Bài tập ôn tập Toán 11 Cánh diều Chương 2 có đáp án
55 câu hỏi
A. Trắc nghiệm
Dạng 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 10\) và công sai \(d = 2\). Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy là
\({S_{10}} = 110\).
\({S_{10}} = 100\).
\({S_{10}} = 21\).
\({S_{10}} = 190\).
Ta có \({S_{10}} = \frac{{10}}{2}\left( {2{u_1} + 9d} \right) = \frac{{10}}{2}\left( {20 + 9 \cdot 2} \right) = 190\). Chọn D.
\({u_n} = \frac{n}{{n + 1}}\).
\({u_n} = {n^3}\).
\({u_n} = 2n\).
\({u_n} = - {n^2}\).
Xét dãy \({u_n} = - {n^2}\).
Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = - {\left( {n + 1} \right)^2} + {n^2} = - 2n - 1 < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Do đó \({u_n} = - {n^2}\) là dãy số giảm. Chọn D.
\({u_n} = {n^2}\).
\({u_n} = {2^n}\).
\({u_n} = \frac{1}{{n + 1}}\).
\({u_n} = \sqrt {n + 1} \).
Ta có \(0 < \frac{1}{{n + 1}} < 1\) nên \({u_n} = \frac{1}{{n + 1}}\)là dãy số bị chặn. Chọn C.
Trong các dãy số cho bởi công thức của số hạng tổng quát dưới đây, dãy số nào là một cấp số cộng?
\({u_n} = {n^3}\).
\({u_n} = {2^n}\).
\({u_n} = - 5n + 1\).
\({u_n} = \frac{1}{n}\).
Xét \({u_n} = - 5n + 1\).
Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = - 5\left( {n + 1} \right) + 1 + 5n - 1 = - 5\).
Do đó \({u_n} = - 5n + 1\) là một cấp số cộng. Chọn C.
\(\left[ \begin{array}{l}q = 2\\q = - 2\end{array} \right.\).
\(q = - 2\).
\(q = 2\).
\(q = \pm \frac{1}{2}\).
Ta có \({u_4} = {u_1}{q^3}\)\( \Leftrightarrow 16 = 2{q^3}\)\( \Leftrightarrow {q^3} = 8 \Leftrightarrow q = 2\). Chọn C.
Dãy các số nguyên tố lớn hơn 10.
Dãy các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 50.
Dãy các số tự nhiên chia hết cho 5.
Dãy các số chính phương.
Dãy các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 50 là dãy số hữu hạn. Chọn B.
Cho các dãy số sau, dãy số nào là dãy số vô hạn?
\(0;2;4;6;8;10\).
\(1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};...;\frac{1}{{{2^n}}};...\).
\(1;4;9;16;25\).
\(1;1;1;1;1\).
Dãy số \(1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};...;\frac{1}{{{2^n}}};...\) là dãy số vô hạn. Chọn B.
6.
9.
7.
5.
Ta có \(d = {u_2} - {u_1} = 3 - 1 = 2\).
Khi đó \({u_5} = {u_1} + 4d = 1 + 4 \cdot 2 = 9\). Chọn B.
17.
16.
18.
32.
Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + \left( {n - 1} \right)2 = 2n - 1\).
Theo đề ta có \(33 = 2n - 1 \Leftrightarrow n = 17\). Chọn A.
\({S_{14}} = 46\).
\({S_{14}} = 308\).
\({S_{14}} = 644\).
\({S_{14}} = 280\).
Ta có \({S_{14}} = \frac{{14}}{2}\left( {2{u_1} + 13d} \right) = \frac{{14}}{2}\left( {2 \cdot \left( { - 6} \right) + 13 \cdot 4} \right) = 280\). Chọn D.
\(1;3;5;7;9\).
\(1; - 1; - 3; - 5; - 7\).
\(1; - 2;3;5;7\).
\( - 2; - 1;0;1;2\).
Ta có \({u_2} = {u_1} - 2 = 1 - 2 = - 1;{u_3} = {u_2} - 2 = - 1 - 2 = - 3\); \({u_4} = {u_3} - 2 = - 3 - 2 = - 5\); \({u_5} = {u_4} - 2 = - 5 - 2 = - 7\).
5 số hạng đầu của dãy số là \(1; - 1; - 3; - 5; - 7\). Chọn B.
Công bội là 3 và số hạng đầu tiên là 1.
Công bội là 1 và số hạng đầu tiên là 3.
Công bội là 3 và số hạng đầu tiên là 3.
Công bội là −3 và số hạng đầu tiên là 1.
Ta có \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{3}{1} = 3\).
Do đó công bội là 3 và số hạng đầu tiên là 1. Chọn A.
\({u_6} = 81\).
\({u_6} = - \frac{1}{{81}}\).
\({u_6} = \frac{1}{{81}}\).
\({u_6} = - 81\).
Ta có \({u_6} = {u_1}{q^5} = \left( { - 3} \right).{\left( {\frac{1}{3}} \right)^5} = - \frac{1}{{81}}\). Chọn B.
17.
16.
18.
32.
Ta có \({u_9} = {u_1} + 8d = 1 + 8 \cdot 2 = 17\). Chọn A.
\({u_n} = 1\).
\({u_n} = - 1\).
\({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\).
\({u_n} = {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}\).
Số hạng tổng quát của dãy số trên là \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\). Chọn C.
38.
29.
12.
19.
Ta có \({u_5} + {u_7} = 19\)\( \Leftrightarrow {u_2} + 3d + {u_{10}} - 3d = 19\)\( \Leftrightarrow {u_2} + {u_{10}} = 19\). Chọn D.
\({u_1} = 3;d = 2\).
\({u_1} = 5;d = 2\).
\({u_1} = 8;d = - 2\).
\({u_1} = - 5;d = 2\).
\({S_n} = {n^2} + 4n = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]\)\( = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)d}}{2}\)\( = \frac{d}{2}{n^2} + n\left( {{u_1} - \frac{d}{2}} \right)\).
Suy ra Chọn B.
620.
280.
360.
153.
Ta có
Suy ra \({S_{20}} = 10\left[ {2 \cdot \left( { - 7} \right) + 19 \cdot 4} \right] = 620\). Chọn A.
7650.
7500.
3900.
3825.
Dãy các số nguyên dương chia hết cho 3 lập thành một cấp số cộng với \({u_1} = 3;d = 3\).
Ta có \({S_{50}} = \frac{{50}}{2}\left( {2{u_1} + 49d} \right) = 25\left( {2 \cdot 3 + 49 \cdot 3} \right) = 3825\). Chọn D.
\({u_n} = 7 - 3n\).
\({u_n} = 7 - {3^n}\).
\({u_n} = \frac{7}{{3n}}\).
\({u_n} = 7 \cdot {3^n}\).
Xét dãy số \({u_n} = 7 \cdot {3^n}\).
Ta có \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{7 \cdot {3^{n + 1}}}}{{7 \cdot {3^n}}} = 3\). Do đó \({u_n} = 7 \cdot {3^n}\) là cấp số nhân. Chọn D.
\(7;12;17\).
\(6;10;14\).
\(8;13;18\).
\(6;12;18\).
Theo đề ta có \({u_1} = 2;{u_5} = 22\).
Ta có \({u_5} = {u_1} + 4d \Leftrightarrow 22 = 2 + 4d \Rightarrow d = 5\).
Do đó 3 số hạng xen giữa 2 số 2 và 22 là 7; 12; 17. Chọn A.
\(n = 12\).
\(n = 13\).
\(n = 14\).
\(n = 15\).
Theo đề ta có \({u_1} = - 3;{u_n} = 23;d = 2\).
Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)\( \Leftrightarrow - 3 + \left( {n - 1} \right).2 = 23\)\( \Leftrightarrow n = 14\).
Suy ra cấp số cộng có 14 số hạng. Do đó cần viết xen kẽ giữa hai số đã cho 12 số hạng. Chọn A.
\(q = 3\).
\(q = - 3\).
\(q = 2\).
\(q = - 2\).
Ta có \({u_1} = 2;{u_6} = 486\).
Mà \({u_6} = {u_1}{q^5}\)\( \Leftrightarrow 486 = 2{q^5} \Leftrightarrow {q^5} = 243 \Leftrightarrow q = 3\). Chọn A.
\({S_{10}} = - 511\).
\({S_{10}} = - 1025\).
\({S_{10}} = 1025\).
\({S_{10}} = 1023\).
Ta có \({S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{ - 3\left[ {1 - {{\left( { - 2} \right)}^{10}}} \right]}}{{1 - \left( { - 2} \right)}} = 1023\). Chọn D.
\( - 349525\).
\(1048575\).
\(349525\).
\( - 1048575\).
Ta có \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = \frac{{{u_4}}}{{{u_3}}} = ... = - 2\).
Dãy số này lập thành một cấp số nhân với \({u_1} = 1;q = - 2\).
Khi đó \({S_{20}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{20}}} \right)}}{{1 - q}}\)\( = \frac{{1 - {{\left( { - 2} \right)}^{20}}}}{{1 - \left( { - 2} \right)}}\)\( = - 349525\). Chọn A.
Một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 1 và công sai bằng 2. Hỏi phải lấy tổng bao nhiêu số hạng đầu của một cấp số cộng này để có tổng bằng 400?
\(n = 20\).
\(n = 200\).
\(n = 21\).
\(n = 19\).
Ta có \({S_n} = 400\)\( \Leftrightarrow \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = 400\)\( \Leftrightarrow \frac{n}{2}\left[ {2 + \left( {n - 1} \right)2} \right] = 400\)\( \Leftrightarrow {n^2} = 400 \Rightarrow n = 20\) (vì \(n \in {\mathbb{N}^*}\)). Chọn A.
768.
1024.
1023.
1061.
Theo đề ta có
Tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là \({S_5} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3\left( {1 - {4^5}} \right)}}{{1 - 4}} = 1023\). Chọn C.
50.
70.
30.
80.
Theo đề ta có
Suy ra \(3x + 2y = 3 \cdot 10 + 2 \cdot 20 = 70\). Chọn B.
9.
11.
12.
10.
Có \({S_n} = 253\)\( \Leftrightarrow \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = 253\)\( \Leftrightarrow \frac{n}{2}\left[ {6 + 4\left( {n - 1} \right)} \right] = 253\)\( \Leftrightarrow \frac{n}{2}\left( {4n + 2} \right) = 253\)
\( \Leftrightarrow 2{n^2} + n - 253 = 0\)\( \Leftrightarrow n = 11\) (vì \(n \in {\mathbb{N}^*}\)). Chọn B.
\({u_n} = 5n + 1\).
\({u_n} = 5n - 4\).
\({u_n} = n + 5\).
\({u_n} = n - 5\).
Ta có \({u_1} = 1;{u_2} = 6;{u_3} = 11;{u_4} = 16\)\( \Rightarrow d = {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = ... = 5\).
Dãy số này lập thành một cấp số cộng với \({u_1} = 1;d = 5\).
Khi đó \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + \left( {n - 1} \right) \cdot 5 = 5n - 4\). Chọn B.
Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = \frac{3}{2}\) và công sai \(d = \frac{1}{2}\).
Số hạng tổng quát của cấp số cộng là \({u_n} = 1 + \frac{n}{3}\).
5 là số hạng thứ 8 của cấp số cộng đã cho.
\(\frac{{15}}{4}\) là một số hạng của cấp số cộng đã cho.
Tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng đã cho bằng 2620.
a) Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = \frac{3}{2} + \left( {n - 1} \right)\frac{1}{2} = \frac{1}{2}n + 1\).
b) \({u_8} = \frac{1}{2} \cdot 8 + 1 = 5\).
c) Có \({u_n} = \frac{{15}}{4}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}n + 1 = \frac{{15}}{4}\)\( \Leftrightarrow n = \frac{{11}}{2}\) (loại, vì \(n \in {\mathbb{N}^*}\)).
Vậy \(\frac{{15}}{4}\) không là một số hạng của cấp số cộng đã cho.
d) Ta có \({S_{100}} = \frac{{100}}{2}\left( {2{u_1} + 99d} \right) = 50\left( {3 + \frac{{99}}{2}} \right) = 2625\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.
Số thứ 8 của dãy số là \(\frac{1}{{128}}\).
Số 64 thuộc dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy số bị chặn.
a) Ta có \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{{2^{n + 1}}}}:\frac{1}{{{2^n}}} = \frac{1}{2} < 1\). Suy ra dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.
b) \({u_8} = \frac{1}{{{2^8}}} = \frac{1}{{256}}\).
c) Ta có \(\frac{1}{{{2^n}}} = 64\)\( \Leftrightarrow {2^n} = \frac{1}{{64}}\)\( \Leftrightarrow {2^n} = \frac{1}{{64}} \Rightarrow n = - 6\) (loại, vì \(n \in {\mathbb{N}^*}\)).
d) \(0 < \frac{1}{{{2^n}}} \le \frac{1}{2}\). Suy ra dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy số bị chặn.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cấp số nhân có công bội \(q = - \frac{3}{2}\).
Số hạng đầu \({u_1} = \frac{{ - 8}}{3}\).
Số hạng \({u_5} = \frac{{27}}{2}\).
\(\frac{{ - 2187}}{{32}}\) là số hạng thứ 8.
a) Ta có \({u_4} = {u_2}{q^2}\)\( \Leftrightarrow 9 = 4{q^2}\)\( \Leftrightarrow q = - \frac{3}{2}\) vì \(q < 0\).
b) \({u_1} = \frac{{{u_2}}}{q} = \frac{4}{{\frac{{ - 3}}{2}}} = - \frac{8}{3}\).
c) \({u_5} = {u_4}q = 9 \cdot \frac{{ - 3}}{2} = - \frac{{27}}{2}\).
d) \({u_8} = {u_1}{q^7} = \frac{{ - 8}}{3} \cdot {\left( {\frac{{ - 3}}{2}} \right)^7} = \frac{{729}}{{16}} \ne \frac{{ - 2187}}{{32}}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Số hạng đầu của dãy số là \(\frac{9}{2}\).
Tổng ba số hạng đầu của dãy số là một số nguyên.
Số hạng thứ 20 của dãy số là \({u_{20}} = \frac{{85}}{{21}}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy số bị chặn trên.
a) \({u_1} = \frac{{4 \cdot 1 + 5}}{{1 + 1}} = \frac{9}{2}\).
b) \({u_2} = \frac{{4 \cdot 2 + 5}}{{2 + 1}} = \frac{{13}}{3};{u_3} = \frac{{4 \cdot 3 + 5}}{{3 + 1}} = \frac{{17}}{4}\).
Khi đó \({u_1} + {u_2} + {u_3} = \frac{9}{2} + \frac{{13}}{3} + \frac{{17}}{4} = \frac{{157}}{{12}}\).
c) \({u_{20}} = \frac{{4 \cdot 20 + 5}}{{20 + 1}} = \frac{{85}}{{21}}\).
d) \({u_n} = \frac{{4n + 5}}{{n + 1}} = \frac{{4\left( {n + 1} \right)}}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 1}} = 4 + \frac{1}{{n + 1}} > 4\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy số bị chặn dưới.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Số hạng \({u_1} = 25\).
Tổng \({u_3} + {u_{10}} = 66\).
Công sai của cấp số cộng bằng 4.
Tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là 300.
a)
b) \({u_3} + {u_{10}} = {u_1} + 2d + {u_1} + 9d = 2{u_1} + 11d = 2 \cdot 11 + 11 \cdot 4 = 66\).
c) Theo câu a, \(d = 4\).
d) \({S_{10}} = \frac{{10}}{2}\left( {2{u_1} + 9d} \right) = 5\left( {22 + 9 \cdot 4} \right) = 290\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Công bội của cấp số nhân là \(q = 3\).
Số hạng thứ 6 của cấp số nhân là \({u_6} = 192\).
Tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là 186.
Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là \({u_n} = 6 \cdot {3^{n - 1}}\).
a)
b) \({u_6} = {u_1}{q^5} = 6 \cdot {2^5} = 192\).
c) \({S_5} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{6\left( {1 - {2^5}} \right)}}{{1 - 2}} = 186\).
d) Ta có \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} = 6 \cdot {2^{n - 1}}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Bốn số hạng đầu tiên của dãy số lần lượt là \( - 1;2;5;8\).
Số hạng thứ năm của dãy là 13.
Công thức số hạng tổng quát của dãy số là \({u_n} = 2n - 3\).
101 là số hạng thứ 35 của dãy số đã cho.
a) \({u_1} = - 1;{u_2} = {u_1} + 3 = 2;{u_3} = {u_2} + 3 = 5;{u_4} = {u_3} + 3 = 8\).
b) \({u_5} = {u_4} + 3 = 11\).
c) Có \({u_{n + 1}} - {u_n} = 3\). Do đó dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng với \({u_1} = - 1;d = 3\).
Do đó \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = - 1 + \left( {n - 1} \right)3 = 3n - 4\).
d) Ta có\({u_{35}} = 3 \cdot 35 - 4 = 101\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Số hạng thứ hai của cấp số cộng là \({u_2} = 7\).
Công sai của cấp số cộng \(d = 5\).
Số hạng tổng quát của cấp số cộng đã cho \({u_n} = 5n + 3\).
Tổng các số hạng từ số hạng thứ 11 đến số hạng thứ 100 của cấp số cộng đã cho bằng 25705.
a) Ta có \({u_2} = {u_1} + 5 = 2 + 5 = 7\).
b) Có \(d = {u_{n + 1}} - {u_n} = 5\).
c) Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 2 + \left( {n - 1} \right) \cdot 5 = 5n - 3\).
d) Ta có \({S_{10}} = 10{u_1} + \frac{{10 \cdot 9 \cdot 5}}{2} = 20 + 225 = 245\).
\({S_{100}} = 100{u_1} + \frac{{100 \cdot 99 \cdot 5}}{2} = 200 + 24750 = 24950\).
Vậy \(S = {u_{11}} + {u_{12}} + ... + {u_{100}} = {S_{100}} - {S_{10}} = 24705\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
\({u_2} = 630\).
Giá tiền của chiếc ô tô qua các năm lập thành một cấp số cộng với công sai \(d = 50\).
Giá của chiếc ô tô sau 3 năm sử dụng lớn hơn 500 triệu đồng.
Sau ít nhất 8 năm sử dụng thì giá của chiếc ô tô nhỏ hơn một nửa giá ban đầu của nó.
a) Ta có \({u_2} = 680 - 50 = 630\).
b) Giá tiền của chiếc ô tô qua các năm lập thành một cấp số cộng với công sai \(d = - 50\).
c) Giá trị của chiếc ô tô sau 3 năm sử dụng là \({u_4} = {u_1} + 3d = 680 - 3 \cdot 50 = 530\) triệu đồng.
d) Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 680 - 50\left( {n - 1} \right) = - 50n + 730\).
Theo đề ta có \( - 50n + 730 < 340\)\( \Leftrightarrow n > 7,8\).
Vậy sau ít nhất 8 năm sử dụng thì giá của chiếc ô tô nhỏ hơn một nửa giá ban đầu của nó.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Số tiền lương sinh viên nhận được ở năm thứ hai là 144 triệu đồng.
Số tiền lương sinh viên nhận được ở năm thứ 10 là 330 triệu đồng.
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng có \({u_1} = 120\) và công sai d = 20.
Giả sử mỗi năm bạn sinh viên chi tiêu tiết kiệm hết 70 triệu đồng. Vậy sau ít nhất 10 năm thì sinh viên đó mua được căn chung cư 2 tỉ đồng.
a) Ta thấy số tiền lương năm sau hơn năm trước 24 triệu đồng nên số tiền lương hằng năm \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng có \({u_1} = 120\) và công sai \(d = 24\).
Do đó \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 120 + \left( {n - 1} \right) \cdot 24 = 24n + 96\).
Số tiền lương sinh viên nhận được ở năm thứ hai là \({u_2} = 144\).
b) \({u_{10}} = 24 \cdot 10 + 96 = 336\).
c) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng có \({u_1} = 120\) và công sai d = 24.
d) Tổng số tiền bạn sinh viên tiết kiệm được sau n năm là:
\(S = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] - 70n = \frac{n}{2}\left[ {2 \cdot 120 + \left( {n - 1} \right) \cdot 24} \right] - 70n\) \( = 12{n^2} + 38n\).
Ta có \(S \ge 2000 \Leftrightarrow 12{n^2} + 38n - 2000 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n \ge 11,42\\n \le - 14,59\end{array} \right.\).
Do đó ít nhất sau 12 năm thì sinh viên đó có thể mua được căn chung cư 2 tỉ đồng.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Dạng 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Lớp 11A lập ra kế hoạch quyên góp tiền để chuẩn bị 52 phần quà cho các bệnh nhân ở bệnh viên, mỗi phần trị giá 50000 đồng với kế hoạch thực hiện như sau: Ngày đầu tiên, tất cả học sinh đều thống nhất mỗi bạn bỏ 2000 đồng vào heo đất, từ ngày thứ hai trở đi mỗi bạn bỏ vào heo đất hơn ngày liền trước là 1000 đồng. Do đó, tổng số tiền mà mỗi bạn bỏ vào heo đất ở ngày thứ n được biểu thị theo công thức là \({S_n} = \frac{{n\left[ {4000 + \left( {n - 1} \right) \cdot 1000} \right]}}{2}\). Biết rằng lớp 11A có sĩ số 40 học sinh, các thành viên trong lớp đều bỏ heo đất đều đặn theo kế hoạch đã thống nhất. Hỏi sau mấy ngày thì tập thể lớp 11A có vừa đủ số tiền (không góp dư) để thực hiện kế hoạch từ thiện của mình?
Tổng số tiền tập thể lớp 11A cần là \(52 \cdot 50000 = 2600000\) đồng.
Tổng số tiền 40 bạn bỏ vào heo đất là \(40{S_n} = \frac{{40n\left[ {4000 + \left( {n - 1} \right) \cdot 1000} \right]}}{2}\).
Theo đề ta có \(\frac{{40n\left[ {4000 + \left( {n - 1} \right) \cdot 1000} \right]}}{2} = 2600000\)\( \Leftrightarrow n\left( {1000n + 3000} \right) = 130000\)
\( \Leftrightarrow {n^2} + 3n - 130 = 0\)\( \Leftrightarrow n = 10\) (vì \(n \in {\mathbb{N}^*}\)).
Vậy sau 10 ngày thì tập thể lớp 11A có vừa đủ số tiền để thực hiện kế hoạch từ thiện của mình.
Trả lời: 10.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_3} = - 3\) và \({u_8} = - 23\). Tính tổng 16 số hạng đầu của cấp số cộng.
Ta có
Khi đó \({S_{16}} = \frac{{16}}{2}\left( {2{u_1} + 15d} \right) = 8\left[ {2 \cdot 5 - 15 \cdot \left( { - 4} \right)} \right] = 560\).
Trả lời: 560.
Một công ty xây dựng mua một chiếc máy ủi với giá 3 tỷ đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng thì giá trị khấu hao của chiếc máy ủi này giảm xuống 20% so với giá trị của nó trong năm liền trước đó. Tính giá trị còn lại của chiếc máy ủi này sau 5 năm sử dụng (làm tròn đến hàng triệu) (đơn vị đo: triệu đồng)?
Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi giảm 20% so với giá trị của nó trong năm liền trước đó, tức là giá trị của chiếc máy ủi năm sau thì bằng 80% giá trị của chiếc máy ủi so với năm liền trước đó.
Giá trị của máy ủi sau năm thứ nhất là \(3000 \cdot 80\% = 2400\) triệu đồng.
Giá trị của chiếc máy ủi sau mỗi năm lập thành một cấp số nhân với \({u_1} = 2400;q = 0,8\).
Do đó giá trị của chiếc máy ủi sau 5 năm sử dụng là:
\({u_5} = {u_1} \cdot {q^4} = 2400 \cdot 0,{8^4} \approx 983\) triệu đồng.
Trả lời: 983.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có công sai \(d = 2\) và biểu thức \(u_2^2 + u_3^2 + u_4^2\) đạt giá trị nhỏ nhất. Số 2026 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?
Ta có \({u_2} = {u_1} + 2;{u_3} = {u_1} + 4;{u_4} = {u_1} + 6\).
Ta có \(u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = {\left( {{u_1} + 2} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 4} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 6} \right)^2}\)\( = 3u_1^2 + 24{u_1} + 56\)\( = 3\left( {u_1^2 + 8{u_1}} \right) + 56\)\( = 3{\left( {{u_1} + 4} \right)^2} + 8 \ge 8\).
Biểu thức \(u_2^2 + u_3^2 + u_4^2\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \({u_1} = - 4\).
Khi đó \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = - 4 + \left( {n - 1} \right) \cdot 2 = 2n - 6\).
Theo đề ta có \({u_n} = 2026\)\( \Leftrightarrow 2n - 6 = 2026 \Leftrightarrow n = 1016\).
Số 2026 là số hạng thứ 1016 của cấp số cộng.
Trả lời: 1016.
Cho một cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội \(q\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} + {u_2} = 36\\{u_6} - {u_4} = 48\end{array} \right.\). Tính \({u_1} + 2024q\).
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} + {u_2} = 36\\{u_6} - {u_4} = 48\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^4} + {u_1}q = 36\\{u_1}{q^5} - {u_1}{q^3} = 48\end{array} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q\left( {{q^3} + 1} \right) = 36\\{u_1}{q^3}\left( {{q^2} - 1} \right) = 48\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q\left( {q + 1} \right)\left( {{q^2} - q + 1} \right) = 36\\{u_1}{q^3}\left( {q - 1} \right)\left( {q + 1} \right) = 48\end{array} \right.\]
Vậy \({u_1} + 2024q = 2 + 2024 \cdot 2 = 4050\).
Trả lời: 4050.
Người ta trồng cây theo hình tam giác, với quy luật: ở hàng thứ nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có 2 cây, ở hàng thứ ba có 3 cây,… ở hàng thứ n có n cây. Biết rằng người ta trồng hết 4950 cây. Hỏi số hàng cây được trồng theo cách trên là bao nhiêu?
Gọi \({u_n}\) là số cây trồng ở hàng thứ \(n,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
Số cây ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với \({u_1} = 1;d = 1\).
Ta có \({S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]\)\( = \frac{n}{2}\left( {n + 1} \right)\).
Theo đề có \({S_n} = 4950\)\( \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = 4950\)\( \Leftrightarrow {n^2} + n - 9900 = 0\)\( \Leftrightarrow n = 99\) (vì \(n \in {\mathbb{N}^*}\)).
Vậy có 99 hàng cây được trồng theo cách trên.
Trả lời: 99.
Một loại vi khuẩn cứ sau mỗi phút thì số lượng tăng gấp đôi, biết rằng sau 5 phút người ta đếm được có 64000 con. Hỏi sau bao nhiêu phút thì có được 2048000 con.
Gọi \({u_{n + 1}}\) là số lượng con vi khuẩn sau n phút.
Số lượng vi khuẩn ở mỗi phút lập thành một cấp số nhân với \(q = 2\). Khi đó \({u_{n + 1}} = {u_1} \cdot {2^n}\).
Ta có \({u_6} = {u_1} \cdot {2^5}\)\( \Rightarrow {u_1} = \frac{{{u_6}}}{{{2^5}}} = \frac{{64000}}{{{2^5}}} = 2000\).
Theo đề có \(2048000 = 2000 \cdot {2^n}\)\( \Leftrightarrow {2^n} = 1024\)\( \Leftrightarrow n = 10\).
Vậy sau 10 phút thì có được 2048000 con.
Trả lời: 10.
Một cầu thang bằng gạch có tổng 35 bậc. Bậc dưới cùng cần 120 viên gạch. Mỗi bậc tiếp theo cần ít hơn hai viên gạch so với bậc ngay trước nó. Cần bao nhiêu viên gạch để xây cầu thang?
Số viên gạch ở mỗi bậc cầu thang lập thành một cấp số cộng với \({u_1} = 120;d = - 2\).
Số viên gạch cần để xây cầu thang là \({S_{35}} = \frac{{35}}{2}\left( {2{u_1} + 34d} \right)\)\( = \frac{{35}}{2}\left[ {2 \cdot 120 + 34 \cdot \left( { - 2} \right)} \right] = 3010\).
Trả lời: 3010.
Sắp đến ngày sinh nhật của mẹ, Lan quyết định tiết kiệm tiền để mua quà tặng mẹ theo cách sau: ngày thứ nhất Lan bỏ ống tiết kiệm 1 nghìn đồng, ngày thứ hai Lan bỏ ống tiết kiện 2 nghìn đồng, ngày thứ ba Lan bỏ ống tiết kiệm 4 nghìn đồng,…, số tiền bỏ ống tiết kiệm của ngày thứ n + 1 gấp đôi số tiền bỏ ống tiết kiệm của ngày thứ n. Số tiền Lan tiết kiệm được sau khi bỏ ống được 10 ngày là bao nhiêu nghìn đồng?
Số tiền Lan bỏ ống tiết kiệm mỗi ngày lập thành một cấp số nhân với \({u_1} = 1;q = 2\).
Ta có \({S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{1 - {2^{10}}}}{{1 - 2}} = 1023\) nghìn đồng.
Trả lời: 1023.
Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài các thành ngang của cái thang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là 45 cm, 43 cm, 41 cm,…, 31 cm.
Xác định số bậc của chiếc thang đó.
Chiều dài các thanh ngang là dãy cấp số cộng có số hạng đầu là 45, công sai là \(d = - 2\).
Ta có \({u_n} = 45 - 2\left( {n - 1} \right) = 47 - 2n\).
Khi \({u_n} = 31\)\( \Leftrightarrow 47 - 2n = 31 \Leftrightarrow n = 8\). Vậy cái thang có 8 bậc.
Trả lời: 8.
B. Tự luận
Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120.
Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} = 20\\u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = 120\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{u_1} + 6d = 20\\u_1^2 + {\left( {{u_1} + d} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 2d} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 3d} \right)^2} = 120\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{u_1} + 6d = 20\\4u_1^2 + 12{u_1}d + 14{d^2} = 120\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{10 - 3d}}{2}\\4{\left( {\frac{{10 - 3d}}{2}} \right)^2} + 12\left( {\frac{{10 - 3d}}{2}} \right)d + 14{d^2} = 120\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{10 - 3d}}{2}\\100 - 60d + 9{d^2} + 60d - 18{d^2} + 14{d^2} = 120\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{10 - 3d}}{2}\\5{d^2} = 20\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{10 - 3d}}{2}\\d = \pm 2\end{array} \right.\).
Với \(d = 2\) thì \({u_1} = 2;{u_2} = 4;{u_3} = 6;{u_4} = 8\).
Với \(d = - 2\)thì \({u_1} = 8;{u_2} = 6;{u_3} = 4;{u_2} = 2\).
Xác định cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) biết:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 15\\{u_5} = 135\\{u_6} < 0\end{array} \right.\); b) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 164\\{u_2} + {u_3} + {u_4} = 78\end{array} \right.\).
a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 15\\{u_5} = 135\\{u_6} < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 15\\{u_3}{q^2} = 135\\{u_6} < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 15\\{q^2} = 9\\{u_6} < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^2} = 15\\{q^2} = 9\\{u_6} < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{5}{3}\\q = - 3\end{array} \right.\).
Suy ra \({u_n} = \frac{5}{3} \cdot {\left( { - 3} \right)^{n - 1}}\).
b) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 164\\{u_2} + {u_3} + {u_4} = 78\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}{q^4} = 164\\{u_1}q + {u_1}{q^2} + {u_1}{q^3} = 78\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 164\\{u_1}q\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 78\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{164}}{{1 + {q^4}}}\\\frac{{164}}{{1 + {q^4}}}q\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 78\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{164}}{{1 + {q^4}}}\\82q\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 39\left( {1 + {q^4}} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{164}}{{1 + {q^4}}}\\82q + 82{q^2} + 82{q^3} = 39 + 39{q^4}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{164}}{{1 + {q^4}}}\\\left( {q - 3} \right)\left( {q - \frac{1}{3}} \right)\left( {39{q^2} + 48q + 39} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{164}}{{1 + {q^4}}}\\\left[ \begin{array}{l}q = 3\\q = \frac{1}{3}\end{array} \right.\end{array} \right.\).
Với \(q = 3\)\( \Rightarrow {u_1} = 2\). Khi đó \({u_n} = 2 \cdot {3^{n - 1}}\).
Với \(q = \frac{1}{3} \Rightarrow {u_1} = 162\). Khi đó \({u_n} = 162 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}}\).
Góc khán đài A của sân vận động Sportify Camp Nou (Barcelona) có 60 hàng ghế. Hàng đầu tiên có 20 ghế. Mỗi ghế sau có thêm 5 chỗ ngồi so với hàng ghế trước. Hỏi góc khán đài A có bao nhiêu ghế?
Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với \({u_1} = 20;d = 5\).
Góc khán đài A có số ghế là \({S_{60}} = \frac{{60}}{2}\left( {2{u_1} + 59d} \right) = 30\left( {2 \cdot 20 + 59 \cdot 5} \right) = 10050\) ghế.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} - {u_3} + {u_5} = 10\\{u_4} + {u_6} = 26\end{array} \right.\).
a) Xác định công sai và công thức của số hạng tổng quát \({u_n}\).
b) Số 37 có thuộc cấp số cộng không? Nếu thuộc thì 37 là số hạng thứ mấy?
c) Tính \(S = {u_1} + {u_4} + {u_7} + ... + {u_{2011}}\).
a)
Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + \left( {n - 1} \right) \cdot 3 = 3n - 2\).
b) Ta có \(3n - 2 = 37 \Leftrightarrow n = 13\).
Số 37 thuộc cấp số cộng và số 37 là số hạng thứ 13.
c) Ta có \({u_4} = {u_1} + 3d = 10;{u_7} = {u_1} + 6d = 19;{u_{10}} = {u_1} + 9d = 28\); …; \({u_{2011}} = {u_1} + 2010d = 6031\).
Khi đó \(S = {u_1} + {u_4} + {u_7} + ... + {u_{2011}} = 1 + 10 + 19 + 28 + ... + 6031 = \frac{{\left( {1 + 6031} \right).671}}{2} = 2023736\).
Bố mẹ bạn X mang tiền gửi ngân hàng theo thể thức lãi kép (lãi nhập gốc vào kì gửi tiếp theo). Số tiền ban đầu là A, lãi suất là r/kì. Bố mẹ nhờ X giải thích, đưa ra công thức về số tiền nhận được (giả sử toàn bộ quá trình lãi suất không đổi).
a) Sau 1 kì; sau 2 kì; sau 3 kì; sau 4 kì và dự đoán công thức sau n kì.
b) Nếu cứ sau mỗi kì, bố mẹ bạn X lại mang thêm đúng số tiền A ra ngân hàng để gửi thêm thì kết thúc kì thứ 12 toàn bộ số tiền nhận về được tính theo công thức nào?
Lời giải
a) Sau 1 kì số tiền nhận được là: \({T_1} = A + A \cdot r\).
Sau 2 kì số tiền nhận được là \({T_2} = A + A \cdot r + \left( {A + A \cdot r} \right) \cdot r\)\( = \left( {A + A \cdot r} \right) \cdot \left( {1 + r} \right) = A \cdot {\left( {1 + r} \right)^2}\).
Sau 3 kì số tiền nhận được là \({T_3} = A \cdot {\left( {1 + r} \right)^2} + A \cdot {\left( {1 + r} \right)^2} \cdot r = A{\left( {1 + r} \right)^3}\).
Sau 4 kì số tiền nhận được là \({T_4} = A{\left( {1 + r} \right)^3} + A{\left( {1 + r} \right)^3} \cdot r = A{\left( {1 + r} \right)^4}\).
Sau n kì số tiền nhận được là \({T_n} = A{\left( {1 + r} \right)^n}\).
b) Số tiền bố mẹ bạn X nhận được sau 1 kì là \({T_1} = A + A \cdot r = A\left( {1 + r} \right) = \frac{A}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^1} - 1} \right]\left( {1 + r} \right)\).
Số tiền bố mẹ bạn X gửi ở kì 2 là \({S_2} = A\left( {1 + r} \right) + A = A\left[ {\left( {1 + r} \right) + 1} \right] = A\frac{{\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^2} - 1} \right]}}{{\left( {1 + r} \right) - 1}} = \frac{A}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^2} - 1} \right]\).
Số tiền bố mẹ bạn X nhận được sau kì 2 là \({T_2} = \frac{A}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^2} - 1} \right]\left( {1 + r} \right)\).
Suy ra số tiền bố mẹ bạn X nhận được sau kì 12 là \({T_{12}} = \frac{A}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^{12}} - 1} \right]\left( {1 + r} \right)\).
