Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 6
22 câu hỏi
Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai?
\(f\left( x \right) = 2x - 1\).
\(f\left( x \right) = {x^4} + 7x - 2024\).
\(f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x - 10\).
\(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 4x + 3} \).
Đáp án đúng là C
Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\), \(\left( {a \ne 0} \right)\).
Do đó, \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x - 10\) là tam thức bậc hai.
Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình \({x^2} - 2\left( {{\mkern 1mu} m - 1{\mkern 1mu} } \right)x + 4m + 8 \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}.\)
\[\left[ \begin{array}{l}m > 7\\m < - 1\,\end{array} \right.\].
\[\left[ \begin{array}{l}m \ge 7\\m \le - 1\,\end{array} \right.\].
\[ - 1 \le m \le 7\].
\[ - 1 < m < 7\].
Đáp án đúng là C
Bất phương trình nghiệm đúng \(\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\{m^2} - 6m - 7 \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow - 1 \le m \le 7\).
Phương trình \(\sqrt {3{x^2} + 6x + 3} = 2x + 1\)có tập nghiệm là :
\[\left\{ {1 - \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right\}\].
\[\left\{ {1 - \sqrt 3 } \right\}\].
\[\left\{ {1 + \sqrt 3 } \right\}\]
\[\emptyset \].
Đáp án đúng là C
Ta có : \(\sqrt {3{x^2} + 6x + 3} = 2x + 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 1 \ge 0\\3{x^2} + 6x + 3 = 4{x^2} + 4x + 1\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - \frac{1}{2}\\{x^2} - 2x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - \frac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x = 1 - \sqrt 3 \left( l \right)\\x = 1 + \sqrt 3 \left( n \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\).
Cho đường \[\left( d \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + 2t}\\{y = 3 - 4t}\end{array}\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)} \right.\]. Véc tơ nào sau đây là véctơ chỉ phương của \[\left( d \right)\]?
\[\overrightarrow a = \left( {1;2} \right)\].
\[\overrightarrow a = \left( { - 1;3} \right)\].
\[\overrightarrow a = \left( {2; - 4} \right)\].
\[\overrightarrow a = \left( { - 1;2} \right)\].
Đáp án đúng là C
Dựa vào \[\left( d \right)\] ta có véctơ chỉ phương: \[\overrightarrow a = \left( {2; - 4} \right)\]
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 2;3} \right)\) và đi qua \(M\left( {2; - 3} \right)\) có phương trình là:
\[{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = \sqrt {52} \].
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 52\).
\[{x^2} + {y^2} + 4x - 6y - 57 = 0\].
\[{x^2} + {y^2} + 4x + 6y - 39 = 0\].
Đáp án đúng là B
\[R = \left| {\overrightarrow {IM} } \right| = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = \sqrt {52} \].
Phương trình đường tròn tâm \(I\left( { - 2;3} \right)\), \[R = \sqrt {52} \] là: \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 52.\)
Tọa độ các tiêu điểm của hypebol \[\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\] là
\({F_1} = \left( { - \sqrt {13} ;0} \right);{F_2} = \left( {\sqrt {13} ;0} \right)\).
\({F_1} = \left( {0; - \sqrt {13} } \right);{F_2} = \left( {0;\sqrt {13} } \right)\).
\({F_1} = \left( {0; - \sqrt 5 } \right);{F_2} = \left( {0;\sqrt 5 } \right)\).
\({F_1} = \left( { - \sqrt 5 ;0} \right);{F_2} = \left( {\sqrt 5 ;0} \right)\).
Đáp án đúng là A
Gọi \({F_1} = \left( { - c;0} \right);{F_2} = \left( {c;0} \right)\) là hai tiêu điểm của \(\left( H \right)\).
Từ phương trình \[\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\], ta có: \({a^2} = 9\) và \({b^2} = 4\) suy ra \({c^2} = {a^2} + {b^2} = 13 \Rightarrow c = \sqrt {13} ,\left( {c > 0} \right)\).
Vậy tọa độ các tiêu điểm của \(\left( H \right)\)là \({F_1} = \left( { - \sqrt {13} ;0} \right);{F_2} = \left( {\sqrt {13} ;0} \right)\).
Một tổ có \(6\) học sinh nữ và \(8\) học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một học sinh của tổ đó đi trực nhật?
\(28\).
\(48\).
\(14\).
\(8\).
Đáp án đúng là C
Số cách chọn ngẫu nhiên một học sinh của tổ đi trực nhật là \(6 + 8 = 14\).
Có bao nhiêu cách xếp \(3\) học sinh nam và \(4\) học sinh nữ theo hàng ngang?
\(7!\).
\(144\).
\(2880\).
\(480\).
Số cách xếp \(3\) học sinh nam và \(4\) học sinh nữ theo hàng ngang là \(7!\).
Khai triển \({\left( {x + 2y} \right)^5}\) thành đa thức ta được kết quả sau
\({x^5} + 10{x^4}y + 40{x^3}{y^2} + 80{x^2}{y^3} + 80x{y^4} + 32{y^5}\).
\({x^5} + 10{x^4}y + 40{x^3}{y^2} + 40{x^2}{y^3} + 10x{y^4} + 2{y^5}\).
\({x^5} + 10{x^4}y + 40{x^3}{y^2} + 80{x^2}{y^3} + 40x{y^4} + 32{y^5}\).
\({x^5} + 10{x^4}y + 20{x^3}{y^2} + 20{x^2}{y^3} + 10x{y^4} + 2{y^5}\).
Đáp án đúng là A
\({\left( {x + 2y} \right)^5} = C_5^0{x^5} + C_5^1{x^4}{\left( {2y} \right)^1} + C_5^2{x^3}{\left( {2y} \right)^2} + C_5^3{x^2}{\left( {2y} \right)^3} + C_5^4x{\left( {2y} \right)^4} + C_5^5{\left( {2y} \right)^5}\).
\( = {x^5} + 10{x^4}y + 40{x^3}{y^2} + 80{x^2}{y^3} + 80x{y^4} + 32{y^5}\).
Gieo một con súc sắc cân đối, đồng chất một lần. Xác suất xuất hiện mặt hai chấm là
\[\frac{1}{2}\].
\[\frac{1}{3}\].
\[\frac{1}{6}\].
\[\frac{1}{4}\].
Gọi A là biến cố xuất hiện mặt hai chấm.
Ta có \[n\left( \Omega \right) = 6\], \[n\left( A \right) = 1\] suy ra \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{1}{6}\].
Từ một nhóm gồm \(6\)học sinh nữ và 4 học sinh nam, chọn ngẫu nhiên 3 học sinh. Xác suất để chọn được 2 học sinh nữ và 1 học sinh nam bằng
\(\frac{3}{{10}}\).
\(\frac{1}{5}\).
\(\frac{1}{6}\)\(\).
\(\frac{1}{2}\).
Đáp án đúng là D
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = C_{10}^3\).
Gọi A là biến cố: “Chọn được 2 học sinh nữ và 1 học sinh nam” thì \(n\left( A \right) = C_6^2.C_4^1\).
Xác suất chọn được 2 học sinh nữ và 1 học sinh nam là \(P\left( A \right) = \frac{{C_6^2.C_4^1}}{{C_{10}^3}} = \frac{1}{2}\).
Một hộp chứa \[10\] quả cầu gồm \[3\] quả cầu màu xanh và \[7\] quả cầu màu đỏ, các quả cầu đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên lần lượt hai quả cầu từ hộp đó. Xác suất để hai quả cầu được chọn ra cùng màu bằng
\(\frac{7}{{30}}\).
\(\frac{8}{{15}}\).
\(\frac{7}{{15}}\).
\(\frac{5}{{11}}\).
Đáp án đúng là B
Gọi biến cố \[A\]: “Hai quả cầu được chọn ra cùng màu”.
Số phần tử của không gian mẫu là: \(n\left( \Omega \right) = 10.9 = 90\).
Chọn hai quả cầu cùng màu xảy ra \[2\] trường hợp: hoặc \[2\] quả cùng màu xanh hoặc \[2\] quả cùng màu đỏ. Khi đó \(n\left( A \right) = 3.2 + 7.6 = 48\).
Xác suất để hai quả cầu được chọn ra cùng màu là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{48}}{{90}} = \frac{8}{{15}}\).
Cho hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{x - 1}}\,\,,\,\,x \in \left( { - \infty ;0} \right)\\\sqrt {x + 1} \,\,,\,\,x \in \left[ {0;2} \right]\\{x^2} - 1\,\,,\,\,x \in \left( {2;5} \right]\end{array} \right.\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau :
a) Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\)
b) Điểm \(A\left( {0;\,2} \right)\) thuộc đồ thị hàm số
c) Giá trị \(f\left( 4 \right) = 15\)
d) Giá trị \(f\left( 0 \right) + f\left( { - 1} \right) = 0\)
a) Sai: Tập xác định của hàm số là \(\left( { - \infty ;5} \right]\).
b) Sai: Vì khi \[x = 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) = \sqrt {0 + 1} = 1\].
c) Đúng: Vì khi \[x = 4 \Rightarrow f\left( 4 \right) = {4^2} - 1 = 15\].
d) Đúng: với \[x = 0\] ta có \[f\left( 0 \right) = \sqrt {0 + 1} = 1\] và với \[x = - 1\] ta có \[f\left( { - 1} \right) = - 1\]
Vậy \[f\left( 0 \right) + f\left( { - 1} \right) = 0\].
Trong mặt phẳng toạ độ \[Oxy\], cho tam giác \(ABC\) với \(A( - 1; - 2)\) và phương trình đường thẳng chứa cạnh \(BC\) là \(x - y + 4 = 0\). Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau.
a) Nếu diện tích tam giác \(ABC\) bằng \(\frac{5}{2}\) thì độ dài cạnh \(BC = 1\).
b) Phương trình đường cao \(AH\) của tam giác đi qua điểm \(M\left( { - 4;1} \right)\).
c) Đường trung bình ứng với cạnh đáy \(BC\) của tam giác \(ABC\)đi qua gốc toạ độ.
d) Nếu \(G\left( {\frac{1}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) thì phương trình đường trung trực của cạnh \(BC\) là \(2x + 2y - 3 = 0\).
a) Sai : Ta có: \(d\left( {A,BC} \right) = \frac{{5\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow BC = \frac{{2.{S_{\Delta ABC}}}}{{d\left( {A,BC} \right)}} = \sqrt 2 \)
b) Đúng : Đường cao \(AH\) vuông góc với \(BC\) nên nhận \(\vec u = \left( {1; - 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương, suy ra \(AH\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( {1;1} \right)\).
Phương trình tổng quát \(AH:1\left( {x + 1} \right) + 1\left( {y + 2} \right) = 0\) hay \(x + y + 3 = 0\).
Dễ thấy điểm \(M\left( { - 4;1} \right)\) thuộc đường \(AH\)
c) Sai : Chọn điểm \(K(0;4)\) thuộc \(BC\), gọi \(E\) là trung điểm đoạn \(AK\) nên \(E\left( { - \frac{1}{2};1} \right)\). Gọi \(d\) là đường trung bình ứng với cạnh đáy \(BC\) của tam giác \(ABC\), suy ra \(d\) qua \(E\) và có một vectơ pháp tuyến .
Phương trình tổng quát \[d:1\left( {x + \frac{1}{2}} \right) - 1\left( {y - 1} \right) = 0\] hay \(2x - 2y + 3 = 0\).
Vậy đường trung bình không đi qua gốc toạ độ.
d) Đúng : Gọi \(M\)là trung điểm của \(BC\). Ta có: \(\overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {GM} \Rightarrow M\left( {1;\frac{1}{2}} \right)\)
Gọi \(d\) là đường trung trực của cạnh \(BC\) thì \(d\)đi qua \(M\left( {1;\frac{1}{2}} \right)\) và có vec tơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( {1;1} \right)\) nên \(d\): \(2x + 2y - 3 = 0\).
Cho một bàn dài có 10 ghế và 10 học sinh trong đó có 5 học sinh nữ.
a) Có 5 cách xếp 5 học sinh nữ vào 5 chỗ ngồi.
b) Có \(10!\) cách xếp 10 học sinh vào 10 ghế.
c) Có \(5!.5!\) cách xếp nam, nữ ngồi xen kẽ nhau.
d) Có \(2.5!\) cách xếp học sinh cùng giới ngồi cạnh nhau.
a) Sai: vì có \(5!\) cách xếp 5 học sinh nữ vào 5 chỗ ngồi.
b) Đúng: vì có \(10!\) cách xếp 10 học sinh vào 10 ghế.
c) Sai: vì trường hợp 1, xếp 5 học sinh nam ngồi vào vị trí chẵn có \(5!\) cách, sau đó xếp 5 học sinh nữ vào 5 vị trí còn lại có \(5!\) cách. Trường hợp 2 xếp 5 học sinh nam ngồi ở vị trí lẻ cũng tương tự như vậy \( \Rightarrow \) có \(2.5!.5!\) cách xếp nam, nữ ngồi xem kẽ nhau.
d) Sai: vì xem 5 nam là 1 tổ và 5 nữ là một tổ, ta có 2 tổ. Xếp 2 tổ ngồi vào bàn ta có \(2!\) cách. Đổi chỗ 5 nam cho nhau có \(5!\) cách, đổi chỗ 5 nữ cho nhau có \(5!\) cách.
Vậy ta có \(2!.5!.5! = 28800\) cách.
Tung một đồng xu cân đối và đồng chất 3 lần. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Số phần tử của không gian mẫu là 6
b) Xác suất để 3 lần gieo trúng mặt sấp là \(\frac{1}{8}\)
c) Xác suất để hai lần nhận được mặt sấp là \(\frac{1}{2}\)
d) Xác suất nhận được ít nhất một mặt sấp \(\frac{7}{8}\)
a) Sai: Số phần tử của không gian mẫu là \(N\left( \Omega \right) = 2.2.2 = 8\)
Cụ thể: SSS, SSN, SNS, NSS, NNS, NSN, SNN, NNN
b) Đúng: A:” 3 lần gieo trúng mặt sấp “. Khi đó, \(A = \left\{ {SSS} \right\}\) nên \(n\left( A \right) = 1,\,\,P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{1}{8}\)
c) Sai: B:” 2 lần gieo trúng mặt sấp “.
Khi đó, \(A = \left\{ {SSN,\,SNS,\,NSS} \right\}\)\(n\left( B \right) = 3,\,\,P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{3}{8}\)
d) Đúng: C:” gieo được ít nhất một mặt sấp “.
\(\overline C :\)” 3 lần nhận được mặt ngửa” nên \(P\left( C \right) = 1 - P\left( {\overline C } \right) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\)
Biết hàm số bậc hai \[y = a{x^2} + bx + c\] đạt giá trị nhỏ nhất là \(4\) tại \(x = 2\) và đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ là 6. Tính \(2a + b - 3c\;?\)
Vì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là \(6\) nên \(c = 6.\)
Mặt khác hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là \(4\) tại \(x = 2\) nên đồ thị hàm số có đỉnh \(I\left( {2\,;\,4} \right)\). Do đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 2\\4a + 2b + c = 4\\c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 4a\\4a + 2b = - 2\\c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = - 2\\c = 6\end{array} \right.\) (nhận). Vậy \(2a + b - 3c = - 19.\)
Số nghiệm của phương trình \({x^2} - 2x - 8 = 4\sqrt {\left( {4 - x} \right)\left( {x + 2} \right)} \) là
Điều kiện: \(\left( {4 - x} \right)\left( {x + 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { - 2;\,4} \right]\).
\({x^2} - 2x - 8 = 4\sqrt {\left( {4 - x} \right)\left( {x + 2} \right)} \)\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = 4\sqrt { - \left( {{x^2} - 2x - 8} \right)} \left( 1 \right)\).
Đặt \(t = \sqrt { - \left( {{x^2} - 2x - 8} \right)} \), \(t \ge 0\) \( \Leftrightarrow {t^2} = - \left( {{x^2} - 2x - 8} \right)\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = - {t^2}\).
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow - {t^2} = 4t\)\( \Leftrightarrow {t^2} + 4t = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\left( n \right)\\t = - 4\left( l \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \sqrt { - \left( {{x^2} - 2x - 8} \right)} = 0\)\( \Leftrightarrow - \left( {{x^2} - 2x - 8} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\left( n \right)\\x = 4\left( n \right)\end{array} \right.\). Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.
Ngày 6/2/2023, một trận động đất 7,8 độ richter có tâm chấn tại Thổ Nhĩ Kì (hình minh hoạ bên dưới). Biết rằng đường tròn tác động đi qua 2 thành phố Kahramamaras và Nurdagi có toạ độ lần lượt là \(K\left( { - 3;10} \right)\)và \(N\left( {8;0} \right)\). Mặt khác, tâm chấn cách đều hai thành phố nói trên. Bán kính tác động (km) tính từ tâm chấn (tâm \(I\)) bằng bao nhiêu? Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.
Phương trình đường tròn tác động có dạng: \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) có tâm \(I\left( {a;b} \right)\)
Vì \(K( - 3;10),N(8;0) \in \left( C \right)\)nên ta có hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}6a - 20b + c = - 109\\ - 16a + c = - 64\end{array} \right.\,\,(1)\).
Tâm \(I\)cách đều \(K\)và \(N\)nên\(IK = IN \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( { - 3 - a} \right)}^2} + {{\left( {10 - b} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {8 - a} \right)}^2} + {{\left( {0 - b} \right)}^2}} \Leftrightarrow - 10a - 20b = - 45\,\,(2)\)
Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\)suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = \frac{9}{4}\\c = - 64\end{array} \right.\).
Vậy bán kính tác động tính từ tâm chấn là \(R = \sqrt {{0^2} + {{\left( {\frac{9}{4}} \right)}^2} - \left( { - 64} \right)} = 8,31\) (km).
Có 4 cặp vợ chồng ngồi trên một dãy ghế dài. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho vợ và chồng của mỗi gia đình đều ngồi cạnh nhau.
Nhóm mỗi cặp vợ chồng lại với nhau có \[2!.2!.2!.2!\] cách
Sắp xếp 4 cặp vợ chồng lên một dãy ghế dài có \[4!\] cách
Theo quy tắc nhân, ta có \[2!.2!.2!.2!.4! = 384\].
Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số \[1,2,3,4,5,6\]. Chọn ngẫu nhiên một số từ \(S\), xác suất để số được chọn là một số chia hết cho \[5\] là \(\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính giá trị biểu thức \(T = 2a + b\)
Số phần tử của không gian mẫu: \[n\left( \Omega \right) = A_6^3 = 120\].
Gọi \[A\] là biến cố: "Số chọn được là một số chia hết cho \[5\]".
Số chia hết cho \[5\] được lập từ các chữ số trên có dạng \[\overline {ab5} \].
Chọn \[2\] số \[a,b\] từ các chữ số \[1,2,3,4,6\] là một chỉnh hợp chập \[2\] của \[5\] phần tử.
Số cách chọn là \[n\left( A \right) = A_5^2 = 20\].
Vậy xác suất cần tìm là: \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{20}}{{120}} = \frac{1}{6} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 6\end{array} \right. \Rightarrow T = 2 + 6 = 8\].
Thầy giáo chủ nhiệm có 15 quyển sách gồm 4 quyển sách Toán, 5 quyển sách Lý và 6 quyển sách Hóa. Các quyển sách đôi một khác nhau. Vào dịp cuối năm học thầy giáo chọn ngẫu nhiên 8 quyển sách để làm phần thưởng cho một em học sinh của lớp có hoàn cảnh khó khăn nhưng luôn cố gắng vươn lên trong học tập. Xác suất để số quyển sách còn lại của thầy giáo có đủ 3 môn Toán, Lý và Hóa là \(\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính giá trị biểu thức \(T = a + b\)?
Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = C_{15}^8\)
Gọi A là biến cố: “ Số quyển sách còn lại của thầy giáo có đủ 3 môn”.
\(\overline A \) là biến cố: “Số quyển sách còn lại của thầy giáo không đủ 3 môn”.
Xét các khả năng xảy ra:
TH1: Số sách còn lại gồm 2 môn Lý, Hóa (tặng hết sách Toán). Số cách chọn là \(C_{11}^4\)
TH2: Số sách còn lại gồm 2 môn Toán, Hóa (tặng hết sách Lý). Số cách chọn là \(C_{10}^3\)
TH3: Số sách còn lại gồm 2 môn Toán, Lý (tặng hết sách Hóa): Số cách chọn là \(C_9^2\)
Xác suất để số quyển sách còn lại của thầy giáo có đủ 3 môn Toán, Lý và Hóa là:
\[P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{{C_{11}^4 + C_{10}^3 + C_9^2}}{{C_{15}^8}} = \frac{{661}}{{715}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 661\\b = 715\end{array} \right. \Rightarrow T = 661 + 715 = 1376\]
