Bài tập Cuối chuyên đề 1 có đáp án
12 câu hỏi
Giải các hệ phương trình sau:
a) x+y+z=6x+2y+3z=143x−2y−z=−4;
b) 2x−2y+z=63x+2y+5z=77x+3y−6z=1;
c) 2x+y−6z=13x+2y−5z=57x+4y−17z=7;
d) 5x+2y−7z=62x+3y+2z=79x+8y−3z=1.
a) x+y+z=6x+2y+3z=143x−2y−z=−4⇔x+y+z=6−y−2z=−85y+4z=22⇔x+y+z=6−y−2z=−8−6z=−18⇔x+y+z=6−y−2.3=−8z=3
⇔x+2+3=6y=2z=3⇔x=1y=2z=3.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; y; z) = (1; 2; 3).
b) 2x−2y+z=63x+2y+5z=77x+3y−6z=1⇔2x−2y+z=6−10y−7z=47x+3y−6z=1⇔2x−2y+z=6−10y−7z=4−20y+19z=40⇔2x−2y+z=6−8y−7z=4−33z=−32
⇔2x−2y+z=6−8y−7.3233=4z=3233⇔2x−2−178165+3233=6y=−178165z=3233⇔x=7955y=−178165z=3233.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; y; z) = 7955;−178165;3233.
c) 2x+y−6z=13x+2y−5z=57x+4y−17z=7⇔2x+y−6z=1−y−8z=−77x+4y−17z=7⇔2x+y−6z=1−y−8z=−7−y−8z=−7⇔2x+y−6z=1−y−8z=−7.
Rút y theo z từ phương trình thứ hai ta được y = 7 – 8z. Rút x theo y và z từ phương trình thứ nhất ta được x = 1−y+6z2=1−7−8z+6z2=7z−3. Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là S = {(7z – 3; 7 – 8z; z) | z ∈ℝ}.
d) 5x+2y−7z=62x+3y+2z=79x+8y−3z=1⇔5x+2y−7z=6−11y−24z=−23−22y−48z=49⇔5x+2y−7z=6−22y−48z=−46−22y−48z=49.
Từ hai phương trình cuối, suy ra –46 = 49, điều này vô lí.
Vậy hệ ban đầu vô nghiệm.
Tìm các số thực A, B và C thoả mãn 1x3+1=Ax+1+Bx+Cx2−x+1.
1x3+1=Ax+1+Bx+Cx2−x+1⇔1x3+1=Ax2−x+1+Bx+Cx+1x+1x2−x+1
⇔1x3+1=Ax2−Ax+A+Bx2+Bx+Cx+Cx3+1
⇔1x3+1=A+Bx2+−A+B+Cx+A+Cx3+1
⇔A+B=0−A+B+C=0A+C=1⇔A=13B=−13C=23.
Vậy A=13, B=−13, C=23.
Tìm parabol y = ax2 + bx + c trong mỗi trường hợp sau:
a) Parabol đi qua ba điểm A(2; –1), B(4; 3) và C(–1; 8);
b) Parabol nhận đường thẳng x = 52 làm trục đối xứng và đi qua hai điểm M(1; 0), N(5; –4).
a) Parabol đi qua ba điểm A(2; –1), B(4; 3) và C(–1; 8) nên ta có hệ phương trình:
−1=a.22+b.2+c3=a.42+b.4+c8=a.−12+b.−1+c⇔4a+2b+c=−116a+4b+c=3a−b+c=−1.
Giải hệ này ta được a = 25, b = −25, c = −95.
Vậy phương trình của parabol là y=25x2−25x−95.
b) Parabol nhận đường thẳng x = 52 làm trục đối xứng, suy ra −b2a=52⇒ 5a + b = 0.
Parabol đi qua hai điểm M(1; 0), N(5; –4), suy ra
0=a.12+b.1+c và −4=a.52+b.5+c
hay a + b + c = 0 và 25a + 5b + c = –4.
Vậy ta có hệ phương trình: 5a+b=0a+b+c=025a+5b+c=−4.
Giải hệ này ta được a = –1, b = 5, c = –4.
Vậy phương trình của parabol là y = –x2 + 5x – 4.
Trong mặt phẳng toạ độ, viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(0; 1), B(2; 3) và C(4; 1).
Giả sử đường tròn cần viết có phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (a2 + b2 – c > 0).
Vì đường tròn đi qua ba điểm A(0; 1), B(2; 3) và C(4; 1) nên ta có hệ:
02+12−2a.0−2b.1+c=022+32−2a.2−2b.3+c=042+12−2a.4−2b.1+c=0⇔2b−c=14a+6b−c=138a+2b−c=17.
Giải hệ này ta được a = 2, b = 1, c = 1 (thoả mãn điều kiện).
Vậy đường tròn cần viết có phương trình x2 + y2 – 4x – 2y + 1 = 0.
Một đoàn xe chở 255 tấn gạo tiếp tế cho đồng bào vùng bị lũ lụt. Đoàn xe có 36 chiếc gồm ba loại: xe chở 5 tấn, xe chở 7 tấn và xe chở 10 tấn. Biết rằng tổng số hai loại xe chở 5 tấn và chở 7 tấn nhiều gấp ba lần số xe chở 10 tấn. Hỏi mỗi loại xe có bao nhiêu chiếc?
Gọi số xe loại chở 5 tấn, chở 7 tấn và chở 10 tấn lần lượt là x, y, z.
Theo đề bài, ta có:
– Có tổng cộng 255 tấn gạo, suy ra 5x + 7y + 10z = 255 (1).
– Đoàn xe có 36 chiếc, suy ra x + y + z = 36 (2).
– Tổng số hai loại xe chở 5 tấn và chở 7 tấn nhiều gấp ba lần số xe chở 10 tấn, suy ra (x + y) = 3z hay x + y – 3z = 0 (2).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: 5x+7y+10z=255x+y+z=36x+y−3z=0.
Giải hệ này ta được x = 12, y = 15, z = 9.
Vậy số xe loại chở 5 tấn, chở 7 tấn và chở 10 tấn lần lượt là 12 xe, 15 xe và 9 xe.
Bác An là chủ cửa hàng kinh doanh cà phê cho những người sành cà phê. Bác có ba loại cà phê nổi tiếng của Việt Nam: Arabica, Robusta và Moka với giá bán lần lượt là 320 nghìn đồng/kg, 280 nghìn đồng/kg và 260 nghìn đồng/kg. Bác muốn trộn ba loại cà phê này để được một hỗn hợp cà phê, sau đó đóng thành các gói 1 kg, bán với giá 300 nghìn đồng/kg và lượng cà phê Moka gấp đôi lượng cà phê Robusta trong mỗi gói. Hỏi bác cần trộn ba loại cà phê này theo tỉ lệ nào?
Gọi khối lượng cà phê mỗi loại Arabica, Robusta và Moka có trong 1 kg cà phê trộn lần lượt là x, y, z (kg).
Như vậy x + y + z = 1 (1).
Theo đề bài, ta có:
– Giá của cà phê trộn là 300 nghìn đồng/kg, suy ra 320x + 280y + 260z = 300 hay 16x + 14y + 13z = 15 (2).
– Lượng cà phê Moka gấp đôi lượng cà phê Robusta trong mỗi gói, suy ra z = 2y hay 2y – z = 0 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: x+y+z=116x+14y+13z=152y−z=0.
Giải hệ này ta được x = 58, y = 18, z = 14⇒ x : y : z = 5 : 1 : 2.
Vậy tỉ lệ của ba loại cà phê là Arabica : Robusta : Moka = 5 : 1 : 2.
Bác Việt có 12 ha đất canh tác để trồng ba loại cây: ngô, khoai tây và đậu tương. Chi phí trồng 1 ha ngô là 4 triệu đồng, 1 ha khoai tây là 3 triệu đồng và 1 ha đậu tương là 4,5 triệu đồng. Do nhu cầu thị trường, bác đã trồng khoai tây trên phần diện tích gấp đôi diện tích trồng ngô. Tổng chi phí trồng ba loại cây trên là 45,25 triệu đồng. Hỏi diện tích trồng mỗi loại cây là bao nhiêu?
Gọi diện tích trồng ngô, khoai tây, đậu tương lần lượt là x, y, z (ha).
Theo đề bài, ta có:
– Có tổng cộng 12 ha đất canh tác, suy ra x + y + z =12 (1).
– Diện tích trồng khoai tây gấp đôi diện tích trồng ngô, suy ra y = 2x hay 2x – y = 0 (2).
– Tổng chi phí trồng ba loại cây trên là 45,25 triệu đồng, suy ra 4x + 3y + 4,5z = 45,25 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: x+y+z=122x−y=04x+3y+4,5z=45,25.
Giải hệ này ta được x = 2,5; y = 5; z = 4,5.
Vậy diện tích trồng ngô, khoai tây, đậu tương lần lượt là 2,5 ha; 5 ha và 4,5 ha.
Cân bằng phương trình phản ứng hoá học sau
FeS2 + O2 → Fe2O3 + SO2.
Giả sử x, y, z, t là bốn số nguyên dương thoả mãn cân bằng phản ứng:
xFeS2 + yO2 → zFe2O3 + tSO2.
Vì số nguyên tử Fe, S, O ở hai vế bằng nhau nên ta có hệ:
x=2z2x=t2y=3z+2t⇔xt=2zt2xt=12yt=3zt+2.
Đặt X = xt, Y = yt, Z = zt ta được hệ phương trình bậc nhất ba ẩn:
X=2Z2X=12Y=3Z+2 hay X−2Z=02X−1=02Y−3Z−2=0.
Giải hệ này ta được X = 12, Y = 118, Z = 14. Từ đây suy ra x = 12t, y = 118t, z = 14t.
Chọn t = 8 ta được x = 4, y = 11, z = 2. Từ đó ta được phương trình cân bằng:
4FeS2 + 11O2 → 2Fe2O3 + 8SO2.
Bạn Mai có ba lọ dung dịch chứa một loại acid. Dung dịch A chứa 10%, dung dịch B chứa 30% và dung dịch C chứa 50% acid. Bạn Mai lấy từ mỗi lọ một lượng dung dịch và hoà với nhau để có 50 g hỗn hợp chứa 32% acid này, và lượng dung dịch loại C lấy nhiều gấp đôi dung dịch loại A. Tính lượng dung dịch mỗi loại bạn Mai đã lấy.
Gọi khối lượng dung dịch A, B, C cần lấy lần lượt là x, y, z (g).
Theo đề bài ta có: x + y + z = 50 (1).
– Vì dung dịch mới có nồng độ 32% nên ta có: 10%x+30%y+50%z50=32%
⇒10x+30y+50z=1600⇒x+3y+5z=160 2.
– Lượng dung dịch loại C lấy nhiều gấp đôi dung dịch loại A nên z = 2x hay 2x – z = 0 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: x+y+z=50x+3y+5z=1602x−z=0.
Giải hệ này ta được x = 5, y = 35, z = 10.
Vậy khối lượng dung dịch A, B, C cần lấy lần lượt là 5 g, 35 g, 10 g.
Cho đoạn mạch như Hình 1.3. Biết R1 = 36 Ω, R2 = 45 Ω, I3 = 1,5 A là cường độ dòng điện trong mạch chinh và hiệu điện thế giữa hai đầu đoạn mạch U = 60 V. Gọi I1 và I2 là cường độ dòng điện mạch rẽ. Tính I1, I2 và R3.
Từ sơ đồ mạch điện, ta có hệ phương trình:
I1+I2=I3R1I1+R3I3=UR1I1−R2I2=0 hay I1+I2=1,536I1+1,5R3=6036I1−45I2=0.
Giải hệ này ta được I1=56 A, I2=23 Avà R3 = 20 V.
Giải bài toán dân gian sau:
Em đi chợ phiên
Anh gửi một tiền
Cam, thanh yên, quýt
Không nhiều thì ít
Mua đủ một trăm
Cam ba đồng một
Quýt một đồng năm
Thanh yên tươi tốt
Năm đồng một trái.
Hỏi mỗi thứ mua bao nhiêu trái, biết một tiền bằng 60 đồng?
Gọi số cam, quýt, thanh yên đã mua lần lượt là x, y, z (quả) x,y,z∈ℕ*.
Theo đề bài, ta có hệ phương trình: 3x+y5+5z=60x+y+z=100.
3x+y5+5z=60x+y+z=100⇔15x+y+25z=300x+y+z=100⇔15x+y+25z=300−14y+10z=−1200
⇔15x+y+25z=300−7y+5z=−600⇔15x+5z+6007+25z=300y=5z+6007⇔x=100−12z7y=5z+6007 *.
Vì x > 0 nên 100 – 12z > 0 ⇒z<10012<9⇒z∈1;2;...;8.
Thay lần lượt các giá trị này của z vào phương trình thứ hai của (*) ta thấy chỉ có z = 6 thoả mãn (vì y ∈ℕ*). Vậy z = 6, suy ra y = 90, x = 4.
Vậy số cam, quýt, thanh yên đã mua lần lượt là 4, 90 và 6 quả.
Một con ngựa giá 204 đồng (đơn vị tiền cổ). Có ba người muốn mua nhưng mỗi người không đủ tiền mua.
Người thứ nhất nói với hai người kia: "Mỗi anh cho tôi vay một nửa số tiền của mình thì tôi đủ tiền mua ngựa";
Người thứ hai nói: "Mỗi anh cho tôi vay một phần ba số tiền của mình, tôi sẽ mua được ngựa";
Người thứ ba lại nói: "Chỉ cần mỗi anh cho tôi vay một phần tư số tiền của mình thì con ngựa sẽ là của tôi".
Hỏi mỗi người có bao nhiêu tiền?
Gọi số tiền người thứ nhất, người thứ hai, người thứ ba có lần lượt là x, y, z (đồng).
Theo đề bài ta có:
– Người thứ nhất nói với hai người kia: "Mỗi anh cho tôi vay một nửa số tiền của mình thì tôi đủ tiền mua ngựa", suy ra x + 12y+12z=204 (1).
– Người thứ hai nói: "Mỗi anh cho tôi vay một phần ba số tiền của mình, tôi sẽ mua được ngựa", suy ra y+13z+13x=204 hay 13x+y+13z=204 (2).
– Người thứ ba lại nói: "Chỉ cần mỗi anh cho tôi vay một phần tư số tiền của mình thì con ngựa sẽ là của tôi", suy ra z+14x+14y=204 hay 14x+14y+z=204 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: x+12y+12z=20413x+y+13z=20414x+14y+z=204.
Giải hệ này ta được x = 60, y = 132, z = 156.
Vậy số tiền người thứ nhất, người thứ hai, người thứ ba có lần lượt là 60 đồng, 132 đồng, 156 đồng.
