Bài tập Đường tiệm cận của đồ thị hàm số lớp 12 (có lời giải)

Tập xác định: \(D = R\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{x - 1}}{{x + 2}} =  - \infty \).

Vậy phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\) là \(x =  - 2\).

Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{9 - 6x}}{{3x + 12}} =  - 2 \Rightarrow y =  - 2\] là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 4} \right)}^ + }} \frac{{9 - 6x}}{{3x + 12}} =  + \infty  \Rightarrow x =  - 4\]là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đường thẳng \(x = 5\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Trả lời: đường thẳng \(x = 5\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 

Ta có: . Tương tự

Vậy đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = x\).

Vậy đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = x - 2\).

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R} \setminus \left\{ 2 \right\}\).

Ta có:

Vậy đường thẳng \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Vậy đường thẳng \(x = 2\) là tiệm cận đứng của đổ thị hàm số đã cho.

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{ 2 \right\}\).

b) Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{ 1 \right\}\).

Vậy đường thẳng \(x = 1\) và đường thẳng \(y = 2x - 1\) lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}\)

c) Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}\).

Ta có:

Ta có.

·\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = 2 \Rightarrow y = 2\) là tiệm cận ngang.

·\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - 2 \Rightarrow y =  - 2\) là tiệm cận ngang.

·\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y =  - \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y =  + \infty  \Rightarrow x = 2\) lả tiệm cận đứng.

Điều kiện: \[0 \le x \le 4\]. Do đó đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Đồ thị hàm số cũng không có tiệm cận đứng.

Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số là 0.

\({x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1(tm)\\x = 2(tm)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow x = 1,x = 2\)là TCĐ

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x - 1}}{{{x^2} - 3x + 2}} = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x - 1}}{{{x^2} - 3x + 2}} = 0\)

\( \Rightarrow y = 0\)là TCN

Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}\) có ba đường tiệm cận.

nên đồ thị hàm số tiệm cận đứng x = -1

Tập xác định \(D = \left( { - \infty \,;\, - 2} \right) \cup \left( { - 2;\,1} \right)\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {1 - x} }}{{{x^2} - 4}} = 0\). Suy ra \(y = 0\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{\sqrt {1 - x} }}{{{x^2} - 4}} =  + \infty \). Suy ra \(x =  - 2\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {1 - x} }}{{{x^2} - 4}}\) có hai đường tiệm cận.

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - 2\)

Suy ra đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \(y =  - 2\).

Tập xác định \({\rm{D}} = \mathbb{R}\).

Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Vì\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{x}} \to  \pm \infty } {\rm{y}} = 0 \Rightarrow \) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng \({\rm{y}} = 0.\)

Vậy đồ thị hàm số có một đường tiệm cận.

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}} = 1\]

\( \Rightarrow \)Đường \[y = \,1\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}} =  - 1\]

\( \Rightarrow \) Đường \[y\, =  - 1\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  - \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }}  =  + \infty  \Rightarrow \) TCĐ: \(x = 1.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - 1;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = 1 \Rightarrow \)đồ thị có 2 tiệm cận ngang là \(y =  \pm 1\)

Vậy, đồ thị hàm số đã cho có tổng số TCĐ và TCN là 3.

Ta có

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = 3\)nên \(y = 3\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = 5\)nên \(y = 5\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y =  - \infty }\\{\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  + \infty }\end{array}} \right.\)nên \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có \(3\) tiệm cận đứng và ngang.

Gọi \(\left( C \right)\) là đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - 9} }}\).

Tập xác định: \(D = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).

+)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{1 - \frac{3}{x}}}{{ - \sqrt {1 - \frac{9}{{{x^2}}}} }}\) \( =  - 1\) nên \(y =  - 1\) là một đường tiệm cận ngang của \(\left( C \right)\).

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{1 - \frac{3}{x}}}{{\sqrt {1 - \frac{9}{{{x^2}}}} }}\) \( = 1\) nên \(y = 1\) cũng là một đường tiệm cận ngang của \(\left( C \right)\).

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\sqrt {x - 3} }}{{\sqrt {x + 3} }} = 0\) nên \(x = 3\) không phải là đường tiệm cận đứng của \(\left( C \right)\).

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \frac{{x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - 9} }}\) \( =  - \infty \) nên \(x =  - 3\) là đường tiệm cận đứng của \(\left( C \right)\).

Suy ra đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận .

Đồ thị hàm số \[y = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}\] có các đường tiệm cận là \[x = 3,y = 2\].

Do vậy hai đường tiệm cận tạo với hai trục tọa độ hình chữ nhật diện tích bằng \[6\].

Tập xác định: \(D = \left[ { - 1\,;\, + \infty } \right)\backslash \left\{ {0\,} \right\}\).

·\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{5x + 1 - \sqrt[{}]{{x + 1}}}}{{{x^2} + 2x}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\frac{5}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} - \sqrt[{}]{{\frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^4}}}}}}}{{1 + \frac{2}{x}}}\)\( = 0\)\( \Rightarrow y = 0\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

·\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} y\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{5x + 1 - \sqrt[{}]{{x + 1}}}}{{{x^2} + 2x}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {5x + 1} \right)}^2} - x - 1}}{{\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {5x + 1 + \sqrt[{}]{{x + 1}}} \right)}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{25{x^2} + 9x}}{{\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {5x + 1 + \sqrt[{}]{{x + 1}}} \right)}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{25x + 9}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {5x + 1 + \sqrt[{}]{{x + 1}}} \right)}}\]\[ = \frac{{ - 9}}{4}\]

\( \Rightarrow x = 0\)không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có tất cả \(1\) đường tiệm cận.

Tập xác định: D = [-2; 2]\{-1}

Dựa vào tập xác định của hàm số ta suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang hay \(n = 0.\)

Ta có

Do đó, đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Như vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng hay m = 1

Vậy m + n =1

Tập xác định: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\].

Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y =  - \infty \]\[ \Rightarrow \] \[{\Delta _1}:x =  - 1\] là tiệm cận đứng của \[\left( C \right)\].

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = 2\]\[ \Rightarrow \]\[{\Delta _2}:y = 2\]là tiệm cận ngang của \[\left( C \right)\].

Ta có \[y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2 - \frac{3}{{x + 1}}\], gọi \[M\left( {a;2 - \frac{3}{{a + 1}}} \right) \in \left( C \right)\], \[\left( {a \ne  - 1} \right)\].

\[d\left( {M,{\Delta _1}} \right) = \left| {a + 1} \right|\].

\[d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \left| {\frac{{ - 3}}{{a + 1}}} \right| = \frac{3}{{\left| {a + 1} \right|}}\].

\[S = d\left( {M,{\Delta _1}} \right) + d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \left| {a + 1} \right| + \frac{3}{{\left| {a + 1} \right|}} \ge 2.\sqrt {\left| {a + 1} \right|.\frac{3}{{\left| {a + 1} \right|}}}  = 2\sqrt 3 ,\forall a \ne  - 1\].

Suy ra \[\min S = 2\sqrt 3 \], đạt được khi \[\left| {a + 1} \right| = \frac{3}{{\left| {a + 1} \right|}} \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} = 3\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 1 - \sqrt 3 \\a =  - 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\].

Do đó \[{M_1}\left( { - 1 - \sqrt 3 ;2 + \sqrt 3 } \right)\], \[{M_2}\left( { - 1 + \sqrt 3 ;2 - \sqrt 3 } \right)\] là hai điểm trên \[\left( C \right)\] có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất.

Vậy \[P = {x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2} = \left( { - 1 - \sqrt 3 } \right)\left( { - 1 + \sqrt 3 } \right) + \left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right) =  - 1\].

Gọi \(M\left( {x;\frac{{2x + 1}}{{x - 1}}} \right) \in \left( C \right)\). Theo đề bài ta có: \(d\left( {M,TCD} \right) = d\left( {M,Ox} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left| {x - 1} \right| = \left| {\frac{{2x + 1}}{{x - 1}}} \right|\)điều kiện \(\left( {x \ne 1} \right)\) \( \Leftrightarrow \left| {{{\left( {x - 1} \right)}^2}} \right| = \left| {2x + 1} \right|\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.\)

Có hai điểm \[{M_1}\left( {0; - 1} \right)\] và \[{M_2}\left( {4;3} \right)\]. Vậy \[{y_1} + {y_2} =  - 1 + 3 = 2\]