Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 1
37 câu hỏi
Cho góc hình học \(uOv\) có số đo \(50^\circ .\) Xác định số đo của góc lượng giác \(\left( {Ou,Ov} \right)\) trong hình dưới đây?
\(50^\circ + k360^\circ ,\,\,k \in \mathbb{Z}.\)
\(50^\circ + k180^\circ ,\,\,k \in \mathbb{Z}.\)
\( - 50^\circ + k360^\circ ,\,\,k \in \mathbb{Z}.\)
\( - 50^\circ + k180^\circ ,\,\,k \in \mathbb{Z}.\)
Đáp án đúng là: A
Các góc lượng giác tia đầu \(Ou\), tia cuối \(Ov\), quay theo chiều dương có số đo là
Đổi góc \(\alpha \) có số đo \(\frac{{3\pi }}{5}\) sang độ ta được số đo bằng độ là
\(150^\circ .\)
\(135^\circ .\)
\(144^\circ .\)
\(108^\circ .\)
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[\frac{{3\pi }}{5} = \frac{{3\pi }}{5}.\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)\begin{array}{*{20}{c}}^\circ \\{}\end{array} = 108^\circ .\]
Đẳng thức nào dưới đây là đúng?
\(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \alpha + \frac{1}{2}.\)
\(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}\sin \alpha + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \alpha .\)
\(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}\sin \alpha - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \alpha .\)
\(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin \alpha + \frac{1}{2}\cos \alpha .\)
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{6} + \cos \alpha \sin \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin \alpha + \frac{1}{2}\cos \alpha .\)
Cho \(\tan \left( {a + b} \right) = 3,\,\,\tan \left( {a - b} \right) = 2.\) Giá trị của \(\tan 2a\) là
\( - 1.\)
\(\frac{1}{7}.\)
\(1.\)
\( - \frac{1}{7}.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có:
\(\tan \left( {2a} \right) = \tan \left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {a - b} \right)} \right] = \frac{{\tan \left( {a + b} \right) + \tan \left( {a - b} \right)}}{{1 - \tan \left( {a + b} \right)\tan \left( {a - b} \right)}} = \frac{{3 + 2}}{{1 - 3.2}} = - 1.\)
Tập xác định \(D\) của hàm số \(y = 2\tan x\) là
\(D = \mathbb{R}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Đáp án đúng là: C
Hàm số \(y = 2\tan x\) có tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Cho các đồ thị hàm số sau:
 |
Hình 1
Hình 2
Hình 3
Hình 4
Hình nào là đồ thị của hàm số \(y = \sin x?\)
Hình 1.
Hình 2.
Hình 3.
Hình 4.
Đáp án đúng là: B
Đồ thị của hàm số \(y = \sin x\) đối xứng qua gốc tọa độ, do đó Hình 2 là đồ thị của hàm số \(y = \sin x\).
Phương trình \(\tan x = \tan \alpha \) có công thức nghiệm là
\[\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k\pi \\x = \pi - \alpha + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = \pm \alpha + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
\[x = \alpha + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
Đáp án đúng là: D
Phương trình \(\tan x = \tan \alpha \) có công thức nghiệm là \[x = \alpha + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
Nghiệm của phương trình \(\cos 2x = 1\) là
\(x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\cos 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = k2\pi \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \(\sin x - 2m = 1\) có nghiệm?
3.
2.
1.
0.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\sin x - 2m = 1 \Leftrightarrow \sin x = 2m + 1.\)
Mà \(\sin x \in \left[ { - 1;1} \right],\forall x \in \mathbb{R}.\)
Nên để phương trình \(\sin x - 2m = 1\) có nghiệm thì \( - 1 \le 2m + 1 \le 1 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 0.\)
Kết hợp với điều kiện \(m \in \mathbb{Z}\) ta có \(m \in \left\{ { - 1;0} \right\}.\)
Vậy có 2 giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \(\sin x - 2m = 1\) có nghiệm.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 2n\). Năm số hạng đầu của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) lần lượt là
\(2;\,\,4;\,\,6;\,\,8;\,\,10\).
\(0;\,\,2;\,\,4;\,\,6;\,\,8\).
\(1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5\).
\(0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \({u_n} = 2n\). Năm số hạng đầu của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) lần lượt là
\({u_1} = 2 \cdot 1 = 2;\,\,{u_2} = 2 \cdot 2 = 4;\,\,{u_3} = 2 \cdot 3 = 6\); \({u_4} = 2 \cdot 4 = 8;\,\,{u_5} = 2 \cdot 5 = 10\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {n^2} + 1.\) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số
Không đổi.
Giảm.
Không tăng không giảm.
Tăng.
Đáp án đúng là: D
Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {n^2} + 1\) ta có: \({u_{n + 1}} = {\left( {n + 1} \right)^2} + 1 = {n^2} + 2n + 2.\)
\( \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {{n^2} + 2n + 2} \right) - \left( {{n^2} + 1} \right)\)
\( = {n^2} + 2n + 2 - {n^2} - 1\)
\( = 2n + 1 > 0,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}.\)
\( \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n},\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}.\)
Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?
\({u_n} = - 3n + 2.\)
\({u_n} = {n^2} + 1.\)
\({u_n} = \frac{1}{{{n^2} + n}}.\)
\({u_n} = {2.3^n}.\)
Đáp án đúng là: A
Xét dãy số \({u_n} = - 3n + 2.\)
Ta có \({u_{n + 1}} = - 3\left( {n + 1} \right) + 2 = - 3n - 1.\)
\( \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \left( { - 3n - 1} \right) - \left( { - 3n + 2} \right) = - 3n - 1 + 3n - 2 = - 3,\forall n \ge 1.\)
Do đó dãy số với \({u_n} = - 3n + 2\) là một cấp số cộng với công sai \(d = - 3.\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 2\) và \(d = - 3\). Tính tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng đó?
\( - 29\,\,500.\)
\(10\,\,197.\)
\(15\,\,050.\)
\( - 14\,\,650.\)
Đáp án đúng là: D
Tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 2\) và \(d = - 3\) là
\[{S_{100}} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {100 - 1} \right)d} \right].100}}{2} = \frac{{\left[ {2.2 + \left( {100 - 1} \right)\left( { - 3} \right)} \right].100}}{2} = - 14\,\,650.\]
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội \(q.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
\[{u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},\,\forall n \ge 2.\]
\({u_n} = {u_1}{q^n},\,\,\forall n \ge 2.\)
\({u_n} = {u_1}.q,\,\,\forall n \ge 2.\)
\({u_n} = {u_1}.{q^{n + 1}},\,\,\forall n \ge 2.\)
Đáp án đúng là: A
Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\) thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định bởi công thức \[{u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},\,\forall n \ge 2.\]
Số hạng thứ 5 của một cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng \(162\) và số hạng thứ \(2\) bằng \(6.\)Số hạng thứ \(10\) của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là
\({u_{10}} = 39\,\,366.\)
\({u_{10}} = 118\,\,098.\)
\({u_{10}} = 972.\)
\({u_{10}} = 324.\)
Đáp án đúng là: A
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 2\). Giá trị của \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 4f\left( x \right)\] bằng
\(8\).
\(2\).
\(6\).
\(16\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 4f\left( x \right) = 4 \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 4 \cdot 2 = 8\).
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^2} + 1}}\) bằng
1.
\( + \infty .\)
\( - \infty .\)
0.
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\frac{1}{{{n^2}}}}}{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}} = \frac{0}{{1 + 0}} = 0.\)
Cho các giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = 1;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = - 2\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\) bằng
\( - 2\).
\(2\).
\(3\).
\( - 3\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 1 - \left( { - 2} \right) = 3\).
Cho giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {{x^2} - 2ax + 3 + {a^2}} \right) = 3\] thì \(a\) bằng bao nhiêu?
\(a = 2.\)
\(a = 0.\)
\(a = - 2.\)
\(a = 1.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {{x^2} - 2ax + 3 + {a^2}} \right) = 3 \Rightarrow {\left( { - 2} \right)^2} - 2a.\left( { - 2} \right) + 3 + {a^2} = 3\]
\( \Rightarrow {a^2} + 4a + 4 = 0 \Rightarrow a = - 2.\)
Vậy nếu \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {{x^2} - 2ax + 3 + {a^2}} \right) = 3\] thì \(a = - 2.\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng K và \({x_0} \in K.\) Hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục tại điểm \({x_0}\)khi
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\) không tồn tại.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \ne f\left( {{x_0}} \right).\)
\(f\left( {{x_0}} \right)\) không tồn tại.
Đáp án đúng là: A
Với hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(K\) và \({x_0} \in K.\) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0}\)khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).\)
Hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị dưới đây gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?
\[x = 1.\]
\[y = 1.\]
\[x = 2.\]
\[y = 3.\]
Đáp án đúng là: A
Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy hàm số \[y = f\left( x \right)\] gián đoạn tại điểm \[x = 1.\]
Cho hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3x - 1\,\,{\rm{khi}}\,\,x \le - 2\\ax - 3\,\,{\rm{khi}}\,\,x > - 2\end{array} \right.\]. Với giá trị nào của \(a\) thì hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = - 2\)?
\(a = 2.\)
\(a = 1.\)
\(a = 3.\)
\(a = - 2.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \left( {3x - 1} \right) = - 7;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \left( {ax - 3} \right) = - 2a - 3;\)
\(f\left( { - 2} \right) = - 7.\)
Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = - 2\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right).\)
\( \Leftrightarrow - 7 = - 2a - 3 \Leftrightarrow a = 2.\)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.
Qua 2 điểm bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
Đáp án đúng là: C
Phương án C đúng vì một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Ba phương án còn lại sai.
⦁ Phương án A sai vì tồn tại 4 điểm không cùng thuộc 1 mặt phẳng.
⦁ Phương án B sai vì nếu 3 điểm này thẳng hàng khi đó sẽ có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng chứa 3 điểm này hay có vô số mặt phẳng qua 3 điểm này.
⦁ Phương án D sai vì có vô số mặt phẳng đi qua hai điểm bất kì.
Cho tứ diện \(ABCD.\) Trên các cạnh \(AB\) và \(AC\) lấy hai điểm \(M\) và \(N\) sao cho \(AM = BM\) và \[AN = 2NC.\] Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {DMN} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\) là đường thẳng nào dưới đây?
\(MN.\)
\(DN.\)
\(DM.\)
\(AC.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(N \in AC\) mà \(AC \subset \left( {ACD} \right) \Rightarrow N \in \left( {ACD} \right).\)
\( \Rightarrow N \in \left( {DMN} \right) \cap \left( {ACD} \right).\)
Lại có: \(D \in \left( {DMN} \right) \cap \left( {ACD} \right).\)
Do đó \(DN = \left( {DMN} \right) \cap \left( {ACD} \right).\)
Trong không gian, hai đường thẳng không có điểm chung thì
Cắt nhau.
Chéo nhau hoặc song song.
Chéo nhau.
Song song.
Đáp án đúng là: B
Trong không gian, hai đường thẳng không có điểm chung
⦁ và cùng nằm trong một mặt phẳng thì chúng song song với nhau;
⦁ và không cùng nằm trong một mặt phẳng thì chúng chéo nhau.
Vậy trong không gian, hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau hoặc song song.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(d\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right).\) Đường thẳng \(d\) song song với đường thẳng nào dưới đây?
Đường thẳng \(AB.\)
Đường thẳng \(AD.\)
Đường thẳng \[AC.\]
Đường thẳng \(SA.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(S \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right);\)
\(AD//BC\) (do \(ABCD\) là hình bình hành);
\(AD \subset \left( {SAD} \right);\,\,BC \subset \left( {SBC} \right).\)
Suy ra \(d = \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\) đi qua \(S\) và song song với \(AD,\,\,BC.\)
Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,AC.\) Đường thẳng \(MN\) song song với mặt phẳng nào sau đây?
Mặt phẳng \(\left( {ABD} \right).\)
Mặt phẳng \(\left( {ACD} \right).\)
Mặt phẳng \[\left( {ABC} \right).\]
Mặt phẳng \(\left( {BCD} \right).\)
Đáp án đúng là: D
Xét \(\Delta ABC\) có: \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,AC.\)
Suy ra \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC.\)
\( \Rightarrow MN{\rm{//}}BC.\)
Mà \(BC \subset \left( {BCD} \right);\,\,MN \not\subset \left( {BCD} \right).\)
\( \Rightarrow MN{\rm{//}}\left( {BCD} \right).\)
Hai hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi \(O\) và \(O'\) lần lượt là tâm hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF.\) \(OO'\) song song với
Mặt phẳng \(\left( {DCEF} \right).\)
Mặt phẳng \(\left( {ADF} \right).\)
Mặt phẳng \[\left( {BCE} \right).\]
Cả ba phương án A, B, C.
Đáp án đúng là: D
Vì \(O\) và \(O'\) lần lượt là tâm hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) nên \(O\) và \(O'\) lần lượt là trung điểm của \(BD\) và \(FB.\)
Xét \(\Delta BDF\) có: \(OO'\) là đường trung bình \( \Rightarrow OO'{\rm{//}}DF.\)
Mà \(DF \subset \left( {DCEF} \right);\,\,DF \subset \left( {ADF} \right);\)
\( \Rightarrow OO'{\rm{//}}\left( {DCEF} \right);\,\,OO'{\rm{//}}\left( {ADF} \right).\)
Vì \(ABCD\) và\(ABEF\) là hình bình hành nên \(CD = AB = EF;\,\,CD{\rm{//}}AB{\rm{//EF}}{\rm{.}}\)
\( \Rightarrow CDFE\) là hình bình hành nên \(DF{\rm{//}}CE.\)
Mà \(DF{\rm{//OO'}}\) nên \(OO'{\rm{//}}CE.\)
Hơn nữa \(CE \subset \left( {BCE} \right) \Rightarrow OO'{\rm{//}}\left( {BCE} \right).\)
Cho hai đường thẳng song song \(a,\,\,b\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Nếu \(a{\rm{//}}\left( P \right)\) thì \(b{\rm{//}}\left( P \right).\)
Nếu \(a\) cắt \(\left( P \right)\) thì \(b\) cắt \(\left( P \right).\)
Nếu \(a\) nằm trên \(\left( P \right)\) thì \(b{\rm{//}}\left( P \right).\)
Nếu \(a\) nằm trên \(\left( P \right)\) thì \(b\) nằm trên \(\left( P \right).\)
Đáp án đúng là: B
Xét phương án A sai vì: Nếu \(a{\rm{//}}\left( P \right)\) thì \(b{\rm{//}}\left( P \right)\) hoặc \(b \subset \left( P \right).\)
Xét phương án C và D sai vì: Nếu \(a\) nằm trên \(\left( P \right)\) thì \(b{\rm{//}}\left( P \right)\) hoặc \(b \subset \left( P \right).\)
Xét phương án B đúng vì:
Giả sử: \(a\) cắt \(\left( P \right)\) và \(b\) không cắt \(\left( P \right)\) khi đó \(b \subset \left( P \right)\) hoặc \(b{\rm{//}}\left( P \right).\)
Vì \(a{\rm{//}}b\) nên \(a \subset \left( P \right)\) hoặc \(a{\rm{//}}\left( P \right)\) (mâu thuẫn với giả thiết \(a\) cắt \(\left( P \right)\)).
Vậy nếu \(a\) cắt \(\left( P \right)\) thì \(b\) cắt \(\left( P \right).\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O.\) Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) theo thứ tự lần lượt là trung điểm của \(SA,\,\,SB,\,\,SD.\) Khẳng định nào sau đây sai?
\(\left( {MNP} \right){\rm{//}}\left( {ABCD} \right).\)
\(\left( {MNP} \right){\rm{//}}\left( {SCD} \right).\)
\(MN{\rm{//}}\left( {ABCD} \right).\)
\(MP{\rm{//}}\left( {ABCD} \right).\)
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(P\) là trung điểm của \(SD.\)
\( \Rightarrow P \in SD\) mà \(SD \subset \left( {SCD} \right).\)
\( \Rightarrow P \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SCD} \right).\)
Vậy hai mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) không song song với nhau.
Cho mặt phẳng \(\left( R \right)\) cắt hai mặt phẳng song song \(\left( P \right)\) và \[\left( Q \right)\] theo hai giao tuyến \(a\) và \(b.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(a\) và \(b\) có một điểm chung duy nhất.
\(a\) và \(b\) song song.
\(a\) và \(b\) trùng nhau.
\(a\) và \(b\) song song hoặc trùng nhau.
Đáp án đúng là: B
Theo tính chất của hai mặt phẳng song song: “Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau”. Từ đó ta có \(a\) và \(b\) song song.
Mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Hình lăng trụ có đáy là tam giác được gọi là lăng trụ tam giác.
Hình lăng trụ có đáy là tứ giác được gọi là lăng trụ hộp.
Hình lăng trụ có đáy là tứ giác được gọi là lăng trụ tứ giác.
Hình lăng trụ tứ giác có hai đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.
Đáp án đúng là: B
Hình lăng trụ có đáy là tứ giác được gọi là lăng trụ tứ giác nên phương án án B mang nội dung sai.
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\)(hình vẽ dưới).
Mệnh đề nào sau đây sai?
\(\left( {BDD'B'} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {ACC'A'} \right)\).
\(\left( {AA'D'D} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {BCC'B'} \right)\).
\(\left( {ABCD} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {A'B'C'D'} \right)\).
\(\left( {ABB'A'} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {CDD'C'} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp nên các mặt phẳng đối diện song song:
\(\left( {AA'D'D} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {BCC'B'} \right)\); \(\left( {ABCD} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {A'B'C'D'} \right)\); \(\left( {ABB'A'} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {CDD'C'} \right)\).
Ta có: \(AC\) và \(BD\) cắt nhau mà \(AC \subset \left( {ACC'A'} \right)\) và \(BD \subset \left( {BDD'B'} \right)\) nên hai mặt phẳng \(\left( {BDD'B'} \right)\) và \(\left( {ACC'A'} \right)\) cắt nhau, vậy đáp án A sai.
Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau?
Hình thang.
Hình bình hành.
Hình chữ nhật.
Hình thoi.
Đáp án đúng là: A
Hình chữ nhật có các cặp cạnh đối song song nên hình chiếu của nó không thể là hình thang.
Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'.\)
Hình chiếu của tam giác \(ACB\) trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) theo phương \(CC'\) là
Tam giác \(A'C'B'.\)
Đoạn thẳng \(A'B'.\)
Tam giác \(A'B'C'.\)
Đoạn thẳng \(A'C'.\)
Đáp án đúng là: A
Vì \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ nên \(AA'{\rm{//}}BB'{\rm{//}}CC'.\)
Mà ba điểm \(A',\,B',\,C'\) đều thuộc \(\left( {A'B'C'} \right)\) nên \(A',\,B',\,C'\) lần lượt là hình chiếu của \(A,\,B,\,C\) trên \(\left( {A'B'C'} \right).\)
Suy ra hình chiếu của tam giác \(ACB\) trên trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) theo phương \(CC'\) là tam giác \(A'C'B'.\)
Tính các giới hạn sau:
(a) \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + n} - \sqrt {{n^2} + 1} } \right).\]
(b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{6}} \frac{{2\tan x + 1}}{{\sin x + 1}}\).
Gia đình ông An cần khoan một cái giếng. Biết rằng giá của mét khoan đầu tiên là 200 000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau sẽ tăng thêm \(6\% \) so với giá của mét khoan trước đó. Hỏi nếu ông An khoan cái giếng sâu 35 m thì hết bao nhiêu tiền (làm tròn đến hàng nghìn).
