Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 3
38 câu hỏi
Đáp án đúng là: B
Vì số \(\pi \) là số vô tỉ nên phát biểu “\(\pi \)là một số hữu tỉ.” là mệnh đề sai.
Phát biểu “Bạn có chăm học không?” không là mệnh đề.
Phát biểu “Con thì thấp hơn cha.” không xác định tính đúng sai nên không là mệnh đề.
Theo bất đẳng thức tam giác, trong một tam giác tổng độ dài của hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh thứ ba, vậy phát biểu ở đáp án B đúng.
\(\emptyset \);
\(\left\{ 1 \right\}\);
\(\left\{ {1;\,\,2;\,\,3} \right\}\);
\(\left\{ {1;\,\,2} \right\}\).
Đáp án đúng là: A
Mọi tập hợp đều có hai tập con là chính nó và tập rỗng (\(\emptyset \)).
Riêng tập rỗng chỉ có một tập con là chính nó (chính là tập \(\emptyset \)).
\(A\backslash B = \left\{ {\frac{1}{2};\,\,1;\,\,2;\,\,3} \right\}\);
\(A\backslash B = \left\{ {\frac{1}{2};\,\,1} \right\}\);
\(A\backslash B = \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\);
\(A\backslash B = \left\{ {2;\,\,3} \right\}\).
Đáp án đúng là: C
Cách 1: Giải phương trình \[2{x^2} - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\]. Mà \[x \in \mathbb{R}\] nên \[A = \left\{ {\frac{1}{2};\,1} \right\}\].
Giải bất phương trình \[3x - 2 < 10 \Leftrightarrow x < 4\]. Mà \[x \in {\mathbb{N}^*}\] nên chọn \[B = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3} \right\}\].
Ta có: \(A\backslash B = \left\{ {\frac{1}{2};\,\,1} \right\}\backslash \left\{ {1;\,\,2;\,\,3} \right\} = \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\).
Cách 2: Ta thử từng phần tử của các đáp án, nếu thỏa yêu cầu bài toán của tập \[A\] mà không thuộc tập \[B\] thì đó là đáp án đúng.
Đáp án đúng là: B
Giả sử đường thẳng \(d\) có phương trình: \(y = ax + b\).
Từ hình vẽ ta thấy, đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm có tọa độ \(\left( {0;\,\,1} \right)\) và \(\left( {0,5;\,\,0} \right)\).
Khi đó ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}a \cdot 0 + b = 1\\a \cdot 0,5 + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 1\end{array} \right.\).
Do đó, \(d:y = - 2x + 1\) hay \(d:2x + y = 1\).
Lấy điểm \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) không thuộc đường thẳng \(d\), ta thấy \(2 \cdot 0 + 0 = 0 < 1\) và nửa mặt phẳng không bị gạch chéo không chứa điểm \(O\).
Vậy nửa mặt phẳng không bị gạch chéo ở hình đã cho là miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y > 1\).
\(x - y > 0\);
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 4 \ge 0}\\{3x + 4y < 2}\end{array}} \right.\];
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y^2} + 2y - 3 > 0}\\{5x - y > 2}\end{array}} \right.\];
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 4 \ge y}\\{3x + 4y < 2}\end{array}} \right.\].
Đáp án đúng là: D
Ta thấy hệ \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 4 \ge y}\\{3x + 4y < 2}\end{array}} \right.\] có hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho nên đáp án D thỏa yêu cầu đề bài.
0;
\(\sqrt 3 \);
1;
2.
Đáp án đúng là: A
Áp dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:
\(\tan 45^\circ + \cot 135^\circ = 1 + \left( { - 1} \right) = 0\).
Đáp án đúng là: B
Hai góc bù nhau thì có sin bằng nhau, côsin, tang, côtang đối nhau nên với hai góc bù nhau \(\alpha \) và \(180^\circ - \alpha \) (\(0^\circ < \alpha < 180^\circ \)), ta có:
\(\sin \alpha = \sin \left( {180^\circ - \alpha } \right)\);
\(\cos \alpha = - \cos \left( {180^\circ - \alpha } \right)\);
\(\tan \alpha = - \tan \left( {180^\circ - \alpha } \right)\,\,\,\,\,\left( {\alpha \ne 90^\circ } \right)\);
\(\cot \alpha = - \cot \left( {180^\circ - \alpha } \right)\).
– 1;
1;
0;
3.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(A = \tan 1^\circ \cdot \tan 2^\circ \cdot \tan 3^\circ ...\tan 88^\circ \cdot \tan 89^\circ \)
\( = \left( {\tan 1^\circ \cdot \tan 89^\circ } \right) \cdot \left( {\tan 2^\circ \cdot \tan 88^\circ } \right)...\left( {\tan 44^\circ \cdot \tan 46^\circ } \right) \cdot \tan 45^\circ \)
\( = \left( {\tan 1^\circ \cdot \cot 1^\circ } \right) \cdot \left( {\tan 2^\circ \cdot \cot 2^\circ } \right)...\left( {\tan 44^\circ \cdot \cot 44^\circ } \right) \cdot 1 = 1\)
\(3\sqrt {12} \);
\(2\sqrt {13} \);
\(2\sqrt {37} \);
\(2\sqrt 5 \).
Đáp án đúng là: B
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB \cdot BC \cdot \cos B = {6^2} + {8^2} - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ = 52\).
Suy ra\(AC = 2\sqrt {13} \).
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 38 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
4;
6;
8;
10.
Đáp án đúng là: B
Các vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {OD} \) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là:\(\,\overrightarrow {AD} ,\,\overrightarrow {DA} ,\,\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {CB} ,\,\overrightarrow {EF} ,\,\overrightarrow {FE} \).
Vậy có 6 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {IA} = \overrightarrow {BI} \);
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD} \);
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \vec 0\);
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \vec 0\).
Đáp án đúng là: C
Theo tính chất giao hoán và quy tắc ba điểm, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {IB} \ne \overrightarrow {BI} \) nên đáp án A sai.
Áp dụng quy tắc hình bình hành đối với hình bình hành \(ABCD\), ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {BD} \) nên đáp án B sai.
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \). Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {DD} = \vec 0\), do đó đáp án C đúng.
Theo quy tắc ba điểm, ta có: \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} \ne \overrightarrow 0 \] nên đáp án D sai.
\[\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {BA} \];
\[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {AO} \];
\[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {CB} \];
\[\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CO} \].
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CO} = \overrightarrow {OA} \] (theo quy tắc hiệu).
2;
4;
8;
\(2\sqrt 3 \).
Đáp án đúng là: B
Vì \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\;\] nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = - \overrightarrow {GA} \Leftrightarrow \overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG} = \overrightarrow {AG} \).
Do đó, \(\left| {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG} } \right| = \left| {\overrightarrow {AG} } \right| = AG\).
Giả sử điểm \(M\) là trung điểm của cạnh huyền \(BC\), khi đó \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông \(ABC\) nên \(AM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\).
Theo tính chất trọng tâm ta có: \(AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4\).
Vậy \(\left| {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG} } \right| = \left| {\overrightarrow {AG} } \right| = AG = 4\).
\(2\overrightarrow {GM} \);
\(\frac{2}{3}\overrightarrow {GM} \);
\( - \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \);
\(\frac{1}{2}\overrightarrow {AM} \).
Đáp án đúng là: C
Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên ta có \(AG = \frac{2}{3}AM,\,AG = 2GM\).
Hai vectơ \(\overrightarrow {GA} \) và \(\overrightarrow {GM} \) ngược hướng nên \(\overrightarrow {GA} = - 2\overrightarrow {GM} \). Vậy đáp án A và B đều sai.
Hai vectơ \(\overrightarrow {GA} \) và \(\overrightarrow {AM} \) ngược hướng nên \(\overrightarrow {GA} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \). Vậy đáp án C đúng và đáp án D sai.
\(k = 2\);
\(k = - 2\);
\(k = \frac{1}{2}\);
\(k = - \frac{1}{2}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\frac{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) hay \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow b } \right|\) . Mà hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \) cùng hướng nên \(\overrightarrow a = \frac{1}{2}\overrightarrow b \).
\[\overrightarrow {IM} = \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \];
\[\overrightarrow {IM} = \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \];
\[\overrightarrow {IM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \];
\[\overrightarrow {IM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \].
Đáp án đúng là: B
Vì \[I\] là trung điểm của \(AB\) nên \(\overrightarrow {IB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \).
Vì \(CM = 2MB\) nên \(BM = \frac{1}{3}BC\), do đó \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \).
Ta có: \(\overrightarrow {IM} = \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\)
\( = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).
Đẳng thức nào sau đây mô tả đúng hình vẽ dưới?
\[3\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 \];
\[3\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \];
\[\overrightarrow {BI} + 3\overrightarrow {BA} = \overrightarrow 0 \];
\[\overrightarrow {AI} + 3\overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 \].
Đáp án đúng là: A
Ta có \[AB = 3AI;\,\,\,\overrightarrow {AI} \] và \[\overrightarrow {AB} \] ngược hướng nên \[\overrightarrow {AB} = - 3\overrightarrow {AI} \Leftrightarrow \]\[3\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 \]
Vậy \[3\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 \].
\(\overrightarrow u = \left( {4;\, - 9} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( {4;\,9} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( { - \,4;\, - 9} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( { - 4;\,9} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\overrightarrow u = - \,4\overrightarrow i - 9\overrightarrow j \), khi đó tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u \) là \(\overrightarrow u = \left( { - \,4;\, - 9} \right)\).
\(\overrightarrow {NM} = \left( { - 3;\,\, - 2} \right)\);
\(\overrightarrow {NM} = \left( {3;\,\,2} \right)\);
\(\overrightarrow {NM} = \left( {3;\, - 2} \right)\);
\(\overrightarrow {NM} = \left( { - 3;\,\,2} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[\overrightarrow {NM} = \left( {2 - \left( { - 1} \right);\, - 3 - \left( { - 5} \right)} \right) = \left( {3;\,\,2} \right)\].
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {CD} \) đối nhau;
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {CD} \) cùng phương, cùng hướng;
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {CD} \) không cùng phương.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;3} \right),\,\overrightarrow {CD} = \left( { - 8; - 6} \right) \Rightarrow \overrightarrow {CD} = - 2\overrightarrow {AB} \).
Do đó, hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {CD} \) cùng phương và ngược hướng.
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \sin \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right)\);
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right)\);
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \sin \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right)\);
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right)\).
Đáp án đúng là: B
Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số thực được xác định bởi
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right)\).
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|\);
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0\);
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - 1\);
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|\).
Đáp án đúng là: B
Vì \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ vuông góc với nhau nên \(\left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right) = 90^\circ \).
Do đó, \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos 90^\circ = 0\).
\(45^\circ \);
\(60^\circ \);
\(30^\circ \);
\(135^\circ \).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 1 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 6} \right) = 10\).
\(\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{10}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Do đó, \(\left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = 45^\circ \).
\(\sqrt 3 \);
\( - \sqrt 3 \);
\(3\);
\( - 3\).
Đáp án đúng là: D
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\) ta có:
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC} = {1^2} + {2^2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 3\).
Suy ra \(AC = \sqrt 3 \).
Theo hệ quả của định lí côsin ta có:
\(\cos \widehat {ACB} = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2 \cdot AC \cdot BC}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {2^2} - {1^2}}}{{2 \cdot \sqrt 3 \cdot 2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Ta có: \(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {CB} \cdot \overrightarrow {CA} = - \left( {\left| {\overrightarrow {CB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \cos \widehat {ACB}} \right) = - \left( {2 \cdot \sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = - 3\).
55 000;
54 880;
54 890;
54 900.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overline a = 54\,\,880 \pm 200\).
Vì hàng lớn nhất của độ chính xác \(d = 200\) là hàng trăm, do đó ta làm tròn 54 880 đến hàng nghìn theo quy tắc làm tròn. Vậy số quy tròn của số gần đúng \(a\) là 55 000.
0,01;
0,02;
0,03;
Đáp án khác.
Đáp án đúng là: C
Làm tròn số 23,87 đến hàng phần mười ta được 23,9.
Sai số tuyệt đối là: \(\Delta = \left| {23,87 - 23,9} \right| = 0,03\).
Phương sai;
Số trung bình;
Mốt;
Số trung vị.
Đáp án đúng là: C
Các giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu được gọi là mốt.
1;
24;
16;
10.
Đáp án đúng là: C
Từ bảng thống kê ta thấy giá trị 16 có tần số lớn nhất (24) nên mốt của mẫu số liệu là 16.
40,3;
48;
49;
50.
Đáp án đúng là: A
Cân nặng trung bình của cả nhóm là:
\(\overline X = \frac{{50 + 46 + 48 + 59 + 48 + 47 + 56 + 59 + 57 + 40}}{{10}} = 40,3\).
40,3;
48;
49;
50.
Đáp án đúng là: C
Sắp xếp mẫu số liệu đã cho theo thứ tự không giảm ta được:
40; 46; 47; 48; 48; 50; 56; 57; 59; 59.
Vì mẫu số liệu có 10 giá trị nên trung vị là trung bình cộng của số ở vị trí thứ 5 và vị trí thứ 6. Do đó, \({M_e} = \frac{{48 + 50}}{2} = 49\).
\({Q_2} - {Q_1}\);
\({Q_3} - {Q_2}\);
\({Q_3} - {Q_1}\);
\({Q_2} - {Q_3}\).
Đáp án đúng là: C
Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\).
100;
101;
102;
103.
Đáp án đúng là: A
Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là 200, giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là 100.
Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu là \(R = 200 - 100 = 100\).
884,26;
884,25;
884,24;
884,23.
Đáp án đúng là: B
Số trung bình của mẫu số liệu là
\(\overline X = \frac{{100 + 200 + 150 + 145 + 145 + 154 + 166 + 167 + 101}}{9} \approx 147,56\).
Phương sai của mẫu số liệu là:
\({s^2} = \frac{{{{\left( {100 - 147,56} \right)}^2} + {{\left( {200 - 147,56} \right)}^2} + ... + {{\left( {167 - 147,56} \right)}^2} + {{\left( {101 - 147,56} \right)}^2}}}{9} \approx 884,25\)
33;
16,5;
45,3;
43,5.
Đáp án đúng là: D
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:
100; 101; 145; 145; 150; 154; 166; 167; 200.
Vì mẫu số liệu có 9 giá trị nên trung vị là số ở vị trí thứ 5.
Do đó, \({M_e} = {Q_2} = 150\).
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy 100; 101; 145; 145.
Do đó, \({Q_1} = \frac{{101 + 145}}{2} = 123\).
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy 154; 166; 167; 200.
Do đó, \({Q_3} = \frac{{166 + 167}}{2} = 166,5\).
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 166,5 - 123 = 43,5\).
II. Tự luận (3 điểm)
(1 điểm) Từ vị trí \(A\), người ta quan sát một cây cao (như hình dưới). Biết \(AH = 5\,\,{\rm{m,}}\)\(HB = 25\,{\rm{m}}\), \(\widehat {BAC} = 45^\circ \). Tính chiều cao \(BC\) của cây.
Ta mô phỏng bài toán như sau:
Vì tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\), theo định lí Pythagore ta có:
\(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} = {5^2} + {25^2} = 650\)
Suy ra \(AB = 5\sqrt {26} \).
Lại có: \(\cos \widehat {HAB} = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{5}{{5\sqrt {26} }} = \frac{1}{{\sqrt {26} }}\), suy ra \(\widehat {HAB} \approx 79^\circ \).
Ta có: \(\widehat {HAC} = \widehat {HAB} + \widehat {BAC} = 79^\circ + 45^\circ = 124^\circ \).
Tứ giác \(AHBC\) có: \(\widehat H + \widehat {HAC} + \widehat {ACB} + \widehat {HBC} = 360^\circ \).
Suy ra \(\widehat {ACB} = 360^\circ - \left( {\widehat H + \widehat {HAC} + \widehat {HBC}} \right) = 360^\circ - \left( {90^\circ + 124^\circ + 90^\circ } \right) = 56^\circ \).
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có:
\(\frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} \Rightarrow BC = \frac{{AB\sin \widehat {BAC}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{5\sqrt {26} \cdot \sin 45^\circ }}{{\sin 56^\circ }} \approx 21,75\).
Vậy chiều cao \(BC\) của cây xấp xỉ 21,75 m.
Vì M là trung điểm của BC nên \[\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\].
Suy ra \[AM = {\overrightarrow {AM} ^2} = \frac{1}{4}{\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)^2} = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right)\]
Lại có
\[\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right) = c \cdot b.\cos A = bc \cdot \frac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{1}{2}\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right)\]
Nên \[A{M^2} = \frac{1}{4}\left( {{c^2} + 2.\frac{1}{2}\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right) + {b^2}} \right) = \frac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4}\].
Theo tính chất đường phân giác thì \[\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{c}{b}\].
Suy ra \[\overrightarrow {BD} = \frac{{BD}}{{DC}}\overrightarrow {DC} = \frac{b}{c}\overrightarrow {DC\,} \,\,\,\,\,\left( * \right)\]
Mặt khác \[\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \] và \[\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} \] thay vào (*) ta được
\[\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} = \frac{b}{c}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} } \right) \Leftrightarrow \left( {b + c} \right)\overrightarrow {AD} = b\overrightarrow {AB} + c\overrightarrow {AC} \]
\[ \Leftrightarrow {\left( {b + c} \right)^2}{\overrightarrow {AD} ^2} = {\left( {b\overrightarrow {AB} } \right)^2} + 2bc\overrightarrow {AB} \overrightarrow {AC} + {\left( {c\overrightarrow {AC} } \right)^2}\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {b + c} \right)^2}{\overrightarrow {AD} ^2} = {b^2}{c^2} + 2bc.\frac{1}{2}\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right) + {c^2}{b^2}\]
\[ \Leftrightarrow {\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{{bc}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}\left( {b + c - a} \right)\left( {b + c + a} \right)\]
Vậy \[{\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{{bc}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}\left( {b + c - a} \right)\left( {b + c + a} \right)\].
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:
20 20 22 25 25 30 33 38 40 90
Vì mẫu số liệu gồm 10 số liệu (là số chẵn) nên trung vị của mẫu số liệu là trung bình cộng của hai số chính giữa, là số ở vị trí thứ 5 và thứ 6. Do đó, trung vị của mẫu số liệu hay tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là \({Q_2} = \frac{{25 + 30}}{2} = 27,5\).
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy: 20 20 22 25 25.
Do đó, \({Q_1} = 22\).
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy: 30 33 38 40 90.
Do đó, \({Q_3} = 38\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 38 - 22 = 16\).
Ta có: \({Q_1} - 1,5{\Delta _Q} = 22 - 1,5 \cdot 16 = - 2\); \({Q_3} + 1,5{\Delta _Q} = 38 + 1,5 \cdot 16 = 62\).
Trong mẫu số liệu đã cho có giá trị 90 lớn hơn 62.
Vậy mẫu số liệu đã cho có giá trị bất thường là 90.
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
