Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 2
38 câu hỏi
Trên đường tròn lượng giác, gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm biểu diễn cho góc lượng giác có số đo \(\alpha \). Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
\(\sin \alpha = {y_0}.\)
\(\sin \alpha = {x_0}.\)
\(\sin \alpha = - {x_0}.\)
\(\sin \alpha = - {y_0}.\)
Chọn A
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
\[\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha \].
\[sin\left( {\pi + \alpha } \right) = {\rm{sin}}\alpha \].
\[\cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = \sin \alpha \].
\[tan\left( {\pi + 2\alpha } \right) = \cot \left( {2\alpha } \right)\].
Chọn A
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
\(\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha \).
\(\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\).
\(\sin 4\alpha = 4\sin \alpha \cdot \cos \alpha \).
\(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha \).
Chọn C
Cho \(\sin x = \frac{2}{3}\). Giá trị của biểu thức \(P = \sin 2x.\cos x\) bằng
\(\frac{{20}}{{27}}.\)
\(\frac{{\sqrt 5 }}{{27}}.\)
\( - \frac{{\sqrt 5 }}{{27}}.\)
\( - \frac{{20}}{{27}}.\)
Chọn A
Tập xác định của hàm số \[y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\] là
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{6} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{6} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{3} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].
Chọn A
Hàm số nào sau đây là một hàm số chẵn?
\[y = \tan x\].
\[y = \sin x\].
\[y = \cos x\].
\[y = \cot x\].
Chọn C
Công thức nghiệm của phương trình \(\cos x = \cos \alpha \)là
\[\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\].
\[x = \pm \alpha + k2\pi ,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
\[\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k\pi \\x = \pi - \alpha + k\pi \end{array} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = \alpha + k\pi ,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
Chọn B
Nghiệm của phương trình \(\tan x = \sqrt 3 \) là
\[x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\]
\[x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\]
\[x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\]
\[x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\]
Chọn A
Với những giá trị nào của \(m\) thì phương trình \({\cos ^2}x - m = 2\) có nghiệm?
\(m \in \left[ { - 2;1} \right].\)
\(m \in \left[ { - 1;1} \right].\)
\(m \in \left[ {0;1} \right].\)
\(m \in \left[ { - 2; - 1} \right].\)
Chọn D
Dãy số nào sau đây là dãy số tăng?
\( - 1;\,\,0;\,\,3;\,\,8;\,\,16.\)
\(1;\,\,4;\,\,16;\,\,9;\,\,25.\)
\(0;\,\,3;\,\,8;\,\,24;\,\,15.\)
\(0;\,\,3;\,\,12;\,\,9;\,\,6.\)
Chọn A
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + n\end{array} \right.\) với \(n \ge 1\). Số hạng thứ 3 của dãy số đó là:
4.
6.
3.
5.
Chọn A
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 5\) và \({u_2} = 1.\) Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
4.
\( - 4\).
6.
Không xác định.
Chọn B
Cho tam giác \(ABC\) có số đo của ba góc lập thành cấp số cộng và số đo góc nhỏ nhất bằng \(30^\circ .\) Góc có số đo lớn nhất trong ba góc của tam giác này là
\(120^\circ .\)
\(90^\circ .\)
\(60^\circ .\)
\(100^\circ .\)
Chọn B
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là \(2;\,\,4;\,\,8;\,\,16;...\) Số hạng tổng quát \({u_n}\) của cấp số nhân đó là
\({u_n} = {2^{n - 1}}.\)
\({u_n} = {2^{n + 1}}.\)
\({u_n} = {2^n}.\)
\({u_n} = 2n.\)
Chọn C
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = - 2\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\). Số hạng thứ \(10\) của cấp số nhân là
\( - \frac{1}{{256}}\).
\(\frac{1}{{512}}\).
\(\frac{1}{{256}}\).
\( - \frac{1}{{512}}\).
Chọn A
Cho hai dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \frac{1}{2}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = - 2.\) Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}.{v_n}} \right)\) bằng
\( - 1.\)
1.
\( - \frac{1}{4}.\)
\(\frac{1}{4}.\)
Chọn A
Biết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( {1 - 2n} \right)}^3}}}{{a{n^3} + 2}} = 4\) với \(a\) là tham số. Khi đó \(a - {a^2}\) bằng
\( - 4\).
\( - 6\).
\( - 2\).
\(0\).
Chọn B
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 14\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right) = 7.\) Giá trị \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{g\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}\] bằng
\(\frac{1}{2}.\)
2.
7.
0.
Chọn A
Kết quả của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {x + 1} \right)\) là
0.
\( - \infty .\)
1.
\( + \infty .\)
Chọn A
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình dưới đây:
Hàm số gián đoạn tại điểm
\(x = 1.\)
\(x = 3.\)
\(x = 0.\)
\(x = 2.\)
Chọn A
Cho các hàm số \(y = \cos x\,\,\,\left( I \right)\), \(y = \sin \sqrt x \,\,\left( {II} \right)\) và \(y = \tan x\,\,\,\left( {III} \right)\). Hàm số nào liên tục trên \(\mathbb{R}\)?
\(\left( I \right),\,\left( {II} \right)\).
\(\left( I \right)\).
\(\left( I \right),\,\left( {II} \right),\,\left( {III} \right)\).
\(\left( {III} \right)\).
Chọn B
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I. \[f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\] và \[f\left( a \right) \cdot f\left( b \right) < 0\] thì phương trình \[f\left( x \right) = 0\] có nghiệm.
II. \[f\left( x \right)\] không liên tục trên \[\left[ {a;b} \right]\] và \[f\left( a \right) \cdot f\left( b \right) \ge 0\] thì phương trình \[f\left( x \right) = 0\] vô nghiệm.
Chỉ I đúng.
Chỉ II đúng.
Cả I và II đúng.
Cả I và II sai.
Chọn A
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD.\) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \[BD.\] Trong các mặt phẳng sau, điểm \(O\) không nằm trên mặt phẳng nào?
\(\left( {ABCD} \right).\)
\(\left( {SAD} \right).\)
\(\left( {SAC} \right).\)
\(\left( {SBD} \right).\)
Chọn B
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.
Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng.
Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
Chọn A
Cho tứ diện \(ABCD,\) vị trí tương đối của hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\) là
Cắt nhau.
Song song.
Chéo nhau.
Trùng nhau.
Chọn C
Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(I,\,\,J\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(ABC\) và \(ABD.\) Khẳng định nào sau đây đúng?
\(IJ\) cắt \(AB.\)
\(IJ\) song song \(AB.\)
\(IJ\) và \(CD\) là hai đường thẳng chéo nhau.
\(IJ\) song song \(CD.\)
Chọn D
Cho đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) không có điểm chung. Kết luận nào sau đây đúng?
\(a\) cắt \(\left( P \right).\)
\(a\) cắt \(\left( P \right)\) hoặc \(a\) chéo \(\left( P \right).\)
\(a{\rm{//}}\left( P \right).\)
\(a\) chứa trong \(\left( P \right).\)
Chọn C
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Khẳng định nào sau đây sai?
\(CD{\rm{//}}\left( {SAB} \right).\)
\(AB{\rm{//}}\left( {SCD} \right).\)
\[BC{\rm{//}}\left( {SAD} \right).\]
\(AC{\rm{//}}\left( {SBD} \right).\)
Chọn D
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) là đường thẳng song song với mặt phẳng nào sau đây?
\(\left( {ABCD} \right).\)
\(\left( {SAB} \right).\)
\(\left( {SCD} \right).\)
\(\left( {SBD} \right).\)
Chọn A
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Hai mặt phẳng phân biệt không cắt nhau thì song song.
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có vô số mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến phân biệt bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Chọn B
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O.\) Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\,\,SD,\,\,AB.\) Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\left( {MON} \right){\rm{//}}\left( {MOP} \right).\)
\(\left( {MON} \right){\rm{//}}\left( {SBC} \right).\)
\(\left( {NOP} \right){\rm{//}}\left( {MNP} \right).\)
\(\left( {SBD} \right){\rm{//}}\left( {MNP} \right).\)
Chọn B
Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là
Hình lăng trụ tam giác.
Hình hộp chữ nhật.
Hình hộp.
Hình lập phương.
Chọn C
Cho hình lăng trụ \[ABC.{A_1}{B_1}{C_1}.\] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\(\left( {ABC} \right){\rm{//}}\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right).\)
\(A{A_1}{\rm{//}}\left( {BC{C_1}} \right).\)
\(AB{\rm{//}}\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right).\)
\(A{A_1}{B_1}B\) là hình chữ nhật.
Chọn D
Có bao nhiêu hình biểu diễn cho hình tứ diện trong bốn hình dưới đây?
1.
2.
3.
4.
Chọn C
Phép chiếu song song biến ba đường thẳng song song thành
Ba đường thẳng đôi một song song với nhau.
Một đường thẳng.
Hai đường thẳng song song.
Cả ba phương án A, B, C.
Chọn D
Tính các giới hạn sau:
a) \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + n - {n^2}} \right).\] b) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 8}}{{{x^2} - 4}}.\]
a) Ta có: \[1 + n - {n^2} = {n^2}\left( {\frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{n} - 1} \right).\]
Mặt khác: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {n^2} = + \infty ;\)
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{n} - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^2}}} + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n} - \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 1 = 0 + 0 - 1 = - 1 < 0.\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + n - {n^2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {{n^2}\left( {\frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{n} - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {n^2}.\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{n} - 1} \right) = - \infty .\)
b) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 8}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}} = \frac{{{2^2} + 2.2 + 4}}{{2 + 2}} = 3.\]
Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(A'B'\) và \(AB\).
a) Chứng minh \(CB'\,\,{\rm{//}}\,\left( {AMC'} \right)\).
b) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(N\) song song với hai cạnh \(AB'\) và \(AC'\). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {BB'C'} \right)\).
a)
Vì \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(A'B'\) và \(AB\) nên \(MN\) là đường trung bình của hình thang \(ABB'A'\). Suy ra \(MN{\rm{//}}AA'\) và \(MN\, = \,AA'\) (do \(ABB'A'\) là hình bình hành).
Ta có: \[MN{\rm{//}}AA'\] và \[AA'{\rm{//}}CC'\] (tính chất hình lăng trụ).
\[ \Rightarrow MN{\rm{//AA'}}{\rm{.}}\]
Lại có \(AA' = CC'\) (tính chất hình lăng trụ), mà \(MN\, = \,AA'\) nên \[MN = CC'\].
Do đó, tứ giác \[MNCC'\] là hình bình hành. Suy ra \[CN{\rm{//}}MC'.\]
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}CN{\rm{ // }}MC'\\MC' \subset \left( {AMC'} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CN{\rm{ // }}\left( {AMC'} \right).\]
Mặt khác ta chứng minh được \[AN{\rm{//}}B'M;\,\,AN = B'M\] nên tứ giác \[ANB'M\] là hình bình hành. Suy ra \[NB'{\rm{//}}MA.\]
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}NB'{\rm{//}}MA\\MA \subset \left( {AMC'} \right)\end{array} \right. \Rightarrow NB'{\rm{//}}\left( {AMC'} \right).\]
Lại có \[\left\{ \begin{array}{l}CN{\rm{//}}\left( {AMC'} \right)\\NB'{\rm{//}}\left( {AMC'} \right)\\CN,NB' \subset \left( {CNB'} \right)\\CN \cap NB' = \left\{ N \right\}\end{array} \right. \Rightarrow \left( {AMC'} \right){\rm{//}}\left( {CNB'} \right).\]
Mà \[CB' \subset \left( {CNB'} \right).\,\,\,{\rm{Suy}}\,\,{\rm{ra}}\,\,\,CB'\,{\rm{//}}\,\left( {AMC'} \right)\].
b)
Trong mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\), kẻ đường thẳng qua \(N\) song song với \(AB'\), cắt \(BB'\) tại \(E\).
Trong mặt phẳng \(\left( {ABC'} \right)\), kẻ đường thẳng qua \(N\) song song với \(AC'\), cắt \(BC'\) tại \(Q\).
Khi đó, mặt phẳng \(\left( P \right)\) chính là mặt phẳng \(\left( {NQE} \right)\).
Vì \(E \in BB'\) nên \(E \in \left( {BB'C'} \right)\); vì \(Q \in BC'\) nên \(Q \in \left( {BB'C'} \right)\). Do đó, \(EQ \subset \left( {BB'C'} \right)\).
Vậy \[\left( {NQE} \right) \cap \left( {BB'C'} \right)\,\, = \,\,EQ\] hay \[\left( P \right) \cap \left( {BB'C'} \right)\,\, = \,\,EQ\].
Cho hình vuông \(\left( {{C_1}} \right)\) có cạnh bằng \(a.\) Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông \(\left( {{C_2}} \right)\) (xem hình vẽ). Từ hình vuông \(\left( {{C_2}} \right)\) lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông \({C_1},\,\,{C_2},\,\,{C_3},\,...,\,{C_n},\,...\). Gọi \({S_i}\) là diện tích của hình vuông \({C_i}\,\,\left( {i \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,...} \right\}} \right)\). Đặt \(T = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_n} + ...\). Biết \(T = \frac{{32}}{3}\), tính \(a.\)
Hình vuông đầu tiên \(\left( {{C_1}} \right)\) có cạnh bằng \(a\) và diện tích là \({S_1} = {a^2}\).
Từ đề bài, ta thấy cạnh của hình vuông \(\left( {{C_2}} \right)\) là \({a_2} = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{4}a} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{4}a} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}\).
Khi đó diện tích của hình vuông \(\left( {{C_2}} \right)\) là \({S_2} = {\left( {\frac{{a\sqrt {10} }}{4}} \right)^2} = \frac{5}{8}{a^2} = \frac{5}{8}{S_1}\).
Cạnh của hình vuông \(\left( {{C_3}} \right)\) là \({a_3} = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{4}{a_2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{4}{a_2}} \right)}^2}} = \frac{{{a_2}\sqrt {10} }}{4} = a{\left( {\frac{{\sqrt {10} }}{4}} \right)^2} = \frac{5}{8}a.\)
Khi đó diện tích của hình vuông \(\left( {{C_3}} \right)\) là \({S_3} = {\left( {\frac{5}{8}a} \right)^2} = {\left( {\frac{5}{8}} \right)^2}{a^2} = {\left( {\frac{5}{8}} \right)^2}{S_1}.\)
Lý luận tương tự ta có \({S_1},\,\,{S_2},\,\,{S_3},\,\,...,\,{S_n},\,...\) tạo thành một dãy cấp số nhân \({u_1} = {S_1} = {a^2}\) và công bội \(q = \frac{5}{8}\).
Vì \(\left| q \right| = \frac{5}{8} < 1\) nên \({S_1},\,\,{S_2},\,\,{S_3},\,\,...,\,{S_n},\,...\) là một cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = {S_1} = {a^2}\) và công bội \(q = \frac{5}{8}.\)
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn này là
\(T = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_n} + ...\)\( = \frac{{{S_1}}}{{1 - q}} = \frac{{{a^2}}}{{1 - \frac{5}{8}}} = \frac{{8{a^2}}}{3}\).
Mà \(T = \frac{{32}}{3}\) nên \(\frac{{8{a^2}}}{3} = \frac{{32}}{3} \Leftrightarrow {a^2} = 4\). Suy ra \(a = 2\) (do độ dài cạnh là số dương).
