}{8}.0,91 = \frac{{273}}{{800}}{\rm{. }}\)

-Xác suất để chọn được 1 học sinh ở trường không thuận tay trái là:

\(\frac{{89}}{{160}} + \frac{{273}}{{800}} = \frac{{359}}{{400}}{\rm{. }}\)

c) Xác suất để chọn được 1 học sinh nam, 1 học sinh nữ ở trường không thuận tay trái lần lượt là:

\(\frac{5}{8} \cdot 0,11 = \frac{{11}}{{160}}{\rm{ v\`a  }}\frac{3}{8} \cdot 0,09 = \frac{{27}}{{800}}{\rm{. }}\)

d) Xác suất để chọn ngẫu nhiên 5 học sinh ở trường trong đó có đúng 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ thuận tay trái là:

\(\frac{{11}}{{160}} \cdot \frac{{27}}{{800}} \cdot {\left( {\frac{{359}}{{400}}} \right)^3} \approx 1,68 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{. }}\)

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên đường cao \(CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Gọi \(N\) là trung điểm của \(AM\) \( \Rightarrow ON \bot AB;ON = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Kẻ \(OH \bot SN\)\( \Rightarrow d\left( {O,\left( {SAB} \right)} \right) = OH\).

\[\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{N^2}}}\]; \[ON = \frac{1}{2}CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\]; \[SO = \frac{{3a}}{4} \Rightarrow OH = \frac{{3a}}{8}\].

\(x = d\left( {O,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{3a}}{8}\),

\(y = d\left( {D,\left( {SAB} \right)} \right) = 2.d\left( {O,\left( {SAB} \right)} \right) = 2x\),

\(z = d\left( {CD,SA} \right)\)\( = d\left( {D,\left( {SAB} \right)} \right) = 2x\).

Vậy \(x + y + z = 5x = \frac{{15a}}{8}\).

a: \({3^{2x}} - {2.3^x} = 0 \Leftrightarrow {3^x} - 2 = 0 \Leftrightarrow x = {\log _3}2\) nên a đúng.

b Bất phương trình \(f\left( x \right) \ge  - 1\) có nghiệm duy nhất: b sai.

c Bất phương trình \(f\left( x \right) \ge 0\) có tập nghiệm là: \(\left( {{{\log }_3}2; + \infty } \right)\) nên c sai.

d Đường thẳng \(y = 0\) cắt đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) tại \(2\) điểm phân biệt: d sai.

Để hàm số có đạo hàm tại \[x = 1\] thì trước hết \[f(x)\] phải liên tục tại \[x = 1\]

Hay \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = 2 = f(1) = a\].

Khi đó, ta có:\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} - 2}}{{x - 1}} = 1\].

Vậy \[a = 2\] là giá trị cần tìm.

Trả lời: 0,52.

Lời giải

Xác suất để hai người cùng trúng sau 1 lượt bắn là: \(\frac{1}{2} \cdot 0,7 \cdot 0,7 + \frac{1}{2} \cdot 0,8 \cdot 0,6 = 0,485\).

Xác suất để hai người cùng trượt sau 1 lượt bắn là: \(\frac{1}{2} \cdot 0,3 \cdot 0,1 + \frac{1}{2} \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,035\).

Xác suất để không có ai thắng sau 1 lượt bắn là: 0,52.

Trả lời: \( \approx {73,4^^\circ }\)

Lời giải

Kẻ \(AI \bot BD\). Mà \(BD \bot {A^\prime }A \Rightarrow BD \bot \left( {A{A^\prime }I} \right)\)

\(\begin{array}{l}{\rm{ Ta c\'o : }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {{A^\prime }BD} \right) \cap (ABD) = BD}\\{{\mathop{\rm Trong}\nolimits} (ABD),AI \bot BD}\\{{\mathop{\rm Trong}\nolimits} \left( {{A^\prime }BD} \right),{A^\prime }I \bot BD}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow \left[ {{A^\prime },BD,A} \right] = \widehat {{A^\prime }IA}\end{array}\)

Ta có: \(AI = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}}} }} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{(2a)}^2}}}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}a\)

Xét \(\Delta A{A^\prime }I\) vuông tại \(A:\tan \widehat {{A^\prime }IA} = \frac{{{A^\prime }A}}{{AI}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\frac{{2\sqrt 5 }}{5}a}} = \frac{{3\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow \widehat {{A^\prime }IA} \approx {73,4^^\circ }\)

Trả lời: \(\frac{{\sqrt {15} }}{{15}}a\)

Lời giải

Kẻ \(AI \bot BC\), kẻ \(AH \bot SI\) tại \(H\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot SA}\\{BC \bot AI}\end{array} \Rightarrow BC \bot (SAI) \Rightarrow BC \bot AH} \right.\).

Ta lại có: \(AH \bot SI \Rightarrow AH \bot (SBC) \Rightarrow d(A,(SBC)) = AH\)

Ta có: \(SA = \sqrt {S{B^2} - B{A^2}}  = \sqrt {{{(2a)}^2} - {a^2}}  = \sqrt 3 a\)

Ta có: \(AH = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{I^2}}}} }} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{{\left( {\sqrt 3 a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}} }} = \frac{{\sqrt {15} }}{5}a\)

Vậy \(d(A,(SBC)) = \frac{{\sqrt {15} }}{5}a\).

Ta có: \(GA\) cắt \[\left( {SBC} \right)\] tại \[I\]

\( \Rightarrow \frac{{d(G,(SBC))}}{{d(A,(SBC))}} = \frac{{GI}}{{AI}} = \frac{1}{3} \Rightarrow d(G,(SBC)) = \frac{1}{3}d(A,(SBC)) = \frac{{\sqrt {15} }}{{15}}a.\)

Trả lời: \(6,7\)

Lời giải

Trả lời: \(410(m)\)

Lời giải

 Ta có phương trình vận tốc của vật: \(v\left\(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow  - 2t + 40 = 0 \Leftrightarrow t = 20(s)\)( t \right) = s'\left( t \right) =  - 2t + 40\).

 Thời gian vật chuyển động cho đến khi dừng lại: .

 Quãng đường vật đi được là: \(s = s\left( {20} \right) = 410(m)\).

Trả lời: \( - \frac{{2018}}{{2019}}\)

Lời giải

Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)}^\prime }}}{{\frac{{x + 1}}{x}}} = \frac{{\frac{{ - 1}}{{{x^2}}}}}{{\frac{{x + 1}}{x}}} =  - \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{x}\).

Khi đó \(S = \frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} +  \ldots  + \frac{1}{{2018}} - \frac{1}{{2017}} + \frac{1}{{2019}} - \frac{1}{{2018}} = \frac{1}{{2019}} - 1 =  - \frac{{2018}}{{2019}}\).