Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 7
22 câu hỏi
Hàm số \(y = - {x^2} - 4x + 2024\) đồng biến trên khoảng
\(\left( { - \infty ;\, - 2} \right)\).
\(\left( { - \infty ;\,2} \right)\).
\(\left( { - 2;\, + \infty } \right)\).
\(\left( {2;\, + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là A
Hàm số \(y = - {x^2} - 4x + 2024\) có hệ số \(a = - 1 < 0\), \( - \frac{b}{{2a}} = - 2\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\, - 2} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2;\, + \infty } \right)\).
Xét tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = - 3{x^2} + 2x - 1\]. Khẳng định nào sau đây đúng?
\(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
\(f\left( x \right) \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
\(f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
\(f\left( x \right) < 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Đáp án đúng là D
Xét \[f\left( x \right) = - 3{x^2} + 2x - 1\].
Vì \[\Delta ' = 1 - \left( { - 3} \right).\left( { - 1} \right) = - 2 < 0\] và \[a = - 3 < 0\] nên \[f\left( x \right) < 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\].
Biết phương trình \[\sqrt {2{x^2} + 3x + 1} = 2x\] có một nghiệm \[x = \frac{{a + \sqrt b }}{c}\], với \[a,\,b,\,c \in {\mathbb{N}^*}\] và \[\frac{a}{c},\,\frac{b}{c}\] là các phân số tối giản. Tính \[S = ac - b\].
\[29\].
\[ - 9\].
\[5\].
\[ - 5\].
Đáp án đúng là D
\[\sqrt {2{x^2} + 3x + 1} = 2x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \ge 0\\2{x^2} + 3x + 1 = 4{x^2}\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\2{x^2} - 3x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3 - \sqrt {17} }}{4}\,\left( {{\rm{loai}}} \right)\\x = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{4}\,\left( {{\rm{nhan}}} \right)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{4}\].
Đối chiếu đề bài ta có \[a = 3;\,\,b = 17;\,\,c = 4\].
Vậy \[S = ac - b = 3.4 - 17 = - 5.\]
Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \[{\Delta _1}:2x + 3y - 19 = 0\] và \[{\Delta _2}:5x - 2y = 0\].
\[\left( {1; - 3} \right)\].
\[\left( { - 2;5} \right)\].
\[\left( {2;5} \right)\].
\[\left( {3; - 1} \right)\].
Đáp án đúng là C
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \[{\Delta _1}:2x + 3y - 19 = 0\] và \[{\Delta _2}:5x - 2y = 0\] thỏa mãn hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 19 = 0\\5x - 2y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 5\end{array} \right.\].
Toạ độ giao điểm cần tìm là \[\left( {2;5} \right)\].
Tâm của đường tròn \[\left( C \right)\] có phương trình \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 12\) là:
\(I\left( {3;\,\, - 4} \right)\).
\(I\left( {3;\,\,4} \right)\).
\(I\left( { - 3;\,\,4} \right)\).
\(I\left( {4;\,\,3} \right)\).
Đáp án đúng là A
Phương trình đường tròn: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\) với \(I\left( {a,\,\,b} \right)\) là tâm của đường tròn.
Từ phương trình tổng quát của \(\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 12\) ta suy ra \(a = 3\), \(b = - 4\).
Vậy tâm của đường tròn \(\left( C \right)\) là \(I\left( {3;\,\, - 4} \right)\).
Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Tìm tọa độ tiêu điểm của elip đã cho.
\({F_1}\left( {0; - 4} \right);{F_2}\left( {0;4} \right)\).
\({F_1}\left( {0; - 16} \right);{F_2}\left( {0;16} \right)\).
\({F_1}\left( { - 4;0} \right);{F_2}\left( {4;0} \right)\).
\({F_1}\left( { - 16;0} \right);{F_2}\left( {16;0} \right)\).
Đáp án đúng là C
Ta có \({a^2} = 25\,;\,\,{b^2} = 9\)\(\,\, \Rightarrow \,\,c = \sqrt {25 - 9} = 4\).
Do đó elip đã cho có hai tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 4;0} \right)\,;\,\,{F_2}\left( {4;0} \right)\).
Một hộp bút có \[3\] cây bút đỏ, \[4\] cây bút xanh. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra một cây bút từ hộp bút?
\[12\].
\[7\].
\[3\].
\[4\].
Đáp án đúng là B
Trường hợp \[1\]: Lấy một cây bút đỏ từ hộp bút có \[3\] cách.
Trường hợp \[2\]: Lấy một cây bút xanh từ hộp bút có \[4\] cách.
Theo quy tắc cộng ta có: \[3 + 4 = 7\] cách.
Vậy có \[7\] cách lấy ra một cây bút từ hộp bút.
Tính số chỉnh hợp chập \(3\) của \(7\) phần tử.
\(2187\)
\(210\).
\(35\).
\(5040\).
Đáp án đúng là B
Ta có: \(A_7^3 = \frac{{7!}}{{\left( {7 - 3} \right)!}} = \frac{{7!}}{{4!}} = 210\).
Hệ số của \[{x^3}\] trong khai triển \[T = {\left( {2x + 3} \right)^5}\] là?
\[10\].
\[1080\].
\(720\).
\(72\).
Đáp án đúng là C
Vậy hệ số của số hạng chứa \[{x^3}\] là \[C_5^2{.2^3}{.3^2} = 720\].
Bạn An muốn chọn mua một chiếc đồng hồ đeo tay. Có 3 kiểu mặt đồng hồ đeo tay là mặt đính đá, mặt dạng kính cong và mặt lộ cơ. Có 2 kiểu dây là dây da và dây kim loại. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?
\[9\].
\[3\].
\[6\].
\[12\].
Đáp án đúng là C
Có 3 cách chọn mặt đồng hồ và 2 cách chọn dây đồng hồ
Áp dụng quy tắc nhân, ta có số cách chọn một chiếc đồng hồ là: \(3.2 = 6\)(cách).
Một đội sinh viên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội sinh viên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và một nữ?
\(598600\).
\(207900\).
\(498962\).
\(398900\).
Đáp án đúng là B
Có \(C_{12}^4\) cách phân công 4 nam về tỉnh thứ nhất
Với mỗi cách phân công trên thì có \(C_8^4\) cách phân công 4 nam về tỉnh thứ hai và có \(C_4^4\) cách phân công 4 nam còn lại về tỉnh thứ ba
Khi phân công nam xong thì có \(3!\) cách phân công ba nữ về ba tỉnh đó.
Vậy có tất cả \(C_{12}^4.C_8^4.C_4^4.3! = 207900\) cách phân công.
Người ta xếp ngẫu nhiên \(5\) lá phiếu đã đánh số từ \(1\) đến \(5\) thành một hàng ngang. Tính xác suất để các phiếu số chẵn đứng cạnh nhau?
\(0,4\).
\(0,6\).
\(0,2\).
\(0,3\).
Đáp án đúng là A
Số cách xếp \(5\) phiếu thành một hàng ngang là: \(5! = 120\)cách.
Số cách xếp các phiếu \(1,2,3,5\) thành một hàng ngang là: \(4! = 24\) cách. Sau đó xếp phiếu số \(4\)vào cạnh phiếu số 2 có 2 cách.
\( \Rightarrow \)có \(24.2 = 48\)cách xếp theo yêu cầu đề bài.
Vây xác suất để các phiếu mang số chẵn đứng cạnh nhau là: \(P = \frac{{48}}{{120}} = 0,4\).
Một quả bóng được đá lên từ độ cao \(1,5\) mét so với mặt đất. Biết quỹ đạo của quả bóng là một đường parabol trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) có phương trình \(h\left( t \right) = - 0,5{t^2} + 2,75t + 1,5\) trong đó \(t\) là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi quả bóng được đá lên và \(h\) là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng.
a) Quả bóng chạm mặt đất khi \(t = 5\) giây.
b) Quả bóng có độ cao lớn hơn \(1,5\) mét so với mặt đất trong thời gian là \(5\) giây.
c) Quả bóng đạt độ cao lớn nhất khi \(t = 2,75\) giây.
d) Quả bóng có độ cao lớn hơn \(1,5\) mét so với mặt đất trong khoảng thời gian \(0 < t < 6\).
Ta có \(h\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 0,5{t^2} + 2,75t + 1,5 = 0 \Leftrightarrow t = - 0,5;t = 6\).
\(h\left( t \right) = - 0,5{t^2} + 2,75t + 1,5 = - 0,5{\left( {t - \frac{{11}}{4}} \right)^2} + \frac{{169}}{{32}} \le \frac{{169}}{{32}}\) khi \(t = \frac{{11}}{4} = 2,75\)(giây).
Quả bóng có độ cao lớn hơn \(1,5\) mét so với mặt đất khi:
\(h\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow - 0,5{t^2} + 2,75t + 1,5 > 0 \Leftrightarrow - 0,5 < t < 6\)
Mà \(t > 0\) nên suy ra \(0 < t < 6\).
a) Sai: Quả bóng chạm mặt đất khi \(t = 6\) giây.
b) Sai: Quả bóng có độ cao lớn hơn \(1,5\) mét so với mặt đất trong thời gian là \(6\) giây.
c) Đúng: Quả bóng đạt độ cao lớn nhất khi \(t = 2,75\) giây.
d) Đúng: Quả bóng có độ cao lớn hơn \(1,5\) mét so với mặt đất trong khoảng thời gian \(0 < t < 6\).
Cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5\). Gọi \(\Delta \) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\)
a) \(\Delta \) cách tâm của đường tròn \(\left( C \right)\) một khoảng bằng \(5\).
b) \(\Delta \) có hệ số góc \(k = \frac{1}{2}\).
c) \(\Delta \) tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng \(\frac{9}{4}\)
d) \(\Delta \) cắt đường tròn \(\left( {C'} \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} = 9\) theo dây cung có độ dài bằng \(4\)
a) Sai: Do \(\Delta \) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right) \Rightarrow \) \(\Delta \) cách tâm của đường tròn \(\left( C \right)\) một khoảng bằng \(R = \sqrt 5 \).
b) Đúng: \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {0;1} \right)\)
Đường thẳng \(\Delta \) có VTPT \(\overrightarrow n = \overrightarrow {IM} = \left( {1; - 2} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {1; - 1} \right) \Rightarrow \Delta :1\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y + 1} \right) = 0\)
\( \Rightarrow \Delta :x - 2y - 3 = 0\)\( \Rightarrow \Delta :y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}\).
Vậy \(\Delta \) có hệ số góc \(k = \frac{1}{2}\).
c) Đúng: \(\Delta :x - 2y - 3 = 0 \Rightarrow \Delta \) cắt trục \(Ox\) tại \(A\left( {3;0} \right)\), cắt trục \(Oy\) tại \(B\left( {0; - \frac{3}{2}} \right)\).
Diện tích tam giác: \({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{9}{4}\).
d) Đúng: \(\left( {C'} \right)\) có tâm \(I'\left( { - 2;0} \right)\), bán kính \(R' = 3\).
Giả sử \(\Delta \) cắt \(\left( {C'} \right)\) theo dây cung \[EF\] và \(H\) là trung điểm của \(EF\).
Ta có \(I'H = d\left( {I';\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 2 - 2.0 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \sqrt 5 \), \[EF = 2EH = 2\sqrt {{{R'}^2} - I'{H^2}} = 2\sqrt {9 - 5} = 4\].
Vậy \(\Delta \) cắt đường tròn \(\left( {C'} \right)\) theo dây cung có độ dài bằng \(4\).
Cho các chữ số 0, 2, 3, 8, 9.
a) Số các số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số trên là 16.
b) Số các số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số trên là 20.
c) Số các số tự nhiên lẻ có 2 chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số trên là 10.
d) Số các số tự nhiên lẻ có 2 chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số trên là 8.
a) Đúng: Gọi số tự nhiên có hai chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số trên là \(\overline {ab} \).
Số cách chọn số a khác 0 là 4 cách.
Số cách chọn số b khác a là 4 cách.
Vậy có 4.4 = 16 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b) Sai: Số các số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số trên là 16.
c) Sai: Gọi số tự nhiên lẻ có hai chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số trên là \(\overline {ab} \).
Số cách chọn số b là 2 cách.
Số cách chọn số a khác 0 và khác b là 3 cách.
Vậy có 2.3 = 6 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
d) Sai: Số các số tự nhiên lẻ có 2 chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số trên là 6.
Một bình đựng 16 viên bi, trong đó có 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen và 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Số phần tử của không gian mẫu là \[A_{16}^4\].
b) Xác suất lấy được đúng bi trắng là \[\frac{1}{{52}}\].
c) Xác suất lấy được đủ 3 mầu là \[\frac{9}{{20}}\].
d) Xác suất lấy được đúng 2 mầu \[\frac{{11}}{{20}}\].
a) Sai: Số phần tử của không gian mẫu là \[C_{16}^4\].
b) Đúng: Gọi A là biến cố: “ Lấy được đúng 3 viên bi trắng”
Số kết quả thuận lợi của biến cố A là \[C_7^4\]
Vây \[P\left( A \right) = \frac{{C_7^4}}{{C_{16}^4}} = \frac{1}{{52}}\]
c) Đúng: Gọi B là biến cố: “ Lấy được đủ 3 mầu”
Lấy được 1 bi mầu trắng, 1 bi mầu đen và 2 bi mầu đỏ có \[C_7^1.C_6^1.C_3^2\] cách.
Lấy được 1 bi mầu trắng, 2 bi mầu đen và 1 bi mầu đỏ có \[C_7^1.C_6^2.C_3^1\] cách.
Lấy được 2 bi mầu trắng, 1 bi mầu đen và 1 bi mầu đỏ có \[C_7^2.C_6^1.C_3^1\] cách.
Do đó: \[n\left( B \right) = C_7^1.C_6^1.C_3^2 + C_7^1.C_6^2.C_3^1 + C_7^2.C_6^1.C_3^1 = 819\].
Vậy \[P\left( B \right) = \frac{{819}}{{C_{16}^4}} = \frac{9}{{20}}\].
d) Sai: Gọi C là biến cố: “ Lấy được đúng 2 mầu”
Lấy được đúng 1 mầu có \[C_7^4 + C_6^4\] cách.
Lấy được đủ 3 mầu có \[C_7^1.C_6^1.C_3^2 + C_7^1.C_6^2.C_3^1 + C_7^2.C_6^1.C_3^1\] cách.
Do đó: \[N\left( C \right) = C_{16}^4 - (C_7^4 + C_6^4 + C_7^1.C_6^1.C_3^2 + C_7^1.C_6^2.C_3^1 + C_7^2.C_6^1.C_3^1) = 951\].
Vậy \[P\left( B \right) = \frac{{951}}{{C_{16}^4}} = \frac{{951}}{{1820}}\]
Trong một đám cháy rừng, các máy bay trực thăng cứu hộ được điều động để phun nước dập tắt các đám cháy. Một chiếc trực thăng mang số hiệu CH01 đang bay ở độ cao \(500\,{\rm{m}}\) so với mặt đất, chuẩn bị phun nước vào một đám cháy rừng từ trên cao. Độ cao \(h\,\left( {\rm{m}} \right)\) của vòi phun so với mặt đất tính theo thời gian \(t\,\left( s \right)\) kể từ lúc máy bay phun ra nước để dập lửa là một hàm số bậc hai. Tại thời điểm \(5\,\left( {\rm{s}} \right)\) sau khi nước phun thì nước tới được phía trên đám cháy đang bốc lửa cao \(90\,{\rm{m}}\). Khoảng thời gian để nước đi từ vòi phun đến đám cháy trên mặt đất là \(t = \frac{{25\sqrt b }}{c}\) (giây) với \(b,c \in \mathbb{Z}\). Tính \(T = b + c\)?\(\)
Chọn hệ trục \(Oth\) như hình vẽ với gốc tọa độ \(O\) là vị trí trên mặt đất thẳng đứng với trực thăng.
Xét phương trình parabol \(\left( P \right):h\left( t \right) = a{t^2} + bt + c,\,\,a \ne 0\).
Theo giả thiết ta có \(S\left( {0;500} \right)\)và đi qua điểm\(A\left( {5;90} \right)\).
Đỉnh \(S\left( {0;500} \right)\) của \(\left( P \right)\) nằm trên trục tung nên \(\left( P \right):h\left( t \right) = a{t^2} + 500.\)
Mặt khác, \(A\left( {5;90} \right) \in \left( P \right) \to a = - 16,4\). Từ đây ta được phương trình \(\left( P \right):h\left( t \right) = - 16,4{t^2} + 500.\)
Khi nước chạm đất ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t > 0}\\{h\left( t \right) = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t > 0}\\{ - 16,4{t^2} + 500 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow t = \frac{{25\sqrt {82} }}{{41}}\).
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}b = 82\\c = 41\end{array} \right. \Rightarrow T = 82 + 41 = 123\).
Phương trình \[\sqrt { - {x^2} + 5x - 4} = \sqrt { - 2{x^2} + 4x + 2} \] có bao nhiêu nghiệm?
Ta có: \[\sqrt { - {x^2} + 5x - 4} = \sqrt { - 2{x^2} + 4x + 2} \Rightarrow - {x^2} + 5x - 4 = - 2{x^2} + 4x + 2\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = - 3\,\,\left( {loai} \right)\end{array} \right.\]
Vậy phương trình có một nghiệm \[x = 2\].
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho đường thẳng \[d:3x + 4y - 12 = 0\] và elip \[\left( E \right)\] có độ dài trục lớn bằng \[8\], độ dài trục nhỏ bằng \[6\]. Đường thẳng \[d\] cắt \[\left( E \right)\] tại hai điểm phân biệt \[A,\,\,B\]\[\,\left( {OB > OA} \right)\]. Gọi \[C\left( {m;n} \right),\,\,m > 0\] là điểm thuộc \[\left( E \right)\] sao cho tam giác \[ABC\] có diện tích bằng \[6\]. Giá trị biểu thức \[T = \sqrt 2 \left( {m + n} \right)\] bằng bao nhiêu?
![Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho đường thẳng \[d:3x + 4y - 12 = 0\] và elip \[\left( E \right)\] có độ dài trục lớn bằng \[8\], độ dài trục nhỏ bằng \[6\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid3-1766390838.png)
\[\left( E \right)\] có phương trình chính tắc dạng \[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\]. Theo giả thiết ta có \[a = 4,\,b = 3\] nên phương trình của elip \[\left( E \right)\] là \[\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\].
Tọa độ điểm giao điểm \[A\], \[B\] của \[d\] và \[\left( E \right)\] là nghiệm của hệ phương trình :
\[\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 12 = 0\\\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 12 = 0\\9{x^2} + 16{y^2} = 144\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 0\end{array} \right.\] hoặc \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 3\end{array} \right.\].
Do \[\,OB > OA\] nên \[A\left( {0;3} \right)\], \[B\left( {4;0} \right) \to AB = 5\]; \[d\left( {C,d} \right) = \frac{{\left| {3m + 4n - 12} \right|}}{5}\]
\[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {C,d} \right) = \frac{{\left| {3m + 4n - 12} \right|}}{2} = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3m + 4n = 24\\3m + 4n = 0\end{array} \right.\].
Do \[C\left( {m;n} \right) \in \left( E \right)\] nên.
\[\frac{{{m^2}}}{{16}} + \frac{{{n^2}}}{9} = 1 \Leftrightarrow 9{m^2} + 16{n^2} = 144 \Leftrightarrow {\left( {3m + 4n} \right)^2} - 24mn = 144\]
Trường hợp 1: \[\left\{ \begin{array}{l}3m + 4n = 24\\3m.4n = 216\end{array} \right.\] (vô nghiệm).
Trường hợp 2: \[\left\{ \begin{array}{l}3m + 4n = 0\\3m.4n = - 72\end{array} \right.\]
Kết hợp với điều kiện \[\,\,m > 0\] ta tìm được \[m = 2\sqrt 2 ;n = - \frac{3}{{\sqrt 2 }} \to T = \sqrt 2 \left( {m + n} \right) = 1\].
Cho \(n\) là số nguyên dương thoả mãn \[C_n^1 + C_n^3 = 3n\]. Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^5}\) trong khai triển của \(P\left( x \right) = {\left( {{x^3} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^n}\), với \(x \ne 0\).
Ta có: \[C_n^1 + C_n^3 = 3n \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{1!\left( {n - 1} \right)!}} + \frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} = 3n \Leftrightarrow n + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} = 3n\]
\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} = 2 \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\,\left( {TM} \right)\\n = - 2\,\left( L \right)\end{array} \right.\).
Với \(n = 5\) ta có \(P\left( x \right) = {\left( {{x^3} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^5} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k{{\left( {{x^3}} \right)}^{5 - k}}{x^{ - 2k}}} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k{x^{15 - 5k}}} \).
Hệ số của số hạng chứa \({x^5}\) ứng với \(15 - 5k = 5 \Leftrightarrow k = 2\).
Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^5}\) là \(C_5^2 = 10\).
Từ bảy chữ số \[\left\{ {0;1;2;3;4;5;6} \right\}\] có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 có bốn chữ số đôi một khác nhau?
Gọi số tự nhiên chia hết cho 5 có 4 chữ số đôi một khác nhau lập được từ các chữ số \[\left\{ {0;1;2;3;4;5;6} \right\}\] là \(\overline {abcd} \).
Để \(\overline {abcd} \) chia hết cho 5 thì \(d\) bằng 0 hoặc 5.
TH1: \(d = 0\): Khi đó, mỗi cách chọn 3 chữ số còn lại để lập được số thỏa mãn yêu cầu đề bài là một chỉnh hợp chập 3 của 6 chữ số \[1;2;3;4;5;6\].
Vậy có \(A_6^3 = 120\) cách chọn. Suy ra TH1 có 120 số.
TH2: \(d = 5\): Do \(a \ne 0\) nên có 5 cách chọn \(a\).
Mỗi cách chọn 2 chữ số còn lại để lập được số thỏa mãn yêu cầu đề bài là một chỉnh hợp chập 2 của 5 chữ số.
Vậy có \(A_5^2 = 20\) cách chọn. Suy ra TH2 có \(5.20 = 100\) số.
Vậy có thể lập được 220 số thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Một cuộc họp có sự tham gia của \[6\] nhà Toán học trong đó có 4 nam và \[2\] nữ, \[7\] nhà Vật lý trong đó có \[3\] nam và \[4\] nữ và \[8\] nhà Hóa học trong đó có \[4\] nam và \[4\] nữ. Người ta muốn lập một ban thư kí gồm \[4\] nhà khoa học. Xác suất để ban thư kí được chọn phải có đủ cả \[3\] lĩnh vực và có cả nam lẫn nữ là \(\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính giá trị biểu thức \(T = b - 2a\)?
Ta có \[n(\Omega ) = C_{21}^4 = 5985\]
Đặt \[A\] là biến cố chọn ra được \[4\] nhà khoa học có đầy đủ cả \[3\] lĩnh vực.
Khi đó:
Số cách chọn 2 nhà Toán học, 1 nhà Vật lý, 1 nhà Hóa học là: \[C_6^2.C_7^1.C_8^1 = 840\].
Số cách chọn 1 nhà Toán học, 2 nhà Vật lý, 1 nhà Hóa học là: \[C_6^1.C_7^2.C_8^1 = 1008\].
Số cách chọn 1 nhà Toán học, 1 nhà Vật lý, 2 nhà Hóa học là: \[C_6^1.C_7^1.C_8^2 = 1176\].
\[ \Rightarrow n\left( A \right) = 840 + 1008 + 1176 = 3024\]
Đặt \[B\] là biến cố chọn ra \[4\] nhà khoa học đủ cả \[3\] lĩnh vực mà trong đó
chỉ có nam hoặc chỉ có nữ.
Khi đó:
Số cách chọn chỉ có nam: \[C_4^2.C_3^1.C_4^1 + C_4^1.C_3^2.C_4^1 + C_4^1.C_3^1.C_4^2 = 192\].
Số cách chọn chỉ có nữ: \[C_2^2.C_4^1.C_4^1 + C_2^1.C_4^2.C_4^1 + C_2^1.C_4^1.C_4^2 = 112\].
\[ \Rightarrow n\left( B \right) = 192 + 112 = 304\].
Vậy số cách chọn ra được \[4\] nhà khoa học có đày đủ cả \[3\] lĩnh vực, trong
đó có cả nam lẫ nữ là: \[3024 - 304 = 2720\] hay \[n\left( A \right) = 2720\]
Vậy \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{2720}}{{5985}} = \frac{{544}}{{1197}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 544\\b = 1197\end{array} \right. \Rightarrow T = 1197 - 2.544 = 109\]
