Bài tập Mô tả và vận dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương có đáp án lớp 8 (có lời giải)
25 câu hỏi
Khai triển nào sau đây là đúng?
a3 + b3 = (a + b)3;
a3 + b3 = (a + b)(a2 + ab + b2) ;
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2);
a3 + b3 = (a + b)(a2 – 2ab + b2).
Đáp án đúng là: C
Hằng đẳng thức đúng là: a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2).
Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống: (2x + 3y)(4x2 – … + 9y2) = 8x3 + 27y3.
5xy;
6xy;
–6xy;
12xy.
Đáp án đúng là: B
8x3 + 27y3 = (2x)3 + (3y)3
= (2x + 3y)[(2x)2 – 2x.3y + (3y)2]
= (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2) .
Khai triển nào sau đây là đúng?
8x3 + 1 = (8x + 1)(8x2 – 8x + 1);
8x3 + 1 = (8x + 1)(64x2 – 8x + 1);
8x3 + 1 = (2x + 1)(4x2 – 4x + 1);
8x3 + 1 = (2x + 1)(4x2 – 2x + 1).
Đáp án đúng là: D
8x3 + 1 = (2x)3 + 13
= (2x + 1)[(2x)2 – 2x.1 + 12]
= (2x + 1)(4x2 – 2x + 1).
Biểu thức \[\left( {\frac{x}{2} + 6} \right)\left( {\frac{{{x^2}}}{4} - 3x + 36} \right)\] rút gọn thành biểu thức nào?
\[\frac{{{x^2}}}{2} + 36\];
\[\frac{{{x^3}}}{8} + 36\];
\[\frac{{{x^3}}}{2} + 216\];
\[\frac{{{x^3}}}{8} + 216\].
Đáp án đúng là: D
\[\left( {\frac{x}{2} + 6} \right)\left( {\frac{{{x^2}}}{4} - 3x + 36} \right) = \left( {\frac{x}{2} + 6} \right)\left( {\frac{{{x^2}}}{{{2^2}}} - \frac{x}{2}.3 + {6^2}} \right)\]
\[ = {\left( {\frac{x}{2}} \right)^3} + {6^3}\]\[ = \frac{{{x^3}}}{8} + 216\].
Giá trị của biểu thức A = x3 – 16 + (16 + 4x + x2)(4 – x) là
một số lẻ;
một số chẵn;
một số chia hết cho 5;
một số chính phương.
Đáp án đúng là: B
A = x3 – 16 + (16 + 4x + x2)(4 – x)
= x3 – 16 + (42 + 4x + x2)(4 – x)
= x3 – 16 + (43 – x3)
= x3 – 16 + 64 – x3 = 48.
Vậy A là một số chẵn.
Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống: \[\frac{{{a^3}}}{{64}} + \frac{1}{{{b^3}}} = \left( {... + \frac{1}{b}} \right)\left( {... + ... + \frac{1}{{{b^2}}}} \right)\].
\[\frac{a}{4}\]; \[\frac{{{a^2}}}{{16}}\]; \[ - \frac{a}{{4b}}\];
\[\frac{a}{4}\]; \[\frac{{{a^2}}}{{16}}\]; \[\frac{a}{{4b}}\];
\[\frac{a}{2}\]; \[\frac{{{a^2}}}{4}\]; \[ - \frac{a}{{4b}}\];
\[\frac{a}{2}\]; \[\frac{{{a^2}}}{4}\]; \[\frac{a}{{4b}}\].
Đáp án đúng là: A
\[\frac{{{a^3}}}{{64}} + \frac{1}{{{b^3}}} = {\left( {\frac{a}{4}} \right)^3} + \frac{1}{{{b^3}}}\]\[ = \left( {\frac{a}{4} + \frac{1}{b}} \right)\left( {\frac{{{a^2}}}{{{4^2}}} - \frac{a}{4}.\frac{1}{b} + \frac{1}{{{b^2}}}} \right)\]
\[ = \left( {\frac{a}{4} + \frac{1}{b}} \right)\left( {\frac{{{a^2}}}{{16}} - \frac{a}{{4b}} + \frac{1}{{{b^2}}}} \right)\].
Giá trị biểu thức M = 2(x3 + y3) khi x + y = 3 và xy = 2 là
3;
6;
9;
18.
Đáp án đúng là: D
M = 2(x3 + y3) = 2(x + y)(x2 – xy + y2)
= 2(x + y)(x2 + 2xy + y2 – 3xy)
= 2(x + y)[(x + y)2 – 3xy].
Thay x + y = 3 và xy = 2 vào biểu thức M, ta có:
M = 2 . 3 . (32 – 3 . 2) = 6 . (9 – 6) = 6 . 3 = 18.
Biểu thức H = (a + b)[(a – b)2 + ab] sau khi rút gọn là
a3 + b3;
a3 – b3;
(a + b)2;
(a + b)3.
Đáp án đúng là: A
H = (a + b)[(a – b)2 + ab]
= (a + b)[a2 – 2ab + b2 + ab]
= (a + b)[a2 – ab + b2] = a3 + b3.
Cho x + y = – 1. Giá trị biểu thức A = x3 – 3xy + y3 là
– 1 – 3xy;
– 1;
–2;
–3.
Đáp án đúng là: B
Áp dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương, ta có:
A = x3 – 3xy + y3 = (x3 + y3) – 3xy
= (x + y)(x2 – xy + y2) – 3xy
= (x + y)(x2 + 2xy + y2 – 3xy) – 3xy
= (x + y)[(x + y)2 – 3xy)] – 3xy.
Thay x + y = – 1vào biểu thức A, ta được:
A = – 1.[( – 1)2 – 3xy] – 3xy = – 1 + 3xy – 3xy = – 1.
Rút gọn biểu thức N = (2a + 3)(4a2 – 6a + 9) + 4(3 – 2a3), ta được giá trị của N là
một sỗ chẵn;
một số lẻ;
một số chính phương;
một số chia hết cho 6.
Đáp án đúng là: B
N = (2a + 3)(4a2 – 6a + 9) + 4(3 – 2a3)
= (2a + 3)[(2a)2 – 2a.3 + 32] + 4(3 – 2a3)
= (2a)3 + 33 + 12 – 8a3
= 8a3 + 27 + 12 – 8a3 = 39.
Vậy N là một số lẻ.
Khẳng định nào sau đây là tổng của hai lập phương?
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3.
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2.
A3 + B3 = (A + B )(A2 – AB + B2).
A2 – B2 = (A + B)(A – B).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Tổng của hai lập phương: A3 + B3 = (A + B )(A2 – AB + B2).(4x2 – 12xy + y2)(2x + y).
(2x2 + 12xy + y2)(2x – y).
(4x2 + 6xy + y2)(3x + y).
(4x2 – 2xy + y2)(2x + y).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng: D
8x3 + y3 = (2x)3 + y3 = (2x + y)(4x2 – 2xy + y2).Biểu thức A = (x + 2)(x2 - 2x + 4) bằng biểu thức nào sau đây?
x3 + 4.
x3 + 2.
x3 + 8.
x3 + 6.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng: C
A = (x + 2)(x2 - 2x + 4) = (x + 2)(x2 - 2x + 22) = (x)3 + 23 = x3 + 8.Biểu thức A = (–x + y)(x2 + xy + y2) bằng biểu thức nào sau đây?
(–x)3 + y3.
x3 – y2.
(–x)3 + y2.
x3 + y3.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng: A
A = (–x + y)(x2 + xy + y2) = (–x + y)[(–x)2 – (–x)y + y2] = (–x)3 + y3.Rút gọn biểu thức A = (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2) – (x + 2y)3 ta được kết quả là
A = 6x2y + 12xy2.
A = –6x2y + 12xy2.
A = 6x2y – 12xy2.
A = –6x2y – 12xy2.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng: D
A = (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2) – (x + 2y)3
= x3 + 8y3 – (x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3)
= –6x2y – 12xy2.Cho hai biểu thức: P = (2x + 1)(4x2 – 2x + 1) – 8x(x – 1)2; Q = (x + 2)3 – 3x(x + 2)2 + 3x2(x + 2) – x3. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
P = –16x2 – 8x + 1.
Giá trị của biểu thức Q không phụ thuộc vào giá trị của biến.
Biểu thức B = P – Q có thể viết lại thành B = –16x2 – 8x – 7.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là –8.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai. Ta có: P = 8x3 + 1 – 8x(x2 – 2x + 1)
= 8x3 + 1 – 8x3 + 16x2 – 8x
= 16x2 – 8x + 1.
b) Đúng. Ta có: Q = [(x + 2) – x]3 = 23 = 8.
Vậy giá trị của biểu thức Q không phụ thuộc vào giá trị của biến.
c) Sai. Ta có: B = P – Q = 16x2 – 8x + 1 – 8 = 16x2 – 8x – 7.
d) Đúng. Xét B = 16x2 – 8x – 7 = (4x)2 – 2.4x + 1 – 8 = (4x – 1)2 – 8.
Vì (4x – 1)2 ≥ 0 với mọi x nên B ≥ – 8.
Dấu bằng xảy ra khi.
Vậy giá trị nhỏ nhất của B bằng – 8.Cho hai biểu thức: P = (x + 3)(x2 – 3x + 9) và Q = (x – 1)3 + 3(x – 1)2 + 3(x – 1) + 1. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
P = x3 + 27.
Q = 1 – x3.
Giá trị của biểu thức C = P – Q không phụ thuộc vào giá trị của biến.
Giá trị của biểu thức C luôn chia hết cho 9.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Vì P = x3 + 33 = x3 + 27.
b) Sai. Ta có: Q = [(x – 1) + 1]3 = x3.
c) Đúng. Ta có: C = P – Q = x3 + 27 – x3 = 27.Vậy giá trị của biểu thức C không phụ thuộc vào giá trị của biến.
d) Đúng. Vì C = 27 nên giá trị của biểu thức C luôn chia hết cho 9.Cho hai biểu thức: M = (3x + 2y)(9x2 – 6xy + 4y2) và N = (3x + y)3 – 3y(3x + y)2 + 3y2(3x + y). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
M = 27x3 + 8y3.
N = 27x3.
D = M – N = 8y3.
Tại , giá trị của biểu thức D bằng –1.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Ta có: M = (3x)3 + (2y)3 = 27x3 + 8y3.
b) Sai. Ta có: N – y3 = (3x + y)3 – 3y(3x + y)2 + 3y2(3x + y) – y3
=[(3x + y) – y]3 = 27x3.
Suy ra N = 27x3 + y3.
c) Đúng.Ta có:D = M – N = 27x3 + 8y3 – (27x3 + y3) = 7y3.
d) Sai.Thay vào biểu thức D ta được: .Một công ty sản xuất đồ chơi bằng gỗ làm ra các khối rubik đặc hình lập phương. Người ta ghép một khối lập phương lớn có cạnh là a (cm) và một khối lập phương nhỏ có cạnh là b (cm) thành một mô hình trang trí độc đáo. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Tổng thể tích của mô hình trang trí được biểu diễn bằng công thức V = a3 + b3.
Thể tích của mô hình trang trí có thể viết dưới dạng tích là V = (a + b)(a2 + ab + b2).
Biết tổng độ dài hai cạnh của hai khối lập phương là a + b = 8 cm và tích độ dài hai cạnh là ab = 12 cm2. Khi đó, tổng thể tích của mô hình bằng 224 cm3.
Nếu tổng thể tích mô hình là 280 cm3 và tổng độ dài hai cạnh a + b = 10 cm, thì biểu thức bình phương thiếu của hiệu a2 – ab + b2 có giá trị là 28 cm2.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Thể tích khối lớn là a3, thể tích khối nhỏ là b3. Tổng thể tích là V = a3 + b3.
b) Sai. Vì V = (a + b)(a2 – ab + b2).
c) Đúng.Ta có: V = a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b).
Thay số vào ta được: V = 83 – 3.12.8 = 512 – 288 = 224 (cm3).
d) Đúng.Từ công thức V = (a + b)(a2 – ab + b2) nên a2 – ab + b2 = 280 : 10 = 28 (cm2).Một kiến trúc sư thiết kế một bể chứa nước sinh hoạt gồm hai ngăn đặt sát nhau: ngăn lớn là một hình lập phương cạnh x (mét), ngăn nhỏ là một hình lập phương cạnh y (mét) với x > y. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Tổng thể tích nước tối đa mà bể chứa được biểu diễn bằng công thức V = x3 + y3.
Sức chứa V của bể nước có thể biến đổi thành dạng tích của tổng hai cạnh và bình phương thiếu của hiệu là V = (x + y)(x2 – xy + y2).
Biết tổng diện tích một mặt của ngăn lớn và một mặt của ngăn nhỏ là x2 + y2 = 13 m2, và tích hai cạnh là xy = 6 m2. Khi đó tổng thể tích của bể chứa là 35 m3.
Nếu tổng độ dài hai cạnh x + y = 4 m và tổng thể tích bể là V = 28 m3, thì hiệu độ dài cạnh của hai ngăn bể (x – y) bằng 1 m.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Tổng thể tích của hai ngăn bể lập phương là V = x3 + y3.
b) Đúng. Ta có V = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2).
c) Đúng.Ta có (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy
Thay số ta được (x + y)2 = 13 + 2.6 = 25 suy ra x + y = 5 (vì x, y > 0).
Khi đó, V = (x + y)(x2 – xy + y2) = 5.(13 – 6) = 5.7 = 35 m3.
d) Sai. Ta có V = (x + y)(x2 – xy + y2)
Hay 28 = 4.(x2 – xy + y2)
x2 – xy + y2 = 7.
Mặt khác, (x + y)2 = 16 nên x2 + 2xy + y2 = 16.
Lấy (x2 + 2xy + y2) – (x2 – xy + y2) = 16 – 7 hay
3xy = 9
xy = 3.
Từ đó tính được: (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 = (x2 – xy + y2) – xy = 7 – 3 = 4.
Vì x > y nên x – y = 2 m.Điền số thích hợp ở dấu ba chấm (…) trong biểu thức sau:
3x[(3x – 1)2 – 3x + 2] = (…x – 1)3 + 1
Hướng dẫn giải
Đáp án: 3
3x[(3x – 1)2 – 3x + 2] = [(3x – 1) + 1][(3x – 1)2 – (3x – 1) + 1] = (3x – 1)3 + 1.
Có bao nhiêu giá trị của x thỏa mãn (x + 1)(x2 – x + 1) = 0?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 1
(x + 1)(x2 – x + 1) = 0
x3 + 1 = 0
x3 = –1
x = –1.
Vậy có 1 giá trị của x thỏa mãn đề bài.
Có bao nhiêu giá trị của x thỏa mãn (3 – x)(x + 3) + x(x + 3)(x2 – 3x + 9) – 9(1 + 3x) = 0?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 3
(3 – x)(x + 3) + x(x + 3)(x2 – 3x + 9) – 9(1 + 3x) = 0
9 – x2 + x(x3 + 27) – 9 – 27x = 0
x4 – x2 = 0
x2(x2 – 1) = 0
TH1: x2 = 0 nên x = 0.
TH2: x2 – 1 = 0 nên x = ±1
Vậy x = 0, x =1, x = –1. Có 3 giá trị của x thỏa mãn đề bài.
Biết a + b = 2 và ab = 0,75. Tính a3 + b3.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 3,5
Ta có (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Hay 22 = a2 + 2.0,75 + b2
Suy ra a2 + b2 = 2,5.
Do đó a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = 2.(2,5 – 0,75) = 3,5.
Biết a + b = 7 và a3 + b3 = 721. Tính giá trị của biểu thức A = |ab|.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 18
Ta có (a + b)3 = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
Hay 343 = 721 + 3.ab.7
Suy ra A = |ab| = 18.
Bạn có thích hoạt động này không?
