Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 5

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(1^\circ = \left( {\frac{\pi }{{180}}} \right)\,\,\,{\rm{rad}} \Rightarrow a^\circ = \left( {\frac{{a\pi }}{{180}}} \right)\,\,\,{\rm{rad}}.\)

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức hai góc phụ nhau: \(\tan \left( {90^\circ - x} \right) = \cot x.\)

\( \Rightarrow \tan x.\tan \left( {90^\circ - x} \right) = \tan x.\cot x = 1.\)

Ta có: \[P = \tan 10^\circ \tan 20^\circ ...\tan 80^\circ \]

\[ = \left( {\tan 10^\circ \tan 80^\circ } \right).\left( {\tan 20^\circ \tan 70^\circ } \right).\left( {\tan 30^\circ \tan 60^\circ } \right).\left( {\tan 40^\circ \tan 50^\circ } \right)\]

\[ = 1.1.1.1 = 1.\]

Đáp án đúng là: D

Ta có công thức nhân đôi: \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha \).

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(M = \sin 2\left( {\alpha + \pi } \right) = \sin \left( {2\alpha + 2\pi } \right) = \sin 2\alpha = 2\sin \alpha .\cos \alpha .\)

Từ hệ thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow \cos \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^2}} = \pm \frac{3}{5}.\)

Do \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \Rightarrow \cos \alpha < 0 \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{3}{5}.\)

Thay \(\sin \alpha = \frac{4}{5}\) và \(\cos \alpha = - \frac{3}{5}\) vào \(M,\) ta được \(M = 2.\frac{4}{5}.\left( { - \frac{3}{5}} \right) = - \frac{{24}}{{25}}.\)

Đáp án đúng là: D

Hàm số \(y = \tan \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\) xác định khi \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) \ne 0\)

\( \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{3} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{{5\pi }}{6} + k\pi .\)

Vậy tập xác định của hàm số \(y = \tan \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{5\pi }}{6} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\)

Đáp án đúng là: B

Hàm số \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi ,\) các hàm số \(y = \tan x,\,\,y = \cot x\) và \(y = \sin 2x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi .\)

Như vậy, mệnh đề hàm số \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi \) là mệnh đề sai.

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\cot x = \sqrt 3 \Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}.\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\sin x + \cos x = 2 \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x = \frac{2}{{\sqrt 2 }}\)

\( \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{4}\sin x + \sin \frac{\pi }{4}\cos x = \sqrt 2 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 .\)

Vì \( - 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\) và \(\sqrt 2 > 1\) nên phương trình \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \) vô nghiệm, tức là phương trình \(\sin x + \cos x = 2\) vô nghiệm.

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\sin 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = - 1 \Leftrightarrow 2x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}.\)

Mà \(x \in \left[ { - \frac{{3\pi }}{2};10\pi } \right] \Rightarrow - \frac{{3\pi }}{2} \le - \frac{\pi }{4} + k\pi \le 10\pi \Rightarrow - 1,25 \le k \le 10,25.\)

Do \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ { - 1;\,\,0;...;\,\,10} \right\}\) trong đó có 12 giá trị của \(k.\)

Vậy số nghiệm thực của phương trình \(\sin 2x + 1 = 0\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{{3\pi }}{2};10\pi } \right]\) là 12.

Đáp án đúng là: C

Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\) biết \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.2n\) ta có:

\({u_1} = {\left( { - 1} \right)^1}.2.1 = - 2;\,\,{u_2} = {\left( { - 1} \right)^2}.2.2 = 4;\)

\({u_3} = {\left( { - 1} \right)^3}.2.3 = - 6;\,\,{u_4} = {\left( { - 1} \right)^4}.2.4 = 8.\)

Vậy mệnh đề C là mệnh đề sai.

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\frac{{3n - 4}}{{2n + 5}} = \frac{{14}}{{17}} \Leftrightarrow 23n = 138 \Leftrightarrow n = 6.\)

Vậy \(\frac{{14}}{{17}}\) là số hạng thứ 6 của dãy số đã cho.

Đáp án đúng là: A

Ta lần lượt kiểm tra : \({u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = ...?\)

Xét đáp án: \(1;\,\, - 3;\,\, - 7;\,\, - 11;\,\, - 15;... \Rightarrow {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = - 4 = ... \to \) chọn.

Xét đáp án: \(1;\,\, - 3;\,\, - 6;\,\, - 9;\,\, - 12;... \Rightarrow {u_2} - {u_1} = - 4 \ne - 3 = {u_3} - {u_2} \to \)loại.

Xét đáp án: \(1;\,\, - 2;\,\, - 4;\,\, - 6;\,\, - 8;... \Rightarrow {u_2} - {u_1} = - 3 \ne - 2 = {u_3} - {u_2} \to \)loại.

Xét đáp án: \[1;\,\, - 3;\,\, - 5;\,\, - 7;\,\, - 9;... \Rightarrow {u_2} - {u_1} = - 4 \ne - 2 = {u_3} - {u_2} \to \]loại.

Kết luận: Vậy dãy số \(1;\,\, - 3;\,\, - 7;\,\, - 11;\,\, - 15;...\) là cấp số cộng với công sai \(d = - 4.\)

Đáp án đúng là: D

Xét dãy số \(1;\,\,5;\,\,9;...;\,\,397.\)

Ta thấy dãy số \(1;\,\,5;\,\,9;...;\,\,397\) là một cấp số cộng với công sai \(d = 4\) và số hạng đầu \({u_1} = 1\) nên có số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + \left( {n - 1} \right)4 = 4n - 3.\)

Ta có: \(4n - 3 = 397 \Leftrightarrow n = 100.\)

Như vậy \(S = 1 + 5 + 9 + ... + 397\) là tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng có \({u_1} = 1\) và công sai \(d = 4.\)

\({S_{100}} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {100 - 1} \right)d} \right].100}}{2} = \frac{{\left[ {2.1 + \left( {100 - 1} \right).4} \right].100}}{2} = 19\,\,900.\)

Vậy \(S = 1 + 5 + 9 + ... + 397 = 19\,\,900.\)

Đáp án đúng là: A

Công bội của cấp số nhân là \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{3}{1} = 3.\)

Đáp án đúng là: B

Gọi \(A,\,\,B,\,\,C\) lần lượt là số đo ba góc của tam giác \(ABC\).

Theo giả thiết ta có \(A,\,\,B,\,\,C\) lập thành cấp số nhân với \(q = 2\) nên \(B = 2A\) và \(C = 2B = 2.2A = 4A.\)

Mà \(A + B + C = \pi \) (tổng ba góc trong một tam giác).

\( \Rightarrow A + 2A + 4A = \pi \Leftrightarrow A = \frac{\pi }{7}.\)

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{v_n} - 2{u_n}} \right) = 2 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} - 2\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 2\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 2 + 2\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 2 + 2.1 = 4.\)

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{2 + \frac{1}{{{n^2}}}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}} = \frac{1}{2}.\)

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {2{x^2} + 3x - 5} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 2{x^2} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 3x - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 5 = {2.0^2} + 3.0 - 5 = - 5.\)

Đáp án đúng là: B

Quan sát đồ thị của hàm số ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = 1;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = 3.\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = 1 + 3 = 4.\)

Đáp án đúng là: A

Xét hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} .\)

Điều kiện: \({x^2} + 1 \ne 0 \Leftrightarrow {x^2} \ne - 1\) (luôn đúng do \({x^2} \ge 0\)).

Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} \) là \(D = \mathbb{R}.\)

Hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} \) là hàm căn thức nên nó liên tục trên tập xác định \(D = \mathbb{R}.\)

Đáp án đúng là: D

Xét hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{\sqrt x }}\], điều kiện: \(x > 0.\)

Tập xác định của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{\sqrt x }}\] là \(D = \left( {0; + \infty } \right).\)

Từ đó suy ra hàm số đã cho liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 2} \right) = 4\);

Và \(f\left( 2 \right) = {m^2} + 3m\)

Hàm số đã cho liên tục tại \(x = 2\) khi và chỉ khi

\(f\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) \Leftrightarrow {m^2} + 3m = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 4\end{array} \right.\).

Vậy \(m \in \left\{ { - 4;\,\,1} \right\}\).

Đáp án đúng là: B

Hình chóp tứ giác có đáy là hình tứ giác và có bốn mặt bên, do đó Hình 2 là một hình chóp tứ giác.

Đáp án đúng là: A

Vì \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AC,\,\,CD\) nên \(AN,\,\,DM\) là hai trung tuyến của tam giác \(ACD.\)

Gọi \(G = AN \cap DM \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}G \in AN \subset \left( {ABN} \right)\\G \in DM \subset \left( {MBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow G \in \left( {MBD} \right) \cap \left( {ABN} \right).\)

Mà \(B \in \left( {MBD} \right) \cap \left( {ABN} \right).\)

\( \Rightarrow BG = \left( {MBD} \right) \cap \left( {ABN} \right)\) với \(G\) là trọng tâm tam giác\[ACD.\]

Đáp án đúng là: A

Theo lý thuyết ta có: Hai đường thẳng song song \(a\) và \(b.\) Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó.

Đáp án đúng là: C

Vì \(I,\,\,J\) lần lượt là trung điểm \(SA,\,\,SB\) nên \[IJ\] là đường trung bình của tam giác \(SAB,\) do đó \(IJ\,{\rm{//}}\,AB\).

Tương tự, \(EF\) cũng là đường trung bình của tam giác \(SCD\) nên \[EF\,{\rm{//}}\,CD.\]

Mà \[CD\,{\rm{// }}AB\] (đáy \(ABCD\) là hình bình hành).

Do đó, bốn đường thẳng \(AB,\,\,CD,\,\,EF,\,\,IJ\) đôi một song song với nhau.

Vậy đường thẳng \[IJ\] không song song với đường thẳng \[AD.\]

Đáp án đúng là: D

Vì \(a{\rm{//}}\left( \alpha \right)\) nên tồn tại đường thẳng \(c \subset \left( \alpha \right)\) thỏa mãn \(a{\rm{//}}c.\) Suy ra \(b,\,\,c\) đồng phẳng (cùng nằm trên \(\left( \alpha \right)\)) và xảy ra các trường hợp sau:

Nếu \(b\) song song hoặc trùng với \(c\) thì \(a{\rm{//}}b.\)

Nếu \(b\) cắt \(c\) thì \(b\) cắt mặt phẳng \(\left( \beta \right) = \left( {a,c} \right)\) (do \(a{\rm{//}}c\) nên hai đường thẳng \(a,\,\,c\) xác định lên một mặt phẳng). Suy ra \(a,\,\,b\) không đồng phẳng. Do đó \(a,\,\,b\) chéo nhau.

Đáp án đúng là: D

Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABD \Rightarrow \frac{{AG}}{{AM}} = \frac{2}{3}.\)

Do \(AQ = 2QB \Rightarrow \frac{{AQ}}{{AB}} = \frac{2}{3}.\)

Từ các kết quả trên ta có: \(\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{{AQ}}{{AB}} = \frac{2}{3}.\)

Nên theo định lí Thalés đảo trong tam giác \(ABM\) ta có: \(GQ{\rm{//}}BM.\)

Mặt khác \(BM \subset \left( {BCD} \right);\,\,GQ \not\subset \left( {BCD} \right).\)

\( \Rightarrow GQ{\rm{//}}\left( {BCD} \right).\)

Đáp án đúng là: A

Trong \(\left( {SBC} \right)\) gọi \(N = CG \cap SB \Rightarrow N\) là trung điểm của \(SB\) do \(G\) là trọng tâm \(\Delta SBC.\)

Xét \(\Delta SAB\) có: \(I,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\,\,SB.\)

Suy ra \(IN\) là đường trung bình của \(\Delta SAB.\)

\( \Rightarrow IN{\rm{//AB//CD}}\) và \(IN = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}.2CD = CD.\)

Do đó, \(INCD\) là hình bình hành nên \(DI{\rm{//}}CN.\)

Mặt khác \(CN \subset \left( {SBC} \right);\,\,DI \not\subset \left( {SBC} \right).\)

\( \Rightarrow DI{\rm{//}}\left( {SBC} \right).\)

Vậy phương án \[DI\] cắt \(\left( {SBC} \right)\) là một khẳng định sai.

Đáp án đúng là: A

Theo hệ quả về hai mặt phẳng song song ta có: Nếu đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì có duy nhất một mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) chứa \(a\) và song song với \(\left( \alpha \right).\)

Đáp án đúng là: B

Do \(ABEF\) là hình bình hành nên \(AF{\rm{//}}BE.\)

Mà \(BE \subset \left( {BCE} \right);\,\,AF \not\subset \left( {BCE} \right) \Rightarrow AF{\rm{//}}\left( {BCE} \right).\)

Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AD{\rm{//}}BC.\)

Mà \(BC \subset \left( {BCE} \right);\,\,AD \not\subset \left( {BCE} \right) \Rightarrow AD{\rm{//}}\left( {BCE} \right).\)

Ta có: \(AF{\rm{//}}\left( {BCE} \right);\,\,AD{\rm{//}}\left( {BCE} \right)\) và \(AF \cap AD = A\) trong \(\left( {ADF} \right).\)

Suy ra \[\left( {ADF} \right){\rm{//}}\left( {BCE} \right).\]

Đáp án đúng là: B

Hình lăng trụ tam giác có tất cả 9 cạnh (6 cạnh ở hai mặt đáy và 3 cạnh bên).

Đáp án đúng là: D

Các phương án A, B, C đúng vì là các tính chất thừa nhận của hình hộp.

Phương án D sai là vì:

Xét hình hộp \(ABCD.AB'C'D'\) có 4 đường chéo là \(AC',\,\,A'C,\,\,B'D,\,\,BD'.\)

Vì \(ABCD.AB'C'D'\) là hình hộp nên \(AA'{\rm{//}}CC';\,\,AA' = CC'.\)

\( \Rightarrow ACC'A'\) là hình bình hành.

Do đó không thể kết luận hai đường chéo \(AC'\) và \(A'C\) bằng nhau.

Vậy hình hộp có 4 đường chéo bằng nhau là sai vì chỉ khi là hình hộp chữ nhật hoặc hình lập phương thì 4 đường chéo của chúng mới bằng nhau.

Đáp án đúng là: B

Phương án B mang nội dung sai vì phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Đáp án đúng là: C

Vì \(ABC.A'B'C'\) hình lăng trụ nên \(AB = A'B'\) và \(AB{\rm{//}}A'B'.\)

Mà \(I,\,\,I'\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,A'B'.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AI{\rm{//}}B'I'\\AI = B'I'\end{array} \right.\) nên \(AIB'I'\) là hình bình hành.

\( \Rightarrow AI'{\rm{//}}IB'\) và \(AI' = IB'.\)

Do đó, qua phép chiếu song song phương \(AI',\) mặt phẳng chiếu \(\left( {A'B'C'} \right)\) biến điểm \(I\) thành điểm \(B'.\)

a) \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt n \left( {n + 1 - n} \right)}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt n \left( {\sqrt {1 + \frac{1}{n}} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} + 1}} = \frac{1}{2}\].

b) Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {5 - x} \right) = 5 - 2 = 3 > 0;\] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = + \infty \]

Do đó, \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{5 - x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\left( {5 - x} \right).\frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {5 - x} \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = + \infty .\]

a) \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\] 

a) Vì \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\) nên \(O\) là trung điểm của \(AC,\,\,BD.\)

Xét \(\Delta SBD\) có: \(O,\,\,M\) lần lượt là trung điểm của \(BD,\,\,SB.\)

Suy ra \(OM\) là đường trung bình của \(\Delta SBD.\)

\( \Rightarrow OM//SD.\)

Hơn nữa \(SD \subset \left( {SCD} \right);\,\,OM\,\, \not\subset \left( {SCD} \right).\)

\( \Rightarrow OM{\rm{//}}\left( {SCD} \right).\)

b) Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(K = AN \cap CD.\)

\[ \Rightarrow K \in AN;\,\,K \in CD.\]

Mà \(AN \subset \left( {AMN} \right)\) và \(CD \subset \left( {SCD} \right).\)

\( \Rightarrow K \in \left( {SCD} \right) \cap \left( {AMN} \right).\) (1)

Vì \(N\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(BN = 2CN\) nên \(MN\) không song song với \(SC.\) Trong \(\left( {SBC} \right)\) gọi \[H = MN \cap SC.\]

\( \Rightarrow H \in MN;\,\,H \in SC.\)

Mà \(MN \subset \left( {AMN} \right)\) và \(SC \subset \left( {SCD} \right).\)

\( \Rightarrow H \in \left( {SCD} \right) \cap \left( {AMN} \right).\) (2)

Từ (1) và (2) ta có \(HK = \left( {SCD} \right) \cap \left( {AMN} \right).\)

Gọi ba số cần tìm là \[{u_1},{\rm{ }}{u_2},{\rm{ }}{u_3}\] với \({u_1} \ne {u_2} \ne {u_3} \ne 0\).

Vì \[{u_1},{\rm{ }}{u_2},{\rm{ }}{u_3}\] tạo thành cấp số cộng với công sai \(d \ne 0\) nên \[{u_2} = {u_1} + d,{\rm{ }}{u_3} = {u_1} + 2d\].

Hơn nữa, \[{u_1} + {u_2} + {u_3} = 6 \Leftrightarrow {u_1} + \left( {{u_1} + d} \right) + \left( {{u_1} + 2d} \right) = 6 \Leftrightarrow {u_1} + d = 2\].

Lại có \[{u_2},{\rm{ }}{u_1},{\rm{ }}{u_3}\] tạo thành cấp số nhân hay \[{u_1} + d,{\rm{ }}{u_1},{\rm{ }}{u_1} + 2d\] tạo thành cấp số nhân, điều này xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{{{u_1}}}{{{u_1} + d}} = \frac{{{u_1} + 2d}}{{{u_1}}}\) \[ \Leftrightarrow \left( {{u_1} + d} \right)\left( {{u_1} + 2d} \right) = u_1^2\]

\[ \Leftrightarrow \left( {{u_1} + d} \right)\left( {{u_1} + d + d} \right) = u_1^2 \Leftrightarrow 2\left( {2 + 2 - {u_1}} \right) = u_1^2\]\[ \Leftrightarrow u_1^2 + 2{u_1} - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_1} = - 4\end{array} \right.\].

Với \({u_1} = 2\), suy ra \[d = 0\]: không thỏa mãn.

Với \({u_1} = - 4\), suy ra \(d = 6\).

Vậy ba số cần tìm là \( - 4,{\rm{ }}2,{\rm{ }}8\).