Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 2
22 câu hỏi
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị như hình vẽ. Kết luận nào trong các kết luận sau là sai?
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \[x = 2\].
Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {2; + \infty } \right)\].
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( {2; + \infty } \right)\].
Từ đồ thị, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \[\left( {2; + \infty } \right)\].
Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} < 1\) là
\(\left( { - \infty - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;1} \right)\).
\(\left( { - 1;1} \right)\).
\(\left[ { - 1;1} \right]\).
Ta có \({x^2} < 1 \Leftrightarrow {x^2} - 1 < 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 1.\)
Số nghiệm nguyên dương của phương trình \[\sqrt {x - 1} = x - 3\] là
\(0\).
\(1\).
\(2\).
\(3\).
Ta có :\[\sqrt {x - 1} = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\x - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} - 7x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x = 5\].
Đối chiếu điề kiện, suy ra phương trình có một nghiệm \[x = 5\].
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = - 2 + 3t\end{array} \right.\,,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) có một vectơ chỉ phương là
\(\overrightarrow u = (1; - 2).\)
\(\overrightarrow u = \left( {4; - 6} \right).\)
\(\overrightarrow u = \left( {3;2} \right).\)
\(\overrightarrow u = \left( {2;3} \right)\).
Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\left( { - 2;3} \right)\) nên \(\overrightarrow u = \left( {4; - 6} \right)\) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d.\)
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 4 = 0\). Xác định tâm và bán kính đường tròn
\(I(1; - 2),R = 3.\)
\(I(1; - 2),R = 9.\)
\(I( - 1;2),R = 9.\)
\(I( - 1;2),R = 3.\)
Phương trình đường tròn có dạng: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2a = 2\\ - 2b = - 4\\c = - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 2\\c = - 4\end{array} \right.\)
Đường tròn có tâm \(I( - 1;2),R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} = 3\).
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho Elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Xác định tiêu cự của Elip
\(6.\).
\(10.\).
\(8.\).
\(3.\)
Ta có: \({a^2} = 25,{b^2} = 16,{c^2} = {a^2} - {b^2} = 9 \Rightarrow c = 3\). Tiêu cự \(2c = 6\).
Lớp \(12A5\) có \(25\) học sinh nam, \(15\) học sinh nữ. Có bao nhiêu cách lấy ra cùng lúc \(4\) học sinh bất kì trong lớp đó để phân công làm tổ trưởng của \(4\) tổ khác nhau là:
\(C_{40}^4\).
\(A_{40}^4\).
\(C_{25}^1C_{15}^2 + C_{25}^2C_{15}^1\).
\(C_{25}^1C_{15}^2 + C_{24}^3 + C_{14}^3\)
Tổng số học sinh trong lớp là \(40\). Số cách lấy ra \(4\) học sinh bất kì rồi phân công làm tổ trưởng\(4\)tổ khác nhau là: \(A_{40}^4\).
Giả sử có chín bông hoa khác nhau và bốn lọ hoa khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm chín bông hoa đó vào bốn lọ đã cho. (mỗi lọ được cắm một bông)?
\[350.\].
\[30240.\].
\[126.\].
\[210.\]
Số cách xếp chín bông hoa khác nhau vào bốn lọ hoa khác nhau là một chỉnh hợp chập 4 của 9 phần tử. Suy ra có \(A_9^4 = 3024\) cách.
Xác định số hạng không chứa \(x\) trong khai triển \({\left( {x - \frac{3}{x}} \right)^4}\)với \(x \ne 0\).
\(54\).
\(16\).
\(48\).
\( - 54\).
Đáp án đúng là A
Ta có \({\left( {x - \frac{3}{x}} \right)^4} = {x^4} + 4{x^3}.\left( { - \frac{3}{x}} \right) + 6{x^2}.{\left( { - \frac{3}{x}} \right)^2} + 4x{\left( { - \frac{3}{x}} \right)^3} + {\left( { - \frac{3}{x}} \right)^4}\)\( = {x^4} - 12{x^2} + 54 - \frac{{108}}{{{x^2}}} + \frac{{81}}{{{x^4}}}\).
Vậy số hạng không chứa \(x\) là \(54\).
Gieo một con súc sắc cân đối, đồng chất và quan sát số chấm xuất hiện. Xác định biến cố A: “Xuất hiện mặt có số chấm không nhỏ hơn 2”.
\[A = \left\{ {1;\,2} \right\}\].
\[A = \left\{ {2;\,3} \right\}\].
\[A = \left\{ {2;\,3;\,4;\,5;\,6} \right\}\].
\[A = \left\{ {3;\,4;\,5;\,6} \right\}\].
Đáp án đúng là C
Khi gieo con súc sắc xuất hiện mặt có số chấm không nhỏ hơn \(2\)suy ra số chấm xuất hiện có
thể là \(2,\,3,\,4,\,5,\,6.\)Vậy \[A = \left\{ {2;\,3;\,4;\,5;\,6} \right\}\].
Có 6 chiếc ghế được xếp thành một hàng ngang. Số cách xếp 6 học sinh, gồm 3 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C ngồi vào hàng ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh và học sinh lớp C không ngồi cạnh học sinh lớp B bằng
\(120\).
\(720\).
\(144\).
\(216\).
Đáp án đúng là D
Xếp 1 học sinh lớp C vào chỗ, xảy ra 2 trường hợp:
Trường hợp 1: học sinh lớp C ngồi ở một trong 2 đầu, có 2 cách xếp.
Khi đó, có \(A_4^2\) cách xếp 2 học sinh lớp B và \(A_3^3\) cách xếp 3 học sinh lớp A.
\( \Rightarrow \) có \(2.A_4^2.A_3^3\) cách xếp cho trường hợp 1.
Trường hợp 2: học sinh lớp C không ngồi ở hai đầu, có 4 cách xếp.
Khi đó, có \(A_3^2\) cách xếp 2 học sinh lớp B và \(A_3^3\) cách xếp 3 học sinh lớp A.
\( \Rightarrow \) có \(4.A_3^2.A_3^3\) cách xếp cho trường hợp 2.
Suy ra số cách xếp thỏa mãn là \(2.A_4^2.A_3^3 + 4.A_3^2.A_3^3 = 216\).
Một hộp đựng \[12\] viên bi khác nhau, trong đó có \[7\] viên bi màu đỏ và \[5\] viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên \[3\] viên bi. Xác suất để lấy được ít nhất \[2\] viên bi màu đỏ là
\(\frac{7}{{44}}\).
\(\frac{7}{{11}}\).
\(\frac{4}{{11}}\).
\(\frac{{21}}{{44}}\).
Đáp án đúng là B
Lấy ngẫu nhiên \[3\] viên bi từ \[12\] viên bi, số cách lấy là \(C_{12}^3 = 220\), nên \(n\left( \Omega \right) = 220\). Gọi \(A\) là biến cố “\[3\]viên bi lấy ra có ít nhất \[2\] viên bi màu đỏ”
Suy ra số trường hợp thuận lợi của biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = C_7^2.C_5^1 + C_7^3.C_5^0 = 140\).
Xác suất cần tìm là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{140}}{{220}} = \frac{7}{{11}}\).
Cho bảng biến thiên của hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \[\left( {2; + \infty } \right)\].
b) Hệ số \(a\) của hàm số bậc hai đã cho là một số dương
c) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{1}{4};2} \right)\).
d) Giá trị lớn nhất của hàm số bằng \( - 10\)
a) Đúng: Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \[\left( {2; + \infty } \right)\].
b) Sai: Hệ số \(a\) của hàm số bậc hai đã cho là một số âm
c) Sai: Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{1}{4};2} \right)\).
d) Đúng: Giá trị lớn nhất của hàm số bằng \( - 10\)
Trong mặt phẳng \[Oxy\], cho hypebol \[\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\]. Xét tính đúng sai trong các khẳng định sau:
a) Hypebol \(\left( H \right)\) có toạ độ tiêu điểm \[{F_1}\left( { - 5;0} \right)\,,\,\,{F_2}\left( {5;0} \right)\].
b) Hypebol \(\left( H \right)\) có độ dài trục thực bằng \(16\).
c) Hypebol \(\left( H \right)\) có độ dài trục ảo bằng \(4\).
d) Hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm nằm trên \(\left( H \right)\)đến hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng 10.
a) Đúng: Ta có \[c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {16 + 9} = 5 \Rightarrow {F_1}\left( { - 5;0} \right),{F_2}\left( { - 5;0} \right)\].
b) Sai: Độ dài trục thực \[2a = 2\sqrt {16} = 8\].
c) Sai: Độ dài trục ảo \[2b = 2\sqrt 9 = 6\].
d) Sai: Hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm nằm trên \(\left( H \right)\)đến hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối là \[\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a = 8\].
Trên một giá sách có \(4\) quyển sách Toán, \(5\) quyển sách Vật lí và \(6\) quyển sách Hóa học. Các quyển sách đôi một khác nhau.
a) Có \(15\) cách lấy một quyển sách tùy ỳ từ giá sách.
b) Có \(9\) cách lấy một quyển sách Toán hoặc Vật lý từ giá sách.
c) Có \(10\) cách lấy hai quyển sách gồm Toán và Hóa học từ giá sách.
d) Có \(120\) cách lấy ba quyển sách có đủ ba môn học từ giá sách.
a) Đúng: Trên giá sách có \(4 + 5 + 6 = 15\) quyển sách.
Lấy \(1\) quyển tùy ý từ \(15\) quyển nên có 15 cách lấy.
b) Đúng: Lấy một quyển sách Toán hoặc Vật lý từ giá sách.
Lấy một quyển Toán: có 4 cách lấy.
Lấy một quyển Vật lý: có 5 cách lấy
Việc lấy sách được hoàn thành bởi một trong hai hành động trên nên theo quy tắc cộng có \(4 + 5 = 9\) cách lấy.
c) Sai: Lấy hai quyển sách gồm Toán và Hóa học từ giá sách.
Lấy một quyển Toán: có \(4\) cách lấy.
Lấy một quyển Hóa học: có 6 cách lấy.
Việc lấy sách được hoàn thành bởi liên tiếp hai hành động trên nên theo quy tắc nhân có \(4.{\rm{6}} = 24\) cách lấy.
d) Đúng: Lấy ba quyển sách có đủ ba môn học từ giá sách.
Lấy một quyển Toán: có \(4\) cách lấy.
Lấy một quyển Vật lý: có 5 cách lấy
Lấy một quyển Hóa học: có 6 cách lấy.
Việc lấy sách được hoàn thành bởi liên tiếp ba hành động trên nên theo quy tắc nhân có \(4.5.{\rm{6}} = 120\) cách lấy.
Lớp 11A có \[7\] học sinh nữ và \[13\] học sinh nam. Cô chủ nhiệm chọn ra \[5\] bạn để tham gia văn nghệ.
Hãy xác định định đúng – sai của các khẳng định sau:
a) Xác suất để cô chủ nhiệm chọn được \[5\] học sinh nữ là \[\frac{{21}}{{15504}}\].
b) Xác suất để cô chủ nhiệm chọn được đúng \[3\] học sinh nam là \[\frac{{C_{13}^3.C_7^2}}{{C_{20}^5}}\].
c) Xác suất để cô chủ nhiệm chọn được ít nhất \[1\]học sinh nữ là \[\frac{{429}}{{5168}}\].
d) Xác suất để cô chủ nhiệm số học sinh nữ nhiều hơn số học sinh nam là \[\frac{{1603}}{{7752}}\].
Không gian mẫu là \[C_{20}^5 = 15504\].
a) Đúng: Số cách chọn \[5\] học sinh nữ từ \[7\] học sinh nữ là \[C_7^5 = 21\].
Xác suất để cô chủ nhiệm chọn được \[5\] học sinh nữ là \[\frac{{21}}{{15504}} = \frac{7}{{5168}}\].
b) Đúng: Để chọn đúng \[3\] học sinh nam thì cô chủ nhiệm sẽ chọn \[3\] nam và \[2\] nữ.
Xác suất để cô chủ nhiệm chọn được \[3\] nam và \[2\] nữ là \[\frac{{C_{13}^3.C_7^2}}{{15504}} = \frac{{1001}}{{2584}}\].
c) Sai: Phần bù của biến cố “chọn được ít nhất \[1\] học sinh nữ là chọn được \[5\] học sinh nam”
Xác suất để cô chủ nhiệm chọn được ít nhất \[1\] học sinh nữ là \[\frac{{C_{20}^5 - C_{13}^5}}{{C_{20}^5}} = \frac{{4739}}{{5168}}\].
d) Đúng : Ta chia làm 3 trường hợp
Trường hợp 1: \[3\] nữ \[2\] nam
Trường hợp 2: \[4\] nữ \[1\] nam
Trường hợp 3: \[5\] nữ
Xác suất để cô chủ nhiệm số học sinh nữ nhiều hơn số học sinh nam là
\[\frac{{C_7^3.C_{13}^2 + C_7^4.C_{13}^1 + C_7^5}}{{C_{20}^5}} = \frac{{1603}}{{7752}}\].
Tìm số giao điểm giữa đồ thị hàm số \[y = \sqrt {2x - 3} \] và đường thẳng \(y = 3 - x\)
Số giao điểm giữa đồ thị hàm số \[y = \sqrt {2x - 3} \] và đường thẳng \(y = 3 - x\) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm: \[\sqrt {2x - 3} = 3 - x{\rm{ }}\left( * \right)\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {2x - 3} } \right)^2} = {\left( {3 - x} \right)^2}\]\[ \Leftrightarrow 2x - 3 = {x^2} - 6x + 9\]\[ \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 12 = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{x = 6}\end{array}} \right.\].
Thay lần lượt \[x = 2;\,x = 6\] vào phương trình \(\left( * \right)\) ta thấy \[x = 2\] thoả mãn.
Vậy đồ thị hàm số \[y = \sqrt {2x - 3} \] và đường thẳng \[y = 3 - x\] có 1 giao điểm chung.
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + {m^2} + 3m\), \(m\) là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để \(f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\).
Ta có: \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x = m + 3\end{array} \right.\).
\(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( {m;m + 3} \right)\)
Do đó: \(f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\) \( \Leftrightarrow \) \(\left( { - 1;0} \right) \subset \left( {m;m + 3} \right)\) \( \Leftrightarrow \) \(m \le - 1 < 0 \le m + 3\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le - 1\\0 \le m + 3\end{array} \right.\).\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le - 1\\ - 3 \le m\end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 \le m \le - 1\)
Vậy \( - 3 \le m \le - 1\)\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 3;\, - 2;\, - 1} \right\}\) nên có \(3\) giá trị nguyên thỏa mãn.
Một cửa hàng đồ chơi có 8 loại ô tô khác nhau, 7 loại máy bay khác nhau và \(10\) món đồ chơi xếp hình khác nhau. Bạn Minh muốn mua hai món đồ chơi khác loại. Hỏi có bao nhiêu cách?
Trường hợp 1: Chọn mua ô tô và máy bay
Chọn mua ô tô có 8 cách.
Chọn mua máy bay có 7 cách.
Theo quy tắc nhân có \(7.8 = 56\) cách chọn một ô tô và một máy bay.
Trường hợp 2: Chọn mua ô tô và đồ chơi xếp hình
Chọn mua ô tô có 8 cách.
Chọn mua đồ chơi xếp hình có 10 cách.
Theo quy tắc nhân có \(8.10 = 80\) cách chọn một ô tô và một món đồ chơi xếp hình.
Trường hợp 3: Chọn mua máy bay và đồ chơi xếp hình
Chọn mua máy bay có 7 cách.
Chọn mua đồ chơi xếp hình có 10 cách.
Theo quy tắc nhân có \(7.10 = 70\) cách chọn một máy bay và một món đồ chơi xếp hình.
Vậy theo quy tắc cộng có \(56 + 70 + 80 = 206\) cách mua hai món đồ chơi khác loại.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \[Oxy\],cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn tâm \(I\left( {1;0} \right)\), bán kính \(R = 5\). Chân các đường cao kẻ từ \(B,C\) lần lượt là \(H\left( {3;1} \right),K\left( {0; - 3} \right)\). Tính bình phương bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(BCHK\), biết rằng điểm A có tung độ dương.
Đường tròn \(\left( C \right)\) ngoại tiếp tam giác \(ABC\)có phương trình là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25\).
Tứ giác\(BCHK\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\) (vì \(\widehat {BHC} = \widehat {BKC} = {90^0}\)).
Dựng tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) tại \(A.\) Ta có \[\widehat {CAx} = \widehat {CBA} = \] sđ \(\left( 1 \right)\)
Mặt khác: \[\widehat {CBA} = \widehat {AHK}\] (Vì tứ giác \(BCHK\) nội tiếp) \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \[\widehat {CAx} = \widehat {AHK}\]. Vậy \[HK//Ax\], nên \[HK \bot AI\].
Đường thẳng \(AI\) đi qua \(I\) và nhận \(\overrightarrow {HK} \) làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là:
\(3\left( {x - 1} \right) + 4y = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 3 = 0\).
Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 3 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 3;3} \right)\) (vì \(A\)có tung độ dương).
Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\) và \(K\) nên có phương trình: \(2x + y + 3 = 0\).
Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ \[\left\{ \begin{array}{l}3x + y + 3 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {1; - 5} \right)\] (vì \(B\) khác \(A\)).
Đường thẳng \(AC\)đi qua \(A\) và \(H\) nên có phương trình: \(x + 3y - 6 = 0\).
Tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ \[\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 6 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {6;0} \right)\] (vì \(C\) khác\(A\)).
Vậy đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCHK có đường kính \(BC\) bằng \(\frac{{25}}{2} = 12,5\).
Trong một trường THPT có 8 lớp 10, mỗi lớp cử 2 học sinh đi tham gia buổi họp của đoàn trường. Trong buổi họp ban tổ chức cần chọn ra 4 học sinh từ 16 học sinh của khối 10 để phát biểu ý kiến. Có bao nhiêu cách chọn sao cho trong 4 học sinh được chọn có đúng hai học sinh học cùng một lớp.
Cách 1.
Để tính số cách chọn được 4 học sinh trong đó có đúng hai học sinh cùng lớp ta thực hiện như sau:
Trường hợp 1: Tính tổng tất cả số cách chọn ra 4 học sinh từ 16 học sinh có \[C_{16}^4 = 1820\]cách.
Trường hợp 2: Tính số cách chọn ra 4 học sinh học trong 2 lớp (hai cặp học sinh cùng lớp) có \[C_8^2 = 28\] cách (Mỗi cách chọn ra 2 lớp học từ 8 lớp học là một cách chọn ra hai cặp học sinh học cùng lớp)
Trường hợp 3: Tính số cách chọn ra 4 học sinh học trong 4 lớp khác nhau có \[C_8^4.2.2.2.2 = 1120\] cách
(Chọn 4 lớp từ 8 lớp có \[C_8^4\] cách, ứng với mỗi cách chọn ra 4 lớp thì mỗi lớp có 2 cách chọn một học sinh)
Từ đó suy ra số cách chọn 4 học sinh trong đó có đúng 2 học sinh học cùng lớp là \[1820 - 28 - 1120 = 672\] cách.
Cách 2: Ta gọi 8 lớp 10 là A1, A2, A3,…, A8.
Chọn 2 học sinh của lớp A1, và chọn 2 học sinh không cùng lớp trong 7 lớp còn lại.
Có 1 cách chọn 2 học sinh lớp A1.
Trong 7 lớp còn lại có tất cả \[C_{14}^2\] cách chọn 2 học sinh trong đó có 7 cách chọn 2 học sinh cùng lớp suy ra trong 7 lớp còn lại có \[C_{14}^2 - 7 = 84\] cách chọn 2 học sinh không cùng lớp
Tương tự cho 7 trường hợp còn lại
Vậy có \[8.1.84 = 672\] cách.
Một đa giác đều có \(32\) đỉnh. Chọn ngẫu nhiên \(3\) đỉnh từ \(32\) đỉnh của đa giác đó. Xác suất để \(3\) đỉnh được chọn là \(3\) đỉnh của một tam giác vuông nhưng không cân là \(\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính giá trị biểu thức \(T = b - 3a\)
Chọn ngẫu nhiên \(3\) đỉnh từ \(32\) đỉnh ta có \(n\left( \Omega \right) = C_{32}^3 = 4960\).
Đa giác đều có \(32\) đỉnh sẽ có \(16\) đường chéo đi qua tâm của đa giác.
Mà cứ \(2\) đường chéo sẽ tạo thành \(1\) hình chữ nhật. Cứ 1 hình chữ nhật lại tạo thành \(4\) tam giác vuông. Do đó, số tam giác vuông được tạo thành là \(4C_{16}^2 = 480\).
Mặt khác, trong số \(C_{16}^2\) hình chữ nhật lại có \(8\) hình vuông. Suy ra, số tam giác vuông cân là \(4 \cdot 8 = 32\).
Gọi \(X\) là biến cố “Chọn được một tam giác vuông, không cân”\( \Rightarrow n\left( X \right) = 480 - 32 = 448\).
Xác suất của biến cố \(X\) là:
\(P\left( X \right) = \frac{{n\left( X \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{448}}{{4960}} = \frac{{14}}{{155}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 14\\b = 155\end{array} \right. \Rightarrow T = b - 3a = 155 - 3.14 = 113\).
