Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 4
38 câu hỏi
I. Trắc nghiệm (7 điểm)
Cho hai mệnh đề
\(P\): “\(n\) là số tự nhiên chẵn”, \(Q\): “\(n\) chia hết cho 2”.
Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) được phát biểu là
“Nếu \(n\) chia hết cho 2 thì \(n\) là số tự nhiên chẵn”;
“Nếu \(n\) là số tự nhiên chẵn thì \(n\) chia hết cho 2”;
“\(n\) là số tự nhiên chẵn chia hết cho 2”;
“\(n\) là số tự nhiên thì \(n\) chẵn và chia hết cho 2”.
Đáp án đúng là: B
Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) được phát biểu: “Nếu \(P\) thì \(Q\)”.
Vậy với \(P\): “\(n\) là số tự nhiên chẵn”, \(Q\): “\(n\) chia hết cho 2”, ta có mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) được phát biểu là “Nếu \(n\) là số tự nhiên chẵn thì \(n\) chia hết cho 2”.
Cho \(A = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4} \right\},\,B = \left\{ {2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6} \right\}\). Tập hợp \(A\backslash B\) bằng
\(\left\{ {1;\,\,5} \right\}\);
\(\left\{ 0 \right\}\);
\(\left\{ {1;\,\,2} \right\}\);
\(\left\{ {0;\,\,1} \right\}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(A\backslash B = \left\{ {x|x \in A,\,\,x \notin B} \right\} = \left\{ {0;\,\,1} \right\}\).
Dạng liệt kê của tập hợp \[A = \left\{ {3k|k \in \mathbb{Z}, - 2 < k \le 3} \right\}\]là:
\[\left\{ { - 2; - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2;\,\,3} \right\}\];
\[\left\{ { - 6;\, - 3;\,\,0;\,\,3;\,\,6;\,\,9} \right\}\];
\[\left\{ { - 3;\,\,0;\,\,3;\,\,6;\,\,9} \right\}\];
\[\left\{ { - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2;\,\,3} \right\}\].
Đáp án đúng là: C
Vì \[k \in \mathbb{Z}, - 2 < k \le 3\] nên \(k \in \left\{ { - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2;\,\,3} \right\}\).
Với \(k = - 1\) thì \(3k = 3 \cdot \left( { - 1} \right) = - 3\);
Với \(k = 0\) thì \(3k = 3 \cdot 0 = 0\);
Với \(k = 1\) thì \(3k = 3 \cdot 1 = 3\);
Với \(k = 2\) thì \(3k = 3 \cdot 2 = 6\);
Với \(k = 3\) thì \(3k = 3 \cdot 3 = 9\).
Vậy \[A = \left\{ {3k|k \in \mathbb{Z}, - 2 < k \le 3} \right\} = \left\{ { - 3;\,\,0;\,\,3;\,\,6;\,\,9} \right\}\].
Một gian hàng trưng bày giường và tủ quần áo rộng 95 m2. Diện tích để kê một chiếc giường là 3,2 m2, một chiếc tủ quần áo là 1,6 m2. Gọi \(x\) là số chiếc giường và \(y\) là số chiếc tủ quần áo được kê. Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,\,y\) cho phần mặt sàn để kê giường và tủ quần áo biết diện tích mặt sàn dành cho lưu thông tối thiểu là 15 m2.
\(32x + 16y \ge 80\);
\(2x + y \le 50\);
\(2x + y \ge 50\);
\(2x + y < 50\).
Đáp án đúng là: B
Vì diện tích mặt sàn dành cho lưu thông tối thiểu là 15 m2, do đó diện tích phần mặt sàn để kê giường và tủ quần áo tối đa là: 95 – 15 = 80 (m2).
Diện tích để kê một chiếc giường là 3,2 m2, nên diện tích để kê \(x\) chiếc giường là \(3,2x\) (m2).
Diện tích để kê một chiếc tủ quần áo là 1,6 m2, nên diện tích để kê \(y\) chiếc tủ quần áo là \(1,6y\) (m2).
Tổng diện tích cho phần mặt sàn để kê \(x\) chiếc giường và \(y\) chiếc tủ quần áo là: \(3,2x + 1,6y\) (m2).
Do đó, bất phương trình cần tìm là: \(3,2x + 1,6y \le 80\) hay \(2x + y \le 50\).
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 \le 0\\2x - 3y + 2 > 0\end{array} \right.\). Trong các điểm sau, điểm nào không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình trên?
\(O\left( {0;\,\,0} \right)\);
\[M\left( {1;\,\,1} \right)\];
\[N\left( { - 1;\,\,1} \right)\];
\[P\left( { - 1;\,\, - 1} \right)\].
Đáp án đúng là: C
Ta có: −1+1−2≤02⋅−1−3⋅1+2>0⇔−2≤0−3>0 (vô lí).
Vậy điểm \[N\left( { - 1;\,\,1} \right)\] không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 \le 0\\2x - 3y + 2 > 0\end{array} \right.\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\). Khi đó \(\sin B\) bằng
0;
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\);
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\);
1.
Đáp án đúng là: B
Vì tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(\widehat B = 45^\circ \). Do đó, \(\sin B = \sin 45^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Cho \(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?
\(\sin \alpha = \sin \beta \);
\(\cot \alpha = \cot \beta \);
\(\tan \alpha = - \tan \beta \);
\(\cos \alpha = - \cos \beta \).
Đáp án đúng là: B
Hai góc bù nhau thì có sin bằng nhau, côsin, tang, côtang đối nhau nên với \(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc khác nhau và bù nhau ta có:
sinα=sinβ; \(\cos \alpha = - \cos \beta \); \(\tan \alpha = - \tan \beta \); \(\cot \alpha = - \cot \beta \).
Cho biết \(\tan \alpha = - 3.\) Giá trị của \(P = \frac{{6\sin \alpha - 7\cos \alpha }}{{6\cos \alpha + 7\sin \alpha }}\) bằng bao nhiêu ?
\(P = \frac{4}{3}\);
\(P = \frac{5}{3}\);
\(P = - \frac{4}{3}\);
\(P = - \frac{5}{3}\).
Đáp án đúng là: B
Vì \(\tan \alpha = - 3 \Rightarrow \cos \alpha \ne 0\) nên chia cả tử và mẫu của \(P\) cho \(\cos \alpha \) ta được:
\[P = \frac{{6\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 7\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{6\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} + 7\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{6\tan \alpha - 7}}{{6 + 7\tan \alpha }} = \frac{{6 \cdot \left( { - 3} \right) - 7}}{{6 + 7 \cdot \left( { - 3} \right)}} = \frac{5}{3}\].
Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 10,\,BC = 21,\,CA = 17\). Số đo góc lớn nhất trong tam giác xấp xỉ bằng
\(90^\circ \);
\(98^\circ \);
\(99^\circ \);
\(100^\circ \).
Đáp án đúng là: C
Vì 10 < 17 < 21 nên \(AB < AC < BC\), suy ra \(\widehat C < \widehat B < \widehat A\).
Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB \cdot AC}} = \frac{{{{10}^2} + {{17}^2} - {{21}^2}}}{{2 \cdot 10 \cdot 17}} = - \frac{{13}}{{85}}\).
Suy ra \(\widehat A \approx 99^\circ \).
Phát biểu nào sau đây là sai?
Hai vectơ cùng hướng thì cùng phương;
Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng;
Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối;
Vectơ là đoạn thẳng có hướng.
Đáp án đúng là: B
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng nên đáp án D đúng.
Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối nên đáp án C đúng.
Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng nên đáp án B sai.
Hai vectơ cùng hướng thì cùng phương nên đáp án A đúng.
Cho tam giác đều \(ABC\). Hãy chỉ ra đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau:
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BA} \);
\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = - \left| {\overrightarrow {BA} } \right|\);
\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|\);
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} \).
Đáp án đúng là: C
Vì tam giác \(ABC\) đều nên \(AB = AC\), suy ra \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|\).
Cho ba điểm phân biệt \(A,\;B,\;C\). Đẳng thức nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} \);
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \];
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CB} \);
\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CA} \).
Đáp án đúng là: C
Xét các đáp án:
Đáp án A. Ta có \(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} = - \overrightarrow {BC} \). Vậy A sai.
Đáp án B. Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \ne \overrightarrow {BC} \) (với \(D\) là điểm thỏa mãn \(ABDC\) là hình bình hành). Vậy B sai.
Đáp án C. Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} \). Vậy C đúng. Do đó đáp án D sai.
Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\). Đẳng thức nào sau đây sai?
\(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {CD} \);
\(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OA} \);
\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} \);
\(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DA} \).
Đáp án đúng là: B
Xét các đáp án:
Đáp án A. Ta có \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD} \). Vậy A đúng.
Đáp án B. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {CB} = - \overrightarrow {AD} \\\overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {AD} \end{array} \right.\). Vậy B sai.
Đáp án C. Ta có \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} \). Vậy C đúng.
Đáp án D. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AC} \\\overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {AC} \end{array} \right.\). Vậy D đúng.
Cho tam giác \(ABC\) vuông cân đỉnh \(C\), \[AB = \sqrt 2 \]. Độ dài của \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \] là
\[\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt 5 \];
\[\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2\sqrt 5 \];
\[\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt 3 \];
\[\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2\sqrt 3 \].
Đáp án đúng là: A
Ta có tam giác \(ABC\) vuông cân đỉnh \(C\) có \(AB = \sqrt 2 \), suy ra \(AC = CB = 1\).
Gọi \(I\) là trung điểm \(BC\). Từ định lí Pythagore trong tam giác vuông \(ACI\), suy ra \(AI = \sqrt {A{C^2} + C{I^2}} = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
Khi đó \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AI} \). Do đó, \(\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AI} } \right| = 2 \cdot \frac{{\sqrt 5 }}{2} = \sqrt 5 \).
Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC,\,I\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Khẳng định nào sau đây là sai?
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \);
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \) với \(M\)là điểm bất kỳ;
\(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AI} \);
\(\overrightarrow {GA} = 2\overrightarrow {GI} \).
Đáp án đúng là: D
Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \), nên đáp án A đúng.
Do đó, \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {MG} \) với \(M\)là điểm bất kỳ, nên đáp án B đúng.
Vì \(I\) là trung điểm của \(BC\) suy ra \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AI} ,\,\,\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GI} = \overrightarrow 0 \) hay \(\overrightarrow {GA} = - 2\overrightarrow {GI} \), do đó đáp án C đúng và đáp án D sai.
Cho tam giác \(ABC\) và điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {CB} \). Khi đó
\(M\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\);
\(M\) là trung điểm cạnh \(AC\);
\(M\) là đỉnh của hình bình hành \(ABMC\);
\(M\) là trung điểm cạnh \(AB\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {CB} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {MB} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BC} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {CM} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow \)\(M\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).
Cho tứ giác \(ABCD,\,\,O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\). Gọi \(G\) và \(G'\) theo thứ tự là trọng tâm của tam giác \(OAB\) và \(OCD\). Khi đó \(\overrightarrow {GG'} \) bằng
\(\frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right)\);
\(\frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right)\);
\(\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right)\);
\(3\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right)\).
Đáp án đúng là: B
Gọi \(M\)và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\), khi đó:
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OM} = 2 \cdot \frac{3}{2}\overrightarrow {OG} = 3\overrightarrow {OG} \).
Tương tự \(\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {ON} = 2 \cdot \frac{3}{2}\overrightarrow {OG'} = 3\overrightarrow {OG'} \).
Do đó \(\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {OG'} - \overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} } \right)\)\( = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right)\).
Đẳng thức nào sau đây mô tả đúng hình vẽ dưới?
\[\overrightarrow {AI} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \];
\[\overrightarrow {AI} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \];
\[\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {AB} \];
\[\overrightarrow {AI} = - 3\overrightarrow {AB} \].
Đáp án đúng là: B
Ta có \[AB = 3AI;\,\,\,\overrightarrow {AI} \] và \[\overrightarrow {AB} \] ngược hướng nên \[\overrightarrow {AB} = - 3\overrightarrow {AI} \Leftrightarrow \]\(\overrightarrow {AI} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \).
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho vectơ \(\overrightarrow u = \,2\overrightarrow i + 13\overrightarrow j \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u \) là
\(\overrightarrow u = \left( {2;\,13} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( {2;\, - 13} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( { - \,2;\, - 13} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( { - \,2;\,13} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow u = \,2\overrightarrow i + 13\overrightarrow j \), khi đó tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u \) là \(\overrightarrow u = \left( {2;\,\,13} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(M\left( { - 1;\,\,2} \right)\) và \(N\left( {3;\, - 1} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {NM} \) là
\(\overrightarrow {NM} = \left( {4;\,\, - 3} \right)\);
\(\overrightarrow {NM} = \left( {2;\,\,1} \right)\);
\(\overrightarrow {NM} = \left( { - 4;\,3} \right)\);
\(\overrightarrow {NM} = \left( {2;\,\, - 1} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[\overrightarrow {NM} = \left( { - 1 - 3;\,2 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 4;\,\,3} \right)\].
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho 3 điểm \(A\left( { - 2; - 3} \right),B\left( {1;4} \right),C\left( {3;1} \right)\). Đặt \(\overrightarrow v = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \). Hỏi tọa độ \(\overrightarrow v \) là cặp số nào?
\(\left( {6;0} \right)\);
\(\left( {0; - 1} \right)\);
\(\left( { - 8;\,\,11} \right)\);
\(\left( {8;\,\,11} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;7} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {5;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow v = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \left( {3 + 5;\,7 + 4} \right) = \left( {8;11} \right)\).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số thực được xác định bởi
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \sin \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right)\);
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right)\);
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \sin \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right)\);
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right)\).
Đáp án đúng là: B
Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số thực được xác định bởi
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right)\).
Cho \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ vuông góc với nhau. Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|\);
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0\);
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - 1\);
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|\).
Đáp án đúng là: B
Vì \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ vuông góc với nhau nên \(\left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right) = 90^\circ \).
Do đó, \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos 90^\circ = 0\).
Tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) và có \[BC = 2AC.\] Tính \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right).\)
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \frac{1}{2}\) ;
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = - \frac{1}{2}\);
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\);
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Đáp án đúng là: B
Dựng điểm \(D\) sao cho \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CD} \). Khi đó \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow {CB} } \right) = \left( {\overrightarrow {CD} ,\,\,\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {BCD}\).
Tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) nên \(\cos \widehat {ACB} = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{AC}}{{2AC}} = \frac{1}{2}\).
Lại có \(\widehat {BCD}\) và \(\widehat {ACB}\) là hai góc bù nhau nên \(\cos \widehat {BCD} = - \cos \widehat {ACB} = - \frac{1}{2}\).
Vậy \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = - \frac{1}{2}\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) có \(AC = 9\), \(BC = 5\). Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \) bằng
81;
91;
56;
76.
Đáp án đúng là: A
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) nên \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{CA}}{{AB}}\).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right) = AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC} = AB \cdot CA \cdot \frac{{CA}}{{AB}} = C{A^2} = 81\).
Số quy tròn của số gần đúng \(a\) trong trường hợp \(\overline a = 37\,\,975\,\,421 \pm 150\) là
37 975 000;
3 797 600;
3 797 000;
37 975 400.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overline a = 37\,\,975\,\,421 \pm 150\).
Vì hàng lớn nhất của độ chính xác \(d = 150\) là hàng trăm, do đó ta làm tròn 37 975 421 đến hàng nghìn theo quy tắc làm tròn. Vậy số quy tròn của số gần đúng \(a\) là 37 975 000.
Làm tròn số 5,1232 đến hàng phần trăm. Sai số tuyệt đối của số quy tròn là
0,0032;
– 0,0032;
0,03;
Đáp án khác.
Đáp án đúng là: A
Làm tròn số 5,1232 đến hàng phần trăm ta được 5,12.
Sai số tuyệt đối là: \(\Delta = \left| {5,1232 - 5,12} \right| = 0,0032\).
Số đặc trưng nào sau đây không đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu?
Phương sai;
Số trung bình;
Mốt;
Số trung vị.
Đáp án đúng là: A
Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu là: số trung bình, số trung vị, mốt.
Phương sai đo độ phân tán của mẫu số liệu.
Điều tra tiền lương hằng tháng của 100 công nhân tại phân xưởng \(A\) cho kết quả như sau:
Tiền lương (triệu đồng) | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 9,5 |
Tần số | 26 | 34 | 20 | 10 | 5 | 5 |
Giá trị mốt của mẫu số liệu trên là
5;
6;
7,5;
9,5.
Đáp án đúng là: B
Từ bảng thống kê ta thấy giá trị 6 có tần số lớn nhất (34) nên mốt của mẫu số liệu là 6.
Tiền lương trung bình của mỗi công nhân trong Câu 29 là
6;
6,46;
6,465;
6,47.
Đáp án đúng là: C
Tiền lương trung bình của mỗi công nhân là:
\(\overline X = \frac{{5 \cdot 26 + 6 \cdot 34 + 7 \cdot 20 + 8 \cdot 10 + 9 \cdot 5 + 9,5 \cdot 5}}{{100}} = 6,465\).
Cho mẫu số liệu: 1; 1; 2; 7; 8; 9; 10; 12; 16. Trung vị của mẫu số liệu là
8;
8,5;
7,3;
7,5.
Đáp án đúng là: A
Mẫu số liệu đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm: 1; 1; 2; 7; 8; 9; 10; 12; 16.
Vì mẫu số liệu có 9 giá trị nên trung vị là số ở vị trí thứ 5. Do đó, \({M_e} = 8\).
Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q}\) cho biết
mức độ phân tán của 25% số liệu dưới của mẫu số liệu đã sắp xếp;
mức độ phân tán của 50% số liệu trên của mẫu số liệu đã sắp xếp;
mức độ phân tán của 50% số liệu chính giữa của mẫu số liệu đã sắp xếp;
mức độ phân tán của 25% số liệu chính giữa của mẫu số liệu đã sắp xếp.
Đáp án đúng là: C
Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q}\) cho biết mức độ phân tán của 50% số liệu chính giữa của mẫu số liệu đã sắp xếp.
Một tổ gồm 10 học sinh có điểm kiểm tra môn Toán giữa học kì 1 như sau: 5; 6; 8; 5; 8; 9; 7; 7; 9; 8. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là
4;
14;
7;
10.
Đáp án đúng là: A
Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là 9, giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là 5.
Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu là \(R = 9 - 5 = 4\).
Phương sai của mẫu số liệu trong Câu 33 xấp xỉ bằng
1,69;
1,96;
1,4;
1,3.
Đáp án đúng là: B
Số trung bình của mẫu số liệu là
\(\overline X = \frac{{5 + 6 + 8 + 5 + 8 + 9 + 7 + 7 + 9 + 8}}{{10}} \approx 7,2\).
Phương sai của mẫu số liệu là:
\({s^2} = \frac{{{{\left( {5 - 7,2} \right)}^2} + {{\left( {6 - 7,2} \right)}^2} + ... + {{\left( {9 - 7,2} \right)}^2} + {{\left( {8 - 7,2} \right)}^2}}}{{10}} \approx 1,96\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ở Câu 33 là
1,5;
2;
2,5;
3.
Đáp án đúng là: B
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:
5; 5; 6; 7; 7; 8; 8; 8; 9; 9.
Vì mẫu số liệu có 10 giá trị nên trung vị là trung bình cộng của hai số ở vị trí thứ 5 và thứ 6.
Do đó, \({M_e} = {Q_2} = \frac{{7 + 8}}{2} = 7,5\).
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy 5; 5; 6; 7; 7.
Do đó, \({Q_1} = 6\).
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy 8; 8; 8; 9; 9.
Do đó, \({Q_3} = 8\).
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 8 - 6 = 2\).
II. Tự luận (3 điểm)
(1 điểm) Một người đi dọc bờ biển từ vị trí \(A\) đến vị trí \(B\) và quan sát một ngọn hải đăng. Góc nghiêng của phương quan sát từ vị trí \(A,\,\,B\) tới ngọn hải đăng với đường đi của người quan sát là \(50^\circ \) và \(70^\circ \). Biết khoảng cách giữa hai vị trí \(A\) và \(B\) là 20 m. Ngọn hải đăng cách bờ biển bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Gọi \(C\) là vị trí ngọn hải đăng, từ \(C\) kẻ \(CH\) vuông góc với đường thẳng \(AB\) tại \(H\). Khi đó \(CH\) là khoảng cách từ ngọn hải đăng tới bờ biển. Ta mô phỏng bài toán như hình vẽ sau:
Vì \(\widehat {CBH}\) là góc ngoài tại đỉnh \(B\) của tam giác \(ABC\) nên \(\widehat {CBH} = \widehat {CAB} + \widehat {ACB}\).
Suy ra \(\widehat {ACB} = \widehat {CBH} - \widehat {CAB} = 70^\circ - 50^\circ = 20^\circ \).
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có:
\(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {CAB}}}\)\( \Rightarrow BC = \frac{{AB\sin \widehat {CAB}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{20 \cdot \sin 50^\circ }}{{\sin 20^\circ }} \approx 44,8\).
Tam giác \(CBH\) vuông tại \(H\) nên ta có:
\(CH = BC\sin \widehat {CBH} = 44,8 \cdot \sin 70^\circ \approx 42,1\).
Vậy ngọn hải đăng cách bờ biển khoảng 42,1 m.
(1 điểm) Cho tam giác \(ABC\) có \[\,AB = c,BC = a,\,CA = b\]. Trung tuyến \(CM\) vuông góc với phân giác trong \(AL\) và \[\frac{{CM}}{{AL}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]. Tính \[\cos A\].
Ta phân tích được: \[\overrightarrow {AL} = \frac{b}{{b + c}}\overrightarrow {AB} + \frac{c}{{b + c}}\overrightarrow {AC} \]
\[\overrightarrow {CM} = \frac{{\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} }}{2} = \frac{{\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} }}{2}\]
Theo giả thiết: \[AL \bot CM \Leftrightarrow \overrightarrow {AL} .\overrightarrow {CM} = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left( {b\overrightarrow {AB} + c\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} } \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow b{c^2} + b{c^2}\cos A - 2c{b^2}\cos A - 2c{b^2} = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left( {c - 2b} \right)\left( {1 + \cos A} \right) = 0 \Rightarrow c = 2b\,\,\left( {do\,\,\cos A > - 1} \right)\]
Khi đó: \[C{M^2} = \frac{{{b^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4} = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{2}\]
\[A{L^2} = \frac{1}{9}{\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)^2} = \frac{1}{9}\left( {A{B^2} + A{C^2} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{2}{9}\left( {9{b^2} - {a^2}} \right)\]
\[\frac{{CM}}{{AL}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \frac{{C{M^2}}}{{A{L^2}}} = \frac{9}{4}.\frac{{{a^2} - {b^2}}}{{9{b^2} - {a^2}}} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow {a^2} = 3{b^2}\]
Do đó, \[\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{b^2} + {{\left( {2b} \right)}^2} - 3{b^2}}}{{2b \cdot 2b}} = \frac{1}{2}\].
(1 điểm) Bảng sau ghi giá bán ra lúc 15 giờ của hai mã cổ phiếu \(M\) và \(N\) trong 10 ngày liên tiếp (đơn vị: nghìn đồng).
Ngày | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
\(M\) | 25 | 25,1 | 25,3 | 15,5 | 25,6 | 25,5 | 25,4 | 25,5 | 25,4 | 25,2 |
\(N\) | 27 | 27,4 | 27,8 | 48,2 | 29 | 28,8 | 28,8 | 28,8 | 28,6 | 29,2 |
a) Biết có 1 trong 10 ngày trên có sự bất thường trong giá cổ phiếu. Hãy tìm ngày đó và giải thích.
b) Sau khi bỏ đi ngày có giá trị bất thường, hãy cho biết giá cổ phiếu nào ổn định hơn. Tại sao?
a)
• Sắp xếp mẫu số liệu mã cổ phiếu \(M\) theo thứ tự không giảm, ta được:
15,5 25 25,1 25,2 25,3 25,4 25,4 25,5 25,5 25,6
Vì mẫu số liệu gồm 10 số liệu (là số chẵn) nên trung vị của mẫu số liệu là trung bình cộng của hai số chính giữa, là số ở vị trí thứ 5 và thứ 6. Do đó, trung vị của mẫu số liệu hay tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là \({Q_2} = \frac{{25,3 + 25,4}}{2} = 25,35\).
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy: 15,5 25 25,1 25,2 25,3.
Do đó, \({Q_1} = 25,1\).
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy: 25,4 25,4 25,5 25,5 25,6.
Do đó, \({Q_3} = 25,5\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 25,5 - 25,1 = 0,4\).
Ta có: \({Q_1} - 1,5{\Delta _Q} = 25,1 - 1,5 \cdot 0,4 = 24,5\); \({Q_3} + 1,5{\Delta _Q} = 25,5 + 1,5 \cdot 0,4 = 26,1\).
Trong mẫu số liệu đã cho có giá trị 15,5 < 24,5.
Do đó, mẫu số liệu mã cổ phiếu \(M\) có giá trị bất thường là 15,5 rơi vào ngày thứ 4.
• Sắp xếp mẫu số liệu mã cổ phiếu \(N\) theo thứ tự không giảm, ta được:
27 27,4 27,8 28,6 28,8 28,8 28,8 29 29,2 48,2
Vì mẫu số liệu gồm 10 số liệu (là số chẵn) nên trung vị của mẫu số liệu là trung bình cộng của hai số chính giữa, là số ở vị trí thứ 5 và thứ 6. Do đó, trung vị của mẫu số liệu hay tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là \({Q'_2} = \frac{{28,8 + 28,8}}{2} = 28,8\).
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy: 27 27,4 27,8 28,6 28,8.
Do đó, \({Q'_1} = 27,8\).
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy: 28,8 28,8 29 29,2 48,2.
Do đó, \({Q'_3} = 29\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là \({\Delta '_Q} = {Q'_3} - {Q'_1} = 29 - 27,8 = 1,2\).
Ta có: \({Q'_1} - 1,5{\Delta '_Q} = 27,8 - 1,5 \cdot 1,2 = 26\); \({Q'_3} + 1,5{\Delta '_Q} = 29 + 1,5 \cdot 1,2 = 30,8\).
Trong mẫu số liệu đã cho có giá trị 48,2 > 30,8.
Do đó, mẫu số liệu mã cổ phiếu \(N\) có giá trị bất thường là 48,2 rơi vào ngày thứ 4.
Vậy ta kiểm tra được giá trị bất thường rơi vào ngày thứ 4.
b) Khi bỏ đi ngày có giá trị bất thường, ta có bảng sau:
Ngày | 1 | 2 | 3 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
\(M\) | 25 | 25,1 | 25,3 | 25,6 | 25,5 | 25,4 | 25,5 | 25,4 | 25,2 |
\(N\) | 27 | 27,4 | 27,8 | 29 | 28,8 | 28,8 | 28,8 | 28,6 | 29,2 |
So sánh phương sai mẫu số liệu mã cổ phiếu \(M\) và \(N\) để kiểm tra tính ổn định của mẫu.
Số trung bình của mẫu số liệu \(M\) là:
XM¯= 25 +25,1 + 25,2 + 25,3 + 25,4 + 25,4 +25,5 + 25,5 + 25,69=763
Phương sai mẫu số liệu \(M\) là:
\(s_M^2 = \frac{{{{\left( {25 - \frac{{76}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {25,1 - \frac{{76}}{3}} \right)}^2} + ... + {{\left( {25,6 - \frac{{76}}{3}} \right)}^2}}}{9} \approx 0,04\).
Số trung bình của mẫu số liệu \(N\) là:
\(\overline {X{ & _N}} = \frac{{27\; + \;27,4\; + \;27,8\; + \;28,6\; + \;28,8\; + \;28,8\; + \;28,8\; + \;29\; + \;29,2}}{9} \approx 28,38\).
Phương sai mẫu số liệu \(N\) là:
\(s_N^2 = \frac{{{{\left( {27 - 28,38} \right)}^2} + {{\left( {27,4 - 28,38} \right)}^2} + ... + {{\left( {29,2 - 28,38} \right)}^2}}}{9} \approx 0,54\).
Vì 0,54 > 0,04 nên \(s_N^2 > s_M^2\), do đó giá của mã cổ phiếu \(M\) ổn định hơn giá của mã cổ phiếu \(N\).
Vậy sau khi bỏ đi giá cổ phiếu của ngày thứ 4 rồi so sánh phương sai mẫu, ta thấy giá của mã cổ phiếu \(M\) ổn định hơn giá của mã cổ phiếu \(N\).
