Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 10
38 câu hỏi
Cho \(\alpha \) là một góc bất kì. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\( - 1 \le \cos x \le 1\).
\[\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\left( {\alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi } \right).\]
\[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1.\]
\[\tan \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\left( {\alpha \ne k\pi } \right).\]
Đáp án đúng là: D
\[\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\left( {\alpha \ne k\pi } \right).\]
Tính giá trị biểu thức \(P = \sin 30^\circ \cos 90^\circ + \sin 90^\circ \cos 30^\circ \).
\(P = 1\).
\[P = 0.\]
\[P = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\]
\[P = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\]
Đáp án đúng là: C
\(P = \sin 30^\circ \cos 90^\circ + \sin 90^\circ \cos 30^\circ \)
\( = \sin \left( {30^\circ + 90^\circ } \right)\)
\( = \sin 120^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
Tìm tập xác định \(D\) của hàm số \(y = \frac{{20}}{{\sin x}}.\)
\(D = \mathbb{R}.\)
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.\]
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
Đáp án đúng là: C
Điều kiện \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Số nghiệm của phương trình \(\cos x = - \frac{1}{2}\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) là
1.
\(0\).
2.
4.
Đáp án đúng là: A
Có \(\cos x = - \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{{2\pi }}{3}\)\( \Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Mà \(0 \le x \le \pi \) nên \(0 \le \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \le \pi \)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \frac{1}{3} \le k \le \frac{1}{6}\\\frac{1}{3} \le k \le \frac{5}{6}\end{array} \right.\) mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k = 0\).
Với \(k = 0\) thì phương trình có nghiệm là \(x = \frac{{2\pi }}{3}\).
Vậy số nghiệm của phương trình \(\cos x = - \frac{1}{2}\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) là 1.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) các số tự nhiên lẻ: 1, 3, 5, 7, …. Số hạng thứ 5 của dãy số trên là
6.
9.
7.
8.
Đáp án đúng là: B
Đây là dãy số tự nhiên lẻ liên tiếp nên số hạng thứ 5 là 9.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = - 3\) và \(d = \frac{1}{2}.\) Khẳng định nào sau đây đúng?
\({u_n} = - 3 + \frac{1}{2}\left( {n + 1} \right).\)
\({u_n} = - 3 + \frac{1}{2}n - 1.\)
\({u_n} = - 3 + \frac{1}{2}\left( {n - 1} \right).\)
\({u_n} = - 3 + \frac{1}{4}\left( {n - 1} \right).\)
Đáp án đúng là: C
Có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)\( = - 3 + \left( {n - 1} \right) \cdot \frac{1}{2}\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = - 5\) và \(d = 3.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
\({u_{13}} = 34.\)
\({u_{13}} = 45.\)
\({u_{13}} = 31.\)
\({u_{13}} = 35.\)
Đáp án đúng là: C
Có \({u_{13}} = {u_1} + 12d = - 5 + 12 \cdot 3 = 31\).
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = - 2\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\). Số hạng thứ 10 của cấp số nhân là
\( - \frac{1}{{256}}\).
\(\frac{1}{{512}}\).
\(\frac{1}{{256}}\).
\( - \frac{1}{{512}}\).
Đáp án đúng là: A
Có \({u_{10}} = {u_1}{q^9} = \left( { - 2} \right) \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^9} = - \frac{1}{{256}}\).
Cho hai dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) thỏa mãn \(\lim {u_n} = 2\) và \(\lim {v_n} = 3.\) Giá trị của \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right)\) bằng
\(5\).
\(6\).
\( - 1\).
\(1\).
Đáp án đúng là: B
\(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right)\)\( = \lim {u_n} \cdot \lim {v_n} = 2 \cdot 3 = 6\).
\(\lim \left( { - {n^3} + n - 3} \right)\) bằng
\( + \infty \).
\( - \infty \).
\(1\).
\(2\).
Đáp án đúng là: B
\(\lim \left( { - {n^3} + n - 3} \right)\)\( = \lim {n^3}\left( { - 1 + \frac{1}{{{n^2}}} - \frac{3}{{{n^3}}}} \right) = - \infty \).
Cho hai hàm số \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 4\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) = 1.\) Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]\) bằng
\(5\).
\(6\).
\(1\).
\( - 1\).
Đáp án đúng là: A
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) = 4 + 1 = 5\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {2{x^2} + 1} \right)\) bằng
\(9\).
\(5\).
\( - 7\).
\( + \infty \).
Đáp án đúng là: A
Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {2{x^2} + 1} \right) = 2{\left( { - 2} \right)^2} + 1 = 9\).
Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {\kern 1pt} g\left( x \right) = - \infty \), tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {\kern 1pt} \frac{{ - 5}}{{g\left( x \right)}}\;.\)
\( - \infty \).
\( + \infty \).
\( - 5\).
\(0\).
Đáp án đúng là: D
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {\kern 1pt} g\left( x \right) = - \infty \) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {\kern 1pt} \frac{{ - 5}}{{g\left( x \right)}} = 0\;.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) bằng
\( + \infty \).
\( - 1\).
\(2\).
\( - \infty \).
Đáp án đúng là: D
Ta có\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2x + 1} \right) = 3\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x - 1} \right) = 0\) mà \(x \to {1^ - }\) nên \(x - 1 < 0\). Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = - \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {\kern 1pt} \sqrt {{x^2} - 9} \) bằng
\(0\).
\( + \infty \).
\( - \infty \).
\(3\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {\kern 1pt} \sqrt {{x^2} - 9} = \;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {\kern 1pt} \left| x \right|\sqrt {1 - \frac{9}{{{x^2}}}} = + \infty \)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {\kern 1pt} \left| x \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {\kern 1pt} \left( { - x} \right) = + \infty \;\;\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {\kern 1pt} \sqrt {1 - \frac{9}{{{x^2}}}} = 1 > 0\).
Hàm số nào sau đây gián đoạn tại \(x = 2\)?
\(y = \frac{{3x - 4}}{{x - 2}}\).
\(y = \sin x\).
\(y = {x^4} - 2{x^2} + 1.\)
\(y = \tan x.\)
Đáp án đúng là: A
Hàm số \(y = \frac{{3x - 4}}{{x - 2}}\) có tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\) nên hàm số gián đoạn tại \(x = 2\).
Hàm số nào sau đây liên tục trên \(\mathbb{R}?\)
\(y = {x^3} - 3x + 1\).
\(y = \sqrt {x - 4} \).
\(y = \tan x.\)
\(y = \sqrt x .\)
Đáp án đúng là: A
Hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) là hàm đa thức do đó hàm số đó liên tục trên \(\mathbb{R}.\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}}\;{\rm{khi}}\;x \ne 1\\a\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x = 1\end{array} \right.\). Tìm \(a\) để hàm số liên tục tại \({x_0} = 1\).
\(a = 0\).
\(a = - \frac{1}{2}\)
\(a = \frac{1}{2}.\)
\(a = 1.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt x + 1}} = \frac{1}{2}\).
\(f\left( 1 \right) = a\).
Để hàm số liên tục tại \({x_0} = 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow a = \frac{1}{2}\).
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng.
Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.
Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
Đáp án đúng là: C
+) A sai. Qua 2 điểm phân biệt, tạo được 1 đường thẳng, khi đó chưa đủ điều kiện để lập một mặt phẳng xác định. Có vô số mặt phẳng đi qua 2 điểm đã cho.
+) B sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì chỉ tạo được đường thẳng, khi đó có vô số mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt thẳng hàng.
+) D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm không thẳng hàng thì sẽ tạo không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.
Cho đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Nếu \(\left( \beta \right)\) chứa \(a\) và cắt \(\left( \alpha \right)\) theo giao tuyến \(b\) thì \(a\) và \(b\) là hai đường thẳng
cắt nhau.
trùng nhau.
chéo nhau.
song song với nhau.
Đáp án đúng là: D
Theo lý thuyết ta có: Cho đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Nếu mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) chứa \(a\) và cắt \(\left( \alpha \right)\) theo giao tuyến \(b\) thì \(a\) và \(b\) song song.
Cho hình hộp \(ABCD.EFGH\), khẳng định nào sau đây sai?
\(EF{\rm{//}}CD\).
\(CE{\rm{//}}AD\).
\(EH{\rm{//}}AD\).
\(GF{\rm{//}}BC\).
Đáp án đúng là: B
Vì \(ABCD.EFGH\) là hình hộp nên các mặt là các hình bình hành.
Do đó \(EH{\rm{//}}AD\); \(GF{\rm{//}}BC\); \(EF{\rm{//}}CD\) (vì cùng song song với \(GH\)).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang với đáy lớn \(AD,AD = 2BC\). Gọi \(G\) và \(G'\)lần lượt là trọng tâm tam giác \(SAB\) và \(SAD\). \(GG'\) song song với đường thẳng
\(AB\).
\(AC\).
\(BD\).
\(SC\).
Đáp án đúng là: C
Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AD\).
Vì \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AD\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\). Do đó \(MN{\rm{//}}BD\).
Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAB\) nên \(\frac{{SG}}{{SM}} = \frac{2}{3}\).
Vì \(G'\)là trọng tâm tam giác \(SAD\) nên \(\frac{{SG'}}{{SN}} = \frac{2}{3}\).
Do \(\frac{{SG}}{{SM}} = \frac{{SG'}}{{SN}} = \frac{2}{3}\) nên \(GG'{\rm{//}}MN\) mà \(MN{\rm{//}}BD\) nên \(GG'{\rm{//}}BD\).
Cho đường thẳng \(a\) song song mặt phẳng \(\left( P \right)\). Chọn khẳng định đúng?
Đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một điểm chung.
Đường thẳng \(a\) song song với một đường thẳng nằm trong \(\left( P \right)\).
Đường thẳng \(a\) không nằm trong \(\left( P \right)\) và song song với một đường thẳng nằm trong \(\left( P \right)\).
Đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có hai điểm chung.
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng \(a\) song song mặt phẳng \(\left( P \right)\) khi đường thẳng \(a\) không nằm trong \(\left( P \right)\) và song song với một đường thẳng nằm trong \(\left( P \right)\).
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(G,M\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)và \[ACD\]. Khi đó, đường thẳng \(MG\) song song với mặt phẳng nào dưới đây?
\(\left( {ABC} \right)\).
\(\left( {ACD} \right)\).
\(\left( {BCD} \right)\).
\(\left( {ABD} \right)\).\(\)
Đáp án đúng là: C
Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(BC,CD\).
Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\frac{{AG}}{{AI}} = \frac{2}{3}\).
Vì \(M\) là trọng tâm tam giác \[ACD\] nên \(\frac{{AM}}{{AJ}} = \frac{2}{3}\).
Do đó \(\frac{{AG}}{{AI}} = \frac{{AM}}{{AJ}} = \frac{2}{3}\) nên \(GM{\rm{//}}IJ\) mà \(IJ \subset \left( {BCD} \right)\) nên \(GM{\rm{//}}\left( {BCD} \right)\).
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \({G_1}\) và \({G_2}\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(BCD\) và \(ACD\). Khẳng định nào sau đây sai?
\({G_1}{G_2}{\rm{ // }}\left( {ABD} \right)\).
\({G_1}{G_2}\,{\rm{ // }}\left( {ABC} \right)\).
\(B{G_1}\), \(A{G_2}\) và \(CD\) đồng quy.
\({G_1}{G_2}\, = \frac{2}{3}AB\).
Đáp án đúng là: D
Gọi \(M\) là trung điểm \(CD\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{G_1} \in BM;\frac{{M{G_1}}}{{MB}} = \frac{1}{3}\\{G_2} \in AM;\frac{{M{G_2}}}{{MA}} = \frac{1}{3}\end{array} \right.\)
Xét tam giác \(ABM\), ta có \(\frac{1}{3} = \frac{{M{G_1}}}{{MB}} = \frac{{M{G_2}}}{{MA}} \Rightarrow {G_1}{G_2}{\rm{ // }}AB\)(định lí Thalès đảo)
\( \Rightarrow \frac{{{G_1}{G_2}}}{{AB}} = \frac{{M{G_1}}}{{MB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow {G_1}{G_2} = \frac{1}{3}AB\).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song.
Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau.
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có vô số mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
Đáp án đúng là: C
Theo lí thuyết, qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
Cho đường thẳng \(a \subset \left( \alpha \right)\) và đường thẳng \(b \subset \left( \beta \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( \beta \right) \Rightarrow a{\rm{//}}\left( \beta \right)\) và \(b//\left( \alpha \right).\)
\(a{\rm{//}}b \Rightarrow \left( \alpha \right){\rm{//}}\left( \beta \right).\)
a và b chéo nhau.
\(\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( \beta \right) \Rightarrow a{\rm{//}}b.\)
Đáp án đúng là: A
- Do \(\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( \beta \right)\) và \(a \subset \left( \alpha \right)\) nên \(a{\rm{//}}\left( \beta \right)\).
- Tương tự, do \(\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( \beta \right)\) và \(b \subset \left( \beta \right)\) nên \(b{\rm{//}}\left( \alpha \right).\)
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.
Hình lăng trụ có đáy là tam giác được gọi là lăng trụ tam giác.
Hình lăng trụ có đáy là tứ giác được gọi là lăng trụ hộp.
Hình lăng trụ có đáy là tứ giác được gọi là lăng trụ tứ giác.
Hình lăng trụ tứ giác có hai đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.
Đáp án đúng là: B
Hình lăng trụ có đáy là tứ giác được gọi là lăng trụ tứ giác nên đáp án B sai.
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(M,\,N,\,P\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \[AA',\,BB',\,CC'\]. Mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?
\(\left( {BMN} \right)\).
\(\left( {ABC} \right)\).
\(\left( {A'C'C} \right)\).
\(\left( {BCA'} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Vì \(M,\,N,\,P\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \[AA',\,BB',\,CC'\] nên \(MP{\rm{//}}AC,PN{\rm{//}}CB\).
Vì \(MP{\rm{//}}AC,AC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow MP{\rm{//}}\left( {ABC} \right)\).
Vì \(PN{\rm{//}}CB,CB \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow PN{\rm{//}}\left( {ABC} \right)\).
Do đó \(\left( {MNP} \right){\rm{//}}\left( {ABC} \right)\).
Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau?
Hình thang.
Hình bình hành.
Hình chữ nhật.
Hình thoi.
Đáp án đúng là: A
Hình chữ nhật có cặp cạnh đối song song nên hình chiếu của nó không thể là hình thang.
Mẫu số liệu sau cho biết cân nặng của học sinh lớp 12 trong một lớp
Số học sinh của lớp đó là bao nhiêu?
\(40\).
\(35\).
\(23\).
\(38\).
Đáp án đúng là: A
Số học sinh của lớp là: \(23 + 15 + 2 = 40\) (học sinh).
Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả cam ở lô hàng A được cho ở bảng sau:
Nhóm chứa mốt là nhóm nào?
\(\left[ {150;155} \right)\).
\(\left[ {155;160} \right)\).
\(\left[ {165;170} \right)\).
\(\left[ {170;175} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Nhóm chứa mốt là nhóm [165;170).
Cân nặng của học sinh lớp 11A được cho như bảng sau:
Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11A gần nhất với giá trị nào dưới đây?
\(51,81\).
\(52,17\).
\(51,2\).
\(52\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \({x_1} = \frac{{40,5 + 45,5}}{2} = 43\) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {40,5;45,5} \right)\).
\({x_2} = \frac{{45,5 + 50,5}}{2} = 48\) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {45,5;50,5} \right)\).
\({x_3} = \frac{{50,5 + 55,5}}{2} = 53\) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {50,5;55,5} \right)\).
\({x_4} = \frac{{55,5 + 60,5}}{2} = 58\) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {55,5;60,5} \right)\).
\({x_5} = \frac{{60,5 + 65,5}}{2} = 63\) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {60,5;65,5} \right)\).
\({x_6} = \frac{{65,5 + 70,5}}{2} = 68\) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {65,5;70,5} \right)\).
Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11A là
\(\frac{{43 \cdot 10 + 48 \cdot 7 + 53 \cdot 16 + 58 \cdot 4 + 63 \cdot 2 + 68 \cdot 3}}{{10 + 7 + 16 + 4 + 2 + 3}} \approx 51,81\).
Trong tuần lễ bảo vệ môi trường, các học sinh khối 11 tiến hành thu nhặt vỏ lon nước ngọt để tái chế. Nhà trường thống kê kết quả thu nhặt vỏ lon nước ngọt của học sinh khối 11 ở bảng sau:
Hãy tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
\(19,82\).
\(19,81\).
\(19,18\).
\(19,08\).
Đáp án đúng là: B
Số học sinh tham gia thu nhặt vỏ lon nước ngọt là \(n = 58 + 87 + 54 + 44 + 23 = 266\).
Gọi \({x_1};\,{x_2};\,...;\,{x_{266}}\) lần lượt là số vỏ chai \(266\) học sinh khối 11 thu nhặt được xếp theo thứ tự không giảm.
Do \({x_1};\,{x_2};\,...;\,{x_{58}} \in \left[ {10,5;\,15,5} \right)\); \({x_{59}};\,{x_{55}};\,...;\,{x_{145}} \in \left[ {15,5;\,20,5} \right)\) nên trung vị của mẫu số liệu \({x_1};\,{x_2};\,...;\,{x_{266}}\) là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{133}} + {x_{134}}} \right) \in \left[ {15,5;\,20,5} \right)\).
Ta xác định được \(n = 266,\,{n_m} = 87,\,C = 58,\,{u_m} = 15,5,\,{u_{m + 1}} = 20,5\).
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là
\({M_e} = 15,5 + \frac{{\frac{{266}}{2} - 58}}{{87}} \cdot \left( {20,5 - 15,5} \right) \approx 19,81\).
Lương tháng của một số giáo viên THPT được ghi lại như sau (đơn vị: triệu đồng):
Hãy tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
\(9\).
\(9,05\).
\(10,75\).
\(12,29\).
Đáp án đúng là: A
Tổng số giáo viên được thống kê là \(3 + 6 + 8 + 7 = 24\).
Giả sử \({x_1};...;{x_{24}}\) là tiền lương của 24 giáo viên được xếp theo thứ tự không giảm.
Do \({x_1};...;{x_3} \in \left[ {6;8} \right)\);
\({x_4};...;{x_9} \in \left[ {8;10} \right)\);
\({x_{10}};...;{x_{17}} \in \left[ {10;12} \right)\);
\({x_{18}};...;{x_{24}} \in \left[ {12;14} \right)\).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_6} + {x_7}} \right)\) mà \({x_6};{x_7}\) thuộc nhóm \(\left[ {8;10} \right)\).
Ta xác định được \(n = 24;{n_m} = 6;C = 3;{u_m} = 8;{u_{m + 1}} = 10\).
Ta có \({Q_1} = 8 + \frac{{\frac{{24}}{4} - 3}}{6}\left( {10 - 8} \right) = 9\).
Cho \(\cos \alpha = \frac{2}{3}\). Tính \(A = \frac{{\tan \alpha + 3\cot \alpha }}{{\tan \alpha + \cot \alpha }}\).
\(A = \frac{{\tan \alpha + 3\cot \alpha }}{{\tan \alpha + \cot \alpha }}\)
\( = \frac{{\tan \alpha + 3 \cdot \frac{1}{{\tan \alpha }}}}{{\tan \alpha + \frac{1}{{\tan \alpha }}}}\)
\( = \frac{{{{\tan }^2}\alpha + 3}}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}}\)
\( = \frac{{\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + 2}}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}\)
\( = 1 + 2{\cos ^2}x\).
Mà \(\cos \alpha = \frac{2}{3}\) nên \(A = 1 + 2 \cdot {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{{17}}{9}\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành.
(a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).
(b) Gọi \(M,N\) lần lượt là các điểm trên các cạnh \(SB\) và \(SC\) sao cho \(MS = 2MB,NS = NC\). Mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) cắt cạnh \(SD\) tại \(K\). Chứng minh \(MK{\rm{//}}\left( {ABCD} \right)\).
a) Ta có \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Trong \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}O \in \left( {SAC} \right)\\O \in \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right).\)
b) Trong \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(E\) là giao điểm của \(AN\) và \(SO\)
Trong \(\left( {SBD} \right)\), \(ME\)cắt \(SD\) tại \(K\) mà \(ME \in (A{\rm{MN}})\)
\( \Rightarrow K\) là giao điểm của \(\left( {AMN} \right)\) với \(SD\).
Xét tam giác \(SAC\) có \(SO\) và \(AN\) là các trung tuyến và \(SO \cap AN = E\)
Nên \(E\) là trọng tâm tam giác \(SAC\). Do đó \(SE = 2EO \Rightarrow \frac{{SE}}{{EO}} = 2\).
Mặt khác \(MS = 2MB \Rightarrow \frac{{MS}}{{MB}} = 2\).
Do \(\frac{{SE}}{{EO}} = \frac{{MS}}{{MB}} = 2\) \( \Rightarrow ME{\rm{//}}BO\) hay \(MK{\rm{//}}BD\) mà \(BD \subset \left( {ABCD} \right)\).
Suy ra \(MK{\rm{//}}\left( {ABCD} \right)\).
Tìm hiểu tiền công khoan giếng ở hai cơ sở khoan giếng, người ta được biết:
- Ở cơ sở A: Giá của mét khoan đầu tiên là 50 000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 10 000 đồng so với giá của mét khoan ngay trước.
- Ở cơ sở B: Giá của mét khoan đầu tiên là 50 000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 8% giá của mét khoan ngay trước.
Một người muốn chọn một trong hai cơ sở nói trên để thuê khoan một cái giếng sâu 20 mét, một cái giếng sâu 40 mét ở hai địa điểm khác nhau. Hỏi người ấy nên chọn cơ sở khoan giếng nào cho từng giếng để chi phí khoan hai giếng là ít nhất. Biết chất lượng và thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau.
Kí hiệu \({A_n},{B_n}\) lần lượt là số tiền công (đơn vị đồng) cần trả theo cách tính giá của cơ sở A và cơ sở B.
Theo giả thiết ta có:
+ \({A_n}\) là tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng với số hạng đầu \({u_1} = 50\;000\) và công sai \(d = 10\;000\).
+ \({B_n}\) là tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu \({v_1} = 50\;000\)và công bội \(q = 1,08\).
Do đó:
\[{A_{20}} = \frac{{20\left( {2{u_1} + 19d} \right)}}{2} = 10\left( {2.50\;000 + 19.10\;000} \right) = 2\;900\;000.\]
\[{B_{20}} = {v_1}\frac{{1 - {q^{20}}}}{{1 - q}} = 50\;000 \times \frac{{1 - {{\left( {1,08} \right)}^{20}}}}{{1 - 1,08}} \approx 2\;288\;000.\]
\[{A_{40}} = \frac{{40\left( {2{u_1} + 39d} \right)}}{2} = 20\left( {2.50\;000 + 39.10\;000} \right) = 9\;800\;000.\]
\[{B_{40}} = {v_1}\frac{{1 - {q^{40}}}}{{1 - q}} = 50\;000 \times \frac{{1 - {{\left( {1,08} \right)}^{40}}}}{{1 - 1,08}} \approx 12\;953\;000.\]
Suy ra, chọn cơ sở B khoan giếng 20 mét và cơ sở A để khoan giếng 40 mét.
