Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 2
39 câu hỏi
Đổi góc \(\alpha \) có số đo \(\frac{{3\pi }}{5}\) sang độ ta được số đo bằng độ là
\(150^\circ .\)
\(135^\circ .\)
\(144^\circ .\)
\(108^\circ .\)
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[\frac{{3\pi }}{5} = \frac{{3\pi }}{5}.\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)\begin{array}{*{20}{c}}^\circ \\{}\end{array} = 108^\circ .\]
Đẳng thức nào dưới đây là đúng?
\(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \alpha + \frac{1}{2}.\)
\(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}\sin \alpha + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \alpha .\)
\(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}\sin \alpha - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \alpha .\)
\(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin \alpha + \frac{1}{2}\cos \alpha .\)
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{6} + \cos \alpha \sin \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin \alpha + \frac{1}{2}\cos \alpha .\)
Tập giá trị của hàm số \(y = 2\cos 2x + 1\) là
\(\left[ { - 3;1} \right].\)
\(\left[ {1;3} \right].\)
\(\left[ { - 3; - 1} \right].\)
\(\left[ { - 1;3} \right].\)
Đáp án đúng là: D
Ta có: \( - 1 \le \cos 2x \le 1 \Rightarrow - 2 \le 2\cos 2x \le 2 \Rightarrow - 1 \le \cos 2x + 1 \le 3.\)
\( \Rightarrow - 1 \le y \le 3.\)
Vậy tập giá trị của hàm số \(y = 2\cos 2x + 1\) là \(\left[ { - 1;3} \right].\)
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
\(y = \sqrt 3 \cos 3x.\)
\(y = \cos x.\)
\(y = \tan x.\)
\(y = {x^2}.\)
Đáp án đúng là: C
Xét hàm số \(y = \tan x.\)
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Do đó, nếu \(x \in D\) thì \( - x \in D.\)
Ta có:
\(f\left( { - x} \right) = \tan \left( { - x} \right) = - \tan x = - f\left( x \right),\forall x \in D.\)
Vậy \(y = \tan x\) là hàm số lẻ.
Nghiệm của phương trình \(\cot x = \sqrt 3 \) là
\(x = - \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = - \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\cot x = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
Nghiệm của phương trình \(\sin x = 0\) là
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
Đáp án đúng là: B
\(\sin x = 0\)\( \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {n^2} + 1.\) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số
Không đổi.
Giảm.
Không tăng không giảm.
Tăng.
Đáp án đúng là: D
Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {n^2} + 1\) ta có: \({u_{n + 1}} = {\left( {n + 1} \right)^2} + 1 = {n^2} + 2n + 2.\)
\( \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {{n^2} + 2n + 2} \right) - \left( {{n^2} + 1} \right)\)
\( = {n^2} + 2n + 2 - {n^2} - 1\)
\( = 2n + 1 > 0,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}.\)
\( \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n},\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}.\)
Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3\end{array} \right.\) với \(n \ge 0\). Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?
\( - 1;\,\,2;\,\,5\).
\( - 1;\,\,3;\,\,7\).
\(1;\,\,4;\,\,7\).
\(4;\,\,7;\,\,10\).
Đáp án đúng là: A
Có \({u_2} = {u_1} + 3 = - 1 + 3 = 2\); \({u_3} = {u_2} + 3 = 2 + 3 = 5\).
Vậy ba số hạng đầu tiên của dãy là \( - 1;\,\,2;\,\,5\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = \frac{{2n + 5}}{{5n - 4}}\). Số \(\frac{7}{{12}}\) là số hạng thứ mấy của dãy số?
\(9\).
\(6\).
\(10\).
\(8\).
Đáp án đúng là: D
Có \(\frac{{2n + 5}}{{5n - 4}} = \frac{7}{{12}}\)
\( \Leftrightarrow 12\left( {2n + 5} \right) = 7\left( {5n - 4} \right)\)
\( \Leftrightarrow 24n + 60 = 35n - 28\)
\( \Leftrightarrow 11n = 88\)
\( \Leftrightarrow n = 8\).
Vậy số \(\frac{7}{{12}}\) là số hạng thứ 8 của dãy số.
Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?
\(1;\,\, - 4;\,\, - 9;\,\, - 14;\,\, - 19.\)
\(1;\,\,4;\,\,6;\,\,7;\,\,10.\)
\(1;\,\,0;\,\,0;\,\,0;\,\,0.\)
\(3;\,\,9;\,\,27;\,\,81;\,\,243.\)
Đáp án đúng là: A
Xét dãy số \(1;\,\, - 4;\,\, - 9;\,\, - 14;\,\, - 19\) ta có:
\({u_2} - {u_1} = - 4 - 1 = - 5;\) \({u_3} - {u_2} = - 9 - \left( { - 4} \right) = - 5;\)
\({u_4} - {u_3} = - 14 - \left( { - 9} \right) = - 5;\) \({u_5} - {u_4} = - 19 - \left( { - 14} \right) = - 5.\)
\( \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = - 5,\,\,\forall n \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5} \right\}.\)
Vậy dãy số \(1;\,\, - 4;\,\, - 9;\,\, - 14;\,\, - 19\) là cấp số cộng.
Cho hình vẽ dưới đây. Các số hạng được viết trong các ô vuông từ trái sang phải tạo thành cấp số cộng. Giá trị của \(x\) trong hình vẽ đã cho là
\( - 4.\)
7.
4.
\( - 7.\)
Đáp án đúng là: D
Vì các số hạng được viết trong các ô vuông từ trái sang phải tạo thành cấp số cộng nên ta coi \({u_1} = 2\) là số hạng đầu của cấp số cộng với công sai \(d.\)
Khi đó \({u_4} = x\) và \({u_5} = - 10.\)
Ta có: \({u_5} = {u_1} + \left( {5 - 1} \right)d \Rightarrow - 10 = 2 + \left( {5 - 1} \right)d \Rightarrow d = - 3.\)
\( \Rightarrow {u_4} = {u_1} + \left( {4 - 1} \right)d = 2 + \left( {4 - 1} \right)\left( { - 3} \right) = - 7.\)
Suy ra \(x = - 7.\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_4} = - 12\) và \({u_{14}} = 18\). Tìm số hạng đầu tiên \({u_1}\) và công sai \(d\) của cấp số cộng đã cho.
\({u_1} = - 22;d = 3.\)
\({u_1} = - 21;d = 3.\)
\({u_1} = - 21;d = - 3.\)
\({u_1} = - 20;d = - 3.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = - 12\\{u_{14}} = 18\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = - 12\\{u_1} + 13d = 18\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 21\\d = 3\end{array} \right.\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{3}{2} \cdot {5^n}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có công bội \(q = 5\) và số hạng đầu \({u_1} = \frac{3}{2}\).
\(\left( {{u_n}} \right)\) không phải là cấp số nhân.
\(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có công bội \(q = \frac{5}{2}\) và số hạng đầu \({u_1} = 3\).
\(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có công bội \(q = 5\) và số hạng đầu \({u_1} = \frac{{15}}{2}\).
Đáp án đúng là: D
Có \({u_1} = \frac{3}{2} \cdot {5^1} = \frac{{15}}{2}\);
\({u_2} = \frac{3}{2} \cdot {5^2} = \frac{{15}}{2} \cdot 5 = {u_1} \cdot 5\);
\({u_3} = \frac{3}{2} \cdot {5^3} = \frac{{15}}{2} \cdot {5^2} = {u_1} \cdot {5^2}\);
\({u_4} = \frac{3}{2} \cdot {5^4} = \frac{{15}}{2} \cdot {5^3} = {u_1} \cdot {5^3}\).
Do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân có công bội \(q = 5\) và số hạng đầu \({u_1} = \frac{{15}}{2}\).
Số hạng thứ \(5\) của một cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng \(162\) và số hạng thứ \(2\) bằng \(6.\)Số hạng thứ \(10\) của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là
\({u_{10}} = 39\,\,366.\)
\({u_{10}} = 118\,\,098.\)
\({u_{10}} = 972.\)
\({u_{10}} = 324.\)
Đáp án đúng là: A
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {4 + {u_n}} \right) = 1.\) Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}\) bằng
\( - 3.\)
1.
\(4.\)
\( - 4.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {4 + {u_n}} \right) = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 4 + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 1\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 1 - \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 4 = 1 - 4 = - 3.\)
Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng 0.
\(\lim \frac{{1 - n}}{{2n + 1}}.\)
\(\lim {\left( {\frac{3}{2}} \right)^n}.\)
\(\lim {\left( {\frac{\pi }{4}} \right)^n}.\)
\(\lim {n^2}.\)
Đáp án đúng là: C
+) \(\lim \frac{{1 - n}}{{2n + 1}} = \lim \frac{{\frac{1}{n} - 1}}{{2 + \frac{1}{n}}} = - \frac{1}{2}\) (vì \(\lim \frac{1}{n} = 0\)).
+) \(\lim {\left( {\frac{3}{2}} \right)^n} = + \infty \) (vì \(\frac{3}{2} > 1\)).
+) \(\lim {\left( {\frac{\pi }{4}} \right)^n} = 0\) (vì \(0 < \frac{\pi }{4} < 1\)).
+) \(\lim {n^2} = + \infty \).
Chọn mệnh đề sai.
\(\lim \frac{3}{{n + 1}} = 0.\)
\(\lim {\left( { - 2} \right)^n} = + \infty .\)
\(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n + 3} - n} \right) = 1.\)
\(\lim \frac{1}{{{2^n}}} = 0.\)
Đáp án đúng là: B
+) Xét \(n = 2k\) thì \(\lim {\left( { - 2} \right)^{2k}} = \lim {4^k} = + \infty \).
+) Xét \(n = 2k + 1\) thì
\(\lim {\left( { - 2} \right)^{2k + 1}} = \lim \left[ {{{\left( { - 2} \right)}^{2k}} \cdot \left( { - 2} \right)} \right] = \lim {\left( { - 2} \right)^{2k}} \cdot \lim \left( { - 2} \right) = - 2 \cdot \lim {4^k} = - \infty \).
Do đó đáp án B sai.
Kết quả của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {x + 1} \right)\) là
0.
\( - \infty .\)
1.
\( + \infty .\)
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} 1 = - 1 + 1 = 0.\)
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x + 1}}{{{x^2}}}\).
0.
\( - \infty .\)
1.
\( + \infty .\)
Đáp án đúng là: D
Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x + 1} \right) = 0 + 1 = 1 > 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2} = 0\) mà \({x^2} > 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x + 1}}{{{x^2}}} = + \infty \).
Hàm số nào sau đây liên tục tại \(x = 2\)?
\(y = \frac{{2{x^2} + 6x + 1}}{{x + 2}}.\)
\(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}.\)
\(y = \frac{1}{{{x^2} - 4}}.\)
\(y = \frac{{\sqrt x }}{{x - 2}}.\)
Đáp án đúng là: A
Xét hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + 6x + 1}}{{x + 2}}.\)
Điều kiện: \(x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 2.\)
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + 6x + 1}}{{x + 2}}\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}.\)
Hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + 6x + 1}}{{x + 2}}\) là hàm phân thức nên nó liên tục trên tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\) chứa \(x = 2.\)
Như vậy, hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + 6x + 1}}{{x + 2}}\) cũng sẽ liên tục tại \(x = 2.\)
Hàm số nào sau đây liên tục trên \(\mathbb{R}\)?
\(y = \tan x.\)
\(y = \frac{1}{x}.\)
\(y = \sin x.\)
\(y = \cot x.\)
Đáp án đúng là: C
Hàm phân thức, lượng giác liên tục trên mỗi khoảng xác định.
Hàm \(y = \sin x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\) nên liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
Ba điểm phân biệt.
Hai đường thẳng cắt nhau.
Bốn điểm phân biệt.
Một điểm và một đường thẳng.
Đáp án đúng là: B
Yếu tố xác định một mặt phẳng duy nhất là hai đường thẳng cắt nhau.
Xét phương án A: Trường hợp ba điểm thẳng hàng không xác định được một mặt phẳng.
Xét phương án C: Trường hợp bốn điểm không đồng phẳng không xác định được một mặt phẳng.
Xét phương án D: Trường hợp điểm nằm trên đường thẳng không xác định được một mặt phẳng.
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD.\) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \[BD.\] Trong các mặt phẳng sau, điểm \(O\) không nằm trên mặt phẳng nào?
\(\left( {ABCD} \right).\)
\(\left( {SAD} \right).\)
\(\left( {SAC} \right).\)
\(\left( {SBD} \right).\)
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(O = AC \cap BD \Rightarrow O \in AC;\,\,O \in BD.\)
Mà \(AC\) nằm trên các mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right),\,\,\left( {SAC} \right);\) \(BD\) nằm trên \(\left( {SBD} \right).\)
Suy ra điểm \(O\) nằm trên các mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right),\,\,\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right).\)
Vậy điểm \(O\) không nằm trên mặt phẳng \(\left( {SAD} \right).\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Trong không gian, qua một điểm và một đường thẳng cho trước, có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy.
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song.
Đáp án đúng là: B
Theo tính chất hai đường thẳng song song ta có: Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Xét phương án A: Nếu điểm nằm trên đường thẳng thì không tồn tại đường thẳng qua điểm đó và song song với đường thẳng đã cho.
Xét phương án C và D: Vì nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song.
Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(I,\,\,J\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(ABC\) và \(ABD.\) Khẳng định nào sau đây đúng?
\(IJ\) cắt \(AB.\)
\(IJ\) song song \(AB.\)
\(IJ\) và \(CD\) là hai đường thẳng chéo nhau.
\(IJ\) song song \(CD.\)
Đáp án đúng là: D
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB.\)
Xét \(\Delta ABC\) có: \(CM\) là đường trung tuyến và \(I\) là trọng tâm của \(\Delta ABC.\)
\( \Rightarrow \frac{{CI}}{{CM}} = \frac{2}{3}.\)
Xét \(\Delta ABD\) có: \(DM\) là đường trung tuyến và \(J\) là trọng tâm của \(\Delta ABD.\)
\( \Rightarrow \frac{{DJ}}{{DM}} = \frac{2}{3}.\)
Như vậy \(\frac{{CI}}{{CM}} = \frac{{DJ}}{{DM}}\) nên theo định lí Thalès đảo trong \(\Delta MCD\) có \(IJ{\rm{//}}CD.\)
Cho hai đường thẳng song song \(a,\,\,b\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Nếu \(a{\rm{//}}\left( P \right)\) thì \(b{\rm{//}}\left( P \right).\)
Nếu \(a\) cắt \(\left( P \right)\) thì \(b\) cắt \(\left( P \right).\)
Nếu \(a\) nằm trên \(\left( P \right)\) thì \(b{\rm{//}}\left( P \right).\)
Nếu \(a\) nằm trên \(\left( P \right)\) thì \(b\) nằm trên \(\left( P \right).\)
Đáp án đúng là: B
Mệnh đề đúng là nếu \(a\) cắt \(\left( P \right)\) thì \(b\) cắt \(\left( P \right).\)
Xét phương án A sai vì: Nếu \(a{\rm{//}}\left( P \right)\) thì \(b{\rm{//}}\left( P \right)\) hoặc \(b \subset \left( P \right).\)
Xét phương án C và D sai vì: Nếu \(a\) nằm trên \(\left( P \right)\) thì \(b{\rm{//}}\left( P \right)\) hoặc \(b \subset \left( P \right).\)
Cho hình chóp tứ \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Khẳng định nào sau đây sai?
\(CD{\rm{//}}\left( {SAB} \right).\)
\(AB{\rm{//}}\left( {SCD} \right).\)
\[BC{\rm{//}}\left( {SAD} \right).\]
\(AC{\rm{//}}\left( {SBD} \right).\)
Đáp án đúng là: D
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên gọi \(O = AC \cap BD.\)
\( \Rightarrow O \in BD\) mà \(BD \subset \left( {SBD} \right).\)
\( \Rightarrow O = AC \cap \left( {SBD} \right).\)
Như vậy \(AC\) không song song với mặt phẳng \(\left( {SBD} \right).\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) theo thứ tự lần lượt là trung điểm của \(SA,\,\,SB,\,\,SD.\) Khẳng định nào sau đây sai?
\(\left( {MNP} \right){\rm{//}}\left( {ABCD} \right).\)
\(\left( {MNP} \right){\rm{//}}\left( {SCD} \right).\)
\(MN{\rm{//}}\left( {ABCD} \right).\)
\(MP{\rm{//}}\left( {ABCD} \right).\)
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(P\) là trung điểm của \(SD.\)
\( \Rightarrow P \in SD\) mà \(SD \subset \left( {SCD} \right).\)
\( \Rightarrow P \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SCD} \right).\)
Vậy hai mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) không song song với nhau.
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(I,J,K\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(ABC,ACC',AB'C'\). Mặt phẳng nào sau đây song song với \(\left( {IJK} \right)\)?
\(\left( {BC'A} \right).\)
\(\left( {AA'B} \right).\)
\(\left( {BB'C} \right).\)
\(\left( {CC'A} \right).\)
Đáp án đúng là: C
Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(BC,CC',B'C'\).
Vì \(I\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{2}{3}\).
Vì \(J\) là trọng tâm tam giác \(ACC'\) nên \(\frac{{AJ}}{{AN}} = \frac{2}{3}\).
Vì \(K\) là trọng tâm tam giác \(AB'C'\) nên \(\frac{{AK}}{{AP}} = \frac{2}{3}\).
Xét \(\Delta AMN\) có \(\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{AJ}}{{AN}} = \frac{2}{3}\) nên \(IJ{\rm{//}}MN\) mà \(MN \subset \left( {BCC'B'} \right)\) nên \(IJ{\rm{//}}\left( {BCC'B'} \right)\).
Xét \(\Delta APN\) có \(\frac{{AK}}{{AP}} = \frac{{AJ}}{{AN}} = \frac{2}{3}\) nên \(KJ{\rm{//}}PN\) mà \(PN \subset \left( {BCC'B'} \right)\) nên \(KJ{\rm{//}}\left( {BCC'B'} \right)\).
Vì \(IJ{\rm{//}}\left( {BCC'B'} \right)\) và \(KJ{\rm{//}}\left( {BCC'B'} \right)\) nên \(\left( {IJK} \right)\)\({\rm{//}}\left( {BCC'B'} \right)\) hay \(\left( {IJK} \right){\rm{//}}\left( {BB'C} \right).\)
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song.
Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không thay đổi thứ tự của ba điểm đó.
Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.
Đáp án đúng là: B
Phương án B mang nội dung sai vì phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Phép chiếu song song biến \(\Delta ABC\) thành \(\Delta A'B'C'\) theo thứ tự đó. Vậy phép chiếu song song nói trên, sẽ biến trung điểm \(M\) của cạnh \(BC\) thành
Trung điểm \(M'\) của cạnh \(B'C'.\)
Trung điểm \(M'\) của cạnh \(A'C'.\)
Trung điểm \(M'\) của cạnh \(A'B'.\)
Trung điểm \(M'\) của cạnh \(BC.\)
Đáp án đúng là: A
Do \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\) nên \(\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{1}{2}\)
Ta có \(M'\) là hình chiếu của \(M\) theo phép chiếu song song biến \(\Delta ABC\) thành \(\Delta A'B'C'.\)
Mà phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng nên ta có \(\frac{{B'M'}}{{B'C'}} = \frac{1}{2}\) hay \(M'\) là trung điểm của cạnh \(B'C'.\)
Bảng thống kê sau cho biết tốc độ (km/h) của một số xe máy khi đi qua vị trí có cảnh sát giao thông đang làm nhiệm vụ đo tốc độ trên đường trong khu dân cư, tốc độ tối đa theo quy định là 50 (km/h).
Có bao nhiêu xe vi phạm quy định về an toàn giao thông?
\(13.\)
\(5.\)
\(84.\)
\(14.\)
Đáp án đúng là: D
Vì tốc độ tối đa theo quy định là 50 (km/h) nên các nhóm tốc độ \(\left( {50;60} \right],\) \(\left( {60;70} \right],\) \(\left( {70;85} \right],\) \(\left( {85;100} \right]\) là các nhóm mang xe vi phạm quy định về an toàn giao thông.
Vậy số xe vi phạm quy định về an toàn giao thông là \(8 + 3 + 2 + 1 = 14.\)
Khảo sát chiều cao của \(40\) học sinh nam ở một trường THPT thu được bảng phân bố tần số ghép nhóm sau:
Giá trị đại diện \({c_3}\) của nhóm chiều cao thứ \(3\) là
\({c_3} = 168.\)
\({c_3} = 169.\)
\({c_3} = 7.\)
\({c_3} = 171.\)
Đáp án đúng là: B
Nhóm chiều cao thứ 3 là nhóm \[\left[ {167;171} \right).\]
Vậy giá trị đại diện \({c_3}\) của nhóm chiều cao thứ \(3\) là \({c_3} = \frac{{167 + 171}}{2} = 169.\)
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian truy cập Internet mỗi buổi tối của một số học sinh như sau:
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần nhất với giá trị nào dưới đây?
\(19,34.\)
\(19,37.\)
\(19,43.\)
\(24.\)
Đáp án đúng là: B
Tần số lớn nhất là \(24\) nên nhóm chứa mốt là nhóm \(\left[ {18,5;21,5} \right).\)
Ta có \({u_m} = 18,5;\,\,{m_m} = 24;\,\,{m_{m - 1}} = 15;\,\,{m_{m + 1}} = 2;\,\,{u_{m + 1}} - {u_m} = 21,5 - 18,5 = 3.\)
Do đó \({M_o} = 18,5 + \frac{{24 - 15}}{{\left( {24 - 15} \right) + \left( {24 - 2} \right)}}.3 = \frac{{1\,\,201}}{{62}} \approx 19,37.\)
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian truy cập Internet mỗi buổi tối của một số học sinh như sau:
Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
\(15,25.\)
\(20.\)
\(18,1.\)
\(19,34.\)
Đáp án đúng là: C
Cỡ mẫu \(n = 3 + 12 + 15 + 24 + 2 = 56.\)
Gọi \({x_1},...,{x_{56}}\) là thời gian truy cập Internet mỗi buổi tối của 56 học sinh và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.
Khi đó: \({x_1},...,{x_3}\) thuộc nhóm \[\left[ {9,5;12,5} \right);\]
\({x_4},...,{x_{15}}\) thuộc nhóm \(\left[ {12,5;15,5} \right);\)
\({x_{16}},...,{x_{30}}\) thuộc nhóm \(\left[ {15,5;18,5} \right);\)
\({x_{31}},...,{x_{54}}\) thuộc nhóm \(\left[ {18,5;21,5} \right);\)
\({x_{55}},\,\,{x_{56}}\) thuộc nhóm \(\left[ {21,5;24,5} \right).\)
Ta có tứ phân vị thứ hai \({Q_2}\) chính là trung vị \({M_e}\) và trung vị là \(\frac{{{x_{28}} + {x_{29}}}}{2}.\)
Vì \({x_{28}},\,\,{x_{29}}\) thuộc nhóm \(\left[ {15,5;18,5} \right)\) nên nhóm này chứa trung vị.
Do đó, \({u_m} = 15,5;\,\,n = 56;{n_m} = 15;\,\,C = 3 + 12 = 15;\,\,{u_{m + 1}} - {u_n} = 18,5 - 15,5 = 3,\) ta có:
\({M_e} = 15,5 + \frac{{\frac{{56}}{2} - 15}}{{15}}.3 = 18,1.\)
Vậy tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là \(18,1.\)
Tính giới hạn sau: \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 3n} - n} \right).\]
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 3n} - n} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {{n^2} + 3n} \right) - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 3n} + n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3n}}{{\sqrt {{n^2} + 3n} + n}}\]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3n}}{{n\sqrt {1 + \frac{3}{n}} + n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{3}{{\sqrt {1 + \frac{3}{n}} + 1}} = \frac{3}{2}.\]
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành tâm \(O.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(SB,\) \(N\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(BN = 2CN.\)
(a) Chứng minh rằng \(OM{\rm{//}}\left( {SCD} \right).\)
(b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {AMN} \right).\)
a) Vì \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\) nên \(O\) là trung điểm của \(AC,\,\,BD.\)
Xét \(\Delta SBD\) có: \(O,\,\,M\) lần lượt là trung điểm của \(BD,\,\,SB.\)
Suy ra \(OM\) là đường trung bình của \(\Delta SBD.\)
\( \Rightarrow OM{\rm{//}}SD.\)
Hơn nữa \(SD \subset \left( {SCD} \right);\,\,OM\,\, \not\subset \left( {SCD} \right).\)
\( \Rightarrow OM{\rm{//}}\left( {SCD} \right).\)
b) Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(K = AN \cap CD.\)
\[ \Rightarrow K \in AN;\,\,K \in CD.\]
Mà \(AN \subset \left( {AMN} \right)\) và \(CD \subset \left( {SCD} \right).\)
\( \Rightarrow K \in \left( {SCD} \right) \cap \left( {AMN} \right).\) (1)
Vì \(N\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(BN = 2CN\) nên \(MN\) không song song với \(SC.\)
Trong \(\left( {SBC} \right)\) gọi \[H = MN \cap SC.\]
\( \Rightarrow H \in MN;\,\,H \in SC.\)
Mà \(MN \subset \left( {AMN} \right)\) và \(SC \subset \left( {SCD} \right).\)
\( \Rightarrow H \in \left( {SCD} \right) \cap \left( {AMN} \right).\) (2)
Từ (1) và (2) ta có \(HK = \left( {SCD} \right) \cap \left( {AMN} \right).\)
Gia đình ông An cần khoan một cái giếng. Biết rằng giá của mét khoan đầu tiên là 200 000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, mỗi mét khoan sau sẽ tăng thêm \(6\% \) so với mét khoan trước đó. Hỏi nếu ông An khoan cái giếng sâu 35 m thì hết bao nhiêu tiền (làm tròn đến hàng nghìn).
Gọi \({u_n}\) là giá tiền của mét khoan thứ \(n\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}.\)
Mét khoan đầu tiên có giá tiền là \({u_1} = 200\,\,000\) (đồng).
Mét khoan thứ hai có giá tiền là
\({u_2} = 200\,\,000 + 200\,\,000.6\% = 200\,\,000\left( {1 + 6\% } \right) = 200\,\,000.1,06\) (đồng).
Mét khoan thứ ba có giá tiền là
\({u_3} = 200\,\,000.1,06 + 200\,\,000.1,06.6\% \)
\( = 200\,\,000.1,06\left( {1 + 6\% } \right) = 200\,\,000.1,{06^2}\) (đồng).
Khi đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 200\,\,000\) và công bội \(q = 1,06.\)
Ta có công thức số hạng tổng quát \({u_n} = 200\,\,00.1,{06^{n - 1}}\) (đồng).
Vậy nếu ông An khoan cái giếng sâu 35 m thì hết số tiền là:
\[{S_{35}} = \frac{{200\,\,000\left( {1 - 1,{{06}^{35}}} \right)}}{{1 - 1,06}} = 2\,2\;28\,6\;955,97 \approx 22\;287\;000\,\] (đồng).
Cho vận tốc \(v\;\left( {{\rm{cm/s}}} \right)\) của một con lắc đơn theo thời gian \(t\) (giây) được cho bởi công thức \(v = - 3\sin \left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right)\). Xác định các thời điểm \(t\) mà vận tốc con lắc bằng \(1,5\;\left( {{\rm{cm/s}}} \right)\).
Theo đề ta có \( - 3\sin \left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) = 1,5\)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{1}{2}\)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1,5t + \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\1,5t + \frac{\pi }{3} = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1,5t = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\1,5t = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{\pi }{3} + k\frac{{4\pi }}{3}\\t = \frac{{5\pi }}{9} + k\frac{{4\pi }}{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
Vậy vào các thời điểm \(t = - \frac{\pi }{3} + k\frac{{4\pi }}{3},k \ge 1,k \in \mathbb{Z}\) và \(t = \frac{{5\pi }}{9} + k\frac{{4\pi }}{3},k \ge 0,k \in \mathbb{Z}\) thì vận tốc con lắc bằng \(1,5\;\left( {{\rm{cm/s}}} \right)\).
\( \Leftrightarrow \sin \left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{1}{2}\)
