Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 7

Có 3 cách chọn mặt đồng hồ và 2 cách chọn dây đồng hồ

Áp dụng quy tắc nhân, ta có số cách chọn một chiếc đồng hồ là: \(3.2 = 6\)(cách).

Có \(C_{12}^4\) cách phân công 4 nam về tỉnh thứ nhất

Với mỗi cách phân công trên thì có \(C_8^4\) cách phân công 4 nam về tỉnh thứ hai và có \(C_4^4\) cách phân công 4 nam còn lại về tỉnh thứ ba

Khi phân công nam xong thì có \(3!\) cách phân công ba nữ về ba tỉnh đó.

Vậy có tất cả \(C_{12}^4.C_8^4.C_4^4.3! = 207900\) cách phân công.

Số cách xếp \(5\) phiếu thành một hàng ngang là: \(5! = 120\)cách.

Số cách xếp các phiếu \(1,2,3,5\) thành một hàng ngang là: \(4! = 24\) cách. Sau đó xếp phiếu số \(4\)vào cạnh phiếu số 2 có 2 cách.

\( \Rightarrow \)có \(24.2 = 48\)cách xếp theo yêu cầu đề bài.

Vây xác suất để các phiếu mang số chẵn đứng cạnh nhau là: \(P = \frac{{48}}{{120}} = 0,4\).

Ta có \(h\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow  - 0,5{t^2} + 2,75t + 1,5 = 0 \Leftrightarrow t =  - 0,5;t = 6\).

\(h\left( t \right) =  - 0,5{t^2} + 2,75t + 1,5 =  - 0,5{\left( {t - \frac{{11}}{4}} \right)^2} + \frac{{169}}{{32}} \le \frac{{169}}{{32}}\) khi \(t = \frac{{11}}{4} = 2,75\)(giây).

Quả bóng có độ cao lớn hơn \(1,5\) mét so với mặt đất khi:

\(h\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow  - 0,5{t^2} + 2,75t + 1,5 > 0 \Leftrightarrow  - 0,5 < t < 6\)

Mà \(t > 0\) nên suy ra \(0 < t < 6\).

a) Sai: Quả bóng chạm mặt đất khi \(t = 6\) giây.

b) Sai: Quả bóng có độ cao lớn hơn \(1,5\) mét so với mặt đất trong thời gian là \(6\) giây.

c) Đúng: Quả bóng đạt độ cao lớn nhất khi \(t = 2,75\) giây.

d) Đúng: Quả bóng có độ cao lớn hơn \(1,5\) mét so với mặt đất trong khoảng thời gian \(0 < t < 6\).

a) Sai: Do \(\Delta \) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right) \Rightarrow \) \(\Delta \) cách tâm của đường tròn \(\left( C \right)\) một khoảng bằng \(R = \sqrt 5 \).

b) Đúng: \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {0;1} \right)\)

Đường thẳng \(\Delta \) có VTPT \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {IM}  = \left( {1; - 2} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {1; - 1} \right) \Rightarrow \Delta :1\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y + 1} \right) = 0\)

\( \Rightarrow \Delta :x - 2y - 3 = 0\)\( \Rightarrow \Delta :y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}\).

Vậy \(\Delta \) có hệ số góc \(k = \frac{1}{2}\).

c) Đúng: \(\Delta :x - 2y - 3 = 0 \Rightarrow \Delta \) cắt trục \(Ox\) tại \(A\left( {3;0} \right)\), cắt trục \(Oy\) tại \(B\left( {0; - \frac{3}{2}} \right)\).

Diện tích tam giác: \({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{9}{4}\).

d) Đúng: \(\left( {C'} \right)\) có tâm \(I'\left( { - 2;0} \right)\), bán kính \(R' = 3\).

Giả sử \(\Delta \) cắt \(\left( {C'} \right)\) theo dây cung \[EF\] và \(H\) là trung điểm của \(EF\).

Ta có \(I'H = d\left( {I';\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 2 - 2.0 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \sqrt 5 \), \[EF = 2EH = 2\sqrt {{{R'}^2} - I'{H^2}}  = 2\sqrt {9 - 5}  = 4\].

Vậy \(\Delta \) cắt đường tròn \(\left( {C'} \right)\) theo dây cung có độ dài bằng \(4\).

a) Đúng: Gọi số tự nhiên có hai chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số trên là \(\overline {ab} \).

Số cách chọn số a khác 0 là 4 cách.

Số cách chọn số b khác a là 4 cách.

Vậy có 4.4 = 16 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) Sai: Số các số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số trên là 16.

c) Sai: Gọi số tự nhiên lẻ có hai chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số trên là \(\overline {ab} \).

Số cách chọn số b là 2 cách.

Số cách chọn số a khác 0 và khác b là 3 cách.

Vậy có 2.3 = 6 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

d) Sai: Số các số tự nhiên lẻ có 2 chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số trên là 6.

a) Sai: Số phần tử của không gian mẫu là \[C_{16}^4\].

b) Đúng: Gọi A là biến cố: “ Lấy được đúng 3 viên bi trắng”

Số kết quả thuận lợi của biến cố A là \[C_7^4\]

Vây \[P\left( A \right) = \frac{{C_7^4}}{{C_{16}^4}} = \frac{1}{{52}}\]

c) Đúng: Gọi B là biến cố: “ Lấy được đủ 3 mầu”

Lấy được 1 bi mầu trắng, 1 bi mầu đen và 2 bi mầu đỏ có \[C_7^1.C_6^1.C_3^2\] cách.

Lấy được 1 bi mầu trắng, 2 bi mầu đen và 1 bi mầu đỏ có \[C_7^1.C_6^2.C_3^1\] cách.

Lấy được 2 bi mầu trắng, 1 bi mầu đen và 1 bi mầu đỏ có \[C_7^2.C_6^1.C_3^1\] cách.

Do đó: \[n\left( B \right) = C_7^1.C_6^1.C_3^2 + C_7^1.C_6^2.C_3^1 + C_7^2.C_6^1.C_3^1 = 819\].

Vậy \[P\left( B \right) = \frac{{819}}{{C_{16}^4}} = \frac{9}{{20}}\].

d) Sai: Gọi C là biến cố: “ Lấy được đúng 2 mầu”

Lấy được đúng 1 mầu có \[C_7^4 + C_6^4\] cách.

Lấy được đủ 3 mầu có \[C_7^1.C_6^1.C_3^2 + C_7^1.C_6^2.C_3^1 + C_7^2.C_6^1.C_3^1\] cách.

Do đó: \[N\left( C \right) = C_{16}^4 - (C_7^4 + C_6^4 + C_7^1.C_6^1.C_3^2 + C_7^1.C_6^2.C_3^1 + C_7^2.C_6^1.C_3^1) = 951\].

Vậy \[P\left( B \right) = \frac{{951}}{{C_{16}^4}} = \frac{{951}}{{1820}}\]

Chọn hệ trục \(Oth\) như hình vẽ với gốc tọa độ \(O\) là vị trí trên mặt đất thẳng đứng với trực thăng.

Xét phương trình parabol \(\left( P \right):h\left( t \right) = a{t^2} + bt + c,\,\,a \ne 0\).

Theo giả thiết ta có \(S\left( {0;500} \right)\)và đi qua điểm\(A\left( {5;90} \right)\).

Đỉnh \(S\left( {0;500} \right)\) của \(\left( P \right)\) nằm trên trục tung nên \(\left( P \right):h\left( t \right) = a{t^2} + 500.\)

Mặt khác, \(A\left( {5;90} \right) \in \left( P \right) \to a =  - 16,4\). Từ đây ta được phương trình \(\left( P \right):h\left( t \right) =  - 16,4{t^2} + 500.\)

Khi nước chạm đất ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t > 0}\\{h\left( t \right) = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t > 0}\\{ - 16,4{t^2} + 500 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow t = \frac{{25\sqrt {82} }}{{41}}\).

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}b = 82\\c = 41\end{array} \right. \Rightarrow T = 82 + 41 = 123\).

Ta có: \[\sqrt { - {x^2} + 5x - 4}  = \sqrt { - 2{x^2} + 4x + 2}  \Rightarrow  - {x^2} + 5x - 4 =  - 2{x^2} + 4x + 2\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\\x =  - 3\,\,\left( {loai} \right)\end{array} \right.\]

Vậy phương trình có một nghiệm \[x = 2\].

\[\left( E \right)\] có phương trình chính tắc dạng \[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\]. Theo giả thiết ta có \[a = 4,\,b = 3\] nên phương trình của elip \[\left( E \right)\] là \[\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\].

Tọa độ điểm giao điểm \[A\], \[B\] của \[d\] và \[\left( E \right)\] là nghiệm của hệ phương trình :

\[\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 12 = 0\\\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 12 = 0\\9{x^2} + 16{y^2} = 144\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 0\end{array} \right.\] hoặc \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 3\end{array} \right.\].

Do \[\,OB > OA\] nên \[A\left( {0;3} \right)\], \[B\left( {4;0} \right) \to AB = 5\]; \[d\left( {C,d} \right) = \frac{{\left| {3m + 4n - 12} \right|}}{5}\]

\[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {C,d} \right) = \frac{{\left| {3m + 4n - 12} \right|}}{2} = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3m + 4n = 24\\3m + 4n = 0\end{array} \right.\].

Do \[C\left( {m;n} \right) \in \left( E \right)\] nên.

\[\frac{{{m^2}}}{{16}} + \frac{{{n^2}}}{9} = 1 \Leftrightarrow 9{m^2} + 16{n^2} = 144 \Leftrightarrow {\left( {3m + 4n} \right)^2} - 24mn = 144\]

Trường hợp 1: \[\left\{ \begin{array}{l}3m + 4n = 24\\3m.4n = 216\end{array} \right.\] (vô nghiệm).

Trường hợp 2: \[\left\{ \begin{array}{l}3m + 4n = 0\\3m.4n =  - 72\end{array} \right.\]

Kết hợp với điều kiện \[\,\,m > 0\] ta tìm được \[m = 2\sqrt 2 ;n =  - \frac{3}{{\sqrt 2 }} \to T = \sqrt 2 \left( {m + n} \right) = 1\].

Ta có: \[C_n^1 + C_n^3 = 3n \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{1!\left( {n - 1} \right)!}} + \frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} = 3n \Leftrightarrow n + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} = 3n\]

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} = 2 \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\,\left( {TM} \right)\\n =  - 2\,\left( L \right)\end{array} \right.\).

Với \(n = 5\) ta có \(P\left( x \right) = {\left( {{x^3} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^5} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k{{\left( {{x^3}} \right)}^{5 - k}}{x^{ - 2k}}}  = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k{x^{15 - 5k}}} \).

Hệ số của số hạng chứa \({x^5}\) ứng với \(15 - 5k = 5 \Leftrightarrow k = 2\).

Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^5}\) là \(C_5^2 = 10\).

Gọi số tự nhiên chia hết cho 5 có 4 chữ số đôi một khác nhau lập được từ các chữ số \[\left\{ {0;1;2;3;4;5;6} \right\}\] là \(\overline {abcd} \).

Để \(\overline {abcd} \) chia hết cho 5 thì \(d\) bằng 0 hoặc 5.

TH1: \(d = 0\): Khi đó, mỗi cách chọn 3 chữ số còn lại để lập được số thỏa mãn yêu cầu đề bài là một chỉnh hợp chập 3 của 6 chữ số \[1;2;3;4;5;6\].

Vậy có \(A_6^3 = 120\) cách chọn. Suy ra TH1 có 120 số.

TH2: \(d = 5\): Do \(a \ne 0\) nên có 5 cách chọn \(a\).

Mỗi cách chọn 2 chữ số còn lại để lập được số thỏa mãn yêu cầu đề bài là một chỉnh hợp chập 2 của 5 chữ số.

Vậy có \(A_5^2 = 20\) cách chọn. Suy ra TH2 có \(5.20 = 100\) số.

Vậy có thể lập được 220 số thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ta có \[n(\Omega ) = C_{21}^4 = 5985\]

Đặt \[A\] là biến cố chọn ra được \[4\] nhà khoa học có đầy đủ cả \[3\] lĩnh vực.

Khi đó:

Số cách chọn 2 nhà Toán học, 1 nhà Vật lý, 1 nhà Hóa học là: \[C_6^2.C_7^1.C_8^1 = 840\].

Số cách chọn 1 nhà Toán học, 2 nhà Vật lý, 1 nhà Hóa học là: \[C_6^1.C_7^2.C_8^1 = 1008\].

Số cách chọn 1 nhà Toán học, 1 nhà Vật lý, 2 nhà Hóa học là: \[C_6^1.C_7^1.C_8^2 = 1176\].

\[ \Rightarrow n\left( A \right) = 840 + 1008 + 1176 = 3024\]

Đặt \[B\] là biến cố chọn ra \[4\] nhà khoa học đủ cả \[3\] lĩnh vực mà trong đó

chỉ có nam hoặc chỉ có nữ.

Khi đó:

Số cách chọn chỉ có nam: \[C_4^2.C_3^1.C_4^1 + C_4^1.C_3^2.C_4^1 + C_4^1.C_3^1.C_4^2 = 192\].

Số cách chọn chỉ có nữ: \[C_2^2.C_4^1.C_4^1 + C_2^1.C_4^2.C_4^1 + C_2^1.C_4^1.C_4^2 = 112\].

\[ \Rightarrow n\left( B \right) = 192 + 112 = 304\].

Vậy số cách chọn ra được \[4\] nhà khoa học có đày đủ cả \[3\] lĩnh vực, trong

đó có cả nam lẫ nữ là: \[3024 - 304 = 2720\] hay \[n\left( A \right) = 2720\]

Vậy \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{2720}}{{5985}} = \frac{{544}}{{1197}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 544\\b = 1197\end{array} \right. \Rightarrow T = 1197 - 2.544 = 109\]