Ta có \(d = {u_2} - {u_1} = 3 - 1 = 2\).

Khi đó \({u_5} = {u_1} + 4d = 1 + 4 \cdot 2 = 9\). Chọn B.

Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + \left( {n - 1} \right)2 = 2n - 1\).

Theo đề ta có \(33 = 2n - 1 \Leftrightarrow n = 17\). Chọn A.

Ta có \({S_{14}} = \frac{{14}}{2}\left( {2{u_1} + 13d} \right) = \frac{{14}}{2}\left( {2 \cdot \left( { - 6} \right) + 13 \cdot 4} \right) = 280\). Chọn D.

Ta có \({u_2} = {u_1} - 2 = 1 - 2 = - 1;{u_3} = {u_2} - 2 = - 1 - 2 = - 3\); \({u_4} = {u_3} - 2 = - 3 - 2 = - 5\); \({u_5} = {u_4} - 2 = - 5 - 2 = - 7\).

5 số hạng đầu của dãy số là \(1; - 1; - 3; - 5; - 7\). Chọn B.

Ta có \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{3}{1} = 3\).

Do đó công bội là 3 và số hạng đầu tiên là 1. Chọn A.

Ta có \({u_6} = {u_1}{q^5} = \left( { - 3} \right).{\left( {\frac{1}{3}} \right)^5} = - \frac{1}{{81}}\). Chọn B.

Ta có \({u_9} = {u_1} + 8d = 1 + 8 \cdot 2 = 17\). Chọn A.

Số hạng tổng quát của dãy số trên là \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\). Chọn C.

Ta có \({u_5} + {u_7} = 19\)\( \Leftrightarrow {u_2} + 3d + {u_{10}} - 3d = 19\)\( \Leftrightarrow {u_2} + {u_{10}} = 19\). Chọn D.

\({S_n} = {n^2} + 4n = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]\)\( = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)d}}{2}\)\( = \frac{d}{2}{n^2} + n\left( {{u_1} - \frac{d}{2}} \right)\).

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}\frac{d}{2}=1\\ u_1-\frac{d}{2}=4\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}d=2\\ u_1=5\end{array}\right.$ Chọn B.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}{S}_6=18\\ S_{10}=110\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}3\left(2u_1+5d\right)=18\\ 5\left(2u_1+9d\right)=110\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}2u_1+5d=6\\ 2u_1+9d=22\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=-7\\ d=4\end{array}\right.$

Suy ra \({S_{20}} = 10\left[ {2 \cdot \left( { - 7} \right) + 19 \cdot 4} \right] = 620\). Chọn A.

Dãy các số nguyên dương chia hết cho 3 lập thành một cấp số cộng với \({u_1} = 3;d = 3\).

Ta có \({S_{50}} = \frac{{50}}{2}\left( {2{u_1} + 49d} \right) = 25\left( {2 \cdot 3 + 49 \cdot 3} \right) = 3825\). Chọn D.

Xét dãy số \({u_n} = 7 \cdot {3^n}\).

Ta có \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{7 \cdot {3^{n + 1}}}}{{7 \cdot {3^n}}} = 3\). Do đó \({u_n} = 7 \cdot {3^n}\) là cấp số nhân. Chọn D.

Theo đề ta có \({u_1} = 2;{u_5} = 22\).

Ta có \({u_5} = {u_1} + 4d \Leftrightarrow 22 = 2 + 4d \Rightarrow d = 5\).

Do đó 3 số hạng xen giữa 2 số 2 và 22 là 7; 12; 17. Chọn A.

Theo đề ta có \({u_1} = - 3;{u_n} = 23;d = 2\).

Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)\( \Leftrightarrow - 3 + \left( {n - 1} \right).2 = 23\)\( \Leftrightarrow n = 14\).

Suy ra cấp số cộng có 14 số hạng. Do đó cần viết xen kẽ giữa hai số đã cho 12 số hạng. Chọn A.

Ta có \({u_1} = 2;{u_6} = 486\).

Mà \({u_6} = {u_1}{q^5}\)\( \Leftrightarrow 486 = 2{q^5} \Leftrightarrow {q^5} = 243 \Leftrightarrow q = 3\). Chọn A.

Ta có \({S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{ - 3\left[ {1 - {{\left( { - 2} \right)}^{10}}} \right]}}{{1 - \left( { - 2} \right)}} = 1023\). Chọn D.

Ta có \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = \frac{{{u_4}}}{{{u_3}}} = ... = - 2\).

Dãy số này lập thành một cấp số nhân với \({u_1} = 1;q = - 2\).

Khi đó \({S_{20}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{20}}} \right)}}{{1 - q}}\)\( = \frac{{1 - {{\left( { - 2} \right)}^{20}}}}{{1 - \left( { - 2} \right)}}\)\( = - 349525\). Chọn A.

Ta có \({S_n} = 400\)\( \Leftrightarrow \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = 400\)\( \Leftrightarrow \frac{n}{2}\left[ {2 + \left( {n - 1} \right)2} \right] = 400\)\( \Leftrightarrow {n^2} = 400 \Rightarrow n = 20\) (vì \(n \in {\mathbb{N}^*}\)). Chọn A.

Theo đề ta có $\left\{\begin{array}{l}{u}_5-u_4=576\\ u_2-u_1=9\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1{q}^4-u_1{q}^3=576\\ u_{1}q-u_1=9\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1{q}^3\left(q-1\right)=576\\ u_1\left(q-1\right)=9\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}{q}^3=64\\ u_1\left(q-1\right)=9\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}q=4\\ u_1=3\end{array}\right.$

Tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là \({S_5} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3\left( {1 - {4^5}} \right)}}{{1 - 4}} = 1023\). Chọn C.

Theo đề ta có $\left\{\begin{array}{l}2x=5+15\\ x+y=2\cdot 15\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}x=10\\ y=20\end{array}\right.$

Suy ra \(3x + 2y = 3 \cdot 10 + 2 \cdot 20 = 70\). Chọn B.

Có \({S_n} = 253\)\( \Leftrightarrow \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = 253\)\( \Leftrightarrow \frac{n}{2}\left[ {6 + 4\left( {n - 1} \right)} \right] = 253\)\( \Leftrightarrow \frac{n}{2}\left( {4n + 2} \right) = 253\)

\( \Leftrightarrow 2{n^2} + n - 253 = 0\)\( \Leftrightarrow n = 11\) (vì \(n \in {\mathbb{N}^*}\)). Chọn B.

Ta có \({u_1} = 1;{u_2} = 6;{u_3} = 11;{u_4} = 16\)\( \Rightarrow d = {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = ... = 5\).

Dãy số này lập thành một cấp số cộng với \({u_1} = 1;d = 5\).

Khi đó \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + \left( {n - 1} \right) \cdot 5 = 5n - 4\). Chọn B.

a) Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = \frac{3}{2} + \left( {n - 1} \right)\frac{1}{2} = \frac{1}{2}n + 1\).

b) \({u_8} = \frac{1}{2} \cdot 8 + 1 = 5\).

c) Có \({u_n} = \frac{{15}}{4}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}n + 1 = \frac{{15}}{4}\)\( \Leftrightarrow n = \frac{{11}}{2}\) (loại, vì \(n \in {\mathbb{N}^*}\)).

Vậy \(\frac{{15}}{4}\) không là một số hạng của cấp số cộng đã cho.

d) Ta có \({S_{100}} = \frac{{100}}{2}\left( {2{u_1} + 99d} \right) = 50\left( {3 + \frac{{99}}{2}} \right) = 2625\).

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;   c) Sai;   d) Sai.

a) Ta có \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{{2^{n + 1}}}}:\frac{1}{{{2^n}}} = \frac{1}{2} < 1\). Suy ra dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

b) \({u_8} = \frac{1}{{{2^8}}} = \frac{1}{{256}}\).

c) Ta có \(\frac{1}{{{2^n}}} = 64\)\( \Leftrightarrow {2^n} = \frac{1}{{64}}\)\( \Leftrightarrow {2^n} = \frac{1}{{64}} \Rightarrow n = - 6\) (loại, vì \(n \in {\mathbb{N}^*}\)).

d) \(0 < \frac{1}{{{2^n}}} \le \frac{1}{2}\). Suy ra dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy số bị chặn.

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;   c) Sai;   d) Đúng.

a) Ta có \({u_4} = {u_2}{q^2}\)\( \Leftrightarrow 9 = 4{q^2}\)\( \Leftrightarrow q = - \frac{3}{2}\) vì \(q < 0\).

b) \({u_1} = \frac{{{u_2}}}{q} = \frac{4}{{\frac{{ - 3}}{2}}} = - \frac{8}{3}\).

c) \({u_5} = {u_4}q = 9 \cdot \frac{{ - 3}}{2} = - \frac{{27}}{2}\).

d) \({u_8} = {u_1}{q^7} = \frac{{ - 8}}{3} \cdot {\left( {\frac{{ - 3}}{2}} \right)^7} = \frac{{729}}{{16}} \ne \frac{{ - 2187}}{{32}}\).

Đáp án: a) Đúng;    b) Đúng;   c) Sai;   d) Sai.

a) \({u_1} = \frac{{4 \cdot 1 + 5}}{{1 + 1}} = \frac{9}{2}\).

b) \({u_2} = \frac{{4 \cdot 2 + 5}}{{2 + 1}} = \frac{{13}}{3};{u_3} = \frac{{4 \cdot 3 + 5}}{{3 + 1}} = \frac{{17}}{4}\).

Khi đó \({u_1} + {u_2} + {u_3} = \frac{9}{2} + \frac{{13}}{3} + \frac{{17}}{4} = \frac{{157}}{{12}}\).

c) \({u_{20}} = \frac{{4 \cdot 20 + 5}}{{20 + 1}} = \frac{{85}}{{21}}\).

d) \({u_n} = \frac{{4n + 5}}{{n + 1}} = \frac{{4\left( {n + 1} \right)}}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 1}} = 4 + \frac{1}{{n + 1}} > 4\).

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy số bị chặn dưới.

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;   c) Đúng;   d) Sai.

a) $\left\{\begin{array}{l}{u}_2+u_5=42\\ u_4+u_9=66\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}2u_1+5d=42\\ 2u_1+11d=66\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=11\\ d=4\end{array}\right.$

b) \({u_3} + {u_{10}} = {u_1} + 2d + {u_1} + 9d = 2{u_1} + 11d = 2 \cdot 11 + 11 \cdot 4 = 66\).

c) Theo câu a, \(d = 4\).

d) \({S_{10}} = \frac{{10}}{2}\left( {2{u_1} + 9d} \right) = 5\left( {22 + 9 \cdot 4} \right) = 290\).

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;   c) Đúng;   d) Sai.

a) $\left\{\begin{array}{l}{u}_4-u_2=36\\ u_5-u_3=72\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1{q}^3-u_{1}q=36\\ u_1{q}^4-u_1{q}^2=72\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_{1}q\left(q^2-1\right)=36\\ u_1{q}^2\left(q^2-1\right)=72\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=6\\ q=2\end{array}\right.$

b) \({u_6} = {u_1}{q^5} = 6 \cdot {2^5} = 192\).

c) \({S_5} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{6\left( {1 - {2^5}} \right)}}{{1 - 2}} = 186\).

d) Ta có \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} = 6 \cdot {2^{n - 1}}\).

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;   c) Đúng;   d) Sai.

a) \({u_1} = - 1;{u_2} = {u_1} + 3 = 2;{u_3} = {u_2} + 3 = 5;{u_4} = {u_3} + 3 = 8\).

b) \({u_5} = {u_4} + 3 = 11\).

c) Có \({u_{n + 1}} - {u_n} = 3\). Do đó dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng với \({u_1} = - 1;d = 3\).

Do đó \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = - 1 + \left( {n - 1} \right)3 = 3n - 4\).

d) Ta có\({u_{35}} = 3 \cdot 35 - 4 = 101\).

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;   c) Sai;   d) Đúng.

a) Ta có \({u_2} = {u_1} + 5 = 2 + 5 = 7\).

b) Có \(d = {u_{n + 1}} - {u_n} = 5\).

c) Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 2 + \left( {n - 1} \right) \cdot 5 = 5n - 3\).

d) Ta có \({S_{10}} = 10{u_1} + \frac{{10 \cdot 9 \cdot 5}}{2} = 20 + 225 = 245\).

\({S_{100}} = 100{u_1} + \frac{{100 \cdot 99 \cdot 5}}{2} = 200 + 24750 = 24950\).

Vậy \(S = {u_{11}} + {u_{12}} + ... + {u_{100}} = {S_{100}} - {S_{10}} = 24705\).

Đáp án: a) Đúng;    b) Đúng;   c) Sai;   d) Sai.

a) Ta có \({u_2} = 680 - 50 = 630\).

b) Giá tiền của chiếc ô tô qua các năm lập thành một cấp số cộng với công sai \(d = - 50\).

c) Giá trị của chiếc ô tô sau 3 năm sử dụng là \({u_4} = {u_1} + 3d = 680 - 3 \cdot 50 = 530\) triệu đồng.

d) Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 680 - 50\left( {n - 1} \right) = - 50n + 730\).

Theo đề ta có \( - 50n + 730 < 340\)\( \Leftrightarrow n > 7,8\).

Vậy sau ít nhất 8 năm sử dụng thì giá của chiếc ô tô nhỏ hơn một nửa giá ban đầu của nó.

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.

a) Ta thấy số tiền lương năm sau hơn năm trước 24 triệu đồng nên số tiền lương hằng năm \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng có \({u_1} = 120\) và công sai \(d = 24\).

Do đó \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 120 + \left( {n - 1} \right) \cdot 24 = 24n + 96\).

Số tiền lương sinh viên nhận được ở năm thứ hai là \({u_2} = 144\).

b) \({u_{10}} = 24 \cdot 10 + 96 = 336\).

c) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng có \({u_1} = 120\) và công sai d = 24.

d) Tổng số tiền bạn sinh viên tiết kiệm được sau n năm là:

\(S = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] - 70n = \frac{n}{2}\left[ {2 \cdot 120 + \left( {n - 1} \right) \cdot 24} \right] - 70n\) \( = 12{n^2} + 38n\).

Ta có \(S \ge 2000 \Leftrightarrow 12{n^2} + 38n - 2000 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n \ge 11,42\\n \le - 14,59\end{array} \right.\).

Do đó ít nhất sau 12 năm thì sinh viên đó có thể mua được căn chung cư 2 tỉ đồng.

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;   c) Sai;   d) Sai.

Tổng số tiền tập thể lớp 11A cần là \(52 \cdot 50000 = 2600000\) đồng.

Tổng số tiền 40 bạn bỏ vào heo đất là \(40{S_n} = \frac{{40n\left[ {4000 + \left( {n - 1} \right) \cdot 1000} \right]}}{2}\).

Theo đề ta có \(\frac{{40n\left[ {4000 + \left( {n - 1} \right) \cdot 1000} \right]}}{2} = 2600000\)\( \Leftrightarrow n\left( {1000n + 3000} \right) = 130000\)

\( \Leftrightarrow {n^2} + 3n - 130 = 0\)\( \Leftrightarrow n = 10\) (vì \(n \in {\mathbb{N}^*}\)).

Vậy sau 10 ngày thì tập thể lớp 11A có vừa đủ số tiền để thực hiện kế hoạch từ thiện của mình.

Trả lời: 10.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}{u}_3=-3\\ u_8=-23\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+2d=-3\\ u_1+7d=-23\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=5\\ d=-4\end{array}\right.$

Khi đó \({S_{16}} = \frac{{16}}{2}\left( {2{u_1} + 15d} \right) = 8\left[ {2 \cdot 5 - 15 \cdot \left( { - 4} \right)} \right] = 560\).

Trả lời: 560.

Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi giảm 20% so với giá trị của nó trong năm liền trước đó, tức là giá trị của chiếc máy ủi năm sau thì bằng 80% giá trị của chiếc máy ủi so với năm liền trước đó.

Giá trị của máy ủi sau năm thứ nhất là \(3000 \cdot 80\% = 2400\) triệu đồng.

Giá trị của chiếc máy ủi sau mỗi năm lập thành một cấp số nhân với \({u_1} = 2400;q = 0,8\).

Do đó giá trị của chiếc máy ủi sau 5 năm sử dụng là:

\({u_5} = {u_1} \cdot {q^4} = 2400 \cdot 0,{8^4} \approx 983\) triệu đồng.

Trả lời: 983.

Ta có \({u_2} = {u_1} + 2;{u_3} = {u_1} + 4;{u_4} = {u_1} + 6\).

Ta có \(u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = {\left( {{u_1} + 2} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 4} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 6} \right)^2}\)\( = 3u_1^2 + 24{u_1} + 56\)\( = 3\left( {u_1^2 + 8{u_1}} \right) + 56\)\( = 3{\left( {{u_1} + 4} \right)^2} + 8 \ge 8\).

Biểu thức \(u_2^2 + u_3^2 + u_4^2\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \({u_1} = - 4\).

Khi đó \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = - 4 + \left( {n - 1} \right) \cdot 2 = 2n - 6\).

Theo đề ta có \({u_n} = 2026\)\( \Leftrightarrow 2n - 6 = 2026 \Leftrightarrow n = 1016\).

Số 2026 là số hạng thứ 1016 của cấp số cộng.

Trả lời: 1016.

Gọi \({u_n}\) là số cây trồng ở hàng thứ \(n,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Số cây ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với \({u_1} = 1;d = 1\).

Ta có \({S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]\)\( = \frac{n}{2}\left( {n + 1} \right)\).

Theo đề có \({S_n} = 4950\)\( \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = 4950\)\( \Leftrightarrow {n^2} + n - 9900 = 0\)\( \Leftrightarrow n = 99\) (vì \(n \in {\mathbb{N}^*}\)).

Vậy có 99 hàng cây được trồng theo cách trên.

Trả lời: 99.

Gọi \({u_{n + 1}}\) là số lượng con vi khuẩn sau n phút.

Số lượng vi khuẩn ở mỗi phút lập thành một cấp số nhân với \(q = 2\). Khi đó \({u_{n + 1}} = {u_1} \cdot {2^n}\).

Ta có \({u_6} = {u_1} \cdot {2^5}\)\( \Rightarrow {u_1} = \frac{{{u_6}}}{{{2^5}}} = \frac{{64000}}{{{2^5}}} = 2000\).

Theo đề có \(2048000 = 2000 \cdot {2^n}\)\( \Leftrightarrow {2^n} = 1024\)\( \Leftrightarrow n = 10\).

Vậy sau 10 phút thì có được 2048000 con.

Trả lời: 10.

Số viên gạch ở mỗi bậc cầu thang lập thành một cấp số cộng với \({u_1} = 120;d = - 2\).

Số viên gạch cần để xây cầu thang là \({S_{35}} = \frac{{35}}{2}\left( {2{u_1} + 34d} \right)\)\( = \frac{{35}}{2}\left[ {2 \cdot 120 + 34 \cdot \left( { - 2} \right)} \right] = 3010\).

Trả lời: 3010.

Số tiền Lan bỏ ống tiết kiệm mỗi ngày lập thành một cấp số nhân với \({u_1} = 1;q = 2\).

Ta có \({S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{1 - {2^{10}}}}{{1 - 2}} = 1023\) nghìn đồng.

Trả lời: 1023.

Chiều dài các thanh ngang là dãy cấp số cộng có số hạng đầu là 45, công sai là \(d = - 2\).

Ta có \({u_n} = 45 - 2\left( {n - 1} \right) = 47 - 2n\).

Khi \({u_n} = 31\)\( \Leftrightarrow 47 - 2n = 31 \Leftrightarrow n = 8\). Vậy cái thang có 8 bậc.

Trả lời: 8.

Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} = 20\\u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = 120\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{u_1} + 6d = 20\\u_1^2 + {\left( {{u_1} + d} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 2d} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 3d} \right)^2} = 120\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{u_1} + 6d = 20\\4u_1^2 + 12{u_1}d + 14{d^2} = 120\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{10 - 3d}}{2}\\4{\left( {\frac{{10 - 3d}}{2}} \right)^2} + 12\left( {\frac{{10 - 3d}}{2}} \right)d + 14{d^2} = 120\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{10 - 3d}}{2}\\100 - 60d + 9{d^2} + 60d - 18{d^2} + 14{d^2} = 120\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{10 - 3d}}{2}\\5{d^2} = 20\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{10 - 3d}}{2}\\d = \pm 2\end{array} \right.\).

Với \(d = 2\) thì \({u_1} = 2;{u_2} = 4;{u_3} = 6;{u_4} = 8\).

Với \(d = - 2\)thì \({u_1} = 8;{u_2} = 6;{u_3} = 4;{u_2} = 2\).

a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 15\\{u_5} = 135\\{u_6} < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 15\\{u_3}{q^2} = 135\\{u_6} < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 15\\{q^2} = 9\\{u_6} < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^2} = 15\\{q^2} = 9\\{u_6} < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{5}{3}\\q = - 3\end{array} \right.\).

Suy ra \({u_n} = \frac{5}{3} \cdot {\left( { - 3} \right)^{n - 1}}\).

b) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 164\\{u_2} + {u_3} + {u_4} = 78\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}{q^4} = 164\\{u_1}q + {u_1}{q^2} + {u_1}{q^3} = 78\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 164\\{u_1}q\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 78\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{164}}{{1 + {q^4}}}\\\frac{{164}}{{1 + {q^4}}}q\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 78\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{164}}{{1 + {q^4}}}\\82q\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 39\left( {1 + {q^4}} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{164}}{{1 + {q^4}}}\\82q + 82{q^2} + 82{q^3} = 39 + 39{q^4}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{164}}{{1 + {q^4}}}\\\left( {q - 3} \right)\left( {q - \frac{1}{3}} \right)\left( {39{q^2} + 48q + 39} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{164}}{{1 + {q^4}}}\\\left[ \begin{array}{l}q = 3\\q = \frac{1}{3}\end{array} \right.\end{array} \right.\).

Với \(q = 3\)\( \Rightarrow {u_1} = 2\). Khi đó \({u_n} = 2 \cdot {3^{n - 1}}\).

Với \(q = \frac{1}{3} \Rightarrow {u_1} = 162\). Khi đó \({u_n} = 162 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}}\).

Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với \({u_1} = 20;d = 5\).

Góc khán đài A có số ghế là \({S_{60}} = \frac{{60}}{2}\left( {2{u_1} + 59d} \right) = 30\left( {2 \cdot 20 + 59 \cdot 5} \right) = 10050\) ghế.

a) $\left\{\begin{array}{l}{u}_2-u_3+u_5=10\\ u_4+u_6=26\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+3d=10\\ 2u_1+8d=26\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ d=3\end{array}\right.$

Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + \left( {n - 1} \right) \cdot 3 = 3n - 2\).

b) Ta có \(3n - 2 = 37 \Leftrightarrow n = 13\).

Số 37 thuộc cấp số cộng và số 37 là số hạng thứ 13.

c) Ta có \({u_4} = {u_1} + 3d = 10;{u_7} = {u_1} + 6d = 19;{u_{10}} = {u_1} + 9d = 28\); …; \({u_{2011}} = {u_1} + 2010d = 6031\).

Khi đó \(S = {u_1} + {u_4} + {u_7} + ... + {u_{2011}} = 1 + 10 + 19 + 28 + ... + 6031 = \frac{{\left( {1 + 6031} \right).671}}{2} = 2023736\).

Lời giải

a) Sau 1 kì số tiền nhận được là: \({T_1} = A + A \cdot r\).

Sau 2 kì số tiền nhận được là \({T_2} = A + A \cdot r + \left( {A + A \cdot r} \right) \cdot r\)\( = \left( {A + A \cdot r} \right) \cdot \left( {1 + r} \right) = A \cdot {\left( {1 + r} \right)^2}\).

Sau 3 kì số tiền nhận được là \({T_3} = A \cdot {\left( {1 + r} \right)^2} + A \cdot {\left( {1 + r} \right)^2} \cdot r = A{\left( {1 + r} \right)^3}\).

Sau 4 kì số tiền nhận được là \({T_4} = A{\left( {1 + r} \right)^3} + A{\left( {1 + r} \right)^3} \cdot r = A{\left( {1 + r} \right)^4}\).

Sau n kì số tiền nhận được là \({T_n} = A{\left( {1 + r} \right)^n}\).

b) Số tiền bố mẹ bạn X nhận được sau 1 kì là \({T_1} = A + A \cdot r = A\left( {1 + r} \right) = \frac{A}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^1} - 1} \right]\left( {1 + r} \right)\).

Số tiền bố mẹ bạn X gửi ở kì 2 là \({S_2} = A\left( {1 + r} \right) + A = A\left[ {\left( {1 + r} \right) + 1} \right] = A\frac{{\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^2} - 1} \right]}}{{\left( {1 + r} \right) - 1}} = \frac{A}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^2} - 1} \right]\).

Số tiền bố mẹ bạn X nhận được sau kì 2 là \({T_2} = \frac{A}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^2} - 1} \right]\left( {1 + r} \right)\).

Suy ra số tiền bố mẹ bạn X nhận được sau kì 12 là \({T_{12}} = \frac{A}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^{12}} - 1} \right]\left( {1 + r} \right)\).