Đề kiểm tra Toán 12 Kết nối tri thức Chương 2 có đáp án - Đề 2
11 câu hỏi
Phần 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\]. Đặt \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a \], \[\overrightarrow {AD} = \overrightarrow b \], \[\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow c \]. Phân tích vectơ \[\overrightarrow {AC'} \] theo \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \] ta được
\[\overrightarrow {AC'} = - \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \].
\[\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow a + \overrightarrow b - \overrightarrow c \].
\[\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \].
\[\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c \].
Chọn C
![Cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\]. Đặt \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a \], \[\overrightarrow {AD} = \overrightarrow b \], \[\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow c \]. Phân tích vectơ \[\overrightarrow (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/10-1758977161.png)
Ta có \[\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \].
Cho \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 2;\;\left| {\overrightarrow b } \right| = 6\), góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) bằng \(120^\circ \). Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 12\).
\[\overrightarrow a .\overrightarrow b = 40\].
\[\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 6\].
\[\overrightarrow a .\overrightarrow b = 6\sqrt 3 \].
Chọn C
Ta có \[\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 2.6.\cos 120^\circ = 2.6.\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 6\].
Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Toạ độ của \(H\) là
\(H\left( { - 1; - 2;3} \right)\).
\(H\left( {0;0;3} \right)\).
\(H\left( {1;0;0} \right)\).
\(H\left( {1;2;0} \right)\).
Chọn D
Toạ độ điểm \(H\) là \(H\left( {1;2;0} \right)\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho \(\overrightarrow a = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \). Tọa độ của \(\overrightarrow a \) là
\(\left( { - 2\,;\, - 1\,;\, - 3} \right)\).
\(\left( { - 3\,;\,2\,;\, - 1} \right)\).
\(\left( {2\,;\, - 3\,;\, - 1} \right)\).
\(\left( { - 1\,;\,2\,;\, - 3} \right)\).
Chọn D
Ta có \(\overrightarrow a = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \) nên \(\overrightarrow a = \left( { - 1\,;\,2\,;\, - 3} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1\,;\, - 1\,;\,2} \right)\)và \(B\left( {2\,;\,1\,;\, - 4} \right)\). Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) có tọa độ là
\(\left( {3\,;\,0\,;\, - 2} \right)\).
\(\left( { - 1\,;\, - 2\,;\,6} \right)\).
\(\left( {1\,;\,0\,;\, - 6} \right)\).
\(\left( {1\,;\,2\,;\, - 6} \right)\).
Chọn D
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2 - 1\,;\,1 - \left( { - 1} \right)\,;\, - 4 - 2} \right) = \left( {1\,;\,2\,;\, - 6} \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai vectơ là \(\overrightarrow u = \left( {2\,;\,1\,;\, - 1} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {1\,;\,3\,;\,1} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\left( {\overrightarrow u + 2\overrightarrow v } \right)\) tương ứng là
\(\left( {3\,;\,4\,;\,0} \right)\).
\(\left( {1\,;\, - 2\,;\, - 2} \right)\).
\(\left( {4\,;\,7\,;\,1} \right)\).
\(\left( {5\,;\,5\,;\, - 1} \right)\).
Chọn C
Ta có \(\overrightarrow u + 2\overrightarrow v = \left( {4\,;\,7\,;\,1} \right)\).
Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Nhà bác An được mô tả như hình vẽ bên dưới, trong đó phần thân nhà là hình hộp chữ nhật \(ABCD.EFGH\). Ngôi nhà được lợp ngói hai mái là hai hình chữ nhật \(PEHQ\) và \(PFGQ\), biết tam giác \(EFP\) là tam giác cân tại \(P\). Gọi \(T\) là trung điểm của cạnh \(DC\). Các kích thước của nhà lần lượt là \(AB = 6\,{\rm{m}}\), \(AE = 5\,{\rm{m}}\), \(AD = 8\,{\rm{m}}\), \(QT = 7\,{\rm{m}}\). Xét hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho gốc tọa độ là điểm \(O\) thuộc đoạn \(AD\) sao cho \(OA = 2\,{\rm{m}}\) và các trục tọa độ tương ứng là các trục \(Ox,Oy,Oz.\)
a) Toạ độ điểm \(A\) là \(\left( {2;0;0} \right)\).
b) Vectơ \(\overrightarrow {AC} \) có toạ độ là \(\left( {6;6;0} \right)\).
c) Mái nhà bác An được lợp bằng ngói đất nung Đất Việt, giá tiền mỗi viên ngói là \(11000\) đồng và để lợp được \(1\) \({{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) diện tích mái cần \(22\) viên ngói. Số tiền cần bỏ ra để mua ngói lợp mái nhà là \(13\,960\,000\) đồng (không kể hao phí do việc cắt và ghép các viên ngói, làm tròn kết quả đến hàng nghìn).
d) Bác An muốn lắp một chiếc đèn lồng tại vị trí trung điểm của \(FG\) và đầu nguồn điện đặt tại vị trí \(O\). Bác ấy thiết kế đường dây điện nối từ \(O\) đến \(K\) sau đó nối đến chiếc đèn lồng. Độ dài đoạn dây điện nối tối thiểu bằng 5+210 (m)
a) Đúng. Tọa độ điểm \(A\) là \(\left( {2;0;0} \right)\).
b) Sai. Ta có \[OD = AD - OA = 8 - 2 = 6\]m.
Tọa độ điểm \[C\left( { - 6;\,6;0} \right)\].
Vì vậy \[\overrightarrow {AC} = \left( { - 8;6;0} \right)\].
c) Sai. Gọi \[M\] là trung điểm của \[HG\] nên \[QM = 7 - 5 = 2\]m, \[MG = \frac{{HG}}{2} = \frac{{AB}}{2} = 3\]m.
Ta có \[QG = \sqrt {Q{M^2} + M{G^2}} = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} \]m.
Diện tích cần lợp là \[S = 2{S_{PQGF}} = 2.8.\sqrt {13} = 16\sqrt {13} \]m.
Số tiền cần phải trả là \[S.22.11\,000 \approx 13\,961\,000\] đồng.
d) Đúng. Gọi \[J\] là trung điểm của \[BC\] nên \[J\left( { - 2;6;0} \right)\].
Suy ra \[I\] là trung điểm của \[FG\] nên \[I\left( { - 2;6;5} \right)\].
Ta có \[KI = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {6^2} + {0^2}} = 2\sqrt {10} \]m.
Vì vậy \[{d_{\min }} = OK + KI = 5 + 2\sqrt {10} \].
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm \[M\left( {500;\,200;\,10} \right)\] đến điểm \[N\left( {800;\,300;\,10} \right)\] trong 20 phút.
a) Máy bay đang di chuyển theo hướng tiến lại gần vị trí đặt ra đa.
b) Khoảng cách \[MN = 100\sqrt {10} \,{\rm{km}}\].
c) Tốc độ của máy bay khi di chuyển từ \[M\] đến \[N\] là \[150\sqrt {10} \,{\rm{km/h}}\].
d) Nếu tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 4 phút tiếp theo là \[Q\left( {a;\,b;\,c} \right)\] với \[a + b + c = 1191\].
a) Sai. Máy bay đang di chuyển từ điểm \[M\left( {500;\,200;\,10} \right)\] đến điểm \[N\left( {800;\,300;\,10} \right)\]. Hoành độ \[x\] và tung \[y\] tăng lên, cao độ \[z\] không đổi. Máy bay đang di chuyển ra xa vị trí đặt ra đa.
b) Đúng. Ta có \[\overrightarrow {MN} \left( {300;\,100;\,0} \right)\] suy ra \(MN = \sqrt {{{300}^2} + {{100}^2} + {0^2}} = 100\sqrt {10} \,\,{\rm{km}}\).
c) Sai. 20 phút \( = \frac{1}{3}\) giờ.
Tốc độ của máy bay khi di chuyển từ \[M\] đến \[N\] là \[\frac{{100\sqrt {10} }}{{\frac{1}{3}}} = 300\sqrt {10} \,\,{\rm{km/h}}\].
d) Sai.
Trong 20 phút, máy bay di chuyển từ điểm \[M\left( {500;\,200;\,10} \right)\] đến điểm \[N\left( {800;\,300;\,10} \right)\].
Nếu giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì sau 4 phút tiếp theo máy bay di chuyển đến vị trí điểm \(Q\left( {a;\,b;\,c} \right)\) sao cho \(\overrightarrow {NQ} = \frac{1}{5}\overrightarrow {MN} \).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a - 800 = \frac{1}{5}.300\\b - 300 = \frac{1}{5}.100\\c - 10 = \frac{1}{5}.0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 860\\b = 320\\c = 10\end{array} \right. \Rightarrow Q\left( {860;\,320;\,10} \right)\). Vậy \[a + b + c = 1190\].
Phần 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Có ba lực cùng tác động vào một cái bàn như hình vẽ. Trong đó hai lực \({\vec F_1},\overrightarrow {{F_2}} \) có giá nằm trên mặt phẳng chứa mặt bàn, tạo với nhau một góc \(110^\circ \) và có độ lớn lần lượt là \(9{\rm{N}},\,\,4{\rm{N}}\), lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) vuông góc với mặt bàn và có độ lớn 7 N. Độ lớn hợp lực của ba lực trên là \(a\left( {\rm{N}} \right)\), tìm giá trị của \(a\) (kết quả quy tròn về số nguyên).
Ta có: \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = \sqrt {\left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right)} \)
\( = \sqrt {F_1^2 + F_2^2 + F_3^2 + 2\overrightarrow {{F_1}} {{\vec F}_2} + 2\overrightarrow {{F_2}} {{\vec F}_3} + 2{{\vec F}_3}{{\vec F}_1}} \)
\( = \sqrt {F_1^2 + F_2^2 + F_3^2 + 2{F_1}{F_2}{\rm{cos}}110^\circ + 2{F_2}{F_3}{\rm{cos}}90^\circ + 2{F_1}{F_3}{\rm{cos}}90^\circ } \)
\( = \sqrt {{9^2} + {4^2} + {7^2} + 2.9.4.{\rm{cos}}110^\circ + 2.4.7.0 + 2.9.7.0} \approx 11\,\,\left( {\rm{N}} \right)\).
Đáp án: 11.
Hai chiếc máy bay không người lái cùng bay lên từ một địa điểm. Sau một giờ bay, chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát về phía bắc 23 km và về phía tây 18 km, đồng thời cách mặt đất 2 km. Chiếc thứ hai cách điểm xuất phát về phía đông 22 km và về phía nam 27 km, đồng thời cách mặt đất 3 km. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc máy bay, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất sao cho trục Ox hướng về phía bắc, trục Oy hướng về phía tây và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét. Sau đúng một giờ bay, hai máy bay đó cùng bắn một mục tiêu di động trên mặt đất. Biết tổng khoảng cách từ mỗi máy bay đến mục tiêu là nhỏ nhất, lúc đó mục tiêu cách điểm xuất phát của hai máy bay bao nhiêu kilômét?
Với hệ trục tọa độ được chọn, máy bay thứ nhất có tọa độ \(A\left( {23;18;2} \right)\) máy bay thứ hai có tọa độ \(B\left( { - 22; - 27;3} \right)\).
Gọi \(M\) là vị trí mục tiêu. Vì mục tiêu di động trên mặt đất, nghĩa là \(M \in mp\left( {Oxy} \right)\) nên tọa độ của \(M\) có dạng \(M\left( {a;b;0} \right)\).
Ta cần tìm tọa độ của \(M\) để \(MA + MB\) nhỏ nhất.
Ta thấy \(A,B\) nằm cùng phía đối với \(mp\left( {Oxy} \right)\).
Gọi \(B'\left( { - 22; - 27; - 3} \right)\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(mp\left( {Oxy} \right) \Rightarrow MB = MB'\).
Có \(MA + MB = MA + MB' \ge AB'\).
Khi đó \(MA + MB\) nhỏ nhất bằng \(AB'\) khi \(M\) là giao điểm của \(AB'\) với \(mp\left( {Oxy} \right)\) nghĩa là lúc này ba điểm \(A,M,B'\) thẳng hàng.
Có \(\overrightarrow {AM} = \left( {a - 23;b - 18; - 2} \right),\overrightarrow {AB'} = \left( { - 45; - 45; - 5} \right)\) mà ba điểm \(A,M,B'\) thẳng hàng.
Suy ra \(\frac{{a - 23}}{{ - 45}} = \frac{{b - 18}}{{ - 45}} = \frac{{ - 2}}{{ - 5}} = \frac{2}{5} \Rightarrow a = 5;b = 0 \Rightarrow M\left( {5;0;0} \right)\).
Lúc đó độ dài đoạn OM là khoảng cách từ mục tiêu đến điểm xuất phát của hai máy bay và \(OM = 5\left( {{\rm{km}}} \right)\).
Đáp án: 5.
Cơn bão Yagi gây thiệt hại nghiêm trọng về người và tài sản cho nước ta, trong đó nặng nề nhất là tại thôn Làng Nủ, xã Phúc Khánh, huyện Bảo Yên, tỉnh Lào Cai, lũ quét và sạt lở đất đã vùi lấp 40 ngôi nhà. Cả nước đã chung tay ủng hộ và xây dựng lại nhà sàn cho người dân Làng Nủ theo thiết kế như hình vẽ dưới đây.
Giả sử áp dụng hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ (đơn vị trên các trục là mét). Xét một bên của mái nhà gồm có một hình chữ nhật CDFE và một hình thang ADFG với các điểm \(G\left( {6; - 6;6} \right);C\left( {3;4;8} \right);F\left( {4; - 4;7} \right)\) và điểm \(I\) là trung điểm CE.
Biết góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {DC} \) và \(\overrightarrow {AB} \) bằng \(a^\circ \). Tìm a (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Ta có CDFE là hình chữ nhật và I là trung điểm của CE, nên F và D đối xứng nhau qua mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\).
Có \(F\left( {4; - 4;7} \right)\), suy ra \(D\left( {4;4;7} \right)\).
Xét hình thang ADFG, có A đối xứng với G qua mặt \(\left( {Oxz} \right)\).
Có \(G\left( {6; - 6;6} \right)\), suy ra \(A\left( {6;6;6} \right)\).
Ta có điểm B nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\), tọa độ điểm \(B\left( {0;6;6} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 6;0;0} \right)\) và \(\overrightarrow {DC} = \left( { - 1;0;1} \right)\), có:
\({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} \left| . \right|\overrightarrow {DC} } \right|}} = \frac{6}{{\sqrt {{6^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Vậy góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {DC} \) và \(\overrightarrow {AB} \) bằng \(45^\circ \).
Đáp án: 45.
