Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 3
39 câu hỏi
Cung có số đo \(270^\circ \) thì có số đo theo đơn vị radian là
\(\frac{{25\pi }}{{12}}.\)
\(\frac{{3\pi }}{{12}}.\)
\(\frac{{3\pi }}{2}.\)
\(\frac{{35\pi }}{{18}}.\)
Đáp án đúng là: C
Có \(270^\circ = 270 \cdot \frac{\pi }{{180}} = \frac{{3\pi }}{2}\).
Cho \(\sin x = \frac{2}{3}\). Giá trị của biểu thức \(P = \sin 2x.\cos x\) bằng
\(\frac{{20}}{{27}}.\)
\(\frac{{\sqrt 5 }}{{27}}.\)
\( - \frac{{\sqrt 5 }}{{27}}.\)
\( - \frac{{20}}{{27}}.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \Rightarrow {\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x = 1 - {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{5}{9}.\)
\[ \Rightarrow P = \sin 2x.\cos x = 2\sin x\cos x.\cos x = 2\sin x.{\cos ^2}x = 2.\frac{2}{3}.\frac{5}{9} = \frac{{20}}{{27}}.\]
Hàm số nào sau đây là một hàm số chẵn?
\[y = \tan x\].
\[y = \sin x\].
\[y = \cos x\].
\[y = \cot x\].
Đáp án đúng là: C
Hàm số \[y = \cos x\] là hàm số chẵn.
Tập xác định của hàm số \[y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\] là
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{6} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{6} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{3} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].
Đáp án đúng là: A
Hàm số \[y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\] xác định khi:
\(\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{3} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + k\pi \).
Phương trình \(\tan x = \tan \alpha \) có công thức nghiệm là
\[\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k\pi \\x = \pi - \alpha + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = \pm \alpha + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
\[x = \alpha + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
Đáp án đúng là: D
Phương trình \(\tan x = \tan \alpha \) có công thức nghiệm là \[x = \alpha + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
Tập nghiệm của phương trình \(\sin 2x = \sin x\) là
\[S = \left\{ {k2\pi ;\frac{\pi }{3} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[S = \left\{ {k2\pi ;\frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[S = \left\{ {k2\pi ; - \frac{\pi }{3} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[S = \left\{ {k2\pi ;\pi + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\sin 2x = \sin x\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + k2\pi \\2x = \pi - x + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ {k2\pi ;\frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
Dãy số nào sau đây là dãy số tăng?
\[ - 1\], \[0\], \[3\], \[8\], \[16\].
\[1\], \[4\], \[16\], \[9\], \[25\].
\[0\], \[3\], \[8\], \[24\], \[15\].
\[0\], \[3\], \[12\], \[9\], \[6\].
Đáp án đúng là: A
Dãy số \[ - 1\], \[0\], \[3\], \[8\], \[16\] là dãy số tăng vì \[ - 1\] < \[0\] < \[3\] < \[8\] < \[16\].
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n} \cdot 2n\). Mệnh đề nào sau đây sai?
\[{u_3} = - 6\].
\[{u_2} = 4\].
\[{u_4} = - 8\].
\[{u_1} = - 2\].
Đáp án đúng là: C
Có \({u_1} = {\left( { - 1} \right)^1} \cdot 2 = - 2\);
\({u_2} = {\left( { - 1} \right)^2} \cdot 2 \cdot 2 = 4\);
\({u_3} = {\left( { - 1} \right)^3} \cdot 2 \cdot 3 = - 6\);
\({u_4} = {\left( { - 1} \right)^4} \cdot 2 \cdot 4 = 8\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = {3^n}\). Tìm số hạng \({u_{2n - 1}}\).
\[{u_{2n - 1}} = {3^{2\left( {n - 1} \right)}}\].
\[{u_{2n - 1}} = {3^{2n}} - 1\].
\[{u_{2n - 1}} = {3^n} \cdot {3^{n - 1}}\].
\[{u_{2n - 1}} = {3^2} \cdot {3^n} - 1\].
Đáp án đúng là: C
Có \({u_{2n - 1}} = {3^{2n - 1}} = {3^{n + n - 1}} = {3^n} \cdot {3^{n - 1}}\).
Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?
\(1; - 3; - 7; - 11; - 15;...\).
\(1; - 3; - 6; - 9; - 12;...\).
\(1; - 2; - 4; - 6; - 8;...\).
\(1; - 3; - 5; - 7; - 9;...\).
Đáp án đúng là: A
Ta lần lượt kiểm tra : \({u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = ...?\)
Xét đáp án: \(1; - 3; - 7; - 11; - 15;... \Rightarrow {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = - 4 = ... \Rightarrow \) chọn.
Xét đáp án: \(1; - 3; - 6; - 9; - 12;... \Rightarrow {u_2} - {u_1} = - 4 \ne - 3 = {u_3} - {u_2} \to \)loại.
Xét đáp án: \(1; - 2; - 4; - 6; - 8;... \Rightarrow {u_2} - {u_1} = - 3 \ne - 2 = {u_3} - {u_2} \to \)loại.
Xét đáp án: \(1; - 3; - 5; - 7; - 9;... \Rightarrow {u_2} - {u_1} = - 4 \ne - 2 = {u_3} - {u_2} \to \)loại.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 1\) và \({u_2} = 3\). Giá trị của \({u_3}\) bằng
\(6\).
\(9\).
\(4\).
\(5\).
Đáp án đúng là: D
Vì \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng nên \(d = {u_2} - {u_1} = 3 - 1 = 2\).
Do đó \({u_3} = {u_1} + 2d = 1 + 2 \cdot 2 = 5\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = - 5\) và \(d = 3\). Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng ?
\(36\).
\(15\).
\(20\).
\(35\).
Đáp án đúng là: A
Vì \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng có \({u_1} = - 5\) và \(d = 3\) nên \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = - 5 + \left( {n - 1} \right)3\).
Ta có \( - 5 + \left( {n - 1} \right)3 = 100\)\( \Leftrightarrow \left( {n - 1} \right)3 = 105\)\( \Leftrightarrow n - 1 = 35 \Leftrightarrow n = 36\).
Vậy số 100 là số hạng thứ 36 của cấp số cộng.
Ba số nào sau đây là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân?
\( - 16;64;256.\)
\( - 16;64; - 256.\)
\(16;64; - 256.\)
\(16; - 64; - 256.\)
Đáp án đúng là: B
Xét đáp án A : Có \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{64}}{{ - 16}} \ne \frac{{256}}{{64}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\) nên đáp án A loại.
Xét đáp án B : Có \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{64}}{{ - 16}} = \frac{{ - 256}}{{64}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\) nên đáp án B chọn.
Xét đáp án C : Có \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{64}}{{16}} \ne \frac{{ - 256}}{{64}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\) nên đáp án C loại.
Xét đáp án D : Có \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{ - 64}}{{16}} \ne \frac{{ - 256}}{{ - 64}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\) nên đáp án D loại.
Cho cấp số nhân có \({u_1} = 1,\,\,{u_2} = 3\). Công bội của cấp số nhân này là
\(q = 3.\)
\(q = - 3.\)
\(q = \frac{1}{3}.\)
\(q = 2.\)
Đáp án đúng là: A
Công bội của cấp số nhân là \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{3}{1} = 3.\)
Cho \(\lim {u_n} = - 3;\lim {v_n} = 2\). Khi đó \(\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right)\) bằng
\( - 5.\)
\( - 1.\)
\(5.\)
\(1.\)
Đáp án đúng là: A
Có \(\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = \lim {u_n} - \lim {v_n} = - 3 - 2 = - 5\).
Dãy nào sau đây có giới hạn bằng 0?
\({\left( {0,999} \right)^n}.\)
\({\left( { - 1} \right)^n}.\)
\({\left( { - 1,0001} \right)^n}.\)
\({\left( {1,2345} \right)^n}.\)
Đáp án đúng là: A
Có \(0,999 < 1\) nên \(\lim {\left( {0,999} \right)^n} = 0.\)
Tính \(\lim \left( {{3^n} - {4^n}} \right)\).
\( + \infty .\)
\( - \infty .\)
\(\frac{4}{3}.\)
\(1.\)
Đáp án đúng là: B
Có \(\lim \left( {{3^n} - {4^n}} \right) = \lim \left[ {{4^n}\left( {{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} - 1} \right)} \right]\)\( = \lim {4^n} \cdot \lim \left( {{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} - 1} \right) = - \infty \).
Vì \(\lim {4^n} = + \infty \) và \(\lim \left( {{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} - 1} \right) = - 1 < 0\).
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^2} - x + 7} \right)\).
\(5\).
\(9\).
\(0\).
\(7\).
Đáp án đúng là: B
Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^2} - x + 7} \right) = {\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right) + 7 = 9\).
Kết quả của giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x - 15}}{{x - 2}}\] là
\(0\).
\(1\).
\( + \infty \).
\( - \infty \).
Đáp án đúng là: D
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 15} \right) = 2 - 15 = - 13 < 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 2} \right) = 0\end{array} \right.\].
Vì \[x \to {2^ + }\] nên \[x > 2\]. Do đó \[x - 2 > 0\].
Vậy \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x - 15}}{{x - 2}} = - \infty \].
Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại \(x = 1\)?
.
.
.
.
Đáp án đúng là: D
Đáp án D sai vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y\) nên hàm số không liên tại \(x = 1\).
Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên \(\mathbb{R}\)?
\(f\left( x \right) = \tan x + 5\).
\(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3}}{{5 - x}}\).
\(f\left( x \right) = \sqrt {x - 6} \).
\(f\left( x \right) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}\).
Đáp án đúng là: D
Vì hàm \(f\left( x \right) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}\) là hàm phân thức hữu tỉ và có tập xác định \(D = \mathbb{R}\) nên hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.
Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng.
Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
Đáp án đúng là: A
Theo tính chất thừa nhận, ta có: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng, do đó khẳng định ở đáp án A là đúng.
Các đáp án còn lại là sai:
+) Đáp án B: Qua 3 điểm phân biệt thẳng hàng, có vô số mặt phẳng đi qua 3 điểm này.
+) Đáp án C: Qua 2 điểm phân biệt, có vô số mặt phẳng đi qua 2 điểm này.
+) Đáp án D: Tồn tại một 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
Hình nào sau đây là một hình chóp tứ giác?
Hình 1.
Hình 2.
Hình 3.
Hình 4.
Đáp án đúng là: B
Hình chóp tứ giác có đáy là hình tứ giác và có bốn mặt bên, do đó Hình 2 là một hình chóp tứ giác.
Trong không gian, cho hai đường thẳng song song \(a\) và \(b.\)
Mệnh đề nào sau đây đúng ?
Có đúng một mặt phẳng đi qua cả hai đường thẳng \(a\) và \(b.\)
Có đúng hai mặt phẳng đi qua cả hai đường thẳng \(a\) và \(b.\)
Có vô số mặt phẳng đi qua cả hai đường thẳng \(a\) và \(b.\)
Không tồn tại mặt phẳng đi qua cả hai đường thẳng \(a\) và \(b.\)
Đáp án đúng là: A
Hai đường thẳng \(a\) và \(b\) song song với nhau. Khi đó, có đúng một mặt phẳng đi qua cả hai đường thẳng \(a\) và \(b.\)
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,AD,CD,BC\). Mệnh đề nào sau đây sai?
\(MN{\rm{//}}BD\) và \(MN = \frac{1}{2}BD\).
\(MNPQ\) là hình bình hành.
\(MQ\) và \(NP\) chéo nhau.
\(BD{\rm{//}}PQ\) và \(PQ = \frac{1}{2}BD\).
Đáp án đúng là: C
Do \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AD\) nên \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABD\).
Suy ra \(MN{\rm{//}}BD\) và \(MN = \frac{1}{2}BD\). (1)
Vì \(P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(CD,CB\) nên \(PQ\) là đường trung bình của \(\Delta BCD\).
Suy ra \(PQ{\rm{//}}BD\) và \(PQ = \frac{1}{2}BD\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(MNPQ\) là hình bình hành.
Cho đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Đường thẳng \(d\) không có điểm chung với mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Đường thẳng \(d\) có đúng một điểm chung với mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Đường thẳng \(d\) có đúng hai điểm chung với mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Đường thẳng \(d\) có vô số điểm chung với mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Đáp án đúng là: A
Vì đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên đường thẳng \(d\) không có điểm chung với mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(M,N\) là trung điểm \(AB,CD\). Tìm mệnh đề đúng?
\(MN{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\).
\(MN{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\).
\(MN{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\).
\(MN{\rm{//}}\left( {ABCD} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Do \(ABCD\) là hình bình hành và \(M,N\) là trung điểm \(AB,CD\) nên \(MN{\rm{//}}BC\).
Mà \(BC \subset \left( {SBC} \right)\) nên \(MN{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang \(\left( {AB{\rm{//}}CD} \right)\) và \(AB = 2CD\). Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(SB\) và \(AB\). Mặt phẳng nào song song với mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\).
\(\left( {BCI} \right)\).
\(\left( {BIJ} \right)\).
\(\left( {CIJ} \right)\).
\(\left( {SJC} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Vì \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(SB\) và \(AB\) nên \[IJ\] là đường trung bình của \(\Delta SAB\).
Suy ra \[IJ{\rm{//}}SA\] mà \(SA \subset \left( {SAD} \right)\) nên \(IJ{\rm{//}}\left( {SAD} \right)\). (*)
Vì \(AB = 2CD\) mà \(J\) là trung điểm của \(AB\) nên \[AJ = CD\]. (1)
Lại có \(AB{\rm{//}}CD\) (do \(ABCD\) là hình thang) nên \(AJ{\rm{//}}CD\). (2)
Từ (1) và (2), suy ra \[AJCD\] là hình bình hành.
Suy ra \(CJ{\rm{//}}AD\) mà \(AD \subset \left( {SAD} \right)\) nên \(CJ{\rm{//}}\left( {SAD} \right)\). (**)
Từ (*) và (**), ta có \(\left( {CIJ} \right){\rm{//}}\left( {SAD} \right)\).
Đặc điểm nào sau đây là đúng với hình lăng trụ?
Hình lăng trụ có tất cả các mặt bên bằng nhau.
Đáy của hình lăng trụ là hình bình hành.
Hình lăng trụ có tất cả các mặt bên là hình bình hành.
Hình lăng trụ có tất cả các mặt là hình bình hành.
Đáp án đúng là: C
Hình lăng trụ có các mặt bên là hình bình hành.
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.
Một đường thẳng có thể trùng với hình chiếu của nó.
Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau.
Một tam giác bất kì đều có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác cân.
Đáp án đúng là: C
Đáp án A: Đúng vì khi đó hình chiếu của chúng cùng nằm trên một mặt phẳng.
Đáp án B: Đúng vì mặt phẳng chiếu chứa đường thẳng đã cho.
Đáp án C: Sai vì hình chiếu của chúng chỉ có thể song song hoặc cắt nhau.
Đáp án D: Đúng vì theo tính chất của phép chiếu song song.
Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau?
Hình thang.
Hình bình hành.
Hình chữ nhật.
Hình thoi.
Đáp án đúng là: A
Hình chữ nhật có các cặp cạnh đối song song nên hình chiếu của nó không thể là hình thang.
Tìm cân nặng trung bình của học sinh lớp 11B với mẫu số liệu cho trong bảng bên dưới đây.
\(56,71\).
\(52,81\).
\(53,15\).
\(51,81\).
Đáp án đúng là: D
Trong mỗi khoảng cân nặng, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:
Tổng số học sinh là \(n = 42\). Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11B là
\(\overline x = \frac{{10 \cdot 43 + 7 \cdot 48 + 16 \cdot 53 + 4 \cdot 58 + 2 \cdot 63 + 3 \cdot 68}}{{42}} \approx 51,81\,{\rm{(kg)}}\).
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ (đơn vị tính là năm) của một loại bóng đèn mới như sau:
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này là
\(5,01\).
\(5,59\).
\(5,1\).
\(0,5\).
Đáp án đúng là: B
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là nhóm \(\left[ {5;6,5} \right)\).
Do đó \({u_m} = 5;{n_{m - 1}} = 22;{n_m} = 35;{n_{m + 1}} = 15;{u_{m + 1}} - {u_m} = 6,5 - 5 = 1,5\).
Một của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({M_o} = 5 + \frac{{35 - 22}}{{\left( {35 - 22} \right) + \left( {35 - 15} \right)}}.1,5 \approx 5,59\).
Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gần nhất với giá trị nào trong các giá trị dưới đây?
\(10\).
\(11\).
\(12\).
\(13\).
Đáp án đúng là: B
Gọi \({x_1};{x_2};{x_3};...;{x_{20}}\) là doanh thu bán hàng trong 20 ngày xếp theo thứ tự không giảm.
Khi đó: \({x_1};{x_2} \in \left[ {5;7} \right)\);
\({x_3};...;{x_9} \in \left[ {7;9} \right)\);
\({x_{10}};...;{x_{16}} \in \left[ {9;11} \right)\);
\({x_{17}};...;{x_{19}} \in \left[ {11;13} \right)\);
\({x_{20}} \in \left[ {13;15} \right)\).
Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu thuộc nhóm \(\left[ {9;11} \right)\).
Khi đó \(n = 20;{n_m} = 7;C = 9;{u_m} = 9;{u_{m + 1}} = 11\).
Ta có \({Q_3} = 9 + \frac{{\frac{{3 \cdot 20}}{4} - 9}}{7} \cdot \left( {11 - 9} \right) \approx 10,71 \approx 11\).
Tổng lượng mưa trong tháng 8 đo được tại một trạm quan trắc đặt tại Vũng Tàu từ năm 2002 đến năm 2020 được ghi lại như dưới đây (đơn vị mm):
Hoàn thành bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau và tìm tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm đó
\(x = 10;y = 5;z = 3;t = 1;{Q_2} = 172,25\).
\(x = 9;y = 6;z = 3;t = 1;{Q_2} = 172,25\).
\(x = 10;y = 5;z = 2;t = 2;{Q_2} = 182,5\).
\(x = 10;y = 5;z = 2;t = 2;{Q_2} = 182,5\).
Đáp án đúng là: A
Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{19}}\) lần lượt là số năm theo thứ tự không giảm
Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là \({x_{10}}\) thuộc nhóm \(\left[ {120;175} \right)\) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là \({Q_2} = 120 + \frac{{\frac{{19}}{2} - 0}}{{10}} \cdot \left( {175 - 120} \right) = 172,25\).
Tìm giới hạn sau:\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3n - 1}}{{2n + 3}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3n - 1}}{{2n + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\left( {3 - \frac{1}{n}} \right)}}{{n\left( {2 + \frac{3}{n}} \right)}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3 - \frac{1}{n}}}{{2 + \frac{3}{n}}} = \frac{3}{2}\).
Cho chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình bình hành. Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC,CD,SD.\)
(a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).
Chứng minh rằng\(NP{\rm{//}}\left( {SBC} \right).\)
(b) Gọi \(Q\) là giao điểm của \(SA\)với \(\left( {MNP} \right).\) Tính tỉ số \(\frac{{SQ}}{{SA}}.\)
a) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\)
Xét hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\)có
+ \(S\) là điểm chung của hai mặt phẳng.
+ \(\left. \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \) \(O\)là điểm chung của hai mặt phẳng.
Vậy \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\).
Vì \(N,P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(CD,SD\) nên \(NP\)là đường trung bình của \(\Delta SCD\)
Suy ra \(NP{\rm{//}}SC\).
Do \(\left\{ \begin{array}{l}NP \not\subset \left( {SBC} \right)\\NP{\rm{//}}SC\\SC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow NP{\rm{//}}\left( {SBC} \right).\)
b) Gọi \(I = AC \cap MN.\)
+\[\left\{ \begin{array}{l}NP{\rm{//}}SC\\IQ = \left( {PMN} \right) \cap \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow IQ{\rm{//}}SC \Rightarrow \frac{{CI}}{{CA}} = \frac{{SQ}}{{SA}}\] .
Vì \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(CD\) nên \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta BCD\).
Suy ra \(MN{\rm{//}}BD\) mà \(N\) là trung điểm của \(CD\) nên \(I\) là trung điểm của \(CO\).
Mặt khác \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(CO = \frac{1}{2}CA\).
+ Ta có: \(CI = \frac{1}{2}CO = \frac{1}{4}CA \Rightarrow \frac{{SQ}}{{SA}} = \frac{{CI}}{{CA}} = \frac{1}{4}\).
Tìm ba số khác nhau tạo thành cấp số cộng có tổng bằng 6, biết rằng nếu hoán đổi vị trí số hạng thứ nhất và số hạng thứ hai đồng thời giữ nguyên số hạng thứ ba ta được cấp số nhân.
Gọi ba số cần tìm là \[{u_1},{\rm{ }}{u_2},{\rm{ }}{u_3}\] với \({u_1} \ne {u_2} \ne {u_3} \ne 0\).
Vì \[{u_1},{\rm{ }}{u_2},{\rm{ }}{u_3}\] tạo thành cấp số cộng với công sai \(d \ne 0\) nên \[{u_2} = {u_1} + d,{\rm{ }}{u_3} = {u_1} + 2d\].
Hơn nữa, \[{u_1} + {u_2} + {u_3} = 6 \Leftrightarrow {u_1} + \left( {{u_1} + d} \right) + \left( {{u_1} + 2d} \right) = 6 \Leftrightarrow {u_1} + d = 2\].
Lại có \[{u_2},{\rm{ }}{u_1},{\rm{ }}{u_3}\] tạo thành cấp số nhân hay \[{u_1} + d,{\rm{ }}{u_1},{\rm{ }}{u_1} + 2d\] tạo thành cấp số nhân, điều này xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{{{u_1}}}{{{u_1} + d}} = \frac{{{u_1} + 2d}}{{{u_1}}}\) \[ \Leftrightarrow \left( {{u_1} + d} \right)\left( {{u_1} + 2d} \right) = u_1^2\]
\[ \Leftrightarrow \left( {{u_1} + d} \right)\left( {{u_1} + d + d} \right) = u_1^2 \Leftrightarrow 2\left( {2 + 2 - {u_1}} \right) = u_1^2\]\[ \Leftrightarrow u_1^2 + 2{u_1} - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_1} = - 4\end{array} \right.\].
Với \({u_1} = 2\), suy ra \[d = 0\]: không thỏa mãn.
Với \({u_1} = - 4\), suy ra \(d = 6\). Vậy ba số cần tìm là \( - 4,{\rm{ }}2,{\rm{ }}8\).
Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố \(A\) ở vĩ độ \(40^\circ \) bắc trong ngày thứ \(t\) của một năm không nhuận được cho bởi hàm số \(d\left( t \right) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12\) với \(t \in \mathbb{Z}\) và \(0 < t \le 365\). Vào ngày nào trong năm thì thành phố \(A\) có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất?
Thành phố \(A\) có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất đồng nghĩa với \(d\left( t \right)\) nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi \(\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = - 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \)
\( \Leftrightarrow t - 80 = - 91 + k364\)
\( \Leftrightarrow t = - 11 + k364,k \in \mathbb{Z}\).
Mà \(0 < t \le 365\) nên \( \Leftrightarrow 0 < - 11 + k364 \le 365\)\( \Leftrightarrow \frac{{11}}{{364}} < k \le \frac{{94}}{{91}}\) mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k = 1\).
Với \(k = 1\) thì \(t = - 11 + 364 = 353\).
Vậy vào ngày thứ 353 của năm thì thành phố \(A\) có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất.
