Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 3
38 câu hỏi
I. Trắc nghiệm (7 điểm)
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề đúng?
“\(\pi \)là một số hữu tỉ.”;
“Tổng của hai cạnh một tam giác lớn hơn cạnh thứ ba.”;
“Bạn có chăm học không?”;
“Con thì thấp hơn cha.”.
Đáp án đúng là: B
Vì số \(\pi \) là số vô tỉ nên phát biểu “\(\pi \)là một số hữu tỉ.” là mệnh đề sai.
Phát biểu “Bạn có chăm học không?” không là mệnh đề.
Phát biểu “Con thì thấp hơn cha.” không xác định tính đúng sai nên không là mệnh đề.
Theo bất đẳng thức tam giác, trong một tam giác tổng độ dài của hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh thứ ba, vậy phát biểu ở đáp án B đúng.
Trong các tập hợp sau, tập nào có đúng một tập hợp con ?
\(\emptyset \);
\(\left\{ 1 \right\}\);
\(\left\{ {1;\,\,2;\,\,3} \right\}\);
\(\left\{ {1;\,\,2} \right\}\).
Đáp án đúng là: A
Mọi tập hợp đều có hai tập con là chính nó và tập rỗng (\(\emptyset \)).
Riêng tập rỗng chỉ có một tập con là chính nó (chính là tập \(\emptyset \)).
Cho hai tập hợp \[A = \left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {2{x^2} - 3x + 1 = 0} \right.} \right\},B = \left\{ {x \in {\mathbb{N}^*}\left| {3x - 2 < 10} \right.} \right\}\], khi đó:
\(A\backslash B = \left\{ {\frac{1}{2};\,\,1;\,\,2;\,\,3} \right\}\);
\(A\backslash B = \left\{ {\frac{1}{2};\,\,1} \right\}\);
\(A\backslash B = \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\);
\(A\backslash B = \left\{ {2;\,\,3} \right\}\).
Đáp án đúng là: C
Cách 1: Giải phương trình \[2{x^2} - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\]. Mà\[x \in \mathbb{R}\] nên \[A = \left\{ {\frac{1}{2};\,1} \right\}\].
Giải bất phương trình \[3x - 2 < 10 \Leftrightarrow x < 4\]. Mà \[x \in {\mathbb{N}^*}\] nên chọn \[B = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3} \right\}\].
Ta có: \(A\backslash B = \left\{ {\frac{1}{2};\,\,1} \right\}\backslash \left\{ {1;\,\,2;\,\,3} \right\} = \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\).
Cách 2: Ta thử từng phần tử của các đáp án, nếu thỏa yêu cầu bài toán của tập \[A\] mà không thuộc tập \[B\] thì đó là đáp án đúng.
Nửa mặt phẳng không bị gạch chéo ở hình dưới đây là miền nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?
\(x + 2y > 1\);
\(2x + y > 1\);
\(2x + y < 1\);
\(2x - y > 1\).
Đáp án đúng là: B
Giả sử đường thẳng \(d\) có phương trình: \(y = ax + b\).
Từ hình vẽ ta thấy, đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm có tọa độ \(\left( {0;\,\,1} \right)\) và \(\left( {0,5;\,\,0} \right)\).
Khi đó ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}a \cdot 0 + b = 1\\a \cdot 0,5 + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 1\end{array} \right.\).
Do đó, \(d:y = - 2x + 1\) hay \(d:2x + y = 1\).
Lấy điểm \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) không thuộc đường thẳng \(d\), ta thấy \(2 \cdot 0 + 0 = 0 < 1\) và nửa mặt phẳng không bị gạch chéo không chứa điểm \(O\).
Vậy nửa mặt phẳng không bị gạch chéo ở hình đã cho là miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y > 1\).
Trong các hệ bất phương trình sau, hệ bất phương trình nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(x - y > 0\);
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 4 \ge 0}\\{3x + 4y < 2}\end{array}} \right.\];
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y^2} + 2y - 3 > 0}\\{5x - y > 2}\end{array}} \right.\];
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 4 \ge y}\\{3x + 4y < 2}\end{array}} \right.\].
Đáp án đúng là: D
Ta thấy hệ \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 4 \ge y}\\{3x + 4y < 2}\end{array}} \right.\] có hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho nên đáp án D thỏa yêu cầu đề bài.
Giá trị của \(\tan 45^\circ + \cot 135^\circ \) bằng bao nhiêu?
0;
\(\sqrt 3 \);
1;
2.
Đáp án đúng là: A
Áp dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:
\(\tan 45^\circ + \cot 135^\circ = 1 + \left( { - 1} \right) = 0\).
Khẳng định nào sau đây là đúng với \(0^\circ < \alpha < 180^\circ \)?
\(\sin \alpha = - \sin \left( {180^\circ - \alpha } \right)\);
\(\cos \alpha = - \cos \left( {180^\circ - \alpha } \right)\);
\(\tan \alpha = \tan \left( {180^\circ - \alpha } \right)\);
\(\cot \alpha = \cot \left( {180^\circ - \alpha } \right)\).
Đáp án đúng là: B
Hai góc bù nhau thì có sin bằng nhau, côsin, tang, côtang đối nhau nên với hai góc bù nhau \(\alpha \) và \(180^\circ - \alpha \) (\(0^\circ < \alpha < 180^\circ \)), ta có:
\(\sin \alpha = \sin \left( {180^\circ - \alpha } \right)\);
\(\cos \alpha = - \cos \left( {180^\circ - \alpha } \right)\);
\(\tan \alpha = - \tan \left( {180^\circ - \alpha } \right)\,\,\,\,\,\left( {\alpha \ne 90^\circ } \right)\);
\(\cot \alpha = - \cot \left( {180^\circ - \alpha } \right)\).
Giá trị của biểu thức \(A = \tan 1^\circ \cdot \tan 2^\circ \cdot \tan 3^\circ ...\tan 88^\circ \cdot \tan 89^\circ \) là
– 1;
1;
0;
3.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(A = \tan 1^\circ \cdot \tan 2^\circ \cdot \tan 3^\circ ...\tan 88^\circ \cdot \tan 89^\circ \)
\( = \left( {\tan 1^\circ \cdot \tan 89^\circ } \right) \cdot \left( {\tan 2^\circ \cdot \tan 88^\circ } \right)...\left( {\tan 44^\circ \cdot \tan 46^\circ } \right) \cdot \tan 45^\circ \)
\( = \left( {\tan 1^\circ \cdot \cot 1^\circ } \right) \cdot \left( {\tan 2^\circ \cdot \cot 2^\circ } \right)...\left( {\tan 44^\circ \cdot \cot 44^\circ } \right) \cdot 1 = 1\)
Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 6;\,BC = 8;\,\widehat B = 60^\circ \). Tính độ dài cạnh \(AC\).
\(3\sqrt {12} \);
\(2\sqrt {13} \);
\(2\sqrt {37} \);
\(2\sqrt 5 \).
Đáp án đúng là: B
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB \cdot BC \cdot \cos B = {6^2} + {8^2} - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ = 52\).
Suy ra\(AC = 2\sqrt {13} \).
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Vectơ là một đường thẳng có hướng;
Vectơ là một đoạn thẳng;
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng;
Vectơ là một đoạn thẳng không phân biệt điểm đầu và điểm cuối.
Đáp án đúng là: C
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.
Cho hình lục giác đều \(ABCDEF\) tâm \(O\). Số các vectơ khác vectơ-không, cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {OD} \) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là
4;
6;
8;
10.
Đáp án đúng là: B
Các vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {OD} \) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là:\(\,\overrightarrow {AD} ,\,\overrightarrow {DA} ,\,\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {CB} ,\,\overrightarrow {EF} ,\,\overrightarrow {FE} \).
Vậy có 6 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hình bình hành \(ABCD\), với giao điểm hai đường chéo là \(I\). Khi đó:
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {IA} = \overrightarrow {BI} \);
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD} \);
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \vec 0\);
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \vec 0\).
Đáp án đúng là: C
Theo tính chất giao hoán và quy tắc ba điểm, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {IB} \ne \overrightarrow {BI} \) nên đáp án A sai.
Áp dụng quy tắc hình bình hành đối với hình bình hành \(ABCD\), ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {BD} \) nên đáp án B sai.
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \). Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {DD} = \vec 0\), do đó đáp án C đúng.
Theo quy tắc ba điểm, ta có: \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} \ne \overrightarrow 0 \] nên đáp án D sai.
Cho 4 điểm bất kì \(A,\,B,\,C,\,O\). Đẳng thức nào sau đây đúng?
\[\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {BA} \];
\[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {AO} \];
\[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {CB} \];
\[\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CO} \].
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CO} = \overrightarrow {OA} \] (theo quy tắc hiệu).
Gọi \[G\] là trọng tâm tam giác vuông \[ABC\;\] với cạnh huyền \[BC = 12\]. Vectơ \[\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG} \] có độ dài bằng
2;
4;
8;
\(2\sqrt 3 \).
Đáp án đúng là: B
Vì \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\;\] nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = - \overrightarrow {GA} \Leftrightarrow \overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG} = \overrightarrow {AG} \).
Do đó, \(\left| {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG} } \right| = \left| {\overrightarrow {AG} } \right| = AG\).
Giả sử điểm \(M\) là trung điểm của cạnh huyền \(BC\), khi đó \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông \(ABC\) nên \(AM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\).
Theo tính chất trọng tâm ta có: \(AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4\).
Vậy \(\left| {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG} } \right| = \left| {\overrightarrow {AG} } \right| = AG = 4\).
Cho tam giác \[ABC\] với trung tuyến \[AM\] và trọng tâm \[G\]. Khi đó \[\overrightarrow {GA} = \]
\(2\overrightarrow {GM} \);
\(\frac{2}{3}\overrightarrow {GM} \);
\( - \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \);
\(\frac{1}{2}\overrightarrow {AM} \).
Đáp án đúng là: C
Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên ta có \(AG = \frac{2}{3}AM,\,AG = 2GM\).
Hai vectơ \(\overrightarrow {GA} \) và \(\overrightarrow {GM} \) ngược hướng nên \(\overrightarrow {GA} = - 2\overrightarrow {GM} \). Vậy đáp án A và B đều sai.
Hai vectơ \(\overrightarrow {GA} \) và \(\overrightarrow {AM} \) ngược hướng nên \(\overrightarrow {GA} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \). Vậy đáp án C đúng và đáp án D sai.
Giá trị của \(k\) sao cho \(\overrightarrow a = k\overrightarrow b \), biết rằng \(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \) cùng hướngvà \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 2,\,\,\left| {\overrightarrow b } \right| = 4\) là
\(k = 2\);
\(k = - 2\);
\(k = \frac{1}{2}\);
\(k = - \frac{1}{2}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\frac{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) hay \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow b } \right|\) . Mà hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \) cùng hướng nên \(\overrightarrow a = \frac{1}{2}\overrightarrow b \).
Cho tam giác \[ABC\] có điểm \[M\]thuộc cạnh \[BC\] sao cho \[CM = 2MB\] và \[I\] là trung điểm của \[AB\]. Đẳng thức nào sau đây đúng?
\[\overrightarrow {IM} = \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \];
\[\overrightarrow {IM} = \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \];
\[\overrightarrow {IM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \];
\[\overrightarrow {IM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \].
Đáp án đúng là: B
Vì \[I\] là trung điểm của \(AB\) nên \(\overrightarrow {IB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \).
Vì \(CM = 2MB\) nên \(BM = \frac{1}{3}BC\), do đó \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \).
Ta có: \(\overrightarrow {IM} = \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\)
\( = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).
Đẳng thức nào sau đây mô tả đúng hình vẽ dưới?
\[3\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 \];
\[3\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \];
\[\overrightarrow {BI} + 3\overrightarrow {BA} = \overrightarrow 0 \];
\[\overrightarrow {AI} + 3\overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 \].
Đáp án đúng là: A
Ta có \[AB = 3AI;\,\,\,\overrightarrow {AI} \] và \[\overrightarrow {AB} \] ngược hướng nên \[\overrightarrow {AB} = - 3\overrightarrow {AI} \Leftrightarrow \]\[3\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 \]
Vậy \[3\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 \].
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho vectơ \(\overrightarrow u = - \,4\overrightarrow i - 9\overrightarrow j \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u \) là
\(\overrightarrow u = \left( {4;\, - 9} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( {4;\,9} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( { - \,4;\, - 9} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( { - 4;\,9} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\overrightarrow u = - \,4\overrightarrow i - 9\overrightarrow j \), khi đó tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u \) là \(\overrightarrow u = \left( { - \,4;\, - 9} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(M\left( {2;\,\, - 3} \right)\) và \(N\left( { - 1;\, - 5} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {NM} \) là
\(\overrightarrow {NM} = \left( { - 3;\,\, - 2} \right)\);
\(\overrightarrow {NM} = \left( {3;\,\,2} \right)\);
\(\overrightarrow {NM} = \left( {3;\, - 2} \right)\);
\(\overrightarrow {NM} = \left( { - 3;\,\,2} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[\overrightarrow {NM} = \left( {2 - \left( { - 1} \right);\, - 3 - \left( { - 5} \right)} \right) = \left( {3;\,\,2} \right)\].
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho bốn điểm \[A\left( {3; - 2} \right)\], \[B\left( {7;\,\,1} \right)\], \[C\left( {0;\,\,1} \right)\], \[D\left( { - 8; - 5} \right)\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {CD} \) đối nhau;
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {CD} \) cùng phương, ngược hướng;
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {CD} \) cùng phương, cùng hướng;
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {CD} \) không cùng phương.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;3} \right),\,\overrightarrow {CD} = \left( { - 8; - 6} \right) \Rightarrow \overrightarrow {CD} = - 2\overrightarrow {AB} \).
Do đó, hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {CD} \) cùng phương và ngược hướng.
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác vectơ \(\overrightarrow 0 \).Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số thực được xác định bởi
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \sin \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right)\);
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right)\);
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \sin \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right)\);
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right)\).
Đáp án đúng là: B
Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số thực được xác định bởi
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right)\).
Cho \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ vuông góc với nhau. Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|\);
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0\);
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - 1\);
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|\).
Đáp án đúng là: B
Vì \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ vuông góc với nhau nên \(\left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right) = 90^\circ \).
Do đó, \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos 90^\circ = 0\).
Cho các vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2} \right),\,\,\overrightarrow b = \left( { - 2; - 6} \right)\). Khi đó góc giữa chúng là
\(45^\circ \);
\(60^\circ \);
\(30^\circ \);
\(135^\circ \).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 1 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 6} \right) = 10\).
\(\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{10}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Do đó, \(\left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = 45^\circ \).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 1\), \(BC = 2\) và \(\widehat {ABC} = 60^\circ \). Tích vô hướng \(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA} \) bằng
\(\sqrt 3 \);
\( - \sqrt 3 \);
\(3\);
\( - 3\).
Đáp án đúng là: D
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\) ta có:
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC} = {1^2} + {2^2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 3\).
Suy ra \(AC = \sqrt 3 \).
Theo hệ quả của định lí côsin ta có:
\(\cos \widehat {ACB} = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2 \cdot AC \cdot BC}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {2^2} - {1^2}}}{{2 \cdot \sqrt 3 \cdot 2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Ta có: \(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {CB} \cdot \overrightarrow {CA} = - \left( {\left| {\overrightarrow {CB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \cos \widehat {ACB}} \right) = - \left( {2 \cdot \sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = - 3\).
Số quy tròn của số gần đúng \(a\) trong trường hợp a¯=54 880±200 là
55 000;
54 880;
54 890;
54 900.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overline a = 54\,\,880 \pm 200\).
Vì hàng lớn nhất của độ chính xác \(d = 200\) là hàng trăm, do đó ta làm tròn 54 880 đến hàng nghìn theo quy tắc làm tròn. Vậy số quy tròn của số gần đúng \(a\) là 55 000.
Làm tròn số 23,87 đến hàng phần mười. Sai số tuyệt đối của số quy tròn là
0,01;
0,02;
0,03;
Đáp án khác.
Đáp án đúng là: C
Làm tròn số 23,87 đến hàng phần mười ta được 23,9.
Sai số tuyệt đối là: \(\Delta = \left| {23,87 - 23,9} \right| = 0,03\).
Các giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu được gọi là
Phương sai;
Số trung bình;
Mốt;
Số trung vị.
Đáp án đúng là: C
Các giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu được gọi là mốt.
Có 100 học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi môn Toán (thang điểm 20). Kết quả như sau:
Điểm | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
Tần số | 1 | 1 | 3 | 5 | 8 | 13 | 19 | 24 | 14 | 10 | 2 |
Giá trị mốt của mẫu số liệu trên là
1;
24;
16;
10.
Đáp án đúng là: C
Từ bảng thống kê ta thấy giá trị 16 có tần số lớn nhất (24) nên mốt của mẫu số liệu là 16.
Cân nặng của một nhóm gồm 10 học sinh lớp 10 (đơn vị: kg) lần lượt là 50; 46; 48; 59; 48; 47; 56; 59; 57; 40. Cân nặng trung bình của cả nhóm là
40,3;
48;
49;
50.
Đáp án đúng là: A
Cân nặng trung bình của cả nhóm là:
\(\overline X = \frac{{50 + 46 + 48 + 59 + 48 + 47 + 56 + 59 + 57 + 40}}{{10}} = 40,3\).
Trung vị của mẫu số liệu trong Câu 30 là
40,3;
48;
49;
50.
Đáp án đúng là: C
Sắp xếp mẫu số liệu đã cho theo thứ tự không giảm ta được:
40; 46; 47; 48; 48; 50; 56; 57; 59; 59.
Vì mẫu số liệu có 10 giá trị nên trung vị là trung bình cộng của số ở vị trí thứ 5 và vị trí thứ 6. Do đó, \({M_e} = \frac{{48 + 50}}{2} = 49\).
Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q}\) là
\({Q_2} - {Q_1}\);
\({Q_3} - {Q_2}\);
\({Q_3} - {Q_1}\);
\({Q_2} - {Q_3}\).
Đáp án đúng là: C
Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\).
Số quả cam được hái từ 9 cây cam trong vườn lần lượt là: 100; 200; 150; 145; 145; 154; 166; 167; 101. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là
100;
101;
102;
103.
Đáp án đúng là: A
Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là 200, giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là 100.
Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu là \(R = 200 - 100 = 100\).
Phương sai của mẫu số liệu trong Câu 33 xấp xỉ bằng
884,26;
884,25;
884,24;
884,23.
Đáp án đúng là: B
Số trung bình của mẫu số liệu là
\(\overline X = \frac{{100 + 200 + 150 + 145 + 145 + 154 + 166 + 167 + 101}}{9} \approx 147,56\).
Phương sai của mẫu số liệu là:
\({s^2} = \frac{{{{\left( {100 - 147,56} \right)}^2} + {{\left( {200 - 147,56} \right)}^2} + ... + {{\left( {167 - 147,56} \right)}^2} + {{\left( {101 - 147,56} \right)}^2}}}{9} \approx 884,25\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ở Câu 33 là
33;
16,5;
45,3;
43,5.
Đáp án đúng là: D
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:
100; 101; 145; 145; 150; 154; 166; 167; 200.
Vì mẫu số liệu có 9 giá trị nên trung vị là số ở vị trí thứ 5.
Do đó, \({M_e} = {Q_2} = 150\).
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy 100; 101; 145; 145.
Do đó, \({Q_1} = \frac{{101 + 145}}{2} = 123\).
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy 154; 166; 167; 200.
Do đó, \({Q_3} = \frac{{166 + 167}}{2} = 166,5\).
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 166,5 - 123 = 43,5\).
II. Tự luận (3 điểm)
(1 điểm) Từ vị trí \(A\), người ta quan sát một cây cao (như hình dưới). Biết \(AH = 5\,\,{\rm{m,}}\)\(HB = 25\,{\rm{m}}\), \(\widehat {BAC} = 45^\circ \). Tính chiều cao \(BC\) của cây.
Ta mô phỏng bài toán như sau:
Vì tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\), theo định lí Pythagore ta có:
\(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} = {5^2} + {25^2} = 650\)
Suy ra \(AB = 5\sqrt {26} \).
Lại có: \(\cos \widehat {HAB} = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{5}{{5\sqrt {26} }} = \frac{1}{{\sqrt {26} }}\), suy ra \(\widehat {HAB} \approx 79^\circ \).
Ta có: \(\widehat {HAC} = \widehat {HAB} + \widehat {BAC} = 79^\circ + 45^\circ = 124^\circ \).
Tứ giác \(AHBC\) có: \(\widehat H + \widehat {HAC} + \widehat {ACB} + \widehat {HBC} = 360^\circ \).
Suy ra \(\widehat {ACB} = 360^\circ - \left( {\widehat H + \widehat {HAC} + \widehat {HBC}} \right) = 360^\circ - \left( {90^\circ + 124^\circ + 90^\circ } \right) = 56^\circ \).
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có:
\(\frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} \Rightarrow BC = \frac{{AB\sin \widehat {BAC}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{5\sqrt {26} \cdot \sin 45^\circ }}{{\sin 56^\circ }} \approx 21,75\).
Vậy chiều cao \(BC\) của cây xấp xỉ 21,75 m.
(1 điểm) Cho tam giác \(ABC\) có \[BC = a,\,\,CA = b,\,\,AB = c\]. Gọi \(M\) là trung điểm của\(BC\), \(D\) là chân đường phân giác trong góc \(A\). Tính \[{\overrightarrow {AD} ^2}\] theo \(a,\,\,b,\,\,c\).
Vì M là trung điểm của BC nên \[\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\].
Suy ra \[AM = {\overrightarrow {AM} ^2} = \frac{1}{4}{\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)^2} = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right)\]
Lại có
\[\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right) = c \cdot b.\cos A = bc \cdot \frac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{1}{2}\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right)\]
Nên \[A{M^2} = \frac{1}{4}\left( {{c^2} + 2.\frac{1}{2}\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right) + {b^2}} \right) = \frac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4}\].
Theo tính chất đường phân giác thì \[\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{c}{b}\].
Suy ra \[\overrightarrow {BD} = \frac{{BD}}{{DC}}\overrightarrow {DC} = \frac{b}{c}\overrightarrow {DC\,} \,\,\,\,\,\left( * \right)\]
Mặt khác \[\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \] và \[\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} \] thay vào (*) ta được
\[\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} = \frac{b}{c}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} } \right) \Leftrightarrow \left( {b + c} \right)\overrightarrow {AD} = b\overrightarrow {AB} + c\overrightarrow {AC} \]
\[ \Leftrightarrow {\left( {b + c} \right)^2}{\overrightarrow {AD} ^2} = {\left( {b\overrightarrow {AB} } \right)^2} + 2bc\overrightarrow {AB} \overrightarrow {AC} + {\left( {c\overrightarrow {AC} } \right)^2}\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {b + c} \right)^2}{\overrightarrow {AD} ^2} = {b^2}{c^2} + 2bc.\frac{1}{2}\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right) + {c^2}{b^2}\]
\[ \Leftrightarrow {\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{{bc}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}\left( {b + c - a} \right)\left( {b + c + a} \right)\]
Vậy \[{\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{{bc}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}\left( {b + c - a} \right)\left( {b + c + a} \right)\].
(1 điểm) Cho mẫu số liệu sau:
20 25 20 30 33 40 38 25 22 90
Tìm các giá trị bất thường (nếu có) của mẫu số liệu trên.
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:
20 20 22 25 25 30 33 38 40 90
Vì mẫu số liệu gồm 10 số liệu (là số chẵn) nên trung vị của mẫu số liệu là trung bình cộng của hai số chính giữa, là số ở vị trí thứ 5 và thứ 6. Do đó, trung vị của mẫu số liệu hay tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là \({Q_2} = \frac{{25 + 30}}{2} = 27,5\).
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy: 20 20 22 25 25.
Do đó, \({Q_1} = 22\).
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy: 30 33 38 40 90.
Do đó, \({Q_3} = 38\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 38 - 22 = 16\).
Ta có: \({Q_1} - 1,5{\Delta _Q} = 22 - 1,5 \cdot 16 = - 2\); \({Q_3} + 1,5{\Delta _Q} = 38 + 1,5 \cdot 16 = 62\).
Trong mẫu số liệu đã cho có giá trị 90 lớn hơn 62.
Vậy mẫu số liệu đã cho có giá trị bất thường là 90.
