Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 2
38 câu hỏi
I. Trắc nghiệm (7 điểm)
Trong các câu sau, câu nào không phải là mệnh đề?
“Năm 2024 là năm nhuận.”;
“Số 2 022 là số lẻ.”;
“Số 25 là số chính phương.”;
“Hà có học giỏi môn Toán không?”.
Đáp án đúng là: D
Các câu “Năm 2024 là năm nhuận.”; “Số 2 022 là số lẻ.”; “Số 25 là số chính phương.” là các khẳng định có tính đúng hoặc sai, do đó đây là các mệnh đề.
Câu “Hà có học giỏi môn Toán không?” là câu nghi vấn, không khẳng định tính đúng sai nên đây không phải mệnh đề.
Cho tập hợp \(H = \left\{ {{x^2}|x \in \mathbb{N},x \le 4} \right\}\). Viết tập hợp \(H\) bằng cách liệt kê các phần tử ta được
\(H = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4} \right\}\);
\(H = \left\{ {0;\,\,1;\,\,4;\,\,9;\,\,16} \right\}\);
\(H = \left\{ {0;\,\,2;\,\,4;\,\,6;\,\,8} \right\}\);
H=1; 4; 9; 16; 25
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(H = \left\{ {{x^2}|x \in \mathbb{N},x \le 4} \right\}\).
Vì \(x \in \mathbb{N},x \le 4\) nên \(x\) là các số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng 4, chính là các số: 0, 1, 2, 3, 4.
Với \(x = 0\) thì \({x^2} = {0^2} = 0\);
Với \(x = 1\) thì \({x^2} = {1^2} = 1\);
Với \(x = 2\) thì \({x^2} = {2^2} = 4\);
Với \(x = 3\) thì \({x^2} = {3^2} = 9\);
Với \(x = 4\) thì \({x^2} = {4^2} = 16\).
Khi đó, ta viết được tập hợp \(H\) bằng cách liệt kê các phần tử là \(H = \left\{ {0;\,\,1;\,\,4;\,\,9;\,\,16} \right\}\).
Cho hai tập hợp: \(A = \left( { - 2;\,\,9} \right),B = \left[ { - 3;\,\,5} \right]\). Khi đó \(A \cap B\) là tập hợp nào sau đây?
\(\left[ { - 2;\,\, - 3} \right]\);
\(\left( { - 2;\,\,5} \right)\);
\(\left( { - 2;\,\,5} \right]\);
\(\left[ { - 2;\,\,5} \right]\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(A \cap B = \left( { - 2;\,\,9} \right) \cap \left[ { - 3;\,\,5} \right] = \left( { - 2;\,5} \right]\).
Phần không tô đậm trong hình vẽ (kể cả đường thẳng \(\Delta \)) biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?
\(x + 2y \le 3\);
\(x + 2y \ge 3\);
\(2x + y \le 3\);
\(2x + y \ge 3\).
Đáp án đúng là: C
Gọi dạng phương trình đường thẳng \(\Delta \) là \(y = ax + b\).
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm \(\left( {\frac{3}{2};\,0} \right)\) và \(\left( {0;\,3} \right)\) nên ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 = \frac{3}{2}a + b\\3 = 0 \cdot a + b\end{array} \right..\) Giải hệ này ta được \(a = - 2,\,\,b = 3\).
Khi đó đường thẳng \(\Delta :y = - 2x + 3\) hay \(\Delta :2x + y = 3\).
Xét điểm gốc tọa độ \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) không thuộc đường thẳng \(\Delta \) và điểm này thuộc phần không tô đậm trong hình vẽ đã cho. Ta có: \(2 \cdot 0 + 0 = 0 < 3\).
Vậy phần không tô đậm trong hình vẽ (kể cả đường thẳng \(\Delta \)) biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình \(2x + y \le 3\).
Người ta dự định dùng hai nguyên liệu là mía và củ cải đường để chiết xuất ít nhất 140 kg đường kính và 9 kg đường cát. Từ mỗi tấn mía có thể chiết xuất được 20 kg đường kính và 0,6 kg đường cát. Từ mỗi tấn củ cải đường có thể chiết xuất được 10 kg đường kính và 1,5 kg đường cát. Gọi số tấn mía cần dùng là \(x\) và số tấn củ cải đường cần dùng là \(y\). Biết rằng cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 10 tấn mía và không quá 9 tấn củ cải đường. Một hệ điều kiện giữa \(x\) và \(y\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là
\(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 10\\0 \le y \le 9\\20x + 10y \le 140\\0,6x + 1,5y \le 9\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 10\\0 \le y \le 9\\20x + 10y > 140\\0,6x + 1,5y > 9\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\\20x + 10y \ge 140\\0,6x + 1,5y \ge 9\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 10\\0 \le y \le 9\\20x + 10y \ge 140\\0,6x + 1,5y \ge 9\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: D
Vì cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 10 tấn mía và không quá 9 tấn củ cải đường nên \(0 \le x \le 10\) và \(0 \le y \le 9\).
Theo bài ra ta có, \(x\) tấn mía và \(y\) tấn củ cải đường có thể chiết xuất được \(20x + 10y\) kg đường kính và \(0,6x + 1,5y\) kg đường cát.
Vì cần chiết xuất ít nhất 140 kg đường kính và 9 kg đường cát nên \(20x + 10y \ge 140\) và \(0,6x + 1,5y \ge 9\).
Vậy một hệ điều kiện giữa \(x\) và \(y\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 10\\0 \le y \le 9\\20x + 10y \ge 140\\0,6x + 1,5y \ge 9\end{array} \right.\).
Giá trị của \(\cos 150^\circ \) là
một số hữu tỉ âm;
một số hữu tỉ dương;
một số thực dương;
một số thực âm.
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\cos 150^\circ = - \cos 30^\circ = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\), đây là một số thực âm (không phải số hữu tỉ do \(\sqrt 3 \) là số vô tỉ).
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \). Khẳng định nào sau đây sai?
\({\rm{sin}}\alpha \) và \(\cot \alpha \) cùng dấu;
Tích \({\rm{sin}}\alpha \cdot {\rm{cot}}\alpha \) mang dấu âm;
Tích \({\rm{sin}}\alpha \cdot {\rm{cos}}\alpha \) mang dấu dương;
\({\rm{sin}}\alpha \) và \(\tan \alpha \) cùng dấu.
Đáp án đúng là: B
Vì \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) nên \(\sin \alpha > 0,\,\cos \alpha > 0,\tan \alpha > 0,\,\cot \alpha > 0\).
Do đó:
+ \({\rm{sin}}\alpha \) và \(\cot \alpha \) cùng dấu;
+ Tích \({\rm{sin}}\alpha \cdot {\rm{cot}}\alpha \) mang dấu dương;
+ Tích \({\rm{sin}}\alpha \cdot {\rm{cos}}\alpha \) mang dấu dương;
+ \({\rm{sin}}\alpha \) và \(\tan \alpha \) cùng dấu.
Giá trị của biểu thức \(A = {\sin ^2}52^\circ + {\sin ^2}47^\circ + {\sin ^2}38^\circ + {\sin ^2}43^\circ \) là
– 1;
1;
0;
2.
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(A = {\sin ^2}52^\circ + {\sin ^2}47^\circ + {\sin ^2}38^\circ + {\sin ^2}43^\circ \)
\( = {\left( {\sin 52^\circ } \right)^2} + {\left( {\sin 47^\circ } \right)^2} + {\sin ^2}38^\circ + {\sin ^2}43^\circ \)
\( = {\left( {\cos 38^\circ } \right)^2} + {\left( {\cos 43^\circ } \right)^2} + {\sin ^2}38^\circ + {\sin ^2}43^\circ \)
\( = \left( {{{\cos }^2}38 + {{\sin }^2}38^\circ } \right) + \left( {{{\cos }^2}43 + {{\sin }^2}43^\circ } \right)\)\( = 1 + 1 = 2\).
Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 3;\,BC = 7;\,AC = 5\). Số đo góc \(A\) là
\(30^\circ \);
\(60^\circ \);
\(120^\circ \);
\(150^\circ \).
Đáp án đúng là: C
Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2 \cdot AB \cdot AC}} = \frac{{{3^2} + {5^2} - {7^2}}}{{2 \cdot 3 \cdot 5}} = - \frac{1}{2}\).
Do đó, \(\widehat A = 120^\circ \).
Cho tứ giác \(ABCD\), số các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ giác là
4;
6;
8;
12.
Đáp án đúng là: D
Các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ giác là
\(\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {AD} ,\,\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {BD} ,\,\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {CB} ,\,\overrightarrow {CD} ,\,\overrightarrow {DA} ,\,\overrightarrow {DB} ,\,\overrightarrow {DC} \).
Vậy có tất cả 12 vectơ thỏa mãn.
Cho ba điểm \(H,\,I,\,K\) thẳng hàng, trong đó điểm \(I\) nằm giữa hai điểm \(H\) và \(K\). Khi đó cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?
\(\overrightarrow {HI} \) và \(\overrightarrow {KH} \);
\(\overrightarrow {HI} \) và \(\overrightarrow {IK} \);
\(\overrightarrow {HK} \) và \(\overrightarrow {KI} \);
\(\overrightarrow {IK} \) và \(\overrightarrow {IH} \).
Đáp án đúng là: B
Từ hình vẽ ta thấy hai vectơ \(\overrightarrow {HI} \) và \(\overrightarrow {IK} \) cùng phương và cùng chiều đi từ trái qua phải nên hai vectơ này cùng hướng.
Cho ba điểm phân biệt A,B,C. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \];
\[\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \];
\[\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} \];
\[\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BA} \].
Đáp án đúng là: D
Theo quy tắc ba điểm, ta có: \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \], \[\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \] nên đáp án A, B đúng.
Theo tính chất giao hoán và quy tắc ba điểm, ta có: \(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {BA} \) nên đáp án C đúng.
Ta có: \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \ne \overrightarrow {BA} \) (do ba điểm phân biệt\[A,B,C\]) nên đáp án D sai.
Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\). Hỏi vectơ \(\overrightarrow {AO} - \overrightarrow {DO} \) bằng vectơ nào?
\(\overrightarrow {BA} \);
\(\overrightarrow {BC} \);
\(\overrightarrow {DC} \);
\(\overrightarrow {AC} \).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow {AO} - \overrightarrow {DO} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \) (do \(ABCD\) là hình bình hành).
Cho đoạn thẳng \(AB\), \(M\) là điểm thỏa \[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow 0 \]. Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(M\)là trung điểm \(AB\);
\(M\)trùng \(A\);
\(M\)trùng\(B\);
\(A\) là trung điểm \(MB\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow 0 \]\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = - \overrightarrow {BA} \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {AB} \).
Suy ra hai vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng và \(MA = AB\).
Do đó, \(A\) là trung điểm của \(MB\).
Cho \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Với mọi điểm \(M\)ta luôn có:
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MG} \);
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MG} \);
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \);
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 4\overrightarrow {MG} \).
Đáp án đúng là: C
Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên ta có \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).
Với mọi điểm \(M\) bất kỳ, theo quy tắc ba điểm ta có:
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right)\)
\( = 3\overrightarrow {MG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {MG} \).
Cho vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) và điểm \(O\). Gọi \(M,N\) lần lượt là hai điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {ON} = - 4\overrightarrow a \). Khi đó:
\(\overrightarrow {MN} = 7\overrightarrow a \);
\(\overrightarrow {MN} = - 5\overrightarrow a \);
\(\overrightarrow {MN} = - 7\overrightarrow a \);
\(\overrightarrow {MN} = - 5\overrightarrow a \).
Đáp án đúng là: C
Theo quy tắc hiệu, ta có: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} = - 4\overrightarrow a - 3\overrightarrow a = - 7\overrightarrow a \).
Trên đường thẳng chứa cạnh \(BC\) của tam giác \(ABC\) lấy một điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} \). Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow {AM} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \);
\[\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\].
Đáp án đúng là: A
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\). Khi đó \(C\) là trung điểm của \(MI\). Ta có:
\[\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AI} = 2\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = - \overrightarrow {AI} + 2\overrightarrow {AC} = - \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ) + 2\overrightarrow {AC} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} \].
Trên đường thẳng \(MN\) lấy điểm \(P\) sao cho \(\overrightarrow {MN} = - 3\overrightarrow {MP} \). Điểm \(P\) được xác định đúng trong hình vẽ nào sau đây?
Hình 1;
Hình 2;
Hình 3;
Hình 4.
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\overrightarrow {MN} = - 3\overrightarrow {MP} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {MP} \) ngược hướng nhau và \(MN = 3MP\).
Vậy điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(N\) và \(P\) thỏa mãn \(MN = 3MP\).
Khi đó điểm \(P\) được xác định đúng ở hình 3.
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho vectơ \(\overrightarrow v = - 7\overrightarrow i + 8\overrightarrow j \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow v \) là
\(\overrightarrow v = \left( {7;\, - 8} \right)\);
\(\overrightarrow v = \left( {7;\,8} \right)\);
\(\overrightarrow v = \left( { - 7;\, - 8} \right)\);
\(\overrightarrow v = \left( { - 7;\,8} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\overrightarrow v = - 7\overrightarrow i + 8\overrightarrow j \), khi đó tọa độ của vectơ \(\overrightarrow v \) là \(\overrightarrow v = \left( { - 7;\,8} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {2;\,\, - 3} \right)\) và \(B\left( { - 5;\, - 4} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {BA} \) là
\(\overrightarrow {BA} = \left( {7;\,\,1} \right)\);
\(\overrightarrow {BA} = \left( { - 7;\,\, - 1} \right)\);
\(\overrightarrow {BA} = \left( {7;\, - 1} \right)\);
\(\overrightarrow {BA} = \left( { - 7;\,1} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow {BA} = \left( {2 - \left( { - 5} \right);\, - 3 - \left( { - 4} \right)} \right) = \left( {7;\,\,1} \right)\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {6;{\rm{ }}1} \right),{\rm{ }}B\left( { - 3;{\rm{ }}5} \right)\) và trọng tâm \(G\left( { - 1;{\rm{ }}1} \right)\). Tìm tọa độ đỉnh \(C\).
\(\left( {6;\, - 3} \right)\);
\(\left( { - 6;\,\,3} \right)\);
\(\left( { - 6;\, - 3} \right)\);
\(\left( { - 3;\,\,6} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\).
Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} - {x_A} - {x_B} = 3 \cdot \left( { - 1} \right) - 6 - \left( { - 3} \right) = - 6\\{y_C} = 3{y_G} - {y_A} - {y_B} = 3 \cdot 1 - 1 - 5 = - 3\end{array} \right.\]. Vậy \(C\left( { - 6;\, - 3} \right)\).
Cho \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ ngược hướng và đều khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|\);
a→⋅b→=0
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - 1\);
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|\).
Đáp án đúng là: D
Vì \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ ngược hướng và đều khác vectơ \(\overrightarrow 0 \) nên \(\left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right) = 180^\circ \).
Do đó, \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos 180^\circ = - \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|\).
Cho hai điểm \(A\left( {2;\,2} \right)\) và \(B\left( {5;\, - 2} \right)\). Tìm điểm \(M\) nằm trên tia \[Ox\] sao cho \(\widehat {AMB} = 90^\circ \).
\(M\left( {1;\,\,6} \right)\);
\(M\left( {6;\,\,0} \right)\);
\(M\left( {1;\,\,0} \right)\) hoặc \(M\left( {6;\,\,0} \right)\);
\(M\left( {0;\,\,1} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Vì điểm \(M\) nằm trên tia \[Ox\] nên gọi tọa độ điểm \(M\) là \(M\left( {x;\,\,0} \right)\).
Khi đó, \(\overrightarrow {MA} = \left( {2 - x;\,\,2} \right),\,\,\overrightarrow {MB} = \left( {5 - x;\, - 2} \right)\).
Ta có: \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) \( \Leftrightarrow MA \bot MB \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} \bot \overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {2 - x} \right)\left( {5 - x} \right) + 2 \cdot \left( { - 2} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\\x = 1\end{array} \right.\).
Vậy \(M\left( {1;\,\,0} \right)\) hoặc \(M\left( {6;\,\,0} \right)\).
Cho các vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;\, - 3} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {2;\,5} \right)\). Tích vô hướng của \(\overrightarrow a \cdot \left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right)\) bằng
16;
26;
36;
– 16.
Đáp án đúng là: D
Cách 1: \(\overrightarrow a \cdot \left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right)\)\( = {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = {\left( {\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} } \right)^2} + 2\left( {1 \cdot 2 + \left( { - 3} \right) \cdot 5} \right) = - 16\).
Cách 2: \(2\overrightarrow b = \left( {2 \cdot 2;\,2 \cdot 5} \right) = \left( {4;\,10} \right) \Rightarrow \overrightarrow a + 2\overrightarrow b = \left( {1 + 4;\, - 3 + 10} \right) = \left( {5;\,7} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow a \cdot \left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right) = 1 \cdot 5 + \left( { - 3} \right) \cdot 7 = 5 - 21 = - 16\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat {ABC} = 50^\circ \). Hệ thức nào sau đây sai?
\(\left( {\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {BC} } \right) = 50^\circ \);
\(\left( {\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {CB} } \right) = 40^\circ \);
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {CB} } \right) = 50^\circ \);
\(\left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {CB} } \right) = 120^\circ \).
Đáp án đúng là: D
+ Do tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat {ABC} = 50^\circ \)nên \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {ACB} = 40^\circ \).
Khi đó ta có, \(\left( {\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {BC} } \right) = \widehat {ABC} = 50^\circ \) và \(\left( {\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {ACB} = 40^\circ \), nên đáp án A, B đúng.
+ Để xác định góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CB} \), ta dựng hình bình hành \(ABDC\):
Ta có: \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} \), do đó \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {CB} } \right) = \left( {\overrightarrow {CD} ,\,\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {DCB}\).
Vì \(AB\,{\rm{//}}\,{\rm{CD}}\) nên \(\widehat {DCB} = \widehat {ABC} = 50^\circ \) (hai góc so le trong).
Vậy \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {DCB} = 50^\circ \), nên đáp án C đúng.
+ Để xác định góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {CB} \), ta dựng vectơ \(\overrightarrow {CE} \) sao cho \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CE} \).
Khi đó, \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {CB} } \right) = \left( {\overrightarrow {CE} ,\,\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {ECB} = 180^\circ - \widehat {ACB} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \), vậy đáp án D sai.
Số quy tròn của số gần đúng \(a\) trong trường hợp \(\overline a = 13,738 \pm 0,02\) là
13,738;
13,7;
13,8;
13,74.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overline a = 13,738 \pm 0,02\).
Vì hàng lớn nhất của độ chính xác \(d = 0,02\) là hàng phần trăm, do đó ta làm tròn 13,738 đến hàng phần mười theo quy tắc làm tròn. Vậy số quy tròn của số gần đúng \(a\) là 13,7.
Làm tròn số 152,559 đến hàng phần trăm. Sai số tuyệt đối của số quy tròn là
0,001;
0,01;
0,1;
Đáp án khác.
Đáp án đúng là: A
Làm tròn số 152,559 đến hàng phần trăm ta được 152,56.
Sai số tuyệt đối là: \(\Delta = \left| {152,559 - 152,56} \right| = 0,001\).
Số đặc trưng nào sau đây đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu?
Khoảng biến thiên;
Độ lệch chuẩn;
Khoảng tứ phân vị;
Số trung bình.
Đáp án đúng là: D
Số trung bình là số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.
Cho bảng thống kê sau
Giá trị | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
Tần số | 18 | 15 | 20 | 32 | 40 | 18 | 15 |
Giá trị mốt của mẫu số liệu trên là
40;
5;
15;
18.
Đáp án đúng là: B
Từ bảng thống kê ta thấy giá trị 5 có tần số lớn nhất (40) nên mốt của mẫu số liệu là 5.
Thu nhập hằng tháng của 9 nhân viên trong một công ty luật lần lượt là 10; 12; 9; 11; 15; 18; 16; 9; 8. Thu nhập trung bình của 9 nhân viên đó là
11;
12;
13;
14.
Đáp án đúng là: B
Thu nhập trung bình của 9 nhân viên là:
\(\overline X = \frac{{10 + 12 + 9 + 11 + 15 + 18 + 16 + 9 + 8}}{9} = 12\).
Trung vị của mẫu số liệu trong Câu 30 là
10;
11;
11,5;
12.
Đáp án đúng là: B
Sắp xếp mẫu số liệu đã cho theo thứ tự không giảm ta được:
8; 9; 9; 10; 11; 12; 15; 16; 18.
Vì mẫu số liệu có 9 giá trị nên trung vị là số ở vị trí thứ 5 và là 11.
Để đánh giá mức độ phân tán của mẫu số liệu thống kê, ta dùng đại lượng nào sau đây?
Số trung vị;
Số trung bình;
Tứ phân vị;
Độ lệch chuẩn.
Đáp án đúng là: D
Để đánh giá mức độ phân tán của mẫu số liệu thống kê, ta dùng độ lệch chuẩn.
Cho mẫu số liệu sau: 15; 12; 17; 14; 17; 12; 15; 17; 15; 18. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là
6;
3;
12;
18.
Đáp án đúng là: A
Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là 18, giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là 12.
Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu là \(R = 18 - 12 = 6\).
Độ lệch chuẩn trong mẫu số liệu ở Câu 33 là
1,98;
1,99;
\(\frac{{3\sqrt {11} }}{5}\);
2.
Đáp án đúng là: C
Số trung bình của mẫu số liệu là
\(\overline X = \frac{{15 + 12 + 17 + 14 + 17 + 12 + 15 + 17 + 15 + 18}}{{10}} = 15,2\).
Phương sai của mẫu số liệu là:
\({s^2} = \frac{{{{\left( {15 - 15,2} \right)}^2} + {{\left( {12 - 15,2} \right)}^2} + ... + {{\left( {15 - 15,2} \right)}^2} + {{\left( {18 - 15,2} \right)}^2}}}{{10}} = 3,96\).
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là \(s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {3,96} = \frac{{3\sqrt {11} }}{5}\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ở Câu 33 là
2;
3;
2,75;
6.
Đáp án đúng là: B
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:
12; 12; 14; 15; 15; 15; 17; 17; 17; 18.
Vì mẫu số liệu của 10 số liệu nên trung vị là trung bình cộng của số thứ 5 và số thứ 6.
Do đó, \({M_e} = {Q_2} = \frac{{15 + 15}}{2} = 15\).
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy 12; 12; 14; 15; 15. Do đó, \({Q_1} = 14\).
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy 15; 17; 17; 17; 18. Do đó, \({Q_3} = 17\).
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 17 - 14 = 3\).
II. Tự luận (3 điểm)
(1 điểm) Để làm đường điện dây cao thế ở Hà Giang từ vị trí bản \(A\) đến bản \(B\), người ta phải tránh một ngọn núi nên người ta phải nối thẳng đường dây từ bản \(A\) đến bản \(C\) dài 12 km rồi nối từ bản \(C\) đến bản \(B\) dài 8 km. Qua đo đạc người ta xác định được \(\widehat {ABC} = 65^\circ \). Hỏi so với việc nối thẳng từ bản \(A\) đến bản \(B\), người ta tốn thêm bao nhiêu tiền, biết mỗi km dây có giá 150 000 đồng.
Ta mô phỏng bài toán như hình vẽ sau:
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC}\)
\( \Leftrightarrow 144 = A{B^2} + 64 - 16 \cdot AB \cdot \cos 65^\circ \)
\[ \Leftrightarrow A{B^2} - 16 \cdot AB \cdot \cos 65^\circ - 80 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}AB \approx 13\\AB \approx - 6,18\,\,(L)\end{array} \right.\]
Do đó: \(AB = 13\)km.
Ta có:\(AC + BC - AB = 12 + 8 - 13 = 7\) (km).
Vậy số tiền phải tốn thêm là \(7 \cdot 150\,\,000 = 1\,\,050\,\,000\) (đồng).
(1 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(\overrightarrow a = \left( {2 + x; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {1;\,\,2} \right)\). Đặt \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow a + \overrightarrow b \). Gọi \(\overrightarrow v = \left( { - 5;\,\,8} \right)\) là vectơ ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow u \). Tìm \(x\) biết \(\left| {\overrightarrow v } \right| = 2\left| {\overrightarrow u } \right|\).
Ta có: \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {4 + 2x + 1; - 6 + 2} \right) = \left( {2x + 5; - 4} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + 16} \)
\(\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {25 + 64} = \sqrt {89} ;\left| {\overrightarrow v } \right| = 2\left| {\overrightarrow u } \right| \Leftrightarrow \sqrt {89} = 2\sqrt {{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + 16} \)
\( \Leftrightarrow 89 = 4{\left( {2x + 5} \right)^2} + 64 \Leftrightarrow {\left( {2x + 5} \right)^2} = \frac{{25}}{4}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 5 = \frac{5}{2}\\2x + 5 = - \frac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 5}}{4}\\x = \frac{{ - 15}}{4}\end{array} \right.\)
Khi \(x = \frac{{ - 5}}{4} \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {\frac{5}{2}; - 4} \right) = \frac{{ - 1}}{2}\left( { - 5;8} \right) = \frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow v \) (tm)
Khi \(x = \frac{{ - 15}}{4} \Rightarrow \overrightarrow v = \left( {\frac{{ - 5}}{2}; - 4} \right) = \frac{{ - 1}}{2}\left( {5;8} \right)\) (ktm)
Vậy \(x = \frac{{ - 5}}{4}\).
(1 điểm) Bạn Nam dùng đồng hồ bấm giờ để đo thời gian một vật rơi tự do (đơn vị: giây) từ tầng năm của một tòa nhà xuống mặt đất trong 10 lần cho kết quả như sau:
0,899; 0,898; 0,895; 0,901; 0,898; 0,902; 0,910; 0,312; 0,905; 0,899.
Nam nghĩa rằng giá trị 0,312 ở lần đo thứ 8 không chính xác. Hãy kiểm tra nghi ngờ của Nam.
Nhận thấy giá trị 0,312 nhỏ hơn rất nhiều so với các giá trị khác trong mẫu số liệu đã cho, do đó để kiểm tra nghi ngờ của Nam, ta cần xác định xem 0,312 có phải giá trị bất thường của mẫu số liệu hay không.
Sắp xếp mẫu số liệu đã cho theo thứ tự không giảm ta được:
0,312; 0,895; 0,898; 0,898; 0,899; 0,899; 0,901; 0,902; 0,905; 0,910.
Vì mẫu số liệu có 10 số liệu nên trung vị hay tứ phân vị thứ hai là trung bình cộng của số ở vị trí thứ năm và thứ sáu, do đó \({Q_2} = \frac{{0,899 + 0,899}}{2} = 0,899\).
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 0,213; 0,895; 0,898; 0,898; 0,899.
Do đó, \({Q_1} = 0,898\).
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu 0,899; 0,901; 0,902; 0,905; 0,910.
Do đó, \({Q_3} = 0,902\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 0,902 - 0,898 = 0,004\).
Ta có: \({Q_1} - 1,5{\Delta _Q} = 0,898 - 1,5 \cdot 0,004 = 0,892\).
Vì 0,312 < 0,892 nên 0,312 là giá trị bất thường của mẫu số liệu. Do đó, giá trị ở lần đó thứ 8 trong thí nghiệm trên không chính xác hay nghi ngờ của Nam là đúng.
