Bài tập Mô tả và vận dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương lớp 8 (có lời giải)
25 câu hỏi
Khai triển nào sau đây là đúng?
a3 – b3 = (a – b)3;
a3 – b3 = (a – b)(a2 – ab + b2) ;
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2);
a3 + b3 = (a + b)(a2 – 2ab + b2).
Đáp án đúng là: C
Hằng đẳng thức đúng là: a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2).
Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống: (2x – 3y)(4x2 + … + 9y2) = 8x3 – 27y3.
–xy;
6xy;
–6xy;
12xy.
Đáp án đúng là: B
8x3 – 27y3 = (2x)3 – (3y)3
= (2x – 3y)[(2x)2 + 2x.3y + (3y2)]
= (2x – 3y)[(2x)2 + 6xy + (3y2)]
= (2x – 3y)(4x2 + 6xy + 9y2).
Trong các hằng đẳng thức sau đây, hằng đẳng thức nào là sai?
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2);
b3 – a3 = (–a – b)(a2 + ab + b2);
b3 – a3 = – (a – b)(a2 + ab + b2);
b3 – a3 = (–a + b)(a2 + ab + b2).
Đáp án đúng là: B
Hằng đẳng thức a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) đúng.
(–a – b)(a2 + ab + b2) = – (a + b) (a2 + ab + b2)
= – (a3 + a2b + ab2 + a2b + ab2 + b3)
= – (a3 + 2a2b + 2ab2 + b3)
= – a3 – 2a2b – 2ab2 – b3 ≠ b3 – a3.
– (a – b)(a2 + ab + b2) = – (a3 – b3) = b3 – a3.
(–a + b)(a2 + ab + b2) = (b – a) (b2 + ab + a2) = b3 – a3.
Biểu thức \[\left( {\frac{x}{3} - 6} \right)\left( {\frac{{{x^2}}}{9} + 2x + 36} \right)\] rút gọn thành biểu thức nào?
\[{\left( {\frac{x}{3}} \right)^3} - 36\];
\[{\left( {\frac{x}{3}} \right)^3} + 36\];
\[\frac{{{x^3}}}{{27}} - 216\];
\[\frac{{{x^3}}}{{27}} + 216\].
Đáp án đúng là: C
\[\left( {\frac{x}{3} - 6} \right)\left( {\frac{{{x^2}}}{9} + 2x + 36} \right)\]
\[ = \left( {\frac{x}{3} - 6} \right)\left[ {\left( {\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}}} \right) + \frac{x}{3}.6 + {6^2}} \right]\]
\[ = {\left( {\frac{x}{3}} \right)^3} - {6^3}\]\[ = \frac{{{x^3}}}{{27}} - 216\].
Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống: \[\frac{8}{{{x^3}}} - \frac{{{y^3}}}{{64}} = \left( {\frac{2}{x} - \frac{4}{y}} \right)\left( {\frac{4}{{{x^2}}} + ... + \frac{{{y^2}}}{{16}}} \right)\].
\[\frac{y}{{2x}}\];
\[ - \frac{y}{{2x}}\];
\[ - \frac{y}{x}\];
\[\frac{y}{x}\].
Đáp án đúng là: A
\[\frac{8}{{{x^3}}} - \frac{{{y^3}}}{{64}} = {\left( {\frac{2}{x}} \right)^3} - {\left( {\frac{y}{4}} \right)^3}\]
\[ = \left( {\frac{2}{x} - \frac{4}{y}} \right)\left[ {{{\left( {\frac{2}{x}} \right)}^2} + \frac{2}{x}.\frac{y}{4} + {{\left( {\frac{y}{4}} \right)}^2}} \right]\]
\[ = \left( {\frac{2}{x} - \frac{4}{y}} \right)\left( {\frac{4}{{{x^2}}} + \frac{y}{{2x}} + \frac{{{y^2}}}{{16}}} \right)\].
Vậy \[\frac{8}{{{x^3}}} - \frac{{{y^3}}}{{64}} = \left( {\frac{2}{x} - \frac{4}{y}} \right)\left( {\frac{4}{{{x^2}}} + \frac{y}{{2x}} + \frac{{{y^2}}}{{16}}} \right)\].
Giá trị biểu thức \[C = \left( {2x - \frac{1}{3}} \right)\left( {4{x^2} + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}} \right)\] tại \[x = \frac{1}{3}\] là
0
\[\frac{1}{3}\];
\[\frac{1}{7}\];
\[\frac{7}{{27}}\].
Đáp án đúng là: D
\[C = \left( {2x - \frac{1}{3}} \right)\left( {4{x^2} + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}} \right)\]
\[ = \left( {2x - \frac{1}{3}} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} + 2x.\frac{1}{3} + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} \right]\]
\[ = {\left( {2x} \right)^3} - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3}\]\[ = 8{x^3} - \frac{1}{{27}}\].
Thay \[x = \frac{1}{3}\] vào biểu thức C, ta được:
\[C = 8.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} - \frac{1}{{27}} = \frac{8}{{27}} - \frac{1}{{27}} = \frac{7}{{27}}\].
Vậy tại \[x = \frac{1}{3}\] thì giá trị biểu thức C bằng \[\frac{7}{{27}}\].
Rút gọn biểu thức (x – 2)(x + 2)(x2 + 2x + 4)(x2 – 2x + 4), ta được
x3 – 64;
x6 – 16;
x6 - 64;
(x3 – 8)(x3 + 8).
Đáp án đúng là: C
(x – 2)(x + 2)(x2 + 2x + 4)(x2 – 2x + 4)
= (x – 2))(x2 + 2x + 4) (x + 2)(x2 – 2x + 4)
= (x – 2))(x2 + 2x + 22) (x + 2)(x2 – 2x + 22)
= (x3 – 23)(x3 + 23) = (x3 – 8)(x3 + 8)
= (x3)2 – 82 = x6 – 64.
Biểu thức I = (a + b)(a2 – ab + b2) – (a – b)(a2 + ab + b2) sau khi rút gọn là
2a3;
2b3;
2a3 + 2b3;
0.
Đáp án đúng là: B
I = (a + b)(a2 – ab + b2) – (a – b)(a2 + ab + b2)
= (a3 + b3) – (a3 – b3)
= a3 + b3 – a3 + b3 = 2b3.
Cho x – y = 3 và xy = 4. Giá trị biểu thức B = x3 – y3 – (x – y)2 là
12;
54;
60;
72.
Đáp án đúng là: B
B = x3 – y3 – (x – y)2
= (x – y)(x2 + xy + y2) – (x – y)2
= (x – y)(x2 – 2xy + y2 + 3xy) – (x – y)2
= (x – y)[(x – y)2 + 3xy] – (x – y)2
Thay x – y = 3 và xy = 4 vào biểu thức B, ta được:
B = 3.(32 + 3.4) – 32 = 3.21 – 9
= 3.(9 + 12) – 9 = 63 – 9 = 54.
Rút gọn biểu thức (a + 3b)(a2 – 3ab + b2) – (3a – b)(9a2 + 3ab + b2), ta được
– 26a3 + 28b3;
26a3 – 28b3;
28a3 – 26b3;
28a3 – 28b3.
Đáp án đúng là: A
(a + 3b)(a2 – 3ab + b2) – (3a – b)(9a2 + 3ab + b2)
= (a + 3b)(a2 – 3ab + b2) – (3a – b)[(3a)2 + 3ab + b2]
= a3 + (3b)3 – [(3a)3 – b3] = a3 + 27b3 – (27a3 – b3)
= a3 + 27b3 – 27a3 + b3 = – 26a3 + 28b3.
Khẳng định nào sau đây là hiệu của hai lập phương?
(A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3.
(A – B)2 = A2 – 2AB + B2.
A3 – B3 = (A – B )(A2 + AB + B2).
A2 – B2 = (A + B)(A – B).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hiệu của hai lập phương: A3 – B3 = (A – B )(A2 + AB + B2).Khai triển biểu thức 27x3 – 8y3 ta được kết quả nào sau đây?
(9x2 + 12xy + 4y2)(3x – 2y).
(9x2 + 6xy + 4y2)(3x – 2y).
(4x2 – 6xy + 9y2)(3x + 2y).
(4x2 + 12xy + 9y2)(3x – 2y).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng: B
27x3 – 8y3 = (3x)3 – (2y)3 = (3x – 2y)(9x2 + 6xy + 4y2).Biểu thức A = (–x + 2)(x2 + 2x + 4) bằng biểu thức nào sau đây?
x3 – 8.
x3 – 4.
–x3 + 8.
–x3 – 8.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng: C
A = (–x + 2)(x2 + 2x + 4) = (2 – x)(22 + 2x + x2) = 23 – x3 = 8 – x3.Biểu thức A = (y – x)(x2 + xy + y2) bằng biểu thức nào sau đây?
(–x)3 + y3.
x3 – y2.
(–x)3 + y2.
x3 + y3.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng: A
A = (y – x)(x2 + xy + y2) = (y – x)(y2 + xy + x2)= y3 – x3.Rút gọn biểu thức B = (x + y)(x2 + xy + y2) – 2(x + y)3 – (x – y)(x2 + xy + y2) ta được kết quả là
B = –2x3 – 6x2y – 6xy2.
B = –2y3 – 6x2y – 6xy2.
B = –2x3 – 6x2y – 2y3.
B = –2x3 + 3x2y + 3xy2.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng: A
B = (x + y)(x2 + xy + y2) – 2(x + y)3 – (x – y)(x2 + xy + y2)
= x3 + y3 – 2(x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) – (x3 – y3)
= –2x3 – 6x2y – 6xy2.
Cho hai biểu thức: P = (2x – 1)(4x2 + 2x + 1) – 8x(x – 1)2; Q = (x – 2)(–x – 2). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
P = 16x2 – 8x – 1.
Q = –x2 – 4.
Biểu thức B = P + Q có thể viết lại thành B = 15x2 – 8x – 5.
Với x là số tự nhiên thì giá trị của B luôn chia hết cho 3.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Ta có: P = (2x – 1)(4x2 + 2x + 1) – 8x(x – 1)2
= 8x3 – 1 – 8x(x2 – 2x + 1)
= 8x3 – 1 – 8x3 + 16x2 – 8x
= 16x2 – 8x – 1.
b) Sai. Ta có: Q = (x – 2)(–x – 2) = –(x – 2)(x + 2) = –x2 + 4.
c) Sai. Ta có: B = P + Q = 16x2 – 8x – 1 + (–x2 + 4) = 15x2 – 8x + 3.
d) Sai. Xét B = 15x2 – 8x + 3 với x là số tự nhiên
Vì 8 không chia hết cho 3, 15x2 + 3 chia hết cho 3 nên B không chia hết cho 3.Cho hai biểu thức: P = (x – 3)(x2 + 3x + 9) – (x – 3)(x + 3) và Q = (x – 1)3 + 3(x – 1)2 + 3(x – 1) + 1. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
P = x3 – 18 – x2.
Q = x3 – 1.
Biểu thức C = P – Q = – 18 – x2.
Giá trị lớn nhất của biểu thức C là 18.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Vì P = x3 – 33 – (x2 – 9) = x3 – 27 – x2 + 9 = x3 – 18 – x2.
b) Sai. Ta có: Q = [(x – 1) + 1]3 = x3.
c) Đúng. Ta có: C = P – Q = x3 – 18 – x2 – x3 = – 18 – x2.
d) Sai. Vì x2 ≥ 0 nên – x2 ≤ 0 suy ra C ≤ –18.
Dấu bằng xảy ra khi x = 0.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức C là – 18.Cho hai biểu thức: M = (3x – 2y)(9x2 + 6xy + 4y2) và N = (3x – y)3 + 3y(3x – y)2 + 3y2(3x – y) + y3. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
M = 27x3 – 8y3.
N = 27x3.
D = M – N = 8y3.
Tại \[y = - \frac{1}{2}\], giá trị của biểu thức D bằng –1.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Ta có: M = (3x)3 – (2y)3 = 27x3 – 8y3.
b) Đúng. Ta có: N =[(3x – y) + y]3 = 27x3.
c) Sai.Ta có:D = M – N = 27x3 – 8y3 – 27x3 = –8y3.
d) Sai.Thay\[y = - \frac{1}{2}\] vào biểu thức D ta được: \[ - 8 \cdot {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^3} = 1\].Cho hai biểu thức: P = (2x – 3y)(4x2 + 6xy + 9y2) và Q = (2x – y)3 + 3y(2x – y) 2 + 3y2(2x – y) + y3. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
P = 8x3 – 27y3.
Q = 8x3.
H = P – Q = 27y3.
Tại \[y = \frac{1}{3}\], giá trị của biểu thức H bằng –1.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Ta có: P = (2x)3 – (3y)3 = 8x3 – 27y3.
b) Đúng. Ta có: Q = [(2x – y) + y]3 = (2x)3 = 8x3.
c) Sai. Ta có: H = P – Q = (8x3 – 27y3) – 8x3 = –27y3.
d) Đúng. Thay \[y = \frac{1}{3}\] vào biểu thức H ta được: \[ - 27 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} = - 1\].Cho hai biểu thức: A = (4x – y)(16x2 + 4xy + y2) và B = (4x – 2y) 3 + 6y(4x – 2y)2 + 12y2 (4x – 2y) + 8y3. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
A = 64x3 – y3.
B = 64x3.
K = A – B = y3.
Tại y = –2, giá trị của biểu thức K bằng – 8.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Ta có: A = (4x)3 – y3 = 64x3 – y3.
b) Đúng. Ta có: B = [(4x – 2y) + 2y]3 = (4x)3 = 64x3.
c) Sai. Ta có: K = A – B = (64x3 – y3) – 64x3 = –y3.
d) Sai. Thay y = –2 vào biểu thức K ta được: –(–2)3 = –(–8) = 8.Điền số thích hợp ở dấu ba chấm (…) trong biểu thức sau:
(3x – 1)[(3x)2 + 3x + 1] = …x3 – 1
Hướng dẫn giải
Đáp án: 27
(3x – 1)[(3x)2 + 3x + 1] = (3x)3 – 1 = 27x3 – 1.
Có bao nhiêu giá trị của x thỏa mãn (x – 1)(x2 + x + 1) = 0?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 1
(x – 1)(x2 + x + 1) = 0
x3 – 1 = 0
x3 = 1
x = 1.
Vậy có 1 giá trị của x thỏa mãn đề bài.
Biết rằng (2x – 1)(4x2 + 2x + 1) – 8x(x2 – 2) = 15. Tìm giá trị của x?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 1
2x – 1)(4x2 + 2x + 1) – 8x(x2 – 2) = 15
(8x3 – 1) – (8x3 – 16x) = 15
16x – 1 = 15
16x = 16
x = 1.
Vậy x = 1.
Biết a + b = 1 và ab = –30 với a > b. Tính a3 – b3.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 341
Ta có (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Hay 12 = a2 + 2.(–30) + b2
Suy ra a2 + b2 = 61.
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 = 61 – 2.(–30) = 121.
Vì a > b nên a – b > 0, do đó a – b = 11.
Cóa3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) = 11.[61 – 30] = 341.
Một kỹ sư thiết kế một bể chứa nước cho một tòa nhà chung cư. Ban đầu, bể được thiết kế có dạng hình lập phương với độ dài cạnh là x (mét). Tuy nhiên, để tiết kiệm không gian đặt đường ống kỹ thuật, kỹ sư đã thu hẹp chiếc bể này bằng cách cắt bớt một góc cũng có dạng hình lập phương với độ dài cạnh là y (mét). Biết x – y = 1 và x2 + y2 = 181. Hỏi sau khi bị cắt bớt một góc, thể tích chứa nước còn lại của bể là bao nhiêu mét khối?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 371
Thể tích chứa nước còn lại của bể được tính là x3 – y3.
Ta có (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 = 1
Hay 181 – 2xy = 1 suy ra xy = 90.
Suy ra x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2) = 1.(181 + 90) = 371
Vậy thể tích chứa nước còn lại của bể là 371 m3.
Bạn có thích hoạt động này không?
