Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 9
22 câu hỏi
Cho hàm số \[y = a{x^2} + bx + c\] có đồ thị là parabol trong hình sau
![Cho hàm số \[y = a{x^2} + bx + c\] có đồ thị là parabol trong hình sau Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid6-1766392570.png)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
\[\left( { - 2;\, + \infty } \right)\].
\[\left( {1;\, + \infty } \right)\].
\(M\left( {0;3} \right)\).
\({2.0^2} - 0 + 3 = 3\).
Đáp án đúng là B
Dựa vào đồ thị, ta có hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(I\).
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \( - 2{x^2} - 3x + 2 > 0\) là
\(\left( { - 2\,;\,\frac{1}{2}} \right)\).
\(\left( { - \infty & \,;\, - \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {2\,;\, + \infty } \right)\).
\(\left( { - \frac{1}{2}\,;\,2} \right)\).
\(\left( { - \infty \,;\, - 2} \right) \cup \left( {\frac{1}{2}\,;\, + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là A
Đặt \(f\left( x \right) = - 2{x^2} - 3x + 2\). \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
Bảng xét dấu của \(f\left( x \right) = - 2{x^2} - 3x + 2\) là
Từ bảng xét dấu suy ra tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - 2\,;\,\frac{1}{2}} \right)\).
Tập nghiệm của phương trình \[\sqrt {{x^2} + 3x - 2} = \sqrt {1 + x} \] là
\[S = \left\{ 3 \right\}\].
\[S = \left\{ 2 \right\}\].
\[S = \left\{ { - 3;1} \right\}\].
\[S = \left\{ 1 \right\}\].
Đáp án đúng là D
\(\sqrt {{x^2} + 3x - 2} = \sqrt {1 + x} \Rightarrow {x^2} + 3x - 2 = 1 + x \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right.\).
Thử lại ta thấy chỉ có \(x = 1\) thỏa phương trình. Vậy \[S = \left\{ 1 \right\}\].
Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {0; - 2} \right),B\left( {3;0} \right)\) có phương trình theo đoạn chắn là
\(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{3} = 1\).
\(\frac{x}{3} + \frac{y}{{ - 2}} = 1\).
\(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{3} = 0\).
\(\frac{x}{3} + \frac{y}{{ - 2}} = 0\).
Đáp án đúng là B
Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {0; - 2} \right),B\left( {3;0} \right)\)có phương trình theo đoạn chắn là: \(\frac{x}{3} + \frac{y}{{ - 2}} = 1\)
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], phương trình đường tròn tâm \[I\left( {2;\, - 5} \right)\] và tiếp xúc với đường thẳng \[\Delta :\, - 3x + 4y + 11 = 0\] là
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = 3\).
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 9\).
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 3\).
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = 9\).
Đáp án đúng là D
Đường tròn tâm \(I\) tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta \) có bán kính bằng khoảng cách từ điểm \(I\) đến đường thẳng \(\Delta \).
Suy ra, \[R = d\left( {I\,,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 3{x_I} + 4{y_I} + 11} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2}} }} = \frac{{\left| { - 3.2 + 4.\left( { - 5} \right) + 11} \right|}}{5} = \frac{{15}}{5} = 3\].
Vậy phương trình đường tròn tâm \(I\left( {2;\, - 5} \right)\), bán kính \(R = 3\) là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = 9\).
Phương trình chính tắc của \[\left( E \right)\] có độ dài trục lớn gấp \[3\] lần độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng \(8\sqrt 2 \) là:
\(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{6} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Đáp án đúng là B
Gọi phương trình chính tắc của \[\left( E \right)\]có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\) ta có:
Do độ dài trục lớn gấp \[3\] lần độ dài trục nhỏ nên \(a = 3b.\)
Do tiêu cự bằng \(8\sqrt 2 \) nên \(2c = 8\sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow c = 4\sqrt 2 \).
Ta có: \({b^2} = {a^2} - {c^2}\)\( \Leftrightarrow {b^2} = 9{b^2} - 32\)\( \Leftrightarrow {b^2} = 4 \Leftrightarrow b = 2\)\( \Rightarrow a = 6\)\( \Rightarrow \left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).
Một hộp đồ bảo hộ có 10 chiếc khẩu trang và 3 mặt nạ chống giọt bắn. Có bao nhiêu cách chọn một chiếc khẩu trang và một mặt nạ chống giọt bắn từ hộp đồ bảo hộ trên.
\(10\).
\(30\).
\(13\).
\(3\).
Đáp án đúng là B
Áp dụng quy tắc nhân, số cách chọn một chiếc khẩu trang và một mặt nạ chống giọt bắn từ hộp đồ bảo hộ trên là 10.3 = 30 cách.
Trong một hộp bánh có 10 chiếc bánh khác nhau. Có bao nhiêu cách lấy 3 chiếc bánh từ hộp đó để phát cho các bạn An, Bình, Cường, mỗi bạn một chiếc?
\({3^{10}}\).
\(A_{10}^3\).
\({10^3}\).
\(C_{10}^3\).
Đáp án đúng là B
Lấy 3 chiếc bánh từ 10 chiếc bánh, có \(C_{10}^3\)cách lấy.
Sau đó phát 3 chiếc bánh đã lấy cho 3 bạn, mỗi bạn một chiếc, có \(3!\) cách.
Vậy số cách cần tìm là: \(C_{10}^3.3! = A_{10}^3\) cách.
Tính tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn của \[{\left( {1 - 2x} \right)^4}\].
\[1\].
\[ - 1\].
\[81\].
\( - 81\).
Đáp án đúng là A
Tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn của \({\left( {2x - 3} \right)^4}\) chính là giá trị của biểu thức \({\left( {2x - 3} \right)^4}\) tại \[x = 1\].
Vậy \[S = {\left( {1 - 2.1} \right)^4} = 1\].
Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3 bằng
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{1}{6}\).
\(\frac{2}{3}\).
Đáp án đúng là B
Không gian mẫu \(\Omega = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\)\( \Rightarrow n\left( \Omega \right) = 6\).
Gọi \(A\) là biến cố “xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3”, ta có \(A = \left\{ {3;6} \right\} \Rightarrow n\left( A \right) = 2\).
Vậy, xác suất để xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3 là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).
Gieo ba con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để số chấm xuất hiện trên ba mặt lập thành một cấp số cộng với cộng sai bằng 1 là bao nhiêu?
\(\frac{1}{6}\).
\(\frac{1}{{36}}\).
\(\frac{1}{9}\).
\(\frac{1}{{27}}\).
Đáp án đúng là C
Số phần tử không gian mẫu là \({6^3} = 216.\)
Các bộ ba số lập thành một cấp số cộng với công sai bằng 1 là \(\left( {1,2,3} \right),\left( {2,3,4} \right),\left( {3,4,5} \right),\left( {4,5,6} \right).\) Các trường hợp trên với các hoán vị sẽ có \(4.3! = 24\) khả năng thuận lợi cho biến cố.
Xác suất cần tìm là \(\frac{{24}}{{216}} = \frac{1}{9}.\)
Một tổ có \(5\) bạn nam và \(7\) bạn nữ, chọn một nhóm \(3\) bạn để tham gia biểu diễn văn nghệ. Xác suất để chọn được \(3\) bạn nữ bằng
\(\frac{{21}}{{220}}\).
\(\frac{1}{{22}}\).
\(\frac{7}{{44}}\).
\(\frac{5}{{44}}\).
Đáp án đúng là C
Ta có số phân tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega \right) = C_{12}^3\).
Gọi \(A\) là biến cố chọn được \(3\) bạn nữ, ta có \(n\left( A \right) = C_7^3\).
Xác suất của biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_7^3}}{{C_{12}^3}} = \frac{7}{{44}}\).
Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + 2\) với \(a \ne 0\), có đồ thị là \(\left( P \right)\). Xét tính đúng sai trong các khẳng định sau:
a) Biết \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(M\left( {1;0} \right)\) và \(N\left( { - 1;0} \right)\). Khi đó \(a + 2024b = - 2\);
b) Biết \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(E\left( { - 1;5} \right)\) và có trục đối xứng là \(x = 1\). Khi đó \(2a + b = 1\);
c) Biết \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(F\left( { - 1;6} \right)\) và có tung độ đỉnh bằng \( - \frac{1}{4}\). Khi đó \(ab = - 36\);
d) Biết \(\left( P \right)\) có đỉnh là điểm \(S\left( { - 1; - \frac{3}{2}} \right)\). Khi đó \(\left( {2a + b} \right)\; \vdots \;14\).
a) Đúng: \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(M\left( {1;0} \right)\) và \(N\left( { - 1;0} \right)\) nên ta được
\(\left\{ \begin{array}{l}a + b + 2 = 0\\a - b + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 0\end{array} \right. \Rightarrow a + 2024b = - 2\).
b) Sai: \(\left( P \right)\) có trục đối xứng là \(x = 1 \Rightarrow - \frac{b}{{2a}} = 1 \Rightarrow 2a + b = 0\;\left( 1 \right)\)
Mặt khác \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(E\left( { - 1;5} \right)\) nên \(a - b + 2 = 5 \Leftrightarrow a - b = 3\;\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\;\left( 2 \right)\) suy ra \(a = 1,\;b = - 2\). Do đó \(2a + b = 0\).
c) Sai: \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(F\left( { - 1;6} \right)\) nên \(a - b + 2 = 6 \Leftrightarrow a - b = 4 \Leftrightarrow a = b + 4\;\left( 3 \right)\)
Lại có \(\left( P \right)\) có tung độ đỉnh bằng \( - \frac{1}{4}\) nên
\( - \frac{\Delta }{{4a}} = - \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = \frac{1}{4} \Rightarrow {b^2} - 8a = a \Rightarrow {b^2} - 9a = 0\;\left( 4 \right)\)
Thay \(\left( 3 \right)\) vào \(\left( 4 \right)\) được \({b^2} - 9\left( {b + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow {b^2} - 9b - 36 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = - 3 \Rightarrow a = 1\\b = 12 \Rightarrow a = 16\end{array} \right.\)
Suy ra \(ab = - 3\) hoặc \(ab = 192\).
d) Đúng: Vì \(\left( P \right)\) có đỉnh là điểm \(S\left( { - 1; - \frac{3}{2}} \right)\) nên hoành độ đỉnh \(x = - 1 = - \frac{b}{{2a}} \Rightarrow 2a - b = 0\;\left( 5 \right)\)
Lại có \(\left( P \right)\) đi qua \(S\left( { - 1; - \frac{3}{2}} \right)\) nên \(a - b + 2 = - \frac{3}{2} \Leftrightarrow a - b = - \frac{7}{2}\;\left( 6 \right)\)
Từ \(\left( 5 \right),\;\left( 6 \right)\) ta được \(a = \frac{7}{2},\;b = 7 \Rightarrow 2a + b = 14\).
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho đường tròn \(\left( C \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25\) và đường thẳng \(d:\,4x - 3y + 2 = 0\). Xét tính đúng sai trong các khẳng đính sau:
a) Đường thẳng \(d\) tiếp xúc với đường tròn \(\left( C \right)\).
b) Khoảng cách giữa hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d\) bằng \(10\).
c) Đường thẳng \(m:3x + 4y + 14 = 0\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d\).
d) Tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {0\,;\,9} \right)\).
Đường tròn \(\left( C \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25\) có tâm \(I\left( {1\,;\,2} \right)\) và bán kính \(R = 5\).
a) Sai: Ta có \(d\left( {I,\,d} \right) = \left| {\frac{{4.1 - 3.2 + 2}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }}} \right| = 0\)
Vậy đường thẳng \(d\) không tiếp xúc với đường tròn \(\left( C \right)\).
b) Đúng: Khoảng cách giữa hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d\) bằng đường kính nên bằng\(10\).
c) Đúng: Gọi \(m\) là đường thẳng vuông góc với \(d:\,4x - 3y + 2 = 0\). Khi đó \(m\) có dạng \(3x + 4y + C = 0\).
Đường thẳng \(m\)tiếp xúc với đường tròn \(\left( C \right)\) khi và chỉ khi
\(d\left( {I,m} \right) = R \Leftrightarrow \left| {\frac{{3.1 + 4.2 + C}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {11 + C} \right| = 25 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}11 + C = 25\\11 + C = - 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}C = 14\\C = - 36\end{array} \right.\)
Suy ra có hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d\) là
\({m_1}:\,3x + 4y + 14 = 0\) và \({m_2}:\,3x + 4y - 36 = 0\).
d) Đúng: Điểm \(A\left( {0\,;\,9} \right)\) thuộc tiếp tuyến \({m_2}:\,3x + 4y - 36 = 0\).
An và Bình cùng 7 bạn khác rủ nhau đi xem bóng đá. Cả 9 bạn được xếp vào 9 ghế theo hàng ngang.
a) Có 5040 cách xếp chỗ ngồi.
b) Có 40320 cách xếp bạn An ngồi chính giữa.
c) Có 80640 cách xếp An và Bình ngồi cạnh nhau.
d) Có 282240 cách xếp An và Bình không ngồi cạnh nhau.
a) Sai: Xếp tùy ý 9 bạn lên hàng ghé nằm ngang, ta có \(9! = 362880\) (cách).
b) Đúng: Xếp bạn An ngồi chính giữa, hoán vị 8 bạn còn lại ta có \(8! = 40320\) (cách).
c) Đúng: Xếp chỗ cho An và Bình ngồi cạnh nhau (thành nhóm \(X\)), số cách xếp trong \(X\) là \(2!\)
Số cách xếp nhóm \(X\) với 7 người còn lại (ta xem là hoán vị của 8 phần từ), số cách xếp là 8!.
Số cách xếp hàng thỏa mãn là \(2!8! = 80640\) (cách).
d) Đúng: Số cách xếp 9 bạn vào 9 chỗ là 9 ! cách. Vậy số cách xếp để An và Binh không ngồi cạnh nhau là: \(9! - 2!8! = 282240\) (cách).
Tung một đồng xu cân đối và đồng chất 3 lần.Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Số phần tử của không gian mẫu là 6
b) Xác suất để 3 lần gieo trúng mặt sấp là \(\frac{1}{8}\)
c) Xác suất để hai lần nhận được mặt sấp là \(\frac{1}{2}\)
d) Xác suất nhận được ít nhất một mặt sấp \(\frac{7}{8}\)
a) Sai: Số phần tử của không gian mẫu là \(N\left( \Omega \right) = 2.2.2 = 8\)
Cụ thể: SSS, SSN, SNS, NSS, NNS, NSN, SNN, NNN
b) Đúng: A:” 3 lần gieo trúng mặt sấp “. Khi đó, \(A = \left\{ {SSS} \right\}\)
Xác suất cần tính là: \(n\left( A \right) = 1,\,\,P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{1}{8}\)
c) Sai: B:” 2 lần gieo trúng mặt sấp “. Khi đó, \(A = \left\{ {SSN,\,SNS,\,NSS} \right\}\)
Xác suất cần tính là: \(n\left( B \right) = 3,\,\,P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{3}{8}\)
d) Đúng: C:” gieo được ít nhất một mặt sấp “.
\(\overline C :\)” 3 lần nhận được mặt ngửa”
Xác suất cần tính là: \(P\left( C \right) = 1 - P\left( {\overline C } \right) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\)
Cho hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{2\sqrt {x + 2} - 3}}{{x - 1}}}&{\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{khi}}}&{x \ge 2}\end{array}}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 1}&{{\rm{ khi}}}&{x < 2}\end{array}}\end{array}} \right.\]. Tính \[P = f\left( 2 \right) + f\left( { - 2} \right)\].
Ta có: \[P = f\left( 2 \right) + f\left( { - 2} \right) = \frac{{2\sqrt {2 + 2} - 3}}{{2 - 1}} + {\left( { - 2} \right)^2} + 1 = 6\].
Phương trình \[\sqrt {{x^2} + 3x - 2} = \sqrt {1 + x} \] có bao nhiêu nghiệm nguyên?
Ta có: \(\sqrt {{x^2} + 3x - 2} = \sqrt {1 + x} \Rightarrow {x^2} + 3x - 2 = 1 + x \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right.\).
Thử lại ta thấy chỉ có \(x = 1\) thỏa phương trình.
Vậy phương trình đã cho có \(1\) nghiệm nguyên.
Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hyperbol có tiêu cự bằng \(2\sqrt {70} \,m\), độ dài trục ảo bằng\(2\sqrt {42} \,m\). Biết chiều cao của tháp là \(120\,m\) và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol là \(\frac{2}{3}\) khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Khi đó bán kính nóc và bán kính đáy của tháp có độ dài lần lượt là \(2\sqrt a \,\left( {\rm{m}} \right)\) và \(2\sqrt b \left( {\rm{m}} \right)\). Tính giá trị biểu thức \(T = a + b\).
Phương trình chính tắc của hypebol có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với \(a < c\,,\,{b^2} = {c^2} - {a^2}\).
Ta có: \(2c = 2\sqrt {70} \Rightarrow c = \sqrt {70} ;\,2b = 2\sqrt {42} \Rightarrow b = \sqrt {42} ;\,a = \sqrt {{c^2} - {b^2}} = 2\sqrt 7 \)
Vậy phương trình chính tắc của hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{{28}} - \frac{{{y^2}}}{{42}} = 1\).
Gọi khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy tháp là z.
Suy ra khoảng cách từ tâm đối xứng đến nóc tháp là \(\frac{2}{3}z\).
Ta có: \(z + \frac{2}{3}z = 120 \Rightarrow z = 72\).
Thay \(y = 72\) vào phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{28}} - \frac{{{y^2}}}{{42}} = 1\) ta tìm được \(x = \pm 2\sqrt {871} \).
Thay \(y = 48\) vào phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{28}} - \frac{{{y^2}}}{{42}} = 1\) ta tìm được \(x = \pm 2\sqrt {391} \).
Vậy bán kính đường tròn nóc và bán kính đường tròn đáy của tháp lần lượt là: \(2\sqrt {391} \left( {\rm{m}} \right)\); \(2\sqrt {871} \,\left( {\rm{m}} \right)\)
Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 391\\b = 871\end{array} \right. \Rightarrow T = 391 + 871 = 1262\).
Thầy X có \[15\] cuốn sách gồm \[4\] cuốn sách toán, \[5\] cuốn sách lí và \[6\] cuốn sách hóa. Các cuốn sách đôi một khác nhau. Thầy X chọn ngẫu nhiên \[8\] cuốn sách để làm phần thưởng cho một học sinh. Xác suất để số cuốn sách còn lại của thầy X có đủ \[3\] môn là \(\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính giá trị biểu thức \(T = 2a + 4b\)
Gọi A là biến cố “Số cuốn sách còn lại của thầy X có đủ 3 môn”, suy ra \[\overline A \] là biến cố “Số cuốn sách còn lại của thầy X không có đủ 3 môn”= “Thầy X đã lấy hết số sách của một môn học”.
Số phần tử của không gian mẫu là: \(n\left( \Omega \right)\)\( = C_{15}^8\)\( = 6435\)
\(n\left( {\overline A } \right) = C_4^4.C_{11}^4 + C_5^5.C_{10}^3 + C_6^6.C_9^2\)\( = 486\)\( \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{{54}}{{715}}\)\( \Rightarrow P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right)\)\( = \frac{{661}}{{715}}\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}a = 661\\b = 715\end{array} \right. \Rightarrow T = 2.661 + 4.715 = 4182\).
Một hộp chứa 11 viên bi được đánh số thứ tự từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi rồi cộng các số trên 3 viên bi đó với nhau. Xác suất để kết quả thu được là số chẵn bằng \(\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính giá trị biểu thức \(T = a + b\)
Không gian mẫu có số phần tử là: \(n(\Omega ) = C_{11}^3\).
Gọi A là biến cố: “Tổng các số trên 3 viên bi là số chẵn”
TH1: 3 viên bi được chọn đều được đánh số chẵn, có \(C_5^3\) cách chọn
TH2: 3 viên bi được chọn có 2 viên được đánh số lẻ và 1 viên được đánh số chẵn, có \(C_6^2.C_5^1\)
Ta có: \(n(A) = C_5^3 + C_6^2.C_5^1\)
Vậy xác suất cần tìm: \(P(A) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_5^3 + C_6^2.C_5^1}}{{C_{11}^3}} = \frac{{17}}{{33}}\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}a = 17\\b = 33\end{array} \right. \Rightarrow T = 17 + 33 = 50\).
Cho đa giác đều có 15 đỉnh, gọi \(M\) là tập tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác đã cho. Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập \(M\). Xác suất để chọn được một tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều bằng \(\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính giá trị biểu thức \(T = 20a + 24b\)
Số tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác đã cho là: \(C_{15}^3 = 455\) tam giác
Suy ra \(n\left( \Omega \right) = 455\).
Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đều.
Xét một đỉnh \(A\) bất kì của đa giác đều: có 7 cặp đỉnh của đa giác đối xứng với nhau qua \(OA\), hay có 7 tam giác cân tại đỉnh \(A\).
Như vậy, với mỗi đỉnh của đa giác có 7 tam giác nhận nó làm đỉnh tam giác cân.
Số tam giác đều có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác là \(\frac{{15}}{3} = 5\) tam giác
Tuy nhiên, trong các tam giác cân đã xác định ở trên có cả tam giác đều, do mọi tam giác đều thì đều cân tại ba đỉnh nên các tam giác đều được đếm ba lần.
Suy ra số tam giác cân nhưng không phải tam giác đều có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác đã cho là: \(7.15 - 3.5 = 90\).
Vậy, xác suất để chọn được một tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều từ tập \(M\) bằng: \(P = \frac{{90}}{{455}} = \frac{{18}}{{91}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 18\\b = 91\end{array} \right. \Rightarrow T = 20.18 + 24.91 = 2544\).
