Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 1
28 câu hỏi
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 ĐIỂM)
Phủ định của mệnh đề “Bất phương trình \(2{x^2} + 3 > 1\) vô nghiệm” là mệnh đề
“Bất phương trình \(2{x^2} + 3 > 1\) không có nghiệm”;
“Bất phương trình \(2{x^2} + 3 > 1\) có nghiệm”;
“Bất phương trình \(2{x^2} + 3 < 1\) vô nghiệm”;
“Bất phương trình \(2{x^2} + 3 < 1\) có nghiệm”.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Phủ định của mệnh đề “Bất phương trình \(2{x^2} + 3 > 1\) vô nghiệm” là mệnh đề “Bất phương trình \(2{x^2} + 3 > 1\) có nghiệm”.
Cho các tập hợp:
\(H\)= Tập hợp các hình bình hành; \(V\) = Tập hợp các hình vuông;
\(N\) = Tập hợp các hình chữ nhật; \(T\) = Tập hợp các tứ giác.
Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai.
\(H \subset T\);
\(V \subset N\);
\(H \supset V\)
\(V \supset T\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có:
+) Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song, nhưng có những tứ giác không là hình bình hành nên \(H \subset T\). Do đó A đúng.
+) Hình vuông là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau, nhưng có những hình chữ nhật không là hình vuông nên \(V \subset N\). Do đó B đúng.
+) Hình vuông là hình bình hành có hai cạnh bên bằng nhau và có 1 góc vuông nên \(H \supset V\). Do đó C đúng.
+) Có những tứ giác không là hình vuông và ngược lại tất cả hình vuông đều là tứ giác nên \(T \subset V\). Do đó D sai.
\(M = 0\);
\(M = \left\{ 0 \right\}\);
\(M = \emptyset \);
\(M = \left\{ \emptyset \right\}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Tập hợp \(M\) là tập hợp không chứa phần tử nào là tập hợp rỗng nên ta viết \(M = \emptyset \).
Trong các bất phương trình dưới đây, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(x + 2 \ge - 2\);
\(\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{y}{3} - 11 \ge 9\);
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} < 0\);
\(x.y \ge 12\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \[ax + by \ge c\], \[ax + by \le c\], \[ax + by > c\], \[ax + by < c\](trong đó \(a,b,c \in \mathbb{R}\); \(a\) và \(b\) không đồng thời bằng \(0\)).
Do đó chỉ có bất phương trình \(x + 2 \ge - 2\) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
\(\left( {1;\,\,3} \right)\);
\(\left( { - 2;\,\, - 1} \right)\);
\(\left( {5;\,\, - 2} \right)\);
\(\left( {1;\,\, - 1} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
+) Thay \(x = 1,y = 3\) vào từng bất phương trình của hệ bất phương trình, ta được:
\( - 3 \ge 1 + 2 \Leftrightarrow - 3 \ge 3\) là mệnh đề sai;
\(1 - 2.3 < 9 \Leftrightarrow - 5 < 9\) là mệnh đề đúng.
Vì vậy \(\left( {1;\,\,3} \right)\) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+) Thay \(x = - 2,y = - 1\) vào từng bất phương trình của hệ bất phương trình, ta được:
\( - \left( { - 1} \right) \ge - 2 + 2 \Leftrightarrow 1 \ge 0\) là mệnh đề đúng;
\( - 2 - 2.\left( { - 1} \right) < 9 \Leftrightarrow 0 < 9\) là mệnh đề đúng.
Vì vậy \(\left( { - 2;\,\, - 1} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+) Thay \(x = 5,y = - 2\) vào từng bất phương trình của hệ bất phương trình, ta được:
\( - \left( { - 2} \right) \ge 5 + 2 \Leftrightarrow 4 \ge 7\) là mệnh đề sai;
\(5 - 2.\left( { - 2} \right) < 9 \Leftrightarrow 9 < 9\) là mệnh đề sai.
Vì vậy \(\left( {5;\,\, - 2} \right)\) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+) Thay \(x = 1,y = - 1\) vào từng bất phương trình của hệ bất phương trình, ta được:
\( - \left( { - 1} \right) \ge 1 + 2 \Leftrightarrow 1 \ge 3\) là mệnh đề sai;
\(1 - 2.\left( { - 1} \right) < 9 \Leftrightarrow 3 < 9\) là mệnh đề đúng.
Vì vậy \(\left( {1;\,\, - 1} \right)\) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
\(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 2} }}{{2x}}\);
\(y = {x^3} - \frac{{\left| x \right|}}{2}\);
\(y = \sqrt {x - 9} \);
\(y = \frac{1}{{\left| x \right|}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
+) Điều kiện xác định của hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 2} }}{{2x}}\) là: \(x \ne 0\). Do đó tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
+) Điều kiện xác định của hàm số \(y = {x^3} - \frac{{\left| x \right|}}{2}\) là: \(x \in \mathbb{R}\). Do đó tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).
+) Điều kiện xác định của hàm số \(y = \sqrt {x - 9} \) là: \(x \ge 9\). Do đó tập xác định của hàm số là \(D = \left[ {9; + \infty } \right)\).
+) Điều kiện xác định của hàm số \(y = \frac{1}{{\left| x \right|}}\) là: \(\left| x \right| \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 0\). Do đó tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
\(y = {x^2} + 5\);
\(y = 2{x^3} + {x^2}\);
\(y = \sqrt {{x^2}} - \left| x \right|\);
\(y = {x^3} - 2x\).
Hướng dẫn giải;
Đáp án đúng là: A
Hàm số \(y = {x^2} + 5\) là hàm số bậc hai.
\(x = - 6\);
\(x = 6\);
\(x = 0\);
\(x = 12\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hàm số bậc hai \(y = {x^2} - 12\) có \(a = 1,b = 0,c = - 12\)
Khi đó trục đối xứng của hàm số \(y = {x^2} - 12\) là \(x = 0\).
Cho hình vẽ:
Đồ thị hàm số trên biểu diễn cho hàm số bậc hai nào dưới đây?
\(y = {x^2} - 5x + 3\);
\(y = 2{x^2} - 10x + 3\);
\(y = {x^2} + 5x + 3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Gọi hàm số bậc hai cần tìm là \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\)
Từ đồ thị ta có:
Tọa độ đỉnh \(I\) của hàm số là: \(I\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{{13}}{4}} \right)\), khi đó:
\({x_I} = \frac{5}{2} \Leftrightarrow - \frac{b}{{2a}} = \frac{5}{2} \Leftrightarrow b = - 5a\);
\({y_I} = - \frac{{13}}{4} \Leftrightarrow - \frac{\Delta }{{4a}} = - \frac{{13a}}{4} \Leftrightarrow {b^2} - 4ac = 13a\).
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(3\) nên \(c = 3\).
Thay \(b = - 5a\) và \(c = 3\) vào \({b^2} - 4ac = 13a\), ta được:
\(25{a^2} - 12a = 13a\)
\( \Leftrightarrow 25{a^2} - 25a = 0\)
\( \Leftrightarrow 25a\left( {a - 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = 1\end{array} \right.\)
Ta thấy chỉ có \(a = 1\) thỏa mãn điều kiện.
\( \Rightarrow b = - 5.1 = - 5\).
Vậy hàm số bậc hai cần tìm là: \(y = {x^2} - 5x + 3\).
\(0,86\);
\(0,51\);
\(0,59\);
\(1,70\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Sử dụng máy tính cầm tay để tính, ta được:
\({\rm{cot}}\alpha = {\rm{cot30}}^\circ {\rm{29'}} \approx {\rm{1,70}}\).
\(S = \frac{1}{2}AB.AC\);
\(S = \frac{1}{2}AB.AC.{\rm{cos}}A\);
\(S = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A\);
\(S = \frac{1}{2}AB.AC.BC\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Công thức tính diện tích tam giác \(ABC\) là:
\(S = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}AC.BC.\sin C = \frac{1}{2}AB.BC.\sin B\).
Hai người quan sát khinh khí cầu tại hai điểm \(M\) và \(N\) nằm ở sườn đồi nghiêng \(36^\circ \) so với phương ngang và cách nhau \(55\,\,m\) (như hình vẽ). Người quan sát tại \(M\) xác định góc nâng của khinh khí cầu là \(60^\circ \). Cùng lúc đó, người quan sát tại \(N\) xác định góc nâng của khinh khí cầu là \(73^\circ \). Tính khoảng cách từ \(N\) đến khinh khí cầu.
\(99,4\,\,m\)
\(65,12\,\,m\);
\(3,66\,\,m\);
\(51,57\,\,m\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Tại \(M\) góc nâng của khinh khí cầu là \(60^\circ \) nên \(\widehat {HMP} = 60^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {PMN} = 60^\circ - 36^\circ = 24^\circ \)
Tại \(N\) góc nâng của khinh khí cầu là \(60^\circ \) nên \(\widehat {KNP} = 73^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {PNM} = 180^\circ - \left( {73^\circ - 36^\circ } \right) = 143^\circ \)
Xét tam giác \(PMN\), có:
\(\widehat {MPN} = 180^\circ - 24^\circ - 143^\circ = 13^\circ \)(định lí tổng ba góc trong tam giác)
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(PMN\), ta được:
\(\frac{{MN}}{{\sin \widehat {MPN}}} = \frac{{NP}}{{\sin \widehat {PMN}}}\)
\(\frac{{55}}{{\sin 13^\circ }} = \frac{{NP}}{{\sin 24^\circ }} \Leftrightarrow NP \approx 99,4\)
Khoảng cách từ \(N\) đến khinh khí cầu là 99,4 m.
Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,AC,BC\). Có bao nhiêu vectơ cùng phương với \(\overrightarrow {MN} \)?
\(4\);
\(5\);
\(6\);
\(7\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Các vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {MN} \)là: \(\overrightarrow {BP} ,\,\,\overrightarrow {BC} ,\,\,\overrightarrow {PC} ,\,\,\overrightarrow {PB} ,\,\,\overrightarrow {CB} ,\,\,\overrightarrow {CP} ,\overrightarrow {NM} \).
Vậy có 7 vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {MN} \).
cùng hướng;
ngược hướng;
có giá song song hoặc trùng nhau;
bằng nhau.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương thì có giá song song hoặc trùng nhau. Do đó C đúng.
Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. Do đó A và B sai.
Hai vectơ cùng phương chưa đủ để khẳng định chúng bằng nhau. Do đó D sai.
đường thẳng đi qua hai điểm \(P\) và \(Q\);
tia có gốc là \(Q\) hướng sang \(P\);
là đường thẳng vuông góc với \(PQ\);
là đoạn thẳng có hướng từ \(P\) đến \(Q\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vectơ \(\overrightarrow {PQ} \) là đoạn thẳng có hướng từ \(P\) đến \(Q\).
\(\overrightarrow {AO} \);
\(2\overrightarrow {AO} \);
\(\overrightarrow {BD} \);
\(\overrightarrow {DB} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AO} \).
\(4\sqrt 2 \);
\(5\);
\(\sqrt {17} + 4\);
\(4\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Áp dụng quy tắc hiệu ta được: \(\overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DN} \)
Xét tam giác \(DCN\) vuông tại \(C\), có:
\(N{D^2} = N{C^2} + D{C^2}\) (Pythagore)
\( \Leftrightarrow N{D^2} = {3^2} + {4^2} = 25 \Leftrightarrow ND = 5\)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {DN} } \right| = DN = 5\).
\(\left( {h + k} \right).\overrightarrow a = hk\overrightarrow a \);
\(h.\overrightarrow a + k.\overrightarrow a = h.k.\overrightarrow a \);
\(h\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = h\overrightarrow a + \overrightarrow b \);
\(\left( {h + k} \right).\overrightarrow a = h\overrightarrow a + k\overrightarrow a \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Với hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) bất kì, với mọi số thực \(h\) và \(k\), ta có: \(\left( {h + k} \right).\overrightarrow a = h\overrightarrow a + k\overrightarrow a \).
Trên đường thẳng \(PQ\) lấy điểm \(M\) sao cho \(2\overrightarrow {MP} = 3\overrightarrow {MQ} \). Hình vẽ nào sau đây biểu diễn đúng điểm \(M\)?
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(2\overrightarrow {MP} = 3\overrightarrow {MQ} \) thì \(\overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {MQ} \) là hai vectơ cùng phương và \(MP = \frac{3}{2}MQ\).
Do đó hình vẽ biểu diễn đúng điểm \(M\) là:
\(\overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AB} = 2{a^2}\);
\(\overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AB} = - {a^2}\);
\(\overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AB} = \sqrt 5 {a^2}\);
\(\overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AB} = - \sqrt 2 {a^2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \(E\) là điểm đối xứng của \(C\) qua \(D\)
Khi đó \(ED = DC = a\)
Xét tam giác \(ADE\) vuông cân tại \(D\), có:
\(AE = \sqrt {A{D^2} + D{E^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = \sqrt 2 a\)
Ta có: \(\widehat {DAE} = 45^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {EAB} = \widehat {EAD} + \widehat {BAD} = 45^\circ + 90^\circ = 135^\circ \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AB} = AE.AB.{\rm{cos}}\widehat {BAE} = a\sqrt 2 .a.\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = - {a^2}\).
\(54,8\);
\(54,769\);
\(55\);
\(54,77\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hàng của chữ số khác \(0\) đầu tiên bên trái của \(d = 0,01\) là hàng phần trăm.
Quy tròn số \(\overline a \approx 54,76923077...\)đến hàng phần trăm ta được số gần đúng của \(\overline a \) là \(a = 54,77\).
\(2\% \);
\(1,9\% \);
\(5,1\% \);
\(0,0051\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hàng của chữ số khác \(0\) đầu tiên bên trái của \(d = 0,002\) là hàng phần nghìn. Do đó ta quy tròn \(a\) đến hàng phần trăm được \(0,10\).
Suy ra sai số tuyệt đối của số quy tròn \(\Delta \le 0,002\).
Vì số đúng \(\overline a \) thỏa mãn \(0,1031 - 0,002 \le \overline a \le 0,1031 + 0,002 \Leftrightarrow 0,1011 \le \overline a \le 0,1051\).
Do đó sai số tuyệt đối của số \(0,10\) là: \({\Delta _{0,10}} = \left| {\overline a - 0,10} \right| \le 0,0051\)
Vậy sai số tương đối của số \(0,10\) là: \({\delta _{0,10}} \le \frac{{0,0051}}{{0,10}} = 5,1\% \).
Chiều cao của 8 bạn trong tổ 1 của lớp 10A là: \(172\,\,cm;\,\,164\,\,cm;\,\,170\,\,cm;\,\,155\,\,cm;\,\)\(162\,\,cm;\,\,\,168\,\,cm;\,\,\,175\,\,cm;\,\,183\,\,cm\).
Trung vị của dãy số liệu trên là
\(169\,\,cm\);
\(158,5\,\,cm\);
\(168\,\,cm\);
\(170\,\,cm\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:
\(155;\,\,162;\,\,164;\,\,168;\,\,170;\,\,172;\,\,175;\,\,183\).
Dãy trên có tất cả 8 giá trị. Trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ tư và giá trị thứ năm nên ta có: \({Q_2} = \frac{{168 + 170}}{2} = 169\,\,cm\).
Năng suất lúa vụ đông xuân (tạ/ha) năm 2021 của một số địa phương ở Đồng bằng sông Cửu Long được thống kê trong bảng sau:
Tỉnh | Hậu Giang | Phú Yên | Bạc Liêu | An Giang | Kiên Giang |
Năng suất lúa (tạ/ha) | 78,2 | 77,9 | 77,3 | 76,2 | 74,7 |
Năng suất lúa đông xuân của các địa phương trên là
\(77,3\);
\(76,86\);
\(96,08\);
\(76,2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Năng suất lúa trung bình của các địa phương ở Đồng bằng sông Cửu Long là:
\(\overline x = \frac{{78,2 + 77,9 + 77,3 + 76,2 + 74,7}}{5} = 76,86\) (tạ/ha).
Điểm thi thử môn Toán THPT Quốc Gia của bạn Bảo qua 20 lần thi thử được thống kê trong bảng sau:
9 | 6 | 7 | 8 | 8 | 8,2 | 7 | 7,4 | 7,8 | 6,2 |
7,8 | 8 | 8,8 | 6,2 | 9 | 8,2 | 7,4 | 6 | 8 | 8,2 |
Mốt của dãy số liệu trên là
\(8\);
\(8,2\);
\(7,61\);
\(7,8\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có bảng tần số sau:
Điểm | 6 | 6,2 | 7 | 7,4 | 7,8 | 8 | 8,2 | 8,8 | 9 |
Tần số | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 4 | 3 | 1 | 2 |
Mốt của dãy số liệu là giá trị có tần số lớn nhất nên \({M_0} = 8\).
II. PHẦN TỰ LUẬN (3 ĐIỂM)
(1,0 điểm). Giả sử độ cao \(h\) (đơn vị: mét) của một quả bóng golf tính theo thời gian \(t\) (đơn vị: giây) trong một lần đánh của vận động viên được xác định bằng một hàm số bậc hai và giá trị tương ứng tại một số thời điểm được cho bởi bảng sau đây:
Thời gian \(\left( s \right)\) | 0 | 0,5 | 1 | 2 |
Độ cao \(\left( m \right)\) | 0 | 30 | 45 | 30 |
a) Xác định hàm số bậc hai biểu thị độ cao \(h\left( m \right)\) của quả bóng golf tính theo thời gian \(t\left( s \right)\).
b) Sau bao lâu kể từ khi vận động viên đánh bóng thì bóng lại chạm đất?
Hướng dẫn giải
a) Gọi hàm số bậc hai cần tìm có dạng: \(h = a{t^2} + bt + c,\left( {a,b,c \in \mathbb{R},a \ne 0} \right)\)
+) Với \(t = 0,h = 0\) ta có: \(0 = a{.0^2} + b.0 + c \Leftrightarrow c = 0\)
Khi đó hàm số cần tìm là \(h = a{t^2} + bt\)
+) Với \(t = 0,5;\,\,h = 30\) ta có:
\(30 = a.{\left( {0,5} \right)^2} + b.\left( {0,5} \right) \Leftrightarrow 0,25a + 0,5b = 30 \Leftrightarrow a + 2b = 120\,\,\left( 1 \right)\).
+) Với \(t = 1;\,\,h = 45\) ta có:
\(45 = a{.1^2} + b.1 \Leftrightarrow a + b = 45\,\,\left( 2 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 45\\a + 2b = 120\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 30\\b = 75\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện)
Vì vậy hàm số cần tìm là \(h = - 30{t^2} + 75t\).
b) Vì bóng lại chạm đất nên \(h = 0\)
\( \Rightarrow 0 = - 30{t^2} + 75\)
\( \Leftrightarrow - 15t\left( {2t - 5} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = \frac{5}{2} = 2,5\end{array} \right.\)
Vì là khoảng thời gian sau khi đánh bóng nên \(t > 0\) do đó chỉ có \(t = 2,5\) là thỏa mãn.
Vậy sau khi đánh bóng được \(2,5\,\,s\) thì bóng chạm đất.
(1,0 điểm).
a) Cho hai vectơ bất kì \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 3,5;\,\left| {\,\overrightarrow b } \right| = 4,2;\,\,\left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right) = 85^\circ \). Tính \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \), \(\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right)\).
b) Cho tam giác \(ABC\) có \(G\) là trọng tâm. Gọi \(H\) là chân đường cao hạ từ \(A\) sao cho \(\overrightarrow {BH} = \frac{1}{3}\overrightarrow {HC} \). Điểm \(M\) di động nằm trên \(BC\) sao cho \(\overrightarrow {BM} = x\overrightarrow {BC} \). Tìm \(x\) sao cho độ dài của vectơ \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} \) đạt giá trị nhỏ nhất.
a) Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right) = 3,5.4,2.{\rm{cos}}85^\circ \approx 1,3\).
Ta có: \(\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right) = \overrightarrow a .\overrightarrow a + \overrightarrow a .2\overrightarrow b = {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \approx 3,{5^2} + 2.1,3 \approx 13,5\).
b)
Dựng hình bình hành \(AGCE\). Khi đó, ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AE} = \overrightarrow {ME} \)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} } \right| = \left| {\overrightarrow {ME} } \right| = ME\)
Kẻ \[EF \bot BC\left( {F \in BC} \right)\]
\( \Rightarrow ME \ge EF\)
Do đó \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \[EF\] khi \(M\) trùng \(F\).
Gọi \(P\) là trung điểm của \(AC\), kẻ \[PQ \bot BC\left( {Q \in BC} \right)\]
\( \Rightarrow P\) là trung điểm của \(GE\) (tính chất hình bình hành)
Ta lại có: \(BG = \frac{2}{3}BP\)
\( \Rightarrow BP = \frac{3}{4}BE\)
Vì \[PQ\parallel EF\left( { \bot BC} \right)\] nên \(BQ = \frac{3}{4}BF\) hay \(BF = \frac{4}{3}BQ\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {BF} = \frac{4}{3}\overrightarrow {BQ} \)
Xét tam giác \(AHC\), có:
\(P\) là trung điểm của \(AC\)
\[PQ\parallel AH\left( { \bot BC} \right)\]
Suy ra \(Q\) là trung điểm của \(HC\) nên \(\overrightarrow {HQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {HC} \)
Ta lại có: \(\overrightarrow {BH} = \frac{1}{3}\overrightarrow {HC} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HQ} = \frac{1}{3}\overrightarrow {HC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {HC} = \frac{5}{6}\overrightarrow {HC} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BQ} = \frac{5}{6}\overrightarrow {HC} \)
Mà \(\overrightarrow {HC} = \frac{3}{4}\overrightarrow {BC} \) nên \(\overrightarrow {BQ} = \frac{5}{6}.\frac{3}{4}\overrightarrow {BC} = \frac{5}{8}\overrightarrow {BC} .\)
Do đó \(\overrightarrow {BF} = \frac{4}{3}\overrightarrow {BQ} = \frac{4}{3}.\frac{5}{8}\overrightarrow {BC} = \frac{5}{6}\overrightarrow {BC} \).
Vậy điểm \(M\) nằm trên \(BC\) thỏa mãn \(\overrightarrow {BM} = \frac{5}{6}\overrightarrow {BC} \) hay \(x = \frac{5}{6}\) thì độ dài của vectơ \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} \) đạt giá trị nhỏ nhất.
(1,0 điểm). Kết quả \(5\) lần nhảy xa (đơn vị: mét) của bạn Mạnh và bạn Duy cho ở bảng sau:
Mạnh | 2,1 | 2,5 | 2,4 | 2,2 | 2,3 |
Duy | 2,0 | 2,8 | 2,6 | 2,2 | 1,9 |
a) Kết quả trung bình của hai bạn có bằng nhau không?
b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu thống kê kết quả 5 lần nhảy xa của mỗi bạn. Từ đó cho biết bạn nào có kết quả nhảy xa ổn định hơn.
Hướng dẫn giải
a) Kết quả trung bình của bạn Mạnh là:
\(\overline {{x_1}} = \frac{{2,1 + 2,5 + 2,4 + 2,2 + 2,3}}{5} = 2,3\)
Kết quả trung bình của bạn Duy là:
\(\overline {{x_2}} = \frac{{2,0 + 2,8 + 2,6 + 2,2 + 1,9}}{5} = 2,3\).
Vậy cả hai bạn có kết quả nhảy trung bình là bằng nhau.
b) Phương sai của mẫu số liệu thống kê kết quả của bạn mạnh là:
\(S_{{x_1}}^2 = \frac{{{{\left( {2,1 - 2,3} \right)}^2} + {{\left( {2,5 - 2,3} \right)}^2} + {{\left( {2,4 - 2,3} \right)}^2} + {{\left( {2,2 - 2,3} \right)}^2} + {{\left( {2,3 - 2,3} \right)}^2}}}{5} = 0,02\).
Suy ra độ lệch chuẩn
\({s_{{x_1}}} = \sqrt {S_{{x_1}}^2} = \sqrt {0,02} \approx 0,14\).
Phương sai của mẫu số liệu thống kê kết quả của bạn Duy là:
\(S_{{x_1}}^2 = \frac{{{{\left( {2,0 - 2,3} \right)}^2} + {{\left( {2,8 - 2,3} \right)}^2} + {{\left( {2,6 - 2,3} \right)}^2} + {{\left( {2,2 - 2,3} \right)}^2} + {{\left( {1,9 - 2,3} \right)}^2}}}{5} = 0,12\)
Suy ra độ lệch chuẩn
\({s_{{x_2}}} = \sqrt {S_{{x_2}}^2} = \sqrt {0,12} \approx 0,35\).
Vì \(0,35 > 0,14\) nên mẫu số liệu thống kê kết quả của bạn Duy có độ phân tán lớn hơn hay nói cách khác bạn Duy có kết quả nhảy xa ổn định hơn.
