Bài tập Giải phương trình lượng giác lớp 11 cực hay có lời giải (P3)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: $\frac{\pi }{4}+k\pi ,\arctan 3+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Điều kiện: \[\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}\].

Ta có: 2 tan x – 2 cot x – 3 = 0

\[ \Leftrightarrow 2\tan x - 2\frac{1}{{\tan x}} - 3 = 0\]

\[ \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x - 3\tan x - 2 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 2\\\tan x =  - \frac{1}{2}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arctan 2 + k\pi \\x = \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + k\pi \end{array} \right.\,\,(k \in \mathbb{Z})\]

+)\[x = \arctan 2 + k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\]

Khi đó \[ - \frac{\pi }{2} < \arctan 2 + k\pi  < \pi \]

\[ \Leftrightarrow \frac{{ - \frac{\pi }{2} - \arctan 2}}{\pi } < k < \frac{{\pi  - \arctan 2}}{\pi }\]

\[ \Rightarrow  - 0,85 < k < 0,65\]

\[ \Rightarrow k = 0\]

\[ \Rightarrow x = \arctan 2\].

+) \[x = arc\tan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\]

Khi đó \[ - \frac{\pi }{2} < \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + k\pi  < \pi \]

\[ \Leftrightarrow \frac{{ - \frac{\pi }{2} - \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right)}}{\pi } < k < \frac{{\pi  - \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right)}}{\pi }\]

\[ \Rightarrow  - 0,35 < k < 1,15\]

\[ \Rightarrow k \in \left\{ {0;\,\,1} \right\}\]

\[ \Rightarrow x \in \left\{ {\arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right);\,\,\arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + \pi } \right\}\]

Kết hợp với điều kiện ta suy ra phương trình có 3 nghiệm là \[x = \arctan 2\]; \[\arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right)\] và\[\,\arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + \pi \].

Đáp án D.

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \ne 0\\cosx \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\)

Ta có: tanx + cotx = - 2

\[ \Leftrightarrow \tan x + \frac{1}{{\tan x}} + 2 = 0\]

⇔ tan²x + 2tanx + 1 =0

⇔ tanx = -1

\( \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)

(vì cosx=0  không là nghiệm của phương trình nên ta chia cả hai vế cho cos²x )

Phương trình vô nghiệm

=cos2x+3

=cos2x+3 (*)

Ta có: 3( sin x – cosx) – 4 ( sin³x  - cos³x)

         =  3(sinx – cosx) – 4(sinx – cosx ).(sin²x + sinx. cosx+ cos² x)

         = 3( sin x – cosx) – 4(sinx – cosx).(1+ sinx. cosx)

         = (sin x – cosx) . ( 3- 4 – 4sinx. cosx)

        = ( sinx – cosx). (- 1- 4sinx. cosx)  = - ( sinx – cosx)( 1+ 2sin2x)

Khi đó (*) trở thành

Ta xét (1) có nghiệm, tức là (2) có nghiệm $t_0\in \left[-1; 1\right]$

Đặt t = sin²2x, $0<t\le 1$ ( do điều kiện ). Phương trình trở thành:

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có: cos2x + sin²x + 2cosx + 1 = 0

có 2cos² x – 1 + 1- cos²x + 2cos x+ 1 = 0

Vậy nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Ta có: sin3x + cos2x = 1 + 2sinx . cos2x

\[ \Leftrightarrow \] sin3x + cos2x = 1 + sin3x – sinx

\[ \Leftrightarrow \] 1 – 2sin²x = 1 – sinx

\[ \Leftrightarrow \] 2sin²x – sinx = 0

\[ \Leftrightarrow \] sinx (2 sinx – 1) = 0

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\2\sin x = 1\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\sin x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\]

Đáp án C.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có: cos5x + cos2x + 2sin3x. sin2x =0

<=> cos 5x + cos2x  - cos5x + cosx  = 0

<=> cos2x   + cosx  = 0 <=> 2cos²x – 1 + cosx =0

Điều kiện: \[\cos 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}\].

\[\frac{{\cos 4x}}{{\cos 2x}} = \tan 2x\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\cos 4x}}{{\cos 2x}} = \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}}\]

\[ \Leftrightarrow \cos 4x = \sin 2x\]

\[ \Leftrightarrow 1 - 2{\sin ^2}2x = \sin 2x\]

\[ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}2x + \sin 2x - 1 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = \frac{1}{2}\\\sin 2x =  - 1\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = \sin \frac{\pi }{6}\\\cos 2x = 0\,\,(L)\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\,\,(k \in \mathbb{Z})\]

Theo đề bài \[x \in \left( {0;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\]  và kết hợp với điều kiện, ta suy ra phương trình có 2 nghiệm là \[x = \frac{\pi }{{12}}\] và \[x = \frac{{5\pi }}{{12}}\].

Đáp án A.

=sin2x-1

Vậy các nghiệm thuộc khoảng $\left(-\pi ; \pi \right)$của phương trình là