Đề kiểm tra Đường tiệm cận của đồ thị hàm số lớp 12 (có lời giải) - Đề 1

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = 2\) \( \Rightarrow \) đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang của \(y = f\left( x \right)\).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = 1\)

Suy ra \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Từ đồ thị hàm số ta thấy: hàm số đã cho có một tiệm cận ngang \(y =  - 1\)

Do\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - 1;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 1 \Rightarrow \)đồ thị có 2 tiệm cận ngang là \(y = \pm 1\)

Ta thấy: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} f\left( x \right) =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} f\left( x \right) =  - \infty \).

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là \(x =  - 2\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{x - 1}}{{x - 3}} =  - \infty \). Suy ta tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 3\).

Chọn A

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{{x^2} + 3x - 1}}{{x + 1}} =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \frac{{{x^2} + 3x - 1}}{{x + 1}} =  + \infty \).

Vậy tiệm cận đứng là: \(x =  - 1\).

Chọn B

Từ đồ thị hàm số \(y = f(x)\) ta thấy Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) =  + \infty \).

Vậy tiệm cận đứng là: \(x = 1\).

Chọn C

Theo định nghĩa của tiệm cận xiên.

Chọn D

  Ta có: \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}} = x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}\)

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{1}{{x + 1}} = 0\)

Vậy tiệm cận xiên là: \(y = x + 1\).

Chọn D

Từ đồ thị hàm số \(y = f(x)\)ta thấy tiệm cận xiên là: \(y = x + 1\).

Chọn C

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x + 2} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {1 + \frac{2}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} }}{1} = 1\)

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2}  - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 2}  + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2 + \frac{2}{x}}}{{\sqrt {1 + \frac{2}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}}  + 1}} = 1\]

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x + 2} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - \sqrt {1 + \frac{2}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} }}{1} =  - 1\)

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2}  + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 2}  - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2 + \frac{2}{x}}}{{ - \sqrt {1 + \frac{2}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}}  - 1}} =  - 1\]

Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận xiên là: \(y = x + 1\) và \(y =  - x - 1\)

a) Đúng

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^ + }} \frac{{x - 1}}{{2x - 3}} =  + \infty \) nên tiệm cận đứng của hàm số là \(x = \frac{3}{2}\).

b) Đúng.

Hàm số có 1 tiệm cận đứng là \(x = \frac{3}{2}\) và 1 tiệm cận ngang là \(y = \frac{1}{2}\), nên tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận là \(I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\). Rõ ràng I thuộc đường thẳng \(x - y - 1 = 0\).

c) Sai.

Tọa độ điểm A: \(x = \frac{3}{2} \Rightarrow y =  - 2\) suy ra \(A\left( {\frac{3}{2}; - 2} \right)\)

Tọa độ điểm B: \(y = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{4}\) suy ra \(B\left( {\frac{1}{4};\frac{1}{2}} \right)\)

\[\overrightarrow {IA} \left( {0; - \frac{5}{2}} \right) \Rightarrow IA = \frac{5}{2}\]; \[\overrightarrow {IB} \left( {\frac{{ - 5}}{4};0} \right) \Rightarrow IB = \frac{5}{4}\]; \[{S_{\Delta IAB}} = \frac{1}{2}IA.IB = \frac{1}{2}.\frac{5}{4}.\frac{5}{2} = \frac{{25}}{{16}}\]

d) Đúng.

Tọa độ giao điểm \(I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\).

Gọi tọa độ tiếp điểm là \(\left( {{x_0};\frac{{{x_0} - 1}}{{2{x_0} - 3}}} \right)\). Khi đó phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) với đồ thị hàm số tại điểm \(\left( {{x_0};\frac{{{x_0} - 1}}{{2{x_0} - 3}}} \right)\) là:

\(y =  - \frac{1}{{{{\left( {2{x_0} - 3} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{{x_0} - 1}}{{2{x_0} - 3}} \Leftrightarrow x + {\left( {2{x_0} - 3} \right)^2}y - 2x_0^2 + 4{x_0} - 3 = 0\).

Khi đó: \(d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {\frac{3}{2} + \frac{1}{2}{{\left( {2{x_0} - 3} \right)}^2} - 2x_0^2 + 4{x_0} - 3} \right|}}{{\sqrt {1 + {{\left( {2{x_0} - 3} \right)}^4}} }} = \frac{{\left| { - 2{x_0} + 3} \right|}}{{\sqrt {1 + {{\left( {2{x_0} - 3} \right)}^4}} }} \le \frac{{\left| {2{x_0} - 3} \right|}}{{\sqrt {2{{\left( {2{x_0} - 3} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

(Theo bất đẳng thức Cô si)

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {2{x_0} - 3} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{x_0} - 3 = 1\\2{x_0} - 3 =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = 1\end{array} \right.\).

Vậy \(\max d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

a) Đúng

Khi \(m = 0\) hàm số có dạng \(y = \frac{{ - {x^2} + 4x + 3}}{{x - 2}}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( 2 \right)}^ + }} \frac{{ - {x^2} + 4x + 3}}{{x - 2}} =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( 2 \right)}^ - }} \frac{{ - {x^2} + 4x + 3}}{{x - 2}} =  - \infty \) nên tiệm cận đứng của hàm số là \(x = 2\).

b) Sai.

Khi \(m = 0\) hàm số có dạng \(y = \frac{{ - {x^2} + 4x + 3}}{{x - 2}}\)

Tọa độ giao điểm của tiệm cận đứng và đường thẳng \(x - y - 1 = 0\) là nghiệm hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x - y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\) không thỏa mãn phương trình parabol \(y = {x^2}\).

c) Sai.

Ta thấy \(x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\) và \( - {2^2} + 4.2 + 3 \ne 0\) nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng \(x = 2\,\).

Lấy \(M\left( {0; - \frac{3}{2}} \right) \in \left( C \right)\). Ta có \({d_1}.{d_2} = \frac{{\left| { - 2} \right|}}{1}.\frac{{\left| { - \frac{3}{2} - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{7\sqrt 2 }}{2}\).

d) Sai.

Hàm số không có tiệm cận đứng khi \(x = 2\) là nghiệm của phương trình \( - {x^2} + 4x + 3 + m = 0\)

Hay \( - 4 + 8 + 3 + m = 0 \Leftrightarrow m =  - 7\). Vậy \(S = \emptyset \).

a) Đúng

Khi \(m \ne 0\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x - 1}}{{m{x^2} - 2x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}}}{{m - \frac{2}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}} = 0\) nên hàm số có tiệm cận ngang \(y = 0\).

b) Đúng.

Khi \(m = 0\) hàm số có dạng \(y = \frac{{x - 1}}{{ - 2x + 3}}\)

Hàm số có 1 tiệm cận đứng là \(x = \frac{3}{2}\) và 1 tiệm cận ngang là \(y =  - \frac{1}{2}\), nên tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận là \(I\left( {\frac{3}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\). Rõ ràng I thuộc đường thẳng \(x - y - 2 = 0\).

c) Sai.

Khi \(m = 2\) thì hàm số thành \(y = \frac{{x - 1}}{{2{x^2} - 2x + 3}}\) không có tiệm cận đứng vì \(2{x^2} - 2x + 3 = 0\) vô nghiệm

d) Sai.

Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận Û \(m{x^2} - 2x + 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác 1.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\\m{.1^2} - 2.1 + 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m < \frac{1}{3}\\m \ne  - 1\end{array} \right.\).

Vì \(m \in \left[ { - 5; - 1} \right]\) nên \(S = \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2} \right\}\)

a) Đúng

Khi \(m = 0\) hàm số trở thành \(y = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 2x}}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}}}{{1 - \frac{2}{x}}} = 1\) nên hàm số có tiệm cận ngang \(y = 1\).

b) Đúng.

Khi \(m = 0\) hàm số trở thành \(y = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 2x}}\)

Hàm số có 2 tiệm cận đứng là \(x = 0\); \(x = 2\)và 1 tiệm cận ngang là \(y = 1\), nên hàm số có 3 tiệm cận.

c) Đúng.

Hàm số có 1 TCĐ khi \(x = 1;x =  - 2\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 2x + m = 0\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - 2 + m = 0\\4 + 4 + m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 8\end{array} \right.\)

d) Sai.

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 2x + m}}\) có hai tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x + m\) có hai nghiệm phân biệt khác \(1\) và \( - 2\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\f\left( 1 \right) \ne 0\\f\left( { - 2} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - m > 0\\m \ne 1\\m \ne  - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 1\\m \ne  - 8\end{array} \right.\).

Vì \(m \in \left[ { - 8;8} \right]\) nên \(S = \left\{ { - 7; - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0} \right\}\)

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 2x}  - x} \right) = 1\) và \(f\left( 1 \right) = 3\), suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x}  - x} \right) = 3\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 2x}  - x} \right) =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = 2\), suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x}  - x} \right) = 2\).

Vậy đồ thị hàm số \(g\left( x \right)\) có \(2\) đường tiệm cận ngang \(y = 2\) và \(y = 3\). Suy ra \(a = 2,\,b = 3\).

Suy ra \(S = a - 100b =  - 298\).

Đáp án: \( - 298\)

Chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm là \(f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x} = \frac{{150x + 900}}{x}\).

Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 900}}{{{x^2}}} < 0\,\forall x > 0\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{150x + 900}}{x} = 150\).

Vậy khi sản xuất càng nhiều sản phẩm thì chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm càng giảm, nhưng không dưới \(150\) nghìn đồng.

Đáp án: \(150\)

Điều kiện \(x \ge 0\). Từ đồ thị, ta có \(a > 0\).

Ta có \(f\left( x \right) - 4 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 4\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 1}\\{x = \alpha \,\,\left( {\alpha  > 1} \right)}\end{array}} \right.\) trong đó \(x =  - 1\) là ngiệm kép.

Suy ra \(f\left( x \right) - 4 = a{\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x - \alpha } \right)\).

Do đó \(f\left( {{x^2} - 1} \right) - 4 = a{x^4}\left( {{x^2} - 1 - \alpha } \right)\)

\( \Rightarrow g\left( x \right) = \frac{{\sqrt x }}{{f\left( {{x^2} - 1} \right) - 4}} = \frac{{\sqrt x }}{{a{x^4}\left( {{x^2} - 1 - \alpha } \right)}}\)\( = \frac{1}{{a{x^3}\sqrt x \left( {x - \sqrt {1 + \alpha } } \right)\left( {x + \sqrt {1 + \alpha } } \right)}}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{a{x^3}\sqrt x \left( {x - \sqrt {1 + \alpha } } \right)\left( {x + \sqrt {1 + \alpha } } \right)}} =  - \infty \) nên \(x = 0\) là một đường tiệm cận đứng của đồ thị \(y = g\left( x \right)\).

Đường thẳng \(x = \sqrt {1 + \alpha } \) cũng là một đường tiệm cận đứng của đồ thị \(y = g\left( x \right)\).

Vậy đồ thị hàm số \(g\left( x \right)\) có \(2\) đường tiệm cận đứng.

Đáp án: \(2\)

Do tấm tôn có diện tích bằng \(10{m^2}\) nên \(xy = 10 \Leftrightarrow y = \frac{{10}}{x}\)

Thùng có chiều cao là \(1\,m\) và các kích thước còn lại của thùng là: \(x - 2\) và \(y - 2\)

Thể tích của thùng là \(V\left( x \right) = 1.\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {\frac{{10}}{x} - 2} \right) = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {10 - 2x} \right)}}{x}\)

Suy ra: \(y = \frac{1}{{V\left( x \right)}} = \frac{x}{{\left( {x - 2} \right)\left( {10 - 2x} \right)}}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{1}{{V\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{x}{{\left( {x - 2} \right)\left( {10 - 2x} \right)}} =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{1}{{V\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{x}{{\left( {x - 2} \right)\left( {10 - 2x} \right)}} =  - \infty \)

\( \Rightarrow \) đường thẳng \(x = 2\)là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{V\left( x \right)}}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} \frac{1}{{V\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{x}{{\left( {x - 2} \right)\left( {10 - 2x} \right)}} =  - \infty \) và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} \frac{1}{{V\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{x}{{\left( {x - 2} \right)\left( {10 - 2x} \right)}} =  + \infty \]

\( \Rightarrow \) đường thẳng \(x = 5\)là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{V\left( x \right)}}\)

Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{V\left( x \right)}}\) có 2 đường tiệm cận đứng.

Hàm số xác định và liên tục trên \(D = \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\). Ta có:

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x - \sqrt {{x^2} - x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {2 - \sqrt {1 - \frac{1}{x}} } \right) = 1\)

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {f\left( x \right) - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {x - \sqrt {{x^2} - x} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{x}{{x + \sqrt {{x^2} - x} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{1 + \sqrt {1 - \frac{1}{x}} }} = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow y = x + \frac{1}{2}\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi \(x \to  + \infty \)

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2x - \sqrt {{x^2} - x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {2 + \sqrt {1 - \frac{1}{x}} } \right) = 3\)

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {f\left( x \right) - 3x} \right) =  - \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} - x} } \right) =  - \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{x}{{x - \sqrt {{x^2} - x} }} =  - \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{{1 + \sqrt {1 - \frac{1}{x}} }} =  - \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow y = 3x - \frac{1}{2}\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi \(x \to  - \infty \)

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận xiên.

Do thể tích của bể là \(1{m^3}\) nên \(1.xy = 5 \Leftrightarrow xy = 5\)

Diện tích toàn phần của bể là \(S\left( x \right) = xy + 2.1.x + 2.1.y = 5 + 2x + \frac{{10}}{x},\,\,\,\,\left( {x > 0} \right)\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {S\left( x \right) - \left( {5 + 2x} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{10}}{x} = 0\)

Suy ra đồ thị hàm số \(S\left( x \right)\)có đường tiệm cận xiên là \(y = 2x + 5\)\( \Rightarrow a = 2;\,b = 5\)

\(P = {a^2} + {b^2} = {2^2} + {5^2} = 29\)