Bài tập ôn tập chương I (Phần 2- có lời giải chi tiết)

$$\begin{gathered} {(x + 5)}^2 – 2(x + 5)(x – 2) + {(x – 2)}^2 = 49 \\ \iff \left(\right(x + 5) – {(x – 2))}^2 = 49 \\ \iff {(x + 5 – x + 2)}^2 = 49 \\ \iff 7^2 = 49 \end{gathered}$$

Vậy với mọi x đều thỏa mãn

Đáp án cần chọn là: D

B = (x – 2)($x^2$ + 2x + 4) – x(x – 1)(x + 1) + 3x

B = (x – 2)($x^2$ + x.2 + $2^2$) – x($x^2$ – 1) + 3x

$$\begin{gathered} B = x^3 – 2^3 – x.x^2 + x.1 + 3x \\ B = x^3 – 8 – x^3 + x + 3x \end{gathered}$$

B = 4x – 8

Đáp án cần chọn là: D

5$x^2$ + 10xy – 4x – 8y = (5$x^2$ + 10xy) – (4x + 8y)

= 5x(x + 2y) – 4(x + 2y) = (5x – 4)(x + 2y)

Đáp án cần chọn là: C

$$\begin{gathered} 3x^2 + 6x{y}^2 – 3y^2 + 6x^{2}y \\ = (3x^2 – 3y^2) + (6x{y}^2 + 6x^{2}y) \\ = 3(x^2 – y^2) + 6xy(y + x) \end{gathered}$$

= 3(x – y)(x + y) + 6xy(x + y)

= [3(x – y) + 6xy](x + y) = 3(x – y + 2xy)(x + y)

Vậy chỗ trống là (x – y + 2xy)

Đáp án cần chọn là: B

x(2x – 7) – 4x + 14 = 0

ó x(2x – 7) – 2(2x – 7) = 0

ó (2x – 7)(x – 2) = 0

Vậy $x=\frac{7}{2}$   hoặc x = 2

Đáp án cần chọn là: C

+) $x^2 – 2x – 4y^2 – 4y = (x^2 – 4y^2)$ – (2x + 4y)

= (x – 2y)(x + 2y) – 2(x + 2y)

= (x – 2y – 2)(x + 2y)

$$\begin{gathered} +) x^2 + y^{2}x + x^{2}y + xy – x – y \\ = (x^2 + xy) + (y^{2}x + x^{2}y) – (x + y) \end{gathered}$$

= x(x + y) + xy(y + x) – (x + y)

= (x + xy – 1)(x + y)

Vậy A, B đều đúng

Đáp án cần chọn là: C

x(x – 1)(x + 1) + $x^2$ – 1 = 0

ó x(x – 1)(x + 1) + ($x^2$ – 1) = 0

ó x(x – 1)(x + 1) + (x – 1)(x + 1) = 0

ó (x + 1)(x – 1)(x + 1) = 0

ó ${(x + 1)}^2$(x – 1) = 0

Vậy x = -1 hoặc x = 1

Tổng các giá trị của x là 1 + (-1) = 0

Đáp án cần chọn là: D

$$\begin{gathered} 4x^2 + 4x – y^2 + 1 \\ = ({\left(2x\right)}^2 + 2.2x + 1) – y^2 \end{gathered}$$

$= {(2x + 1)}^2 – y^2$

= (2x + 1 – y)(2x + 1 + y)

= (2x – y + 1)(2x + y + 1)

Vậy đa thức trong chỗ trống là 2x – y + 1

Đáp án cần chọn là: B

$$\begin{gathered} B = x^6 – 2x^4 + x^3 + x^2 – x \\ \iff B = x^6 – x^4 – x^4 + x^3 + x^2 – x \\ \iff B = (x^6 – x^4) – (x^4 – x^2) + (x^3 – x) \\ \iff B = x^3(x^3 – x) – x(x^3 – x) + (x^3 – x) \\ \iff B = (x^3 – x + 1)(x^3 – x) \end{gathered}$$

Tại $x^3$ – x = 6, ta có B = (6 + 1).6 = 7.6 = 42

Đáp án cần chọn là: B

$$\begin{gathered} 2x^{3}y – 2x{y}^3 – 4x{y}^2 – 2xy \\ = 2xy(x^2 – y^2 – 2y – 1) \\ = 2xy[x^2 – (y^2 + 2y + 1\left)\right] \\ = 2xy[x^2 – {(y + 1)}^2] \end{gathered}$$

= 2xy(x – y – 1)(x + y + 1)

Đáp án cần chọn là: A

$$\begin{gathered} +) 16x^4(x – y) – x + y \\ = 16x^4(x – y) – (x – y) \\ = (16x^4 – 1\left)\right(x – y) \\ = [{\left(2x\right)}^4 – 1\left]\right(x – y) \\ = [{\left(2x\right)}^2 – 1\left]\right[{\left(2x\right)}^2 + 1\left]\right(x – y) \\ = (2x – 1\left)\right(2x + 1\left)\right(4x^2 + 1\left)\right(x – y) \\ +) 16x^3 – 54y^3 \\ = 2(8x^3 – 27y^3) \\ = 2[{\left(2x\right)}^3 – {\left(3y\right)}^3] \\ = 2(2x – 3y)[{\left(2x\right)}^2 + 2x.3y + {\left(3y\right)}^2] \\ = 2(2x – 3y)(4x^2 + 6xy + 9y^2) \end{gathered}$$

Vậy A, B, D đúng. C sai

Đáp án cần chọn là: C

$$\begin{gathered} x^4 – 4x^3 + 4x^2 = x^2(x^2 – 4x + 4) \\ = x^2(x^2 – 2.2.x + 2^2) = x^2{(x – 2)}^2 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: B

$$\begin{gathered} {(2x – 3)}^2 – 4x^2 + 9 = 0 \\ \iff {(2x – 3)}^2 – (4x^2 – 9) = 0 \\ \iff {(2x – 3)}^2 – ({\left(2x\right)}^2 – 3^2) = 0 \\ \iff {(2x – 3)}^2 – (2x – 3)(2x + 3) = 0 \end{gathered}$$

ó (2x – 3)(2x – 3 – 2x – 3) = 0

ó (2x – 3)(-6) = 0

ó 2x – 3 = 0

ó$x=\frac{3}{2}$

Đáp án cần chọn là: C

$$\begin{gathered} x^3 – x^2 – x + 1 = 0 \\ \iff (x^3 – x^2) – (x – 1) = 0 \\ \iff x^2(x – 1) – (x – 1) = 0 \\ \iff (x^2 – 1)(x – 1) = 0 \\ \iff (x – 1)(x + 1)(x – 1) = 0 \\ \iff {(x – 1)}^2(x + 1) = 0 \end{gathered}$$

Vậy x = 1 hoặc x = -1

Đáp án cần chọn là: A

$$\begin{gathered} x^3 – 5x + 4 \\ = x^3 – x – 4x + 4 \\ = x(x^2 – 1) – 4(x – 1) \end{gathered}$$

= x(x – 1)(x + 1) – 4(x – 1)

= (x – 1)[x(x + 1) – 4]

= (x – 1)($x^2$ + x – 4)

Đáp án cần chọn là: C

($4x^4 – 4x^3$ + 3x – 3) : (x – 1) = 4$x^3$ + 3

Đáp án cần chọn là: D

$$\begin{gathered} A=\frac{4x^3-5x^2+1}{x-1}=\frac{4x^3-4x^2-x^2+1}{x-1} \\ =\frac{4x^2(x-1)-(x^2-1)}{x-1} \\ =\frac{4x^2(x-1)-(x-1)(x+1)}{x-1} \\ =\frac{(x-1)(4x^2-x-1)}{x-1} \\ =4x^2 – x – 1 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: A

($6x^3 – 5x^2$ + 4x – 1) : ($2x^2$ – x + 1) = 3x – 1  

Đáp án cần chọn là: A

$$\begin{gathered} +) x^3 + 7x^2 + 12x + 4 \\ = x^3 + 6x^2 + x^2 + 12x + 8 – 4 \\ = (x^3 + 6x^2 + 12x + 8) + (x^2 – 4) \\ = (x^3 + 3.2.x^2 + 3.2^2.x + 2^3) + (x^2 – 4) \\ = {(x + 2)}^3 + (x – 2\left)\right(x + 2) \\ = (x + 2\left)\right({(x + 2)}^2 + x – 2) \\ = (x + 2\left)\right(x^2 + 4x + x – 2) \\ = (x + 2\left)\right(x^2 + 5x + 2) \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: A

$$\begin{gathered} 2x^3(2x – 3) – x^2(4x^2 – 6x + 2) = 0 \\ \iff 4x^4 – 6x^3 – 4x^4 + 6x^3 – 2x^2 = 0 \\ \iff -2x^2 = 0 \end{gathered}$$

ó x = 0

Vậy x = 0

Có 1 giá trị của x thỏa mãn đề bài

Đáp án cần chọn là: D

A = $x^2$ – x + 1 = $x^2$ – 2.x. $\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}$ =  ${(x-\frac{1}{2})}^2+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}$

=> Min A = $\frac{3}{4}$ 

Dấu “=” xảy ra khi ${(x-\frac{1}{2})}^2$ = 0 hay x =  $\frac{1}{2}$

Đáp án cần chọn là: B

$$\begin{gathered} P = (-4x^3{y}^3 + x^3{y}^4) : 2x{y}^2 – xy(2x – xy) \\ \iff P = (-4x^3{y}^3) : 2x{y}^2 + x^3{y}^4 : 2x{y}^2 – xy.2x + xy.xy \\ \iff P = -2x^{2}y + x^2{y}^2 – 2x^{2}y + x^2{y}^2 \\ \iff P = x^2{y}^2 – 4x^{2}y \\ \iff P = x^{2}y( y – 4) \end{gathered}$$

Tại x = 1, y = , ta có:

P = $1^2$.($\frac{-1}{2}\left)\right(\frac{3}{2}\left(\frac{-1}{2}\right)-4)=(\frac{-1}{2}\left)\right(\frac{-3}{4}-4)=(\frac{-1}{2}\left)\right(\frac{-19}{4})$=  $\frac{19}{8}$

Đáp án cần chọn là: B

$$\begin{gathered} x^8 + x^{4 }+ 1 \\ = x^8 + 2x^{4 } + 1 – x^{4 } \\ = (x^8 + 2x^{4 } + 1) – x^{4 } \\ = \left[\right(x^4)2 + 2.x^{4 }.1 + 12] – x^4 \\ = (x^4 + 1)2 – \left(x^2\right)2 \\ = (x^4 + 1 – x^2)(x^4 + 1 + x^2) \\ = (x^4 – x^2 + 1)(x^4 + 2x^2 – x^2 + 1) \\ = (x^4 – x^2 + 1)\left[\right(\left(x^2\right)2 + 2.1.x^2 + 1) – x^2] \\ = (x^4 – x^2 + 1)\left[\right(x^2 + 1)2 – x^2] \\ = (x^4 – x^2 + 1)(x^2 + 1 – x)(x^2 + 1 + x) \\ = (x^4 – x^2 + 1)(x^2 – x + 1)(x^2 + x + 1) \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: C

xS = x.( 1 + x + $x^2 + x^3 + x^4 + x^5$) = x + $x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6$

=> xS – S = x + $x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6$ - 1 - x - $x^2 - x^3 - x^4 - x^5$ = $x^6$ – 1

Đáp án cần chọn là: A

$$\begin{gathered} A = x^2 + 2y^2 – 2xy + 2x – 10y \\ \iff A = x^2 + y^2 + 1 – 2xy + 2x \\ – 2y + y^2 – 8y + 16 – 17 \\ \iff A = (x^2 + y^2 + 12 – 2.x.y + 2.x.1 \\ – 2.y.1) + (y^2 – 2.4.y + 4^2) – 17 \\ \iff A = {(x – y + 1)}^2 + {(y – 4)}^2 – 17 \end{gathered}$$

Vì  với mọi x; y nên A ≥ -17 với mọi x; y

=> A = -17 

$\iff \left\{\begin{array}{l}x-y+1=0\\ y-4=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=y-1\\ y=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=4\end{array}\right.$

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là A = -17 tại  $\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=4\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: B

Từ đẳng thức đã cho suy nghĩ $a^3 + b^3 + c^3$ – 3abc = 0

$$\begin{gathered} B^3 + c^3 = (b + c)(b^2 + c^2 – bc) \\ = (b + c){[{(b + c)}^2 – 3bc]}^4 \\ = {(b + c)}^3 – 3bc(b + c) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} => a^3 + b^3 + c^3 – 3abc \\ = a^3 + (b^3 + c^3) – 3abc \\ \iff a^3 + b^3 + c^3 – 3abc \\ = a^3 + (b^3 + c^3) – 3bc(b + c) – 3abc \\ \iff a^3 + b^3 + c^3 – 3abc \\ = (a + b + c)(a^2 – a(b + c) + {(b \\ + c)}^2) – \left[3bc\right(b + c) + 3abc] \\ \iff a^3 + b^3 + c^3 – 3abc \\ = (a + b + c)(a^2 – a(b + c) + {(b + c)}^2) – 3bc) \\ \iff a^3 + b^3 + c^3 – 3abc \\ = (a + b + c\left)\right(a^2 – ab – ac + b^2 + 2bc + c^2 – 3bc) \\ \iff a^3 + b^3 + c^3 – 3abc \\ = (a + b + c\left)\right(a^2 + b^2 + c^2 – ab – ac – bc) \end{gathered}$$

Do đó nếu $a^3 + b^3 + c^3$ – 3abc = 0 thì a + b + c = 0 hoặc $a^2 + b^2 + c^2$– ab – ac – bc = 0

Mà $a^2 + b^2 + c^2$– ab – ac – bc = .[${(a – b)}^2 + {(a – c)}^2 + {(b – c)}^2$]

Suy ra a = b = c

Đáp án cần chọn là: B