Bài tập ôn tập Toán 12 Kết nối tri thức Chương 2 có đáp án
55 câu hỏi
A. Trắc nghiệm
Dạng 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Trong không gian, cho tứ diện \(ABCD\). Ta có \[\overrightarrow {AB} \, + \,\overrightarrow {CD} \]bằng
\[\overrightarrow {AD} \, + \,\overrightarrow {BC} \].
\[\overrightarrow {DA} \, + \,\overrightarrow {CB} \].
\[\overrightarrow {DA} \, + \,\overrightarrow {BC} \].
\[\overrightarrow {AD} \, + \,\overrightarrow {CB} \].
Chọn D
Theo quy tắc ba điểm, ta có: \[\overrightarrow {AB\,} \, = \overrightarrow {AD} \, + \,\overrightarrow {DB} \].
Do đó:
\[\overrightarrow {AB} \, + \,\overrightarrow {CD} \, = \,\overrightarrow {AD} \, + \,\overrightarrow {DB} \, + \,\overrightarrow {CD} \]
\( = \,\,\,\,\overrightarrow {AD} \, + \left( {\,\overrightarrow {DB} \, + \,\overrightarrow {CD} } \right)\) \( = \,\,\,\,\overrightarrow {AD} \, + \left( {\,\,\overrightarrow {CD} \, + \,\overrightarrow {DB} } \right)\)\( = \,\,\,\,\overrightarrow {AD} \, + \,\overrightarrow {CB} \).
Cho tứ diện \[ABCD\]. Đặt \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a \], \[\overrightarrow {AC} = \overrightarrow b \], \[\overrightarrow {AD} = \overrightarrow c \]. Gọi \[M\] là trung điểm của đoạn \[BC\]. Đẳng thức nào dưới đây đúng?
\[\overrightarrow {DM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b - 2\overrightarrow c } \right)\].
\[\overrightarrow {DM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b - \overrightarrow c } \right)\].
\[\overrightarrow {DM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\].
\[\overrightarrow {DM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b - \overrightarrow c } \right)\].
Chọn A
Vì \[M\] là trung điểm của \[BC \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \].
Mặt khác \[\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \]
\[ = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} \]\[ = \frac{1}{2}\overrightarrow a + \frac{1}{2}\overrightarrow b - \overrightarrow c = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b - 2\overrightarrow c } \right)\].
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành. Đặt \[\overrightarrow {SA} = \overrightarrow a \], \[\overrightarrow {SB} = \overrightarrow b \], \[\overrightarrow {SC} = \overrightarrow c \], \[\overrightarrow {SD} = \overrightarrow d .\] Khẳng định nào dưới đây là đúng?
\[\overrightarrow a + \overrightarrow c = \overrightarrow b + \overrightarrow d \].
\[\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c + \overrightarrow d = \overrightarrow 0 \].
\[\overrightarrow a + \overrightarrow d = \overrightarrow b + \overrightarrow c \].
\[\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow c + \overrightarrow d \].
Chọn A
Gọi \[O\] là tâm hình bình hành \[ABCD\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} = \overrightarrow a + \overrightarrow c \\\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} = \overrightarrow b + \overrightarrow d \end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \overrightarrow a + \overrightarrow c = \overrightarrow b + \overrightarrow d \].
Cho hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\]. Đặt \[\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow a \], \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b \], \[\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c \]. Hãy biểu diễn vectơ \[\overrightarrow {B'C} \] theo \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \]?
\[\overrightarrow {B'C} = \overrightarrow a + \overrightarrow b - \overrightarrow c \].
\[\overrightarrow {B'C} = - \overrightarrow a + \overrightarrow b - \overrightarrow c \].
\[\overrightarrow {B'C} = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \].
\[\overrightarrow {B'C} = - \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c \].
Chọn D
![Hãy biểu diễn vectơ \[\overrightarrow {B'C} \] theo \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \]? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/3-1758960050.png)
Vì \[BB'C'C\] là hình bình hành nên \[ \Rightarrow \overrightarrow {B'C} = \overrightarrow {B'C'} + \overrightarrow {B'B} = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AA'} \]
\[ = - \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \]\[ = - \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c \].
Cho \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\).
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\).
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 1\).
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\).
Chọn A
Do \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ cùng hướng nên \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 0^\circ \Rightarrow cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 1\). Vậy \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 3,\)\(\left| {\overrightarrow b } \right| = 2\) và \(\vec a.\vec b = - 3.\) Xác định góc \(\alpha \) giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \).
\(\alpha = 30^\circ \).
\(\alpha = 45^\circ \).
\[\alpha = 60^\circ \].
\(\alpha = 120^\circ \).
Chọn D
Cho hai vectơ \(\vec a\) và \(\overrightarrow b \) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = 1\) và hai vectơ \(\vec u = \frac{2}{5}\overrightarrow a - 3\overrightarrow b \) và \(\vec v = \overrightarrow a + \overrightarrow b \) vuông góc với nhau. Xác định góc \(\alpha \) giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b .\)
\(\alpha = 90^\circ \).
\(\alpha = 180^\circ \).
\(\alpha = 60^\circ \).
\(\alpha = 45^\circ \).
Chọn B
Ta có \(\vec u \bot \vec v \Rightarrow \vec u.\vec v = 0 \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{5}\overrightarrow a - 3\overrightarrow b } \right)\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{2}{5}{\overrightarrow a ^2} - \frac{{13}}{5}\overrightarrow a \overrightarrow b - 3{\overrightarrow b ^2} = 0\).
Suy ra \(cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\vec a.\overrightarrow b }}{{\left| {\vec a} \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = - 1 \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 180^\circ \).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) thỏa mãn điều kiện \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = 1\) và \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 3.\) Độ dài vectơ \(3\overrightarrow a + 5\overrightarrow b \) là
\(5\sqrt 5 .\)
\(\sqrt {124} .\)
8.
124.
Chọn B
\({\left( {3\overrightarrow a + 5\overrightarrow b } \right)^2} = 9{\overrightarrow a ^2} + 30\overrightarrow a \overrightarrow b + 25{\overrightarrow b ^2}\) \( = 9 + 90 + 25 = 124\)\( \Rightarrow \left| {3\overrightarrow a + 5\overrightarrow b } \right| = \sqrt {124} \).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) thỏa mãn: \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 4;\left| {\overrightarrow b } \right| = 3;\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = 4\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \). Chọn khẳng định đúng?
\(\cos \alpha = \frac{3}{8}\).
\(\alpha = 30^\circ \).
\(\cos \alpha = \frac{1}{3}\).
\(\alpha = 60^\circ \).
Chọn A
Ta có \({\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = \frac{9}{2}.\) Do đó: \(\cos \;\alpha = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{3}{8}\).
Cho tứ diện \[ABCD\] có \[AB = AC = AD\] và \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = 60^\circ \). Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \)?
\[60^\circ \].
\[45^\circ \].
\[120^\circ \].
\[90^\circ \].
Chọn D
![Cho tứ diện \[ABCD\] có \[AB = AC = AD\] và \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = 60^\circ \). Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \)? A. \[60^\circ \]. B. \[45^\circ \]. C. \[120^\circ \]. D. \[90^\circ \]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/4-1758960269.png)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AD.\cos 60^\circ - AB.AC.\cos 60^\circ = 0\)
\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = 90^\circ \).
Trong không gian \[Oxyz\], hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( {1;2;5} \right)\) lên trục \(Ox\) có tọa độ là
\(\left( {0;2;0} \right)\).
\(\left( {0;0;5} \right)\).
\(\left( {1;0;0} \right)\).
\(\left( {0;2;5} \right)\).
Chọn C
Hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( {1;2;5} \right)\) lên trục \(Ox\) có tọa độ là \(\left( {1;0;0} \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), tọa độ hình chiếu của điểm \(A\left( { - 2; - 1;3} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là
\(\left( {0; - 1;0} \right)\).
\(\left( { - 2;0;0} \right)\).
\(\left( {0; - 1;3} \right)\).
\(\left( { - 2; - 1;0} \right)\).
Chọn C
Tọa độ hình chiếu của điểm \(A\left( { - 2; - 1;3} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là \(\left( {0; - 1;3} \right)\).
Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \(M\) thỏa mãn hệ thức \(\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow i + \overrightarrow j \). Tọa độ điểm \(M\) là
\(M\left( {0;\,2;\,1} \right)\).
\(M\left( {1;\,2;\,0} \right)\).
\[M\left( {2;\,1;\,0} \right)\].
\(M\left( {2;\,0;\,1} \right)\).
Chọn C
Vì điểm \(M\) thỏa mãn hệ thức \(\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow i + \overrightarrow j \) nên tọa độ điểm \[M\left( {2;\,1;\,0} \right)\].
Trong không gian với hệ tọa độ \(\left( {O\,;\,\,\overrightarrow i \,;\,\overrightarrow {j\,} ;\,\overrightarrow k } \right)\), cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1\,;\,2\,;\,3} \right)\) và \(\overrightarrow b = 2\overrightarrow i - 4\overrightarrow k \). Tính tọa độ vectơ \(\overrightarrow u = \overrightarrow a - \overrightarrow b \).
\(\overrightarrow u = \left( { - 1\,;\,2\,;\, - 1} \right)\).
\(\overrightarrow u = \left( { - 1\,;\, - 2\,;\,3} \right)\).
\(\overrightarrow u = \left( { - 1\,;\,6\,;\,3} \right)\).
\(\overrightarrow u = \left( { - 1\,;\,2\,;\,7} \right)\).
Chọn D
Ta có: \(\overrightarrow i = \left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)\); \(\overrightarrow j = \left( {0\,;\,1\,;\,0} \right)\); \(\overrightarrow k = \left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)\) nên \(\overrightarrow b = 2\overrightarrow i - 4\overrightarrow k \Rightarrow \overrightarrow b = \left( {2\,;\,0\,;\, - 4} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow u = \overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( { - 1\,;\,2\,;\,7} \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {2;1;1} \right),B\left( { - 1;2;1} \right)\). Tìm tọa độ của điểm \(A'\) đối xứng với điểm \(A\) qua điểm \(B\)?
\(A'\left( {3;4; - 3} \right)\).
\(A'\left( { - 4;3;1} \right)\).
\(A'\left( {1;3;2} \right)\).
\(A'\left( {5;0;1} \right)\).
Chọn B
Điểm \(A'\) đối xứng với điểm \(A\) qua điểm \(B\) nên \[B\] là trung điểm của đoạn \[AA'\].
Do đó \[\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_B} - {x_A} = - 4\\{y_{A'}} = 2{y_B} - {y_A} = 3\\{z_{A'}} = 2{z_B} - {z_A} = 1\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 4;3;1} \right)\].
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {\, - 4\,;\,1\,;\, - 5} \right)\), \(B\left( {\,2\,;\, - 4\,;\,7} \right)\), \(C\left( {\,3\,;\, - 2\,;\,9\,} \right)\). Tọa độ điểm \(D\) để \(ABCD\) là hình bình hành là
\(D\left( {\,2\,;\,3\,;\, - 3} \right)\).
\[D\left( {\, - 3\,;\,3\,;\, - 3} \right)\].
\(D\left( {\, - 3\,;\, - 3\,;\,3} \right)\).
\(D\left( {\, - 6\,;\,5\,;\, - 12} \right)\).
Chọn B
Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( {\,1\,;\,2\,;\,2} \right)\); \(ABCD\) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} + 4 = 1\\{y_D} - 1 = 2\\{z_D} + 5 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}{x_D} = - 3\\{y_D} = 3\\{z_D} = - 3\end{array} \right.\).
Trong không gian\(Oxyz\), cho vectơ \(\overrightarrow a = \left( { - 3;2;1} \right)\) và điểm \(A\left( {4;6; - 3} \right)\). Tọa độ điểm \(B\) thỏa mãn\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a \) là:
\(\left( { - 1; - 8;2} \right)\).
\(\left( {7;4; - 4} \right)\).
\(\left( {1;8; - 2} \right)\).
\(\left( { - 7; - 4;4} \right)\).
Chọn C
Gọi \(B\left( {x;y;z} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {AB} = \left( {x - 4;y - 6;z + 3} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 = - 3\\y - 6 = 2\\z + 3 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 8\\z = - 2\end{array} \right.\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {2\,;\, - 1\,;\, - 3} \right)\). Tìm tọa độ của điểm \(M'\) đối xứng với điểm \(M\) qua trục \(Oy\).
\(M'\left( {2\,;\,1\,;\, - 3} \right)\).
\(M'\left( { - 2\,;\, - 1\,;\,3} \right)\).
\(M'\left( {2\,;\, - 1\,;\, - 3} \right)\).
\(M'\left( { - 2\,;\, - 1\,;\, - 3} \right)\).
Chọn B
Điểm \(M\left( {{x_0}\,;\,{y_0}\,;\,{z_0}} \right)\) có điểm đối xứng qua trục \(Oy\)là điểm \(M'\left( { - {x_0}\,;\,{y_0}\,;\, - {z_0}} \right)\).
Vậy điểm \(M\left( {2\,;\, - 1\,;\, - 3} \right)\) có điểm đối xứng qua trục \(Oy\)là điểm \(M'\left( { - 2\,;\, - 1\,;\,3} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {2\,;\, - 1;\,5} \right)\), \(B\left( {5\,;\, - 5;\,7} \right)\); \(M\left( {x\,;\,y;\,1} \right)\). Khi \(A,\,B,\,M\) thẳng hàng thì giá trị của \(x;\,y\) là
\(x = 4;\,y = - 7\).
\(x = - 4;\,y = 7\).
\(x = 4;\,y = 7\).
\(x = - 4;\,y = - 7\).
Chọn B
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;\, - 4;\,2} \right)\); \(\overrightarrow {AM} = \left( {x - 2;\,y + 1;\, - 4} \right)\).
Để ba điểm \(A,\,B,\,M\) thẳng hàng thì \(\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y + 1}}{{ - 4}} = \frac{{ - 4}}{2}\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = 7\end{array} \right.\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác ABC có \(A\left( {1; - 1; - 2} \right)\) và trọng tâm \(G\left( {2;1; - 3} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \) là
\(\left( {3;6;3} \right)\).
\(\left( {3;6; - 3} \right)\).
\(\left( {3; - 3;6} \right)\).
\(\left( {3;2;1} \right)\).
Chọn B
Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\). Ta có: \(\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2.\overrightarrow {AM} = 2.\frac{3}{2}.\overrightarrow {AG} = 3\overrightarrow {AG} = \left( {3;6; - 3} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho bốn điểm \(A\left( {2;0;0} \right),\,\,B\left( {0;2;0} \right),\,\,C\left( {0;0;2} \right)\) và \(D\left( {2;2;2} \right)\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(MN\) là:
\(I\left( {1;1;0} \right)\).
\(I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};1} \right)\).
\(I\left( {1;1;1} \right)\).
\(I\left( {1; - 1;2} \right)\)
Chọn C
Vì \(I\left( {x;y;z} \right)\) là trung điểm \(MN\) nên ta có: \[2\overrightarrow {IM} + 2\overrightarrow {IN} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \].
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2 + 0 + 0 + 2}}{4}\\y = \frac{{0 + 2 + 0 + 2}}{4}\\z = \frac{{0 + 0 + 2 + 2}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 1\end{array} \right.\). Vậy \(I\left( {1;1;1} \right)\).
Trong không gian hệ toạ độ \[Oxyz\], cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( {3\,;4\,;2} \right)\);\(\overrightarrow b = \left( { - 5\,;0\,;3} \right)\);\(\overrightarrow c = \left( {1\,;\,2\,; - 4} \right)\). Tìm toạ độ của vectơ \(\overrightarrow u = 3\overrightarrow a + 2\overrightarrow b - \overrightarrow c \).
\(\overrightarrow u = \left( { - 2;10;16} \right)\).
\(\overrightarrow u = \left( {2;10; - 16} \right)\).
\(\overrightarrow u = \left( { - 1;5;8} \right)\).
\(\overrightarrow u = \left( { - 2; - 10;16} \right)\).
Chọn A
Ta có: \(3\overrightarrow a = \left( {9;12;6} \right)\); \(2\overrightarrow b = \left( { - 10;0;6} \right)\); \( - \overrightarrow c = \left( { - 1; - 2;4} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow u = 3\overrightarrow a + 2\overrightarrow b - \overrightarrow c \)\( = \left( { - 2;10;16} \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {2\,;\,1\,;\,1} \right),\,B\left( { - 1\,;\,2\,;\,1} \right)\). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) là
\(I\left( {\frac{1}{3}\,;\,1\,;\,\frac{2}{3}} \right)\).
\(I\left( { - 3\,;\,1\,;\,0} \right)\).
\(I\left( { - \frac{3}{2}\,;\, - \frac{1}{2}\,;\,0} \right)\).
\(I\left( {\frac{1}{2}\,;\,\frac{3}{2}\,;\,1} \right)\).
Chọn D
Ta có: \(I\left( {\frac{{2 - 1}}{2}\,;\,\frac{{1 + 2}}{2}\,;\,\frac{{1 + 1}}{2}} \right)\)\[ \Rightarrow I\left( {\frac{1}{2}\,;\,\frac{3}{2}\,;\,1} \right)\].
Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1\,;2\,;3} \right),\,\,B\left( { - 2\,; - 4\,;9} \right)\). Điểm \(M\) thuộc đoạn \(AB\) sao cho \(MA = 2MB\). Độ dài đoạn thẳng \(OM\) là
\(5\).
\(3\).
\(\sqrt {54} \).
\(\sqrt {17} \).
Chọn C
Đặt \(M\left( {x\,;y\,;z} \right)\), khi đó: \(\overrightarrow {MA} = \left( {1 - x\,;2 - y\,;3 - z} \right)\) và \(\overrightarrow {MB} = \left( { - 2 - x\,; - 4 - y\,;9 - z} \right)\).
Ta có: \(MA = 2MB \Rightarrow \overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x = - 2\left( { - 2 - x} \right)\\2 - y = - 2\left( { - 4 - y} \right)\\3 - z = - 2\left( {9 - z} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 2\\z = 7\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 1\,; - 2\,;7} \right)\).
Khi đó: \(\overrightarrow {OM} = \left( { - 1\,; - 2\,;7} \right)\). Vậy \[OM = \sqrt {54} \].
Trong không gian \[Oxyz\]cho điểm \[G\left( {1; - 2;3} \right)\]và ba điểm \[A\left( {a;0;0} \right)\];\[B\left( {0;b;0} \right)\];\[C\left( {0;0;c} \right)\]. Biết \[G\]là trọng tâm của tam giác \[ABC\]thì \[a + b + c\]bằng
3.
9.
6.
0.
Chọn C
Ta có trọng tâm \[G\] của tam giác \[ABC\]: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = \frac{a}{3}\\ - 2 = \frac{b}{3}\\3 = \frac{c}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 6\\c = 9\end{array} \right.\].
Khi đó: \[a + b + c = 3 + \left( { - 6} \right) + 9 = 6\].
Trong không gian \[Oxyz\], cho hai vectơ \[\overrightarrow a = \left( {1; - 2;1} \right)\] và \[\overrightarrow b = \left( {2; - 4; - 2} \right)\]. Khi đó \[\overrightarrow a .\overrightarrow b \] bằng
8.
\[ - 8\].
12.
\[ - 12\].
Chọn A
Ta có: \[\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1.2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 4} \right) + 1.\left( { - 2} \right) = 8\].
Trong không gian \(Oxyz,\) cho \(\overrightarrow u = \left( {1;2;3} \right),\overrightarrow v = \left( {0; - 1;1} \right)\). Tìm tọa độ của vectơ tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).
\(\left( {5;1; - 1} \right)\).
\(\left( {5; - 1; - 1} \right)\).
\(\left( { - 1; - 1; - 1} \right)\).
\(\left( { - 1; - 1;5} \right)\).
Chọn B
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {5; - 1; - 1} \right).\)
Trong không gian \(Oxyz\), cosin của góc tạo bởi hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( { - 1;2;0} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {0; - 2;1} \right)\) là
\(\frac{4}{5}\).
\(\frac{{ - 4}}{5}\).
\(\frac{4}{{25}}\).
\(\frac{{ - 4}}{{25}}\).
Chọn B
Ta có \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{\left( { - 1} \right).0 + 2.\left( { - 2} \right) + 0.1}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {0^2}} .\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{ - 4}}{5}\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(O\,xyz\), cho hai vectơ \(\vec a = \left( {3\,;\, - 2\,;\,m} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( {2\,;\,m\,;\, - 1} \right)\) với \(m\) là tham số nhận giá trị thực. Tìm giá trị của \(m\) để hai vectơ \(\vec a\) và \(\overrightarrow b \)vuông góc với nhau.
\(m = 1\).
\(m = 2\).
\(m = - 1\).
\(m = - 2\).
Chọn B
Hai vectơ \(\vec a\) và \(\overrightarrow b \)vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(\vec a\,.\,\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow 3.2 + \left( { - 2} \right).m + m.\left( { - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 6 - 3m = 0 \Leftrightarrow m = 2\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có AB→=−3 ; 0 ; 4, AC→=5 ; −2 ; 4. Độ dài đường trung tuyến \(AM\) là
\(3\sqrt 2 \).
\(5\sqrt 2 \).
\(4\sqrt 2 \).
\(2\sqrt 3 \).
Chọn A
Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \left( {2\,;\, - 2\,;\,8} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \left( {1\,;\, - 1\,;\,4} \right)\).
Khi đó \(AM = \left| {\overrightarrow {AM} } \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}} = 3\sqrt 2 \).
Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Trong không gian, cho tứ diện \[ABCD\] có trọng tâm \[G\].
a) \[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \].
b) \[\overrightarrow {OG} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right)\].
c) \[\overrightarrow {BG} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} \].
d) \[\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\].
a) Đúng. Theo công thức vì \[G\] là trọng tâm tứ diện \[ABCD \Rightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \].
b) Đúng. Ta có:
\[\overrightarrow {OG} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OG} } \right) = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {DG} } \right)\]\[ = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right)\].
c) Đúng. \[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = - \overrightarrow {GB} = \overrightarrow {BG} \].
d) Sai. \[\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OG} = \overrightarrow {AO} + \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right) = \overrightarrow {AO} + \frac{1}{4}\left( {4\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\]
\[ = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OA} + \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\].
Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật \[ABCD,\] mặt phẳng \((ABCD)\) song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc \(E\) của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp \(EA,EB,EC,ED\) có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng \((ABCD)\) một góc bằng \(60^\circ \). Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Biết rằng các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_4}} \) đều có cường độ là \(4700\;{\rm{N}}\) và trọng lượng của khung sắt là \(3000\;{\rm{N}}\).
a) \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}} \).
b) \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_4}} \).
c) \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = 8141\;{\rm{N}}\) (làm tròn đến hàng đơn vị).
d) Trọng lượng của chiếc xe ô tô là \(16282\;{\rm{N}}\) (làm tròn đến hàng đơn vị).
Lấy các điểm \(M,N,P,Q\)lần lượt trên các tia \(EA,EB,EC,ED\) sao cho
\(\overrightarrow {EM} = \overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {EN} = \overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {EP} = \overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {EQ} = \overrightarrow {{F_4}} {\rm{. }}\)
Do các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_4}} \) đều có cường độ là \(4700\;{\rm{N}}\) nên \(EM = EN = EP = EQ = 4700\).
a) Sai. Ta có: \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {EM} + \overrightarrow {EN} = 2\overrightarrow {EH} \), với \(H\) là trung điểm của \(MN\).
\(\overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}} = \overrightarrow {EP} + \overrightarrow {EQ} = 2\overrightarrow {EK} \), với \(K\) là trung điểm của \[PQ\] suy ra \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} \ne \overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}} \).
b) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {EM} + \overrightarrow {EP} = 2\overrightarrow {EO} \), với \(O\) là trung điểm của \(MP\).
\(\overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_4}} = \overrightarrow {EN} + \overrightarrow {EQ} = 2\overrightarrow {EO} ,\) với \(O\) là trung điểm của \[MP\] suy ra \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_4}} \).
c) Đúng. \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = |2\overrightarrow {EO} | = 2EO\). Theo giả thiết, góc giữa \(EA\)với \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(60^\circ \) nên góc giữa \(EM\)với \(\left( {MNPQ} \right)\) cũng bằng \(60^\circ \) hay \(\widehat {SMO} = 60^\circ \).
Xét \(\Delta EMO\) có \(EM = 4700,\widehat {\,SMO} = 60^\circ \) suy ra \(EO = EM\sin 60^\circ = 2350\sqrt 3 \).
d) Đúng. Từ đây ta tính được \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = 2EO = 8141\;{\rm{N}}\).
Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) với \(AB = 6{\rm{\;m}},AD = 7{\rm{\;m}},\)\(AA' = 3,5{\rm{\;m}}\). Một bóng đèn được treo ở vị trí chính giữa trần nhà của phòng học và cách trần nhà \(0,5{\rm{\;m}}\). Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc \(O\) trùng với điểm \(A\), các điểm \(B,D,A'\) lần lượt nằm trên các tia \(Ox,Oy,Oz\).
a) Điểm \(D\) có toạ độ là \(\left( {0;7;0} \right)\).
b) Các điểm C, D có tung độ bằng nhau.
c) Vectơ \(\overrightarrow {C'D'} \) có tọa độ \(\left( {6;0;0} \right)\)
d) Bóng đèn nằm tại vị trí có tọa độ \(\left( {3;3,5;3,5} \right)\).
a) Đúng. Có điểm A trùng với gốc tọa độ \({\rm{O}},D \in Oy \Rightarrow D\left( {0;{y_D};0} \right)\).
Mà \(AD = 7\), suy ra \({y_D} = 7\) hay \(D\left( {0;7;0} \right)\).
b) Đúng. Các điểm \(C,D\) có tung độ bằng nhau và bằng 7.
c) Sai. Ta có tọa độ điểm \(D'\left( {0;7;3,5} \right)\) và điểm \(C'\left( {6;7;3,5} \right)\).
Suy ra vectơ \(\overline {C'D'} \left( { - 6;0;0} \right)\).
d) Sai. Ta có điểm \(A'\left( {0;0;3,5} \right)\) và điểm \(C'\left( {6;7;3,5} \right)\).
Tọa độ trung điểm của \(A'{\rm{C'}}\) là \(\left( {\frac{{6 + 0}}{2};\frac{{7 + 0}}{2};\frac{{3,5 + 3,5}}{2}} \right) = \left( {3;3,5;3,5} \right)\).
Mà bóng đèn được treo cách trần nhà \(0,5{\rm{\;m}}\).
Vậy bóng đèn nằm tại vị trí có toạ độ \(\left( {3;3,5;3} \right)\).
Hình vẽ sau mô tả vị trí của máy bay vào thời điểm 9h30'. Biết các đơn vị trên hình tính theo đơn vị km.
a) Máy bay đang ở độ cao 9 km.
b) Tọa độ của máy bay lúc 9h30' là \(\left( {150;300;9} \right)\).
c) Phi công để máy bay ở chế độ tự động và bay theo hướng đông, độ cao không đổi lúc 10h30' máy bay ở tọa độ \(\left( {150;1086;9} \right)\). Khi đó vận tốc của máy bay là \(776{\rm{\;km}}/{\rm{h}}\), biết vận tốc gió theo hướng đông là \(10{\rm{\;m/s}}\).
d) Giả sử vận tốc và hướng gió không đổi thì sau khi bay đến vị trí lúc 10h30' thì máy bay bay ngược lại (hướng Tây) với vận tốc \(800{\rm{\;km/h}}\) với độ cao không đổi, biết lúc đó trời lặng gió thì lúc 11h máy bay cách gốc tọa độ một khoảng 723 km (làm tròn đến hàng đơn vị).
a) Đúng. Dựa vào hình vẽ, máy bay đang ở độ cao 9 km.
b) Đúng. Dựa vào hệ tọa độ trong hình vẽ, ta thấy vị trí của máy bay tại thời điểm 9h30’ là \(A\left( {150;300;9} \right)\).
c) Sai. Gọi \(B\left( {150;1086;9} \right)\) là vị trí của máy bay tại thời điểm 10h30'.
Quãng đường máy bay đi được trong 1 giờ là khoảng cách từ A đến B.
Có \(AB = \sqrt {{{(1086 - 300)}^2}} = 786\).
Vận tốc giá theo hướng Đông: \(v = 10{\rm{\;m}}/{\rm{s}} = 36\left( {{\rm{km}}/{\rm{h}}} \right)\)
Vận tốc của máy bay là \(\frac{{786}}{1} - 36 = 750\left( {{\rm{km}}/{\rm{h}}} \right)\).
d) Sai. Từ lúc 10h30', vận tốc máy bay theo hướng Đông là \({v_T} = - 800{\rm{\;km}}/{\rm{h}}\).
Gọi \(C\left( {x;y;z} \right)\) là vị trí của máy bay tại thời điểm 11h.
Có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_B}}\\{y = {y_B} + {v_T}.t}\\{z = {z_B}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 150}\\{y = 1086 - 800.\frac{1}{2}}\\{z = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 150}\\{y = 686}\\{z = 9}\end{array}} \right.} \right.} \right.\).
Suy ra \(C\left( {150;686;9} \right)\).
Vậy máy bay cách gốc tọa độ khoảng 702 km.
Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;2;0} \right),B\left( {0;1;1} \right),C\left( {2;1;0} \right)\).
a) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
b) Chu vi tam giác là \(\sqrt 7 + \sqrt 3 + \sqrt 2 \).
c) Diện tích tam giác \(ABC\) là \(\sqrt 6 \).
d) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là \(I\left( {1;1;\frac{1}{2}} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1;1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt 3 ,\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 1;0} \right) \Rightarrow AC = \sqrt 2 \), \(\overrightarrow {BC} = \left( {2;0; - 1} \right) \Rightarrow BC = \sqrt 5 \).
a) Đúng. \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\) do đó \(AB \bot AC\), tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
b) Sai. Chu vi của tam giác là \(AB + AC + BC = \sqrt 3 + \sqrt 2 + \sqrt 5 \).
c) Sai. Diện tích là \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).
d) Đúng. Tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của \(BC\) có tọa độ \(I\left( {1;1;\frac{1}{2}} \right)\).
Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát \(2{\rm{\;km}}\) về phía nam và \(1{\rm{\;km}}\) về phía đông, đồng thời cách mặt đất \(0,5{\rm{\;km}}\). Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát \(1{\rm{\;km}}\) về phía bắc và \(1,5{\rm{\;km}}\) về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,8 \({\rm{km}}\).Chọn hệ trục \(Oxyz\) với gốc \(O\) đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất với trục \(Ox\) hướng về phía nam, trục \(Oy\) hướng về phía đông và trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời (Hình bên dưới), đơn vị đo lấy theo kilomet.
a) Với hệ tọa độ đã chọn, tọa độ khinh khí cầu thứ nhất là \(\left( {2;1;0,5} \right)\).
b) Với hệ tọa độ đã chọn, toạ độ khinh khí cầu thứ hai là \(\left( { - 1,5; - 1;0,8} \right)\).
c) Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất bằng \(\sqrt {21} {\rm{\;km}}\).
d) Khoảng cách hai chiếc khinh khí cầu là \(3,92{\rm{\;km}}\) (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
a) Đúng. Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là \(\left( {2;1;0,5} \right)\).
b) Sai. Chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là \(\left( { - 1; - 1,5;0,8} \right)\).
c) Sai. Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất bằng\(\sqrt {{2^2} + {1^2} + 0,{5^2}} = \frac{{\sqrt {21} }}{2}\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).
d) Đúng. Khoảng cách hai chiếc khinh khí cầu là
\(\sqrt {{{\left( { - 1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1,5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0,8 - 0,5} \right)}^2}} = \sqrt {15,34} \approx 3,92\left( {{\rm{km}}} \right)\).
Hình minh họa sơ đồ một ngôi nhà trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\), trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật.
a) Tọa độ của các điểm \(A\left( {5;0;0} \right)\).
b) Tọa độ của các điểm \(H\left( {0;5;3} \right)\).
c) Góc nhị diện có cạnh là đường thẳng \(FG\), hai mặt lần lượt là \(\left( {FGQP} \right)\) và \(\left( {FGHE} \right)\) gọi là góc dốc của mái nhà. Số đo của góc dốc của mái nhà bằng \(26,6^\circ \) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của độ).
d) Chiều cao của ngôi nhà là 4.
a) Sai. Vì nền nhà là hình chữ nhật nên tứ giác \(OABC\) là hình chữ nhật, suy ra \({x_A} = {x_B} = 4,{y_C} = {y_B} = \) 5. Do \(A\) nằm trên trục \(Ox\) nên tọa độ điểm \(A\) là \(\left( {4;0;0} \right)\).
b) Sai. Tường nhà là hình chữ nhật, suy ra \({y_H} = {y_C} = 5,{z_H} = {z_E} = 3\). Do \(H\) nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) nên tọa độ điểm \(H\) là \(\left( {0;5;3} \right)\).
c) Sai. Để tính góc dốc của mái nhà, ta đi tính số đo góc nhị diện có cạnh là đường thẳng \(FG\), hai mặt phẳng lần lượt là \(\left( {FGQP} \right)\) và \(\left( {FGHE} \right)\). Do mặt phẳng \(\left( {Ozx} \right)\) vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( {FGQP} \right)\) và \(\left( {FGHE} \right)\) nên góc \(PFE\) là góc phẳng nhị diện ứng với góc nhị diện đó.
Ta có \(\overrightarrow {FP} = \left( { - 2;0;1} \right),\overrightarrow {FE} = \left( { - 4;0;0} \right)\).
Suy ra \({\rm{cos}}\widehat {PFE} = {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {FP} ,\overrightarrow {FE} } \right) = \frac{{\overrightarrow {FP} \cdot \overrightarrow {FE} }}{{\left| {\overrightarrow {FP} \left| \cdot \right|\overrightarrow {FE} } \right|}} = \frac{{\left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 4} \right) + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0}}{{\sqrt {{{( - 2)}^2} + {0^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{{( - 4)}^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
Do đó, \(\widehat {PFE} \approx 26,6^\circ \). Vậy góc dốc của mái nhà khoảng \(26,6^\circ \).
d) Sai. Chiều cao bằng cao độ của điểm \(P\) suy ra \(h = 4\).
Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục là 1 m), một flycam bay với vận tốc có độ lớn và hướng không đổi. Tại thời điểm \(t = 0\), flycam ở vị trí \(A\left( {1;\,2;\,3} \right)\) và sau 10 phút nó ở vị trí \(B\left( {21;\,32;\,33} \right)\).
a) Flycam không bay qua vị trí \[D\left( {5;\,8;\,9} \right)\].
b) Vectơ vận tốc của flycam có tọa độ là \(\overrightarrow v = \left( {20;\,30;\,30} \right)\).
c) Độ lớn của vận tốc flycam là \(\sqrt {22} \) (m/phút).
d) Sau 15 phút vị trí flycam là \(C\left( {31;\,47;\,48} \right)\).
![Flycam không bay qua vị trí \[D\left( {5;\,8;\,9} \right)\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/12-1758961260.png)
a) Sai. \(\overrightarrow {AB} = \left( {20;\,30;\,30} \right)\); \(\overrightarrow {AD} = \left( {4;\,6;\,6} \right)\).
Ta có \(\frac{{20}}{4} = \frac{{30}}{6} = \frac{{30}}{6}\).
Suy ra \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {AD} \) cùng phương.
\( \Rightarrow \) 3 điểm \(A\), \(B\), \(D\) thẳng hàng.
Do đó flycam bay qua vị trí \[D\left( {5;\,8;\,9} \right)\].
b) Sai. Flycam ở vị trí \(A\left( {1;\,2;\,3} \right)\) và sau 10 phút nó ở vị trí \(B\left( {21;\,32;\,33} \right)\)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AB} = 10\overrightarrow v \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow v = \frac{{\overrightarrow {AB} }}{{10}} = \left( {2;\,3;\,3} \right)\).
c) Đúng. Độ lớn của vận tốc flycam là \(\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2} + {3^2}} = \sqrt {22} \)(m/phút).
d) Đúng. Tại thời điểm \(t = 0\), flycam ở vị trí \(A\) và sau 15 phút flycam ở vị trí \(C\).
Suy ra \(\overrightarrow {AC} = 15\overrightarrow v \)\( \Leftrightarrow \left( {{x_C} - 1;\,{y_C} - 2;\,{z_C} - 3} \right) = 15\left( {2;\,3;\,3} \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 31\\{y_C} = 47\\{z_C} = 48\end{array} \right.\).
Vậy \(C\left( {31;\,47;\,48} \right)\).
Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng \(ABFPE.DCGQH\) với \[ABFE\] là hình chữ nhật và \(EFP\) là tam giác cân tại \(P\). Gọi \[T\] là trung điểm của \[DC\]. Các kích thước của kho chứa lần lượt là \(AB = 6\)m;\(AE = 5\)m; \(AD = 8\)m; \(QT = 7\)m. Người ta mô hình hoá nhà kho bằng cách chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là điểm \(O\) thuộc đoạn \[AD\] sao cho \(OA = 2\)m và các trục toạ độ tương ứng như hình vẽ dưới đây.
a) Toạ độ điểm \(Q\) là \(\left( { - 6;3;5} \right)\).
b) Vectơ \(\overrightarrow {OC} \) có toạ độ là \(\left( { - 6;6;0} \right)\).
c) Người ta muốn lắp camera quan sát trong nhà kho tại vị trí trung điểm của \(FG\) và đầu thu dữ liệu đặt tại vị trí \(O\). Người ta thiết kế đường dây cáp nối từ \(O\) đến \(K\) sau đó nối thẳng đến camera. Độ dài đoạn cáp nối tối thiểu bằng \(5 + 2\sqrt {10} \)m.
d) Mái nhà được lợp bằng tôn Hoa Sen, giá tiền mỗi mét vuông tôn là \(130.000\) đồng. Số tiền cần bỏ ra để mua tôn lợp mái nhà là \(3.750.000\) đồng (không kể hao phí do việc cắt và ghép các miếng tôn, làm tròn kết quả đến hàng nghìn).
a) Sai. Kẻ \(TM \bot Oy\), \(CN \bot Oy\).
Vì \(T\) là hình chiếu của \(Q\) lên \(\left( {Oxy} \right)\) nên
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_Q} = {x_T} = - OD = - \left( {AD - OA} \right) = - 6\\{y_Q} = {y_T} = OH = \frac{{AB}}{2} = 3\end{array} \right.\).
\({z_Q} = QT = 7\)
Suy ra \(Q\left( { - 6;\,3;\,7} \right)\).
b) Đúng. Vì \(C \in \left( {Oxy} \right)\) nên \({z_C} = 0\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = - OD = - 6\\{y_C} = ON = AB = 6\end{array} \right.\). Suy ra \(C\left( { - 6;\,6;\,0} \right)\). Vậy \(\overrightarrow {OC} = \left( { - 6;\,6;\,0} \right)\).
c) Đúng Gọi \(L\) là trung điểm của \(FG\).
Ta có: \({z_K} = OK = AE = 5\).
Suy ra \(K\left( {0;\,0;\,5} \right)\).
\( \Rightarrow OK = 5\).
\(B\), \(C\) lần lượt là hình chiếu của \(F\), \(G\) lên \(\left( {Oxy} \right)\).
Suy ra \(F\left( {2;\,6;\,5} \right)\), \(G\left( { - 6;\,6;\,5} \right)\).
Mà \(L\) là trung điểm của \(FG\) nên \(L\left( { - 2;\,6;\,5} \right)\)\( \Rightarrow KL = 2\sqrt {10} \).
Vậy độ dài đoạn cáp tối thiểu từ \(O\) đến \(K\) sau đó nối thẳng đến camera là
\(OK + KL = 5 + 2\sqrt {10} \) (m)
d) Sai. \(FG = \sqrt {{{\left( { - 6 - 2} \right)}^2} + {{\left( {6 - 6} \right)}^2} + {{\left( {5 - 5} \right)}^2}} = 8\) (m) .
\(GQ = \sqrt {{{\left( { - 6 + 6} \right)}^2} + {{\left( {3 - 6} \right)}^2} + {{\left( {7 - 5} \right)}^2}} = \sqrt {13} \) (m).
Suy ra \({S_{FGQP}} = FG \cdot GQ = 8\sqrt {13} \) \(\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Diện tích lợp tôn mái nhà là \(2{S_{FGQP}} = 16\sqrt {13} \) \(\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Số tiền cần bỏ ra để mua tôn lợp mái nhà là
\(16\sqrt {13} \cdot 130\,000 \approx 7\,500\,000\) (đồng).
Trong không gian, xét hệ tọa độ \(Oxyz\) có gốc \(O\) trùng với vị trí một giàn khoan trên biển, mặt phẳng \((Oxy)\) trùng với mặt biển (được coi là mặt phẳng) với tia \(Ox\) hướng về phía nam, tia \(Oy\) hướng về phía đông và tia \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời (tham khảo hình vẽ). Đơn vị đo trong không gian \(Oxyz\) lấy theo kilômét. Một chiếc radar đặt tại \(O\) có phạm vi theo dõi là 30 km. Một chiếc tàu thám hiểm tại vị trí \(A\) ở độ sâu 10 km so với mặt nước biển, cách \(O\;25\;{\rm{km}}\) về phía nam và 15 km về phía tây. Một tàu đánh cá tại vị trí \(B( - 20;15;0)\).
a) Khoảng cách từ chiếc tàu thám hiểm đến radar bằng 25 km.
b) Radar không phát hiện được tàu thám hiểm đặt tại vị trí \(A\).
c) Radar phát hiện ra tàu đánh cá tại vị trí \(B\).
d) Một chiếc tàu của cảnh sát biển đang tuần tra di chuyển đến vị trí Cách \(O\)\(\;15\;{\rm{km}}\) về phía nam.
Để radar phát hiện ra thì tàu cảnh sát biển cần di chuyển về phía đông cách \(O\) tối đa \(15\sqrt 3 \;{\rm{km}}\).
a) Sai. Tàu thám hiểm ở vị trí \(A(25; - 15; - 10)\)
Khoảng cách từ tàu thám hiểm đến radar là \(OA = \sqrt {{{25}^2} + {{15}^2} + {{10}^2}} = 5\sqrt {38} \approx 30,8\;{\rm{km}}\).
b) Đúng. Radar đặt tại \(O\) có phạm vi theo dõi là 30 km, mà khoảng cách từ tàu thám hiểm đến radar là 30,8 \( > 30\) nên radar không phát hiện được tàu thám hiểm đặt tại vị trí \(A\).
c) Đúng. Khoảng cách từ tàu đánh cá đến radar là
\(OB = \sqrt {{{20}^2} + {{15}^2}} = 25\;{\rm{km}} < 30\;{\rm{km}}\).
Vậy radar phát hiện ra tàu đánh cá tại vị trí \(B\).
d) Đúng. Giả sử chiếc tàu của cảnh sát biển ở vị trí \(C(15;y;0)\).
Khoảng cách từ tàu của cảnh sát biển đến radar là \(OC = \sqrt {{{15}^2} + {y^2}} \)
Để radar phát hiện ra thì tàu cảnh sát biển thì: \(OC < 30 \Leftrightarrow {15^2} + {y^2} < {30^2} \Leftrightarrow - 15\sqrt 3 < y < 15\sqrt 3 \).
Vậy để radar phát hiện ra thì tàu cảnh sát biển cần di chuyển về phía đông cách \(O\) tối đa \(15\sqrt 3 \;{\rm{km}}{\rm{.}}\)
Dạng 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Có ba lực cùng tác động vào một vật. Hai trong ba lực này hợp với nhau một góc \(100^\circ \) và có độ lớn lần lượt là \(25\;\)N và \(12\;\)N. Lực thứ ba vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai lực đã cho và có độ lớn \(4\;\)N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên (làm tròn đến hàng phần chục).
Đặt \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 25\) N, \(\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 25\) N, \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 4\) N.
Theo giả thiết ta có
\({\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|^2} + 2\overrightarrow {{F_1}} \overrightarrow {{F_2}} = {25^2} + {12^2} + {4^2} + 2.25.12\cos 100^\circ \)
nên \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = 5{\rm{,}}1\) N.
Đáp án: 5,1.
Trong không gian \[Oxyz\], một khinh khí cầu ở toạ độ \(A\left( { - 16; - 10;10} \right)\) bắt đầu bay với véc tơ vận tốc không đổi \(\overrightarrow v \left( {4;3; - 1} \right)\) (đơn vị vận tốc là km/h) và dự kiến bay trong thời gian 10 giờ. Biết trạm kiểm soát không lưu đặt ở vị trí gốc toạ độ \(O\) kiểm soát được các vật thể cách trạm một khoảng tối đa bằng \(12\)km. Thời gian kể từ khi trạm kiểm soát không lưu phát hiện ra khinh khí cầu đến khi khinh khí cầu ra khỏi vùng kiểm soát là bao nhiêu phút?
\(\overrightarrow {OA} = \left( { - 16; - 10;10} \right) \Rightarrow OA = \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = 2\sqrt {114} \approx 21,35\,\,{\rm{(km)}}.\)
Khinh khí cầu bay theo hướng của vectơ \(\overrightarrow v \left( {4;3; - 1} \right)\), do đó vị trí của máy bay ở vị trí \(M\) thì \(\overrightarrow {OM} = t\overrightarrow v ,(0 \le t \le 10)\). Suy ra \(M\left( {4t - 16;3t - 10; - t + 10} \right),(0 \le t \le 10),\) \(t\;\)(giờ).
Theo bài ra, ta có:
\(OM \le 12 \Leftrightarrow {\left( {4t - 16} \right)^2} + {\left( {3t - 10} \right)^2} + {\left( { - t + 10} \right)^2} \le 144 \Leftrightarrow 26{t^2} - 208t + 312 \le 0 \Leftrightarrow 2 \le t \le 6.\)
Thời gian kể từ khi trạm kiểm soát không lưu phát hiện ra khinh khí cầu đến khi khinh khí cầu ra khỏi vùng kiểm soát là 4 (giờ) = 240 (phút).
Đáp án: 240.
Một chiếc máy đo đạc trắc địa được đặt trên một giá đỡ ba chân. Trọng lực tác dụng lên chiếc máy có độ lớn là \(30{\rm{N}}\) và được phân bố thành ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} \) lên ba chân của giá đỡ. Ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} \) có độ lớn bằng nhau và góc tạo bởi mỗi chân của giá đỡ và mặt đất là \(60^\circ .\) Hỏi độ lớn của lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) là bao nhiêu newton (làm tròn đến hàng phần chục)? 
Gán các lực \[\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {SA} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {SB} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {SC} .\]
Vì \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|\) và góc tạo bởi mỗi chân của giá đỡ với mặt đất bằng \(60^\circ \) nên \(S.ABC\) là hình chóp đều.
Gọi \(M\) là trung điểm \(BC,\,\,G\) là trọng tâm \(\Delta ABC \Rightarrow SG \bot \left( {ABC} \right).\)
Ta có \(\widehat {SBG} = 60^\circ \Rightarrow SG = SA.\sin 60^\circ = \frac{{SA\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow SA = \frac{{2SG}}{{\sqrt 3 }}.\)
Đặt \(\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = 30\left( {\rm{N}} \right).\)
Vì \(\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = 3\overrightarrow {SG} \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = 3\left| {\overrightarrow {SG} } \right| \Rightarrow SG = \frac{{\left| {\overrightarrow F } \right|}}{3} = 10.\)
Vậy \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {SA} } \right| = 2\frac{{SG}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }} \approx 11,5\left( {\rm{N}} \right).\)
Đáp án: 11,5.
Trên màn hình ra đa của đài kiểm soát (được coi như mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), một xe thiết giáp chuyển động thẳng đều từ mục tiêu \[A\] có tọa độ \[(60;20)\] đến mục tiêu \[B\] có tọa độ \[(20;50)\] và thời gian đi quãng đường \[AB\] là 3 giờ. Gọi \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) là tọa độ của xe thiết giáp tại thời điểm sau khi xuất phát 1 giờ. Hỏi \({y_M}\) bằng bao nhiêu?
Ta có: \[\overrightarrow {AM} = \left( {x - 60;y - 20} \right),\overrightarrow {AB} = \left( { - 40;30} \right)\].
Vì xe thiết giáp chuyển động thẳng đều nên \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \).
Do đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 60 = - \frac{{40}}{3}}\\{y - 20 = 10}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{140}}{3}}\\{y = 30.}\end{array}} \right.} \right.\)
Vậy vị trí của xe thiết giáp tại thời điểm sau khi xuất phát 1 giờ là \(M\left( {\frac{{140}}{3};30} \right){\rm{.\;}}\)
Đáp án: 30.
Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước (đơn vị đo lấy theo km), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm \(A\left( {800;500;7} \right)\) đến điểm \(B\left( {940;550;8} \right)\) trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo \(D\left( {x;y;z} \right)\). Khi đó \(x + y + z = ?\)
Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\) là vị trí của máy bay sau 10 phút bay tiếp theo (tính từ thời điểm máy bay ở điểm \(B\)). Vì hướng của máy bay không đổi nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BD} \) cùng hướng. Do vận tốc máy bay không đổi và thời gian bay từ \(A\) đến \(B\) bằng thời gian bay từ \[B\] đến \(D\) nên \(AB = BD\).
Do đó, \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} = \left( {140;50;1} \right)\).
Mặt khác: \(\overrightarrow {BD} = \left( {x - 940;y - 550;z - 8} \right)\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 940 = 140}\\{y - 550 = 50}\\{z - 8 = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1080}\\{y = 600}\\{z = 9}\end{array}} \right.} \right.\).
Vậy \(D\left( {1080;600;9} \right)\). Vậy tọa độ của máy bay trong 10 phút tiếp theo là \(\left( {1080;600;9} \right)\).
Suy ra \(x + y + z = 1689\).
Đáp án: 1689.
Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp \(AB\) trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ toạ độ \(Oxyz\) như hình vẽ dưới với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ bằng \(1\;m\). Tìm được tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {a;b;c} \right)\). Khi đó tính \(a + c\).
Ta có: \(\overrightarrow {OA} = 10\vec k \Rightarrow A\left( {0;0;10} \right)\) và \(OH = OB.\cos 30^\circ = \frac{{15\sqrt 3 }}{2}\); \(OK = OB.\cos \left( {90^\circ - 30^\circ } \right) = \frac{{15}}{2}\)
\[ \Rightarrow {\rm{ }}B\left( {\frac{{15}}{2};\frac{{15\sqrt 3 }}{2};0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {\frac{{15}}{2};\frac{{15\sqrt 3 }}{2}; - 10} \right)\]. Vậy \(a + c = 2,5\).
Đáp án: 2,5.
Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc khinh khí cầu thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Đông 100 km và về phía Nam 80 km, đồng thời cách mặt đất 1 km. Chiếc khinh khí cầu thứ hai cách điểm xuất phát về phía Bắc 70 km và về phía Tây 60 km, đồng thời cách mặt đất 0,8 km. Xác định khoảng cách giữa chiếc khinh khí cầu thứ nhất và chiếc khinh khí cầu thứ hai (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của kilomet).
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\), với gốc đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc khinh khí cầu, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất, trục \(Ox\) hướng về phía Bắc, trục \(Oy\) hướng về phía Tây, trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét (xem hình vẽ).
Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ \(\left( { - 100; - 80;1} \right)\).
Chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ \(\left( {70;60;0,8} \right)\).
Khoảng cách của chiếc khinh khí cầu thứ nhất với vị trí tại điểm xuất phát của nó là:
\[\sqrt {{{\left( { - 100} \right)}^2} + {{\left( { - 80} \right)}^2} + {1^2}} \approx 128\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\].
Khoảng cách giữa chiếc khinh khí cầu thứ nhất và chiếc khinh khí cầu thứ hai là:
\[\sqrt {{{\left( { - 100 - 70} \right)}^2} + {{\left( { - 80 - 60} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0,8} \right)}^2}} \approx 220\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\].
Đáp án: 220.
Một ngôi nhà gồm hai phần. Phần thân nhà dạng hình hộp chữ nhật \[ABCD.OMNK\] có chiều dài 1200 cm, chiều rộng 900 cm, chiều cao 450 cm. Phần mái nhà dạng hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau và cùng tạo với mặt đáy một góc acó \(\tan \alpha = \frac{1}{5}\). Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho M thuộc tia Ox, K thuộc tia Oy, A thuộc tia Oz (như hình vẽ).
Biết \[S\left( {a;b;c} \right)\] (đơn vị của a, b, c là centimet). Tính giá trị của biểu thức \[P = a + b + c\].
Gọi I là tâm của hình chữ nhật \[ABCD\].
Ta có \(BD = \sqrt[{}]{{{{900}^2} + {{1200}^2}}} = 1500 \Rightarrow ID = 750\).
Theo giả thiết ta có \(\tan \widehat {SDI} = \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{{SI}}{{ID}} = \frac{1}{5} \Rightarrow SI = \frac{1}{5}ID = \frac{1}{5}.750 = 150\).
Gọi H là tâm của hình chữ nhật OKNM. Từ giả thiết ta có \(H\left( {450;600;0} \right)\).
Ta có \(SH = IH + SI = 450 + 150 = 600\).
Do đó \(S\left( {450;600;600} \right) \Rightarrow a + b + c = 450 + 600 + 600 = 1650\).
Đáp án: 1650.
Ba chiếc máy bay không người lái cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc máy bay thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Đông 60 km và về phía Nam 40 km, đồng thời cách mặt đất 2 km. Chiếc máy bay thứ hai cách điểm xuất phát về phía Bắc 80 km và về phía Tây 50 km, đồng thời cách mặt đất 4 km. Chiếc máy bay thứ ba nằm chính giữa của chiếc máy bay thứ nhất và thứ hai, đồng thời ba chiếc máy bay này thẳng hàng.
Xác định khoảng cách của chiếc máy bay thứ ba với vị trí tại điểm xuất phát của nó (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị kilomet).
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\), với gốc đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc máy bay, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất, trục \(Ox\) hướng về phía Bắc, trục \(Oy\) hướng về phía Tây, trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét (xem hình vẽ).
Chiếc máy bay thứ nhất có tọa độ \(\left( { - 60; - 40;2} \right)\).
Chiếc máy bay thứ hai có tọa độ \(\left( {80;50;4} \right)\).
Do chiếc máy bay thứ ba nằm chính giữa của chiếc máy bay thứ nhất và thứ hai, đồng thời ba chiếc máy bay này thẳng hàng nên ở vị trí trung điểm, suy ra chiếc máy bay thứ ba có tọa độ \(\left( {\frac{{ - 60 + 80}}{2};\frac{{ - 40 + 50}}{2};\frac{{2 + 4}}{2}} \right) = \left( {10;5;3} \right)\).
Khoảng cách giữa chiếc máy bay thứ nhất và chiếc máy bay thứ hai:
\[\sqrt {{{\left( { - 60 - 80} \right)}^2} + {{\left( { - 40 - 50} \right)}^2} + {{\left( {2 - 4} \right)}^2}} \approx 166,4\left( {{\rm{km}}} \right)\].
Khoảng cách của chiếc máy bay thứ ba với vị trí tại điểm xuất phát của nó là:
\[\sqrt {{{10}^2} + {5^2} + {3^2}} \approx 11,6\left( {{\rm{km}}} \right)\].
Đáp án: 11,6.
Xét Trái Đất trong không gian \(Oxyz\), với \(O\) là tâm Trái Đất, tia \(Ox\) chứa giao điểm của kinh tuyến gốc và xích đạo, tia \(Oz\) chứa điểm cực bắc \(N\), tia \(Oy\) giao xích đạo tại điểm thuộc bán cầu Đông, một đơn vị dài trong không gian \(Oxyz\) tương ứng với 6371 km trong thực tế. Biết rằng nếu điểm \(M\) có vĩ độ, kinh độ tương ứng là \(\alpha ^\circ \,N;{\rm{ }}\,\beta ^\circ \,E{\rm{ }}\,\left( {0 < \alpha < 90,\,0 < \beta < 180} \right)\) thì điểm \(M\)có tọa độ là \(M\left( {\cos \alpha ^\circ \cos \beta ^\circ ;\,\cos \alpha ^\circ \sin \beta ^\circ ;\,\sin \alpha ^\circ } \right)\).
Tính khoảng cách giữa hai vị trí trên bề mặt Trái Đất là Cầu Hiền Lương (cũ) (Quảng Trị) có vĩ độ, kinh độ tương ứng là \(17,0045^\circ \,N;{\rm{ }}\,107,0517^\circ \,E\) và Dinh Độc Lập (TP Hồ Chí Minh) có vĩ độ, kinh độ tương ứng là \(10,777^\circ \,N;{\rm{ }}106,695^\circ \,E\) (đơn vị: km, làm tròn kết quả đến hàng chục).
Ta có Toạ độ cầu Hiền Lương là
\(C\left( {\cos 17,0045^\circ \cos 107,0517^\circ ;\cos 17,0045^\circ \sin 107,0517^\circ ;\sin 17,0045^\circ } \right)\).
Toạ độ Dinh Độc Lập Là \(D\left( {\cos 10,777^\circ \cos 106,695^\circ ;\cos 10,777^\circ \sin 106,695^\circ ;\sin 10,777^\circ } \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {OC} = \left( {\cos 17,0045^\circ \cos 107,0517^\circ ;\cos 17,0045^\circ \sin 107,0517^\circ ;\sin 17,0045^\circ } \right)\);
\(\overrightarrow {OD} = \left( {\cos 10,777^\circ \cos 106,695^\circ ;\cos 10,777^\circ \sin 106,695^\circ ;\sin 10,777^\circ } \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OD} \approx 0,9941\), vì C, D thuộc mặt đất nên ta có \(\left| {\overrightarrow {OC} } \right| = \left| {\overrightarrow {OD} } \right| = 1\).
Do đó \(\cos \widehat {COD} = \frac{{\overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OD} }}{{\left| {\overrightarrow {OC} } \right|.\left| {\overrightarrow {OD} } \right|}} \approx 0,9941\), suy ra \(\widehat {COD} \approx 6,2298^\circ \).
Khoảng cách giữa hai điểm C và D là \(l \approx \frac{{3,14159.6,2298^\circ }}{{180^\circ }}.6371 \approx 692,7\,{\rm{(km)}}\); làm tròn đến hàng chục được kết quả là \(690\,\,{\rm{(km)}}\).
Đáp án: 690.
B. Tự luận
Cho hình lập phương\(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(5\).
a) Tìm góc giữa các cặp vectơ sau: \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {B'D'} \); \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {CD} \); \(\overrightarrow {AD'} \) và \(\overrightarrow {BD} \).
b) Tính các tích vô hướng:\(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {B'D'} \); \(\overrightarrow {AD'} .\overrightarrow {BD} \).
c) Chứng minh \(\overrightarrow {AC'} \) vuông góc với \(\overrightarrow {BD} \).
a) Ta có: \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \widehat {CAB} = 45^\circ \); \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {B'D'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {BD'} } \right) = 90^\circ \)
\[\left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {CD} } \right) = \left( {\overrightarrow {CE} ,\,\overrightarrow {CD} } \right) = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \] (\(E\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(C\))
\(\overrightarrow {AD'} = \overrightarrow {BC'} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AD'} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \left( {\overrightarrow {BC'} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \widehat {C'BD}\) mà tam giác \(C'BD\) là tam giác đều nên khi đó ta có \(\widehat {C'BD} = 60^\circ \).
b) Ta có \(AC = BD = B'D' = 5\sqrt 2 \) suy ra:
· AC→.AB→=AC.AB.cos45°=25.
Do \(AC\) vuông góc với \(B'D'\) nên \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {B'D'} = 0\).
· AD'→.BD→=AD'.BD.cos60°=52.2.12=25.
c) Ta cần chứng minh \(\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {BD} = 0\)
Ta có: \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \) nên \(\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right).\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)\)
\[ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {A{B^2}} + \overrightarrow {A{D^2}} - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AB} = {5^2} - {5^2} = 0\].
Suy ra \(\overrightarrow {AC'} \) vuông góc với \(\overrightarrow {BD} \) (điều phải chứng minh).
Cho biết \(A\) (đơn vị: \(J\)) sinh bởi lực \(\overrightarrow F \) tác dụng lên một vật được tính bằng công thức \(A = \overrightarrow F .\overrightarrow d \) trong đó \(\overrightarrow d \) là vectơ biểu thị độ dịch chuyển của vật (đơn vị: mét) khi chịu tác dụng của lực \(\overrightarrow F \). Một chiếc xe có khối lượng \(1,5\) tấn đang đi xuống trên một đoạn đường dốc có góc nghiêm \(5^\circ \) so với phương ngang. Tính công sinh ra bởi trọng lực \(\overrightarrow P \) khi xe đi hết đoạn đường dốc dài \(30\,{\rm{m}}\) (làm trong kết quả đến hàng đơn vị), biết rằng trọng lực \(\overrightarrow P \) được xác định bởi công thức \(\overrightarrow P = m.\overrightarrow g \) với \(m\) (đơn vị: kg) là khối lượng của vật và \(\overrightarrow g \) là gia tốc rơi tự do có độ lớn \(g = 9,8{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}\).
Ta có \(1,5\) tấn \( = \) \(1500\) kg.
Độ lớn của trọng lực tác dụng lên xe là: \(\left| {\overrightarrow P } \right| = m.\left| {\overrightarrow g } \right| = 1500.9,8 = 14700\)N.
Vectơ \(\overrightarrow d \) biểu thị độ dịch chuyển của xe có độ dài là: \(\left| {\overrightarrow d } \right| = 30\left( {\rm{m}} \right)\) và \(\left( {\overrightarrow P ,\overrightarrow d } \right) = 90^\circ - 5^\circ = 85^\circ \).
Công sinh ra bởi trọng lực khi xe đi hết đoạn đường dốc là:
\(A = \overrightarrow P .\overrightarrow d = \left| {\overrightarrow P } \right|.\left| {\overrightarrow d } \right|.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow P ,\overrightarrow d } \right) = 14700.30.{\rm{cos85}}^\circ \approx 38436\) (J).
Một chất điểm \(A\) nằm trên mặt phẳng nằm ngang \(\left( \alpha \right)\), chịu tác động bởi ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {\,{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} \). Các lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} \) có giá nằm trong \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} } \right) = 135^\circ \), còn lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) có giá vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) và hướng lên trên. Xác định cường độ hợp lực của các lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {\,{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} \) biết rằng độ lớn của ba lực đó lần lượt là \(20\)N, \(15\)N và \(10\)N.
Gọi \(\overrightarrow F \) là hợp lực của các lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {\,{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} \) tức là \[\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} \] ta có:
\({\left| {\overrightarrow F } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right)^2} = \overrightarrow {{F_1}^2} + \overrightarrow {{F_2}^2} + \overrightarrow {{F_3}^2} + 2.\overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {{F_2}} + 2.\overrightarrow {{F_2}} .\overrightarrow {{F_3}} + 2.\overrightarrow {{F_3}} .\overrightarrow {{F_{1`}}} \)
\( = {20^2} + {15^2} + {10^2} + 2.20.25.{\rm{cos135}}^\circ \, = 725 - 300\sqrt 2 \).
Vậy \(\left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {725 - 300\sqrt 2 } \approx 17,34\)N.
Ba lực \[\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} \] cùng tác dụng vào một vật có phương đôi một vuông góc với nhau và có độ lớn lần lượt là \(2\)N, \(3\)N và \(4\)N.
a) Tính độ lớn hợp hai lực \(\overrightarrow {{F_2}} ,\,\overrightarrow {{F_3}} \).
b) Tính độ lớn hợp lực của ba lực đã cho.
a) Gọi \(O\) là vị trí trên vật mà ba lực cùng tác động vào. Gọi \(A,\,\,B,\,\,C\) là các điểm sao cho \(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {OA} \)\[\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {OB} \,,\,\,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {OC} \]. Khi đó \[\left| {\overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = OE = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\]N.
b) Dựng các hình chữ nhật \(OBEC\) và \(OEFA\) thì ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OE} \\\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OE} = \overrightarrow {OF} \end{array} \right.\).
Do đó \[\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OE} = \overrightarrow {OF} \]
Vậy độ lớn hợp lực của cả ba lực là:
\(\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = \overrightarrow {OF} = \sqrt {O{A^2} + O{E^2}} = \sqrt {O{A^2} + O{B^2} + O{C^2}} = \sqrt {{2^2} + {3^2} + {4^2}} = \sqrt {29} \)N.
Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là \(8\)m, chiều rộng là \(6\)m và chiều cao là \(3\)m. Một chiếc đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học. Xét hệ trục toạ độ \(Oxyz\) có gốc \(O\) trùng với một góc phòng và mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét (Hình minh họa dưới đây). Hãy tìm toạ độ của điểm treo đèn.
Gọi toạ độ các điểm \(B\left( {3\,;\,0\,;\,0} \right)\,;\,C\left( {3\,;\,6\,;\,0} \right)\,;\,D\left( {0\,;\,6\,;\,0} \right)\) như hình vẽ dưới đây:
Gọi \(N\) là trung điểm của \(OC\), \(N'\) là hình chiếu của \(N\) lên mặt phẳng trần nhà suy ra \(N'\) là điểm treo đèn.
Khi đó \(N\left( {\frac{3}{2}\,;\,3\,;\,0} \right) \Rightarrow N'\left( {\frac{3}{2}\,;\,3\,;\,3} \right)\).
Vậy toạ độ của điểm treo đèn là \(\left( {\frac{3}{2}\,;\,3\,;\,3} \right)\).
