Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 2

Khi gieo con súc sắc xuất hiện mặt có số chấm không nhỏ hơn \(2\)suy ra số chấm xuất hiện có

thể là \(2,\,3,\,4,\,5,\,6.\)Vậy \[A = \left\{ {2;\,3;\,4;\,5;\,6} \right\}\].

Xếp 1 học sinh lớp C vào chỗ, xảy ra 2 trường hợp:

Trường hợp 1: học sinh lớp C ngồi ở một trong 2 đầu, có 2 cách xếp.

Khi đó, có \(A_4^2\) cách xếp 2 học sinh lớp B và \(A_3^3\) cách xếp 3 học sinh lớp   A.

\( \Rightarrow \) có \(2.A_4^2.A_3^3\) cách xếp cho trường hợp 1.

Trường hợp 2: học sinh lớp C không ngồi ở hai đầu, có 4 cách xếp.

Khi đó, có \(A_3^2\) cách xếp 2 học sinh lớp B và \(A_3^3\) cách xếp 3 học sinh lớp   A.

\( \Rightarrow \) có \(4.A_3^2.A_3^3\) cách xếp cho trường hợp 2.

Suy ra số cách xếp thỏa mãn là \(2.A_4^2.A_3^3 + 4.A_3^2.A_3^3 = 216\).

Lấy ngẫu nhiên \[3\] viên bi từ \[12\] viên bi, số cách lấy là \(C_{12}^3 = 220\), nên \(n\left( \Omega  \right) = 220\). Gọi \(A\) là biến cố “\[3\]viên bi lấy ra có ít nhất \[2\] viên bi màu đỏ”

Suy ra số trường hợp thuận lợi của biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = C_7^2.C_5^1 + C_7^3.C_5^0 = 140\).

Xác suất cần tìm là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{140}}{{220}} = \frac{7}{{11}}\).

a) Đúng: Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \[\left( {2; + \infty } \right)\].

b) Sai: Hệ số \(a\) của hàm số bậc hai đã cho là một số âm

c) Sai: Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{1}{4};2} \right)\).

d) Đúng: Giá trị lớn nhất của hàm số bằng \( - 10\)

a) Đúng: Ta có \[c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {16 + 9}  = 5 \Rightarrow {F_1}\left( { - 5;0} \right),{F_2}\left( { - 5;0} \right)\].

b) Sai: Độ dài trục thực \[2a = 2\sqrt {16}  = 8\].

c) Sai: Độ dài trục ảo \[2b = 2\sqrt 9  = 6\].

d) Sai: Hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm nằm trên \(\left( H \right)\)đến hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối là \[\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a = 8\].

a) Đúng: Trên giá sách có \(4 + 5 + 6 = 15\) quyển sách.

Lấy \(1\) quyển tùy ý từ \(15\) quyển nên có 15 cách lấy.

b) Đúng: Lấy một quyển sách Toán hoặc Vật lý từ giá sách.

Lấy một quyển Toán: có 4 cách lấy.

Lấy một quyển Vật lý: có 5 cách lấy

Việc lấy sách được hoàn thành bởi một trong hai hành động trên nên theo quy tắc cộng có \(4 + 5 = 9\) cách lấy.

c) Sai: Lấy hai quyển sách gồm Toán và Hóa học từ giá sách.

Lấy một quyển Toán: có \(4\) cách lấy.

Lấy một quyển Hóa học: có 6 cách lấy.

Việc lấy sách được hoàn thành bởi liên tiếp hai hành động trên nên theo quy tắc nhân có \(4.{\rm{6}} = 24\) cách lấy.

d) Đúng: Lấy ba quyển sách có đủ ba môn học từ giá sách.

Lấy một quyển Toán: có \(4\) cách lấy.

Lấy một quyển Vật lý: có 5 cách lấy

Lấy một quyển Hóa học: có 6 cách lấy.

Việc lấy sách được hoàn thành bởi liên tiếp ba hành động trên nên theo quy tắc nhân có \(4.5.{\rm{6}} = 120\) cách lấy.

Không gian mẫu là \[C_{20}^5 = 15504\].

a) Đúng: Số cách chọn \[5\] học sinh nữ từ \[7\] học sinh nữ là \[C_7^5 = 21\].

Xác suất để cô chủ nhiệm chọn được \[5\] học sinh nữ là \[\frac{{21}}{{15504}} = \frac{7}{{5168}}\].

b) Đúng: Để chọn đúng \[3\] học sinh nam thì cô chủ nhiệm sẽ chọn \[3\] nam và \[2\] nữ.

Xác suất để cô chủ nhiệm chọn được \[3\] nam và \[2\] nữ là \[\frac{{C_{13}^3.C_7^2}}{{15504}} = \frac{{1001}}{{2584}}\].

c) Sai: Phần bù của biến cố “chọn được ít nhất \[1\] học sinh nữ là chọn được \[5\] học sinh nam”

Xác suất để cô chủ nhiệm chọn được ít nhất \[1\] học sinh nữ là \[\frac{{C_{20}^5 - C_{13}^5}}{{C_{20}^5}} = \frac{{4739}}{{5168}}\].

d) Đúng : Ta chia làm 3 trường hợp

Trường hợp 1: \[3\] nữ \[2\] nam

Trường hợp 2: \[4\] nữ \[1\] nam

Trường hợp 3: \[5\] nữ

Xác suất để cô chủ nhiệm số học sinh nữ nhiều hơn số học sinh nam là

\[\frac{{C_7^3.C_{13}^2 + C_7^4.C_{13}^1 + C_7^5}}{{C_{20}^5}} = \frac{{1603}}{{7752}}\].

Số giao điểm giữa đồ thị hàm số \[y = \sqrt {2x - 3} \] và đường thẳng \(y = 3 - x\) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm: \[\sqrt {2x - 3}  = 3 - x{\rm{  }}\left( * \right)\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {2x - 3} } \right)^2} = {\left( {3 - x} \right)^2}\]\[ \Leftrightarrow 2x - 3 = {x^2} - 6x + 9\]\[ \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 12 = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{x = 6}\end{array}} \right.\].

Thay lần lượt \[x = 2;\,x = 6\] vào phương trình \(\left( * \right)\) ta thấy \[x = 2\] thoả mãn.

Vậy đồ thị hàm số \[y = \sqrt {2x - 3} \] và đường thẳng \[y = 3 - x\] có 1 giao điểm chung.

Ta có: \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x = m + 3\end{array} \right.\).

\(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( {m;m + 3} \right)\)

Do đó: \(f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\) \( \Leftrightarrow \) \(\left( { - 1;0} \right) \subset \left( {m;m + 3} \right)\) \( \Leftrightarrow \) \(m \le  - 1 < 0 \le m + 3\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le  - 1\\0 \le m + 3\end{array} \right.\).\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le  - 1\\ - 3 \le m\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 3 \le m \le  - 1\)

Vậy \( - 3 \le m \le  - 1\)\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 3;\, - 2;\, - 1} \right\}\) nên có \(3\) giá trị nguyên thỏa mãn.

Trường hợp 1: Chọn mua ô tô và máy bay

Chọn mua ô tô có 8 cách.

Chọn mua máy bay có 7 cách.

Theo quy tắc nhân có \(7.8 = 56\) cách chọn một ô tô và một máy bay.

Trường hợp 2: Chọn mua ô tô và đồ chơi xếp hình

Chọn mua ô tô có 8 cách.

Chọn mua đồ chơi xếp hình có 10 cách.

Theo quy tắc nhân có \(8.10 = 80\) cách chọn một ô tô và một món đồ chơi xếp hình.

Trường hợp 3: Chọn mua máy bay và đồ chơi xếp hình

Chọn mua máy bay có 7 cách.

Chọn mua đồ chơi xếp hình có 10 cách.

Theo quy tắc nhân có \(7.10 = 70\) cách chọn một máy bay và một món đồ chơi xếp hình.

Vậy theo quy tắc cộng có \(56 + 70 + 80 = 206\) cách mua hai món đồ chơi khác loại.

Đường tròn \(\left( C \right)\) ngoại tiếp tam giác \(ABC\)có phương trình là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25\).

Tứ giác\(BCHK\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\) (vì \(\widehat {BHC} = \widehat {BKC} = {90^0}\)).

Dựng tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) tại \(A.\) Ta có \[\widehat {CAx} = \widehat {CBA} = \] sđ \(\left( 1 \right)\)

Mặt khác: \[\widehat {CBA} = \widehat {AHK}\] (Vì tứ giác \(BCHK\) nội tiếp)   \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \[\widehat {CAx} = \widehat {AHK}\]. Vậy \[HK//Ax\], nên \[HK \bot AI\].

Đường thẳng \(AI\) đi qua \(I\) và nhận \(\overrightarrow {HK} \) làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là:

\(3\left( {x - 1} \right) + 4y = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 3 = 0\).

Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 3 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 3;3} \right)\) (vì \(A\)có tung độ dương).

Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\) và \(K\) nên có phương trình: \(2x + y + 3 = 0\).

Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ \[\left\{ \begin{array}{l}3x + y + 3 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {1; - 5} \right)\] (vì \(B\) khác \(A\)).

Đường thẳng \(AC\)đi qua \(A\) và \(H\) nên có phương trình: \(x + 3y - 6 = 0\).

Tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ \[\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 6 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {6;0} \right)\] (vì \(C\) khác\(A\)).

Vậy đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCHK có đường kính \(BC\) bằng \(\frac{{25}}{2} = 12,5\). 

Cách 1.

Để tính số cách chọn được 4 học sinh trong đó có đúng hai học sinh cùng lớp ta thực hiện như sau:

Trường hợp 1: Tính tổng tất cả số cách chọn ra 4 học sinh từ 16 học sinh có \[C_{16}^4 = 1820\]cách.

Trường hợp 2: Tính số cách chọn ra 4 học sinh học trong 2 lớp (hai cặp học sinh cùng lớp) có \[C_8^2 = 28\] cách (Mỗi cách chọn ra 2 lớp học từ 8 lớp học là một cách chọn ra hai cặp học sinh học cùng lớp)

Trường hợp 3: Tính số cách chọn ra 4 học sinh học trong 4 lớp khác nhau có \[C_8^4.2.2.2.2 = 1120\] cách

(Chọn 4 lớp từ 8 lớp có \[C_8^4\] cách, ứng với mỗi cách chọn ra 4 lớp thì mỗi lớp có 2 cách chọn một học sinh)

Từ đó suy ra số cách chọn 4 học sinh trong đó có đúng 2 học sinh học cùng lớp là \[1820 - 28 - 1120 = 672\] cách.

Cách 2: Ta gọi 8 lớp 10 là A1, A2, A3,…, A8.

Chọn 2 học sinh của lớp A1, và chọn 2 học sinh không cùng lớp trong 7 lớp còn lại.

Có 1 cách chọn 2 học sinh lớp A1.

Trong 7 lớp còn lại có tất cả \[C_{14}^2\] cách chọn 2 học sinh trong đó có 7 cách chọn 2 học sinh cùng lớp suy ra trong 7 lớp còn lại có \[C_{14}^2 - 7 = 84\] cách chọn 2 học sinh không cùng lớp

Tương tự cho 7 trường hợp còn lại

Vậy có \[8.1.84 = 672\] cách.

Chọn ngẫu nhiên \(3\) đỉnh từ \(32\) đỉnh ta có \(n\left( \Omega  \right) = C_{32}^3 = 4960\).

Đa giác đều có \(32\) đỉnh sẽ có \(16\) đường chéo đi qua tâm của đa giác.

Mà cứ \(2\) đường chéo sẽ tạo thành \(1\) hình chữ nhật. Cứ 1 hình chữ nhật lại tạo thành \(4\) tam giác vuông. Do đó, số tam giác vuông được tạo thành là \(4C_{16}^2 = 480\).

Mặt khác, trong số \(C_{16}^2\) hình chữ nhật lại có \(8\) hình vuông. Suy ra, số tam giác vuông cân là \(4 \cdot 8 = 32\).

Gọi \(X\) là biến cố “Chọn được một tam giác vuông, không cân”\( \Rightarrow n\left( X \right) = 480 - 32 = 448\).

Xác suất của biến cố \(X\) là:

\(P\left( X \right) = \frac{{n\left( X \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{448}}{{4960}} = \frac{{14}}{{155}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 14\\b = 155\end{array} \right. \Rightarrow T = b - 3a = 155 - 3.14 = 113\).