Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 9
39 câu hỏi
\(ABCD.A'B'C'D'\).
\(\cos \alpha > 0\).
\(\tan \alpha > 0\).
\(\cot \alpha < 0\).
Đáp án đúng là: C
Vì \(\left( \beta \right)\) nên \[\left. \begin{array}{l}\sin \alpha < 0\\\cos \alpha < 0\end{array} \right\} \Rightarrow \tan \alpha > 0\].
\({\cos ^2}3x = \frac{{1 + \cos 6x}}{2}\).
\(\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x\).
\(\sin 2x = 2\sin x\cos x\).
\({\sin ^2}2x = \frac{{1 + \cos 4x}}{2}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \({\sin ^2}2x = \frac{{1 - \cos 4x}}{2}\) nên đẳng thức D không đúng.
\(y = \sin x\).
\(y = \cos x\).
\(y = \tan 2x\).
\(y = \cot x\).
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = \sin x\); \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi \).
Hàm số \(y = \tan 2x\) tuần hoàn với chu kì \(\frac{\pi }{2}\).
Hàm số \(y = \cot x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi \).
\(x \in \emptyset \).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \arcsin \frac{3}{2} + k2\pi \\x = \pi - \arcsin \frac{3}{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \arcsin \frac{3}{2} + k2\pi \\x = - \arcsin \frac{3}{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x \in \mathbb{R}\).
Đáp án đúng là: A
Có \(2\sin x - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow \sin x = \frac{3}{2} > 1\) nên phương trình vô nghiệm.
\[{2^{2018}}\].
\[2017 + {2^{2017}}\].
\[1 + {2^{2018}}\].
\[2018 + {2^{2018}}\].
Đáp án đúng là: C
Ta có \({u_{2018}} = 1 + {2^{2018}}.\)
\({u_n} = 3{n^2} + 2017\).
\({u_n} = 3n + 2008\).
\({u_n} = {3^n}\).
\({u_n} = {\left( { - 3} \right)^{n + 1}}\).
Đáp án đúng là: B
Theo định nghĩa cấp số cộng ta có: \({u_{n + 1}} = {u_n} + d \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = d,\forall n \ge 1\).
+) \({u_{n + 1}} - {u_n} = 3{\left( {n + 1} \right)^2} + 2017 - \left( {3{n^2} + 2017} \right)\)\( = 3{\left( {n + 1} \right)^2} - 3{n^2} = 6n + 3\) nên đáp án A loại.
+) \({u_{n + 1}} - {u_n} = 3\left( {n + 1} \right) + 2008 - \left( {3n + 2008} \right) = 3\) nên \({u_n} = 3n + 2008\) là cấp số cộng. Chọn B.
+) \({u_{n + 1}} - {u_n} = {3^{n + 1}} - {3^n} = 2 \cdot {3^n}\) nên loại đáp án C.
+) \({u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( { - 3} \right)^{n + 2}} - {\left( { - 3} \right)^{n + 1}} = - 4 \cdot {\left( { - 3} \right)^{n + 1}}\) nên loại đáp án D.
\({u_n} = 1 + 4n\).
\({u_n} = 5n\).
\({u_n} = 3 + 2n\).
\({u_n} = 2 + 3n\).
Đáp án đúng là: A
Có \({S_{50}} = \frac{{\left( {2{u_1} + 49d} \right)50}}{2} = 5\;150\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {2 \cdot 5 + 49d} \right)50}}{2} = 5\;150\)\( \Leftrightarrow 2 \cdot 5 + 49d = 206\)\( \Leftrightarrow d = 4\).
Có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)\( = 5 + \left( {n - 1} \right)4 = 1 + 4n\).
\(11\).
\(12\).
\(10\).
\(13\).
Đáp án đúng là: B
Vì \(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};...;\frac{1}{{4096}}\) là cấp số nhân nên \({u_1} = \frac{1}{2};q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{1}{2}\).
Do đó \({u_n} = \frac{1}{2} \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\).
Có \(\frac{1}{{4096}}\)\( = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\)\( \Leftrightarrow n = 12\).
Vậy số \(\frac{1}{{4096}}\) là số hạng thứ 12 trong cấp số nhân đã cho.
Đáp án đúng là: D
Có \(0 \le \left| {{u_n} - 2} \right| < \frac{1}{{{n^3}}}\) mà \(\lim \frac{1}{{{n^3}}} = 0\) nên \(\lim \left| {{u_n} - 2} \right| = 0\)\( \Rightarrow \lim \left( {{u_n} - 2} \right) = 0\)\( \Rightarrow \lim {u_n} = 2\).
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 39 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
0.
\(\frac{1}{3}\).
\( + \infty \).
\(\frac{1}{5}\).
Đáp án đúng là: A
\(\lim \frac{1}{{5n + 3}}\)\( = \lim \frac{{\frac{1}{n}}}{{5 + \frac{3}{n}}} = 0\) (vì \(\lim \frac{1}{n} = 0;\lim \frac{3}{n} = 0\)).
\(2\).
\(1\).
\( + \infty \).
\(0\).
Đáp án đúng là: D
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {2{x^2} - 3x + 1} \right) = 2 \cdot {1^2} - 3 \cdot 1 + 1 = 0\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| L \right|.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt[3]{{f\left( x \right)}} = \sqrt[3]{L}.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L .\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ { - f\left( x \right)} \right] = - L.\)
Đáp án đúng là: C
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L \) nếu \(L > 0.\)
\( - \infty \).
\( + \infty \).
\(0\).
\(11\).
Đáp án đúng là: B
Áp dụng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\kern 1pt} {x^k} = + \infty \), \(k\) là số nguyên dương ta được phương án B.
\( + \infty \).
\(2\)
\( - \infty \).
\( - 2\).
Đáp án đúng là: A
Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {4x - 3} \right) = 1\]; \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 0\] mà \(x \to {1^ + }\) nên \(x - 1 > 0\).
Do đó \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{4x - 3}}{{x - 1}} = + \infty \].
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} + x - 2} \right) = - \frac{3}{2}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{3x + 2}}{{x + 1}} = - \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} + x - 2} \right) = + \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{3x + 2}}{{x + 1}} = - \infty \).
Đáp án đúng là: B
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} + x - 2} \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left( {{x^2} - x + 1} \right) - {{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} - \left( {x - 2} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} - \left( {x - 2} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3 - \frac{3}{x}}}{{ - \sqrt {1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} - \left( {1 - \frac{2}{x}} \right)}} = - \frac{3}{2}\)
(vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{3}{x} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{x} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{x} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{{x^2}}} = 0\]). Đáp án A đúng.
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {3x + 2} \right) = - 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {x + 1} \right) = 0\) mà \(x \to - {1^ - }\) nên \(x + 1 < 0\).
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{3x + 2}}{{x + 1}} = + \infty \). Suy ra đáp án B sai.
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} + x - 2} \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} + 1 - \frac{2}{x}} \right) = + \infty \)
(vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x = + \infty \) và \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} + 1 - \frac{2}{x}} \right) = 2 > 0\)). Vậy đáp án C đúng.
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {3x + 2} \right) = - 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {x + 1} \right) = 0\) mà \(x \to - {1^ + }\) nên \(x + 1 > 0\).
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{3x + 2}}{{x + 1}} = - \infty \). Suy ra đáp án D đúng.
\(y = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)\).
\(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\).
\(y = \frac{x}{{x - 1}}\).
\(y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) không xác định tại \({x_0} = - 1\) nên gián đoạn tại \({x_0} = - 1\).
\(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x - 1}}\).
\(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - x - 2}}{{{x^2} - 1}}\).
\(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\).
\(f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\).
Đáp án đúng là: C
+) Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x - 1}}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\). Do đó hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x - 1}}\) không liên tục tại \(x = 1\).
+) Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - x - 2}}{{{x^2} - 1}}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 1} \right\}\). Do đó hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - x - 2}}{{{x^2} - 1}}\) không liên tục tại \(x = 1\).
+) Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\). Do đó hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) không liên tục tại \(x = 1\).
+) Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + x + 1}}{x} = 3 = f\left( 1 \right)\). Do đó hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\) liên tục tại \(x = 1\).
\(f\left( x \right) = \tan x + 5\).
\(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3}}{{5 - x}}\).
\(f\left( x \right) = \sqrt {x - 6} \).
\(f\left( x \right) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}\).
Đáp án đúng là: D
+) Hàm số \(f\left( x \right) = \tan x + 5\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Do đó hàm số \(f\left( x \right) = \tan x + 5\) không liên tục trên \(\mathbb{R}\).
+) Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3}}{{5 - x}}\)có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 5 \right\}\).
Do đó hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3}}{{5 - x}}\) không liên tục trên \(\mathbb{R}\).
+) Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x - 6} \)có tập xác định là \(\left[ {6; + \infty } \right)\).
Do đó hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x - 6} \) không liên tục trên \(\mathbb{R}\).
+) Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}\)có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Do đó hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
\(1\).
\(2\).
\(3\).
\(4\).
Đáp án đúng là: C
Có 3 mặt phẳng đó là \(\left( {a,b} \right)\); \(\left( {A,a} \right)\);\(\left( {A,b} \right)\).
1.
2.
3.
4.
Đáp án đúng là: C
Mệnh đề 2 sai vì hai đường thẳng không có điểm chung thì có thể song song hoặc chéo nhau.
Hai đường thẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác.
Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không có điểm chung.
Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
Đáp án đúng là: D
+) A sai. Vì trong trường hợp 2 đường thẳng cắt nhau thì chúng chỉ có 1 điểm chung.
+) B và C sai. Vì hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng đồng phẳng và không có điểm chung.
Đường thẳng \(AB\).
Đường thẳng \(AD\).
Đường thẳng \(AC\).
Đường thẳng \(SA\).
Đáp án đúng là: B
Hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) có chung điểm \(S\) và lần lượt chứa hai đường thẳng song song \(AD\), \(BC\) nên giao tuyến \(\Delta \) đi qua \(S\) và lần lượt song song với \(AD\), \(BC\).
Đường thẳng \(d\) không có điểm chung với mặt phẳng \((P).\)
Đường thẳng \(d\) có đúng một điểm chung với mặt phẳng \((P).\)
Đường thẳng \(d\) có đúng hai điểm chung với mặt phẳng \((P).\)
Đường thẳng \(d\) có vô số điểm chung với mặt phẳng \((P).\)
Đáp án đúng là: A
Dựa vào định nghĩa, đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \((P)\) khi đó đường thẳng \(d\) không có điểm chung với mặt phẳng \((P).\)
Mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Vì \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,\,AC\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(MN{\rm{//}}BC\) mà \(BC \subset \left( {BCD} \right)\) nên \(MN{\rm{//}}\left( {BCD} \right)\).
\(MN{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\).
\(MN{\rm{//}}BD\).
\(MN{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\).
\(MN\) cắt \(BC\).
Đáp án đúng là: A
Vì \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(AB\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAB\).
Do đó \(MN{\rm{//}}SB\) mà \(SB \subset \left( {SBC} \right)\) nên \(MN{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\).
Nếu hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong \(\left( \alpha \right)\) đều song song với \(\left( \beta \right)\).
Nếu hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong \(\left( \alpha \right)\) cũng song song với bất kì đường thẳng nào nằm trong \(\left( \beta \right)\).
Nếu hai đường thẳng phân biệt \(a\) và \(b\) song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) phân biệt thì \(\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( \beta \right)\).
Nếu đường thẳng \(d\) song song với \(\left( \alpha \right)\) thì nó song song với mọi đường thẳng nằm trong \(\left( \alpha \right)\).
Đáp án đúng là: A
Hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong \(\left( \alpha \right)\) đều song song với \(\left( \beta \right)\).
Đường thẳng \(d \subset \left( P \right)\) và \(d' \subset \left( Q \right)\) thì \(d{\rm{//}}d'\).
Mọi đường thẳng đi qua điểm \(A \in \left( P \right)\) và song song với \(\left( Q \right)\) đều nằm trong \(\left( P \right)\).
Nếu đường thẳng \(\Delta \) cắt \(\left( P \right)\) thì \(\Delta \) cũng cắt \(\left( Q \right)\).
Nếu đường thẳng \(a \subset \left( Q \right)\) thì \(a{\rm{//}}\left( P \right)\).
Đáp án đúng là: A
Nếu \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) song song với nhau và đường thẳng \(d \subset \left( P \right)\), \(d' \subset \left( Q \right)\) thì \(d,d'\) có thể chéo nhau. Nên khẳng định A là sai.
\(a\) và \(b\) có một điểm chung duy nhất.
\(a\) và \(b\) không có điểm chung nào.
\(a\) và \(b\) trùng nhau.
\(a\) và \(b\) song song hoặc trùng nhau.
Đáp án đúng là: B
Mặt phẳng \(\left( R \right)\)cắt hai mặt phẳng song song \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) theo hai giao tuyến \(a\) và \(b\) thì \(a\) và \(b\) song song. Do đó đáp án B đúng.
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\)(tham khảo hình vẽ bên dưới)
Mệnh đề nào sau đây sai?
\(\left( {BDD'B'} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {ACC'A'} \right)\).
\(\left( {AA'D'D} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {BCC'B'} \right)\).
\(\left( {ABCD} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {A'B'C'D'} \right)\).
\(\left( {ABB'A'} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {CDD'C'} \right)\).
Đáp án đúng là: A
+) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\); \(O'\)là giao điểm của \(A'C'\) và \(B'D'\).
Khi đó \(\left( {BDD'B'} \right)\; \cap \;\left( {ACC'A'} \right) = OO'\) nên đáp án A sai.
+) Có \(CC'{\rm{//}}DD'\) ( do \(CDD'C'\)là hình bình hành) và \(CC'{\rm{//}}AA'\) (vì cùng song song \(DD'\)).
Do đó \(CC'{\rm{//}}\left( {AA'D'D} \right)\)mà \(CC' \subset BCC'B'\) nên \(\left( {AA'D'D} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {BCC'B'} \right)\). Suy ra đáp án B đúng.
+) Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp nên \(\left( {ABCD} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {A'B'C'D'} \right)\). Suy ra đáp án C đúng.
+) Có \(CC'{\rm{//}}BB'\) ( do \(CBB'C'\)là hình bình hành) và \(CC'//AA'\) (vì cùng song song \(BB'\)).
Do đó \(CC'{\rm{//}}\left( {ABB'A'} \right)\;\)mà \(CC' \subset \;\left( {CDD'C'} \right)\) nên \(\left( {ABB'A'} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {CDD'C'} \right)\). Suy ra đáp án D đúng.
Ba đường thẳng đôi một song song với nhau.
Một đường thẳng.
Hai đường thẳng song song.
Cả ba trường hợp trên.
Đáp án đúng là: D
Theo tính chất của phép chiếu song song ta chọn đáp án D.
Một cuộc khảo sát đã tiến hành xác định tuổi (theo năm) của 120 chiếc ô tô. Kết quả điểu tra được cho trong bảng sau.
Có bao nhiêu ô tô có độ tuổi từ 12 đến dưới 16?
\(23.\)
\(25.\)
\(37.\)
\(26.\)
Đáp án đúng là: D
Có 26 ô tô có độ tuổi từ 12 đến dưới 16.
Người ta đếm số xe ô tô đi qua một trạm thu phí mỗi phút trong khoảng thời gian từ 9 giờ đến 9 giờ 30 phút sáng. Kết quả được ghi lại ở bảng sau:
Hãy ước lượng trung bình số xe đi qua trạm thu phí trong mỗi phút từ bảng tần số ghép nhóm trên.
\(17,06.\)
\(17,7.\)
\(17.\)
\(17,71.\)
Đáp án đúng là: B
Hiệu chỉnh lại bảng số liệu ta có:
Trung bình số xe đi qua trạm thu phí mỗi phút xấp xỉ bằng:
\(\frac{{8.5 + 13.9 + 18.3 + 23.9 + 28.4}}{{30}} \approx 17,7\).
(Sử dụng mẫu số liệu này cho các câu từ câu 33,
Khảo sát thời gian chạy bộ trong một ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
\(10.\)
\(20.\)
\(30.\)
\(40.\)
Đáp án đúng là: C
Giá trị đại diện của nhóm \([20;40)\) là \(\frac{{20 + 40}}{2} = 30\).
\([0;20)\).
\([20;40)\).
\([40;60)\).
\([60;80)\).
Đáp án đúng là: B
Tổng số học sinh tham gia chạy là \(5 + 9 + 12 + 10 + 6 = 42\).
Giả sử \({x_1};{x_2};...;{x_{42}}\) là thời gian chạy bộ của 42 học sinh được xếp theo thứ tự không giảm.
Có \({x_1};...;{x_5} \in \left[ {0;20} \right)\);
\({x_6};...;{x_{14}} \in \left[ {20;40} \right)\);
\({x_{15}};...;{x_{26}} \in \left[ {40;60} \right)\);
\({x_{27}};...;{x_{36}} \in \left[ {60;80} \right)\);
\({x_{37}};...;{x_{42}} \in \left[ {80;100} \right)\).
Do đó tứ phân vị thứ nhất là \({x_{11}}\) mà \({x_{11}}\) thuộc nhóm \([20;40)\) nên tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm \([20;40)\).
Mức lương hàng tháng ở 1 công ty được Công đoàn thu thập theo bảng sau (đơn vị triệu đồng):
Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là
\(15\).
\(16\).
\(17\).
\(18\).
Đáp án đúng là: A
Gọi \({x_1} \le {x_2} \le \ldots \le {x_{110}}\) là mức lương của 110 nhân viên nhận được công ty trả trong 1 tháng.
Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu \({x_1} \le {x_2} \le \ldots \le {x_{110}}\) là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{55}} + {x_{56}}} \right)\). Do \({x_{55}} \in \left[ {10;15} \right)\) và\({x_{56}} \in \left[ {15;20} \right)\). Nên đó tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là \({Q_2} = 15\).
\(B = \sin \left( {\frac{{5\pi }}{2} - x} \right) - \cos \left( {\frac{{11\pi }}{2} - x} \right) - 3\sin \left( {x - 5\pi } \right) + \tan \left( {\frac{{7\pi }}{2} - x} \right)\tan \left( { - x} \right)\)
\( = \sin \left( {2\pi + \frac{\pi }{2} - x} \right) - \cos \left( {6\pi - \frac{\pi }{2} - x} \right) - 3\sin \left( {x + \pi - 6\pi } \right) + \tan \left( {3\pi + \frac{\pi }{2} - x} \right)\tan \left( { - x} \right)\)
\( = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) - 3\sin \left( {x + \pi } \right) - \tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\tan x\)
\( = \cos x + \sin x + 3\sin x - \cot x\tan x\)
\( = \cos x + 4\sin x - 1\).
a) Gọi \(\Delta \) là giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\). Khi đó \(\Delta \) đi qua \(G\) và song song với \(CD\).
Gọi \(H,K\) lần lượt là giao điểm của \(\Delta \) với \(BC\) và \(BD\).
\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{H \in \left( P \right)}\\{H \in BC \subset \left( {BCD} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow H \in \left( P \right) \cap \left( {BCD} \right)(1)\]
\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{K \in \left( P \right)}\\{K \in BD \subset \left( {BCD} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow K \in \left( P \right) \cap \left( {BCD} \right)(2)\]
Từ \[\left( 1 \right),\left( 2 \right)\] \[ \Rightarrow \] giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\)là HK.
b) Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\) và \(HK{\rm{//}}CD\) nên \(\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{MG}}{{MB}} = \frac{{DK}}{{DB}} = \frac{1}{3}\).
Giả sử \(\left( P \right)\) cắt \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {ABD} \right)\) các giao tuyến là \(HI\) và \(KJ\).
Ta có \[\left( P \right) \cap \left( {ABC} \right) = HJ\], \[\left( P \right) \cap \left( {ABD} \right) = KJ\,\]mà \[AB\parallel \left( P \right)\] nên \[HI\parallel AB\parallel KJ\].
Theo định lí Thalet, ta có \[\frac{{BH}}{{HC}} = \frac{{BK}}{{KD}} = \frac{{BG}}{{GM}} = 2\] suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{HI}}{{AB}} = \frac{{CH}}{{CB}} = \frac{1}{3}\\\frac{{KJ}}{{AB}} = \frac{{DK}}{{DB}} = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow HI = KJ\).
Vậy thiết diện của \[\left( P \right)\] và tứ diện \[ABCD\] là hình bình hành \(HIJK\).
Vì dãy các tam giác \({A_1}{B_1}{C_1};{A_2}{B_2}{C_2};{A_3}{B_3}{C_3};...\) là các tam giác đều nên bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác bằng cạnh \( \times \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Với \(n = 1\) thì tam giác đều \({A_1}{B_1}{C_1}\) có cạnh bằng 3 nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \({A_1}{B_1}{C_1}\) là \({R_1} = 3 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \sqrt 3 \). Do đó \({S_1} = \pi {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 3\pi \).
Với \(n = 2\) thì tam giác đều \({A_2}{B_2}{C_2}\) có cạnh bằng \(\frac{3}{2}\) nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \({A_2}{B_2}{C_2}\) là \({R_2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Do đó \({S_2} = \pi {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = 3\pi \cdot \frac{1}{4}\).
Với \(n = 3\) thì tam giác đều \({A_3}{B_3}{C_3}\) có cạnh bằng \(\frac{3}{4}\) nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \({A_3}{B_3}{C_3}\) là \({R_3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\). Do đó \({S_3} = \pi {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right)^2} = 3\pi {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2}\).
Như vậy tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\) có cạnh \(3 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\) và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \({A_n}{B_n}{C_n}\) là \[{R_n} = 3 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \sqrt 3 .{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\]. Do đó \({S_n} = \pi {\left( {\sqrt 3 .{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{n - 1}}} \right)^2} = 3\pi {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n - 1}}\).
Khi đó \(S = {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...\)\[ = 3\pi + 3\pi \cdot \frac{1}{4} + 3\pi \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} + ... + 3\pi \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n - 1}} + ...\] là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = 3\pi ;q = \frac{1}{4}\).
Vậy \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{3\pi }}{{1 - \frac{1}{4}}} = 4\pi \).
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
