Bài tập Bài toán thời gian – quãng đường (Tìm quãng đường dựa vào khoảng thời gian đã cho) lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là C

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{{\rm{v}}_{{\rm{tb}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{4A}}}}{{\rm{T}}}\\{{\rm{v}}_{{\rm{max}}}}{\rm{ = A\omega = A}}\frac{{{\rm{2\pi }}}}{{\rm{T}}}{\rm{ = }}{{\rm{v}}_{{\rm{tb}}}}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{ = 20\pi }} \Rightarrow {{\rm{v}}_{{\rm{TB}}}}{\rm{ = 40 cm/s}}{\rm{.}}\end{array} \right.\)

Đáp án đúng là D

+ Vật đi được quãng đường lớn nhất khi vật chuyển động xung quanh vị trí cân bằng

+ Trong khoảng thời gian \[\frac{T}{4},\] quãng đường lớn nhất mà vật có thể đi được là: \[\frac{A}{{\sqrt 2 }} + \frac{A}{{\sqrt 2 }} = A\sqrt 2 \]

Đáp án đúng là A

Tốc độ trung bình của vật trong một chu kì dao động là:

\[{v_{tb}} = \frac{{4A}}{T} = \frac{{4\omega A}}{{2\pi }} = \frac{{2{v_{\max }}}}{\pi } = \frac{{2.31,4}}{{3,14}} = 20{\rm{ cm/s}}\]

a) Đúng. Chu kỳ \(T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{4\pi }} = 0,5{\rm{ s}}\).

b) Đúng. \(\Delta t = 1,25{\rm{ s}} = 2,5T = 2T + \frac{T}{2}\).

c) Sai. Trong $1T$ vật đi được \(4A = 24{\rm{ cm}}\). Do đó trong $2T$, quãng đường vật đi được là \(2 \cdot 4A = 8A = 48{\rm{ cm}}\).

d) Đúng. Quãng đường trong $2T$ là \(8A = 48{\rm{ cm}}\). Quãng đường trong \(\frac{T}{2}\) luôn luôn là \(2A = 12{\rm{ cm}}\).

Tổng quãng đường \(S = 8A + 2A = 10A = 10 \cdot 6 = 60{\rm{ cm}}\).

a) Đúng. \(T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{2\pi }} = 1{\rm{ s}}\).

b) Đúng. Góc quét \(\Delta \varphi = \omega \cdot \Delta t = 2\pi \cdot \frac{1}{3} = \frac{{2\pi }}{3}{\rm{ rad}}\).

c) Đúng. \({S_{\max }} = 2A\sin \left( {\frac{{\Delta \varphi }}{2}} \right) = 2 \cdot 8 \cdot \sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 16 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 8\sqrt 3 {\rm{ cm}}\).

d) Đúng. \({S_{\min }} = 2A\left( {1 - \cos \left( {\frac{{\Delta \varphi }}{2}} \right)} \right) = 2 \cdot 8 \cdot \left( {1 - \cos \left( {\frac{\pi }{3}} \right)} \right) = 16 \cdot \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) = 8{\rm{ cm}}\).

a) Đúng. Tại \(t = 0\), \(x = 10\cos \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) = 5{\rm{ cm}}\). Vì \(\varphi = - \frac{\pi }{3} < 0 \Rightarrow v > 0\).

b) Đúng. Chu kỳ \(T = \frac{{2\pi }}{{5\pi }} = 0,4{\rm{ s}}\).

Khoảng thời gian \(\Delta t = 0,1{\rm{ s}} = \frac{T}{4}\). Góc quét \(\Delta \varphi = \omega \cdot \Delta t = 5\pi \cdot 0,1 = \frac{\pi }{2}{\rm{ rad}}\).

c) Sai. Tại \({t_1} = 0\), pha dao động là \( - \frac{\pi }{3}\).

Đến \({t_2} = 0,1{\rm{ s}}\), pha dao động là \( - \frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{6}\).

Lúc này li độ \({x_2} = 10\cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 5\sqrt 3 {\rm{ cm}}\).

Do trong khoảng thời gian này pha đi từ \( - \frac{\pi }{3}\) đến \(\frac{\pi }{6}\) (đi từ \({x_1} = 5{\rm{ cm}}\) ra biên dương \(10{\rm{ cm}}\) rồi quay về \({x_2} = 5\sqrt 3 {\rm{ cm}}\)):

Quãng đường \(S = (A - {x_1}) + (A - {x_2}) = (10 - 5) + (10 - 5\sqrt 3 ) = 15 - 5\sqrt 3 {\rm{ cm}}\).

d) Sai. Quãng đường đúng là \(S = 15 - 5\sqrt 3 \approx 6,34{\rm{ cm}} \Rightarrow {v_{tb}} = \frac{{6,34}}{{0,1}} = 63,4{\rm{ cm/s}}\).

a) Đúng. \(\Delta t = 2,25{\rm{ s}} = 2T + 0,25T = 2T + \frac{T}{4}\).

b) Sai. Phần 2T đi được \(2 \cdot 4A = 40{\rm{ cm}}\) cố định. Tuy nhiên phần \(\frac{T}{4}\) dư ra quãng đường phụ thuộc vào vị trí xuất phát (chỉ có \(\frac{T}{2}\) mới luôn là 2A)

c) Đúng. \[{S_{\max }} = 8A + {S_{\max }}_{\left( {\frac{T}{4}} \right)}\]

Với \(\Delta t' = \frac{T}{4} \Rightarrow \Delta \varphi ' = \frac{\pi }{2}{\rm{ rad}}\).

\({S_{\max \left( {\frac{T}{4}} \right)}} = 2A\sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right) = A\sqrt 2 = 5\sqrt 2 {\rm{ cm}}\).

Tổng \({S_{\max }} = 40 + 5\sqrt 2 {\rm{ cm}}\).

d) Sai. \({S_{\min \left( {\frac{T}{4}} \right)}} = 2A\left( {1 - \cos \frac{\pi }{4}} \right) = 2 \cdot 5\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 10 - 5\sqrt 2 {\rm{ cm}}\).

Tổng \({S_{\min }} = 40 + 10 - 5\sqrt 2 = 50 - 5\sqrt 2 = 40 + 10(1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}) = 40 + 5(2 - \sqrt 2 ){\rm{ cm}}\).

a) Đúng. \(f = \frac{\omega }{{2\pi }} = \frac{{10\pi }}{{2\pi }} = 5{\rm{ Hz}} \Rightarrow T = 0,2{\rm{ s}}\).

b) Sai. Tại \(t = 0\), pha là \(\frac{\pi }{6} \Rightarrow {x_1} = 4\cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 2\sqrt 3 {\rm{ cm}}\), vật đi theo chiều âm (\(v < 0\)).

Thời gian \(\Delta t = 0,05{\rm{ s}} = \frac{T}{4}\).

Góc quét \(\Delta \varphi = 10\pi \cdot 0,05 = \frac{\pi }{2}{\rm{ rad}}\).

Pha tại \(t = 0,05{\rm{ s}}\) là \(\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{2} = \frac{{2\pi }}{3}{\rm{ rad}} \Rightarrow {x_2} = 4\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = - 2{\rm{ cm}}\).

Do vật đi thẳng từ \({x_1} = 2\sqrt 3 {\rm{ cm}}\) đến \({x_2} = - 2{\rm{ cm}}\) theo chiều âm (không đổi chiều), quãng đường \(S = {x_1} - {x_2} = 2\sqrt 3 - ( - 2) = 2 + 2\sqrt 3 {\rm{ cm}}\).

c) Sai. Trong khoảng thời gian này pha đi từ \(\frac{\pi }{6}\) đến \(\frac{{2\pi }}{3}\), vật chưa đến biên nên chưa đổi chiều.

d) Sai. \({v_{tb}} = \frac{S}{{\Delta t}} = \frac{{2 + 2\sqrt 3 }}{{0,05}} = 20(2 + 2\sqrt 3 ) = 40 + 40\sqrt 3 {\rm{ cm/s}}\).

a) Đúng. \(\Delta t = 0,4{\rm{ s}} = \frac{{0,4}}{{0,6}}T = \frac{2}{3}T = \frac{T}{2} + \frac{T}{6}\).

b) Đúng. Trong \(\frac{T}{2}\), quãng đường luôn là \(2A = 2 \cdot 10 = 20{\rm{ cm}}\).

c) Đúng. Đối với \(\Delta t' = \frac{T}{6} \Rightarrow \Delta \varphi ' = \frac{\pi }{3}{\rm{ rad}}\).

\({S_{\min \left( {\frac{T}{6}} \right)}} = 2A\left( {1 - \cos \frac{\pi }{6}} \right) = 2 \cdot 10 \cdot \left( {1 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = 10(2 - \sqrt 3 ){\rm{ cm}}\).

d) Sai. Tổng \({S_{\min }} = 2A + {S_{\min \left( {\frac{T}{6}} \right)}} = 20 + 20 - 10\sqrt 3 = 40 - 10\sqrt 3 \approx 22,68{\rm{ cm}}\).

a) Đúng. \(t = 0 \Rightarrow x = 0\), \(\varphi = - \frac{\pi }{2} \Rightarrow v > 0\).

b) Đúng. \(T = \frac{{2\pi }}{{2\pi }} = 1{\rm{ s}}\). Trong $1T$, quãng đường luôn là \(4A = 20{\rm{ cm}}\).

c) Đúng. \(0,75{\rm{ s}} = \frac{3}{4}T\). Đi từ VCB theo chiều dương:

- Mất \(\frac{T}{4}\) đến biên dương \( + A\) (\(5{\rm{ cm}}\)).

- Mất \(\frac{T}{4}\) về VCB (\(5{\rm{ cm}}\)).

- Mất \(\frac{T}{4}\) đến biên âm \( - A\) (\(5{\rm{ cm}}\)).

Tổng quãng đường \(S = 3A = 15{\rm{ cm}}\).

d) Đúng. \(\Delta t = 1 - 0,25 = 0,75{\rm{ s}} = \frac{3}{4}T\). Do xuất phát tại \({t_1} = 0,25{\rm{ s}} = \frac{T}{4}\) (vật đang ở biên dương \( + A\)), đi trong \(\frac{3}{4}T\) sẽ đi: từ \( + A \to - A\) (\(10{\rm{ cm}}\)) rồi từ \( - A \to 0\) (\(5{\rm{ cm}}\)). Tổng \(S = 15{\rm{ cm}}\).

a) Đúng. \(\Delta t = \frac{{0,5}}{2}T = \frac{T}{4}\).

b) Đúng. Quãng đường lớn nhất đạt được khi vật chuyển động ở vùng gần VCB (nơi tốc độ lớn nhất), tức là đối xứng qua VCB.

c) Sai. Góc quét \(\Delta \varphi = \omega \cdot \Delta t = \frac{{2\pi }}{T} \cdot \frac{T}{4} = \frac{\pi }{2}{\rm{ rad}}\).

d) Đúng. \({S_{\max }} = 2A\sin \left( {\frac{{\Delta \varphi }}{2}} \right) = 2 \cdot 12 \cdot \sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 24 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 12\sqrt 2 {\rm{ cm}}\).

a) Đúng. Trong \(\frac{T}{2}\), tổng góc quét là \(\pi {\rm{ rad}}\), hai vị trí đầu và cuối đối xứng qua gốc tọa độ nên quãng đường luôn bằng 2A.

b) Sai. Vận tốc trung bình \[{v_{tb}} = \frac{{\Delta x}}{{\Delta t}}\]. Li độ \(\Delta x = {x_2} - {x_1}\) phụ thuộc vào vị trí ban đầu (ví dụ nếu đi từ \( - A\) đến \( + A\) thì \(\Delta x = 2A\), nhưng nếu đi từ VCB theo chiều dương rồi về VCB thì \(\Delta x = 0\)). Do đó độ lớn vận tốc trung bình thay đổi.

c) Sai. Quãng đường trong \(\frac{T}{4}\) chỉ bằng \(A\) khi vật xuất phát từ VCB hoặc vị trí biên.

d) Đúng. Tốc độ trung bình \({v_{tb}} = \frac{S}{{\Delta t}} = \frac{{2A}}{{T/2}} = \frac{{4A}}{T}\) (luôn cố định).

a) Đúng. \(A = 6{\rm{ cm}} \Rightarrow A\sqrt 3 = 6\sqrt 3 {\rm{ cm}}\).

b) Đúng. Thời gian ngắn nhất để đi hết một quãng đường cho trước tương ứng với quãng đường đó là \({S_{\max }}\) trong khoảng thời gian \(\Delta t\) đó.

c) Đúng. Ta có \({S_{\max }} = 2A\sin \left( {\frac{{\Delta \varphi }}{2}} \right) = A\sqrt 3 \Rightarrow \sin \left( {\frac{{\Delta \varphi }}{2}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \frac{{\Delta \varphi }}{2} = \frac{\pi }{3} \Rightarrow \Delta \varphi = \frac{{2\pi }}{3}{\rm{ rad}}\).

d) Sai. \(\Delta t = \frac{{\Delta \varphi }}{\omega } \Rightarrow 0,1 = \frac{{2\pi /3}}{{2\pi /T}} = \frac{T}{3} \Rightarrow T = 0,3{\rm{ s}}\).

Đáp án: 15

Chu kỳ \(T = \frac{{2\pi }}{{4\pi }} = 0,5{\rm{ s}}\).

Thời gian \(\Delta t = 0,375{\rm{ s}} = \frac{3}{4}T\).

Tại \(t = 0\), \({x_1} = 5{\rm{ cm}} = A\).

Sau \(\frac{3}{4}T\), góc quét \(\Delta \varphi = 4\pi \cdot 0,375 = \frac{{3\pi }}{2}{\rm{ rad}}\).

Vật đi từ \(A \to - A\) (mất \(\frac{T}{2}\), \({S_1} = 2A = 10{\rm{ cm}}\)) rồi từ \( - A \to 0\) (mất \(\frac{T}{4}\), \({S_2} = A = 5{\rm{ cm}}\)).

Tổng quãng đường \(S = 3A = 3 \cdot 5 = 15{\rm{ cm}}\).

Đáp án: 10

\(\Delta t = \frac{1}{6}{\rm{ s}} = \frac{T}{6} \Rightarrow \Delta \varphi = \frac{{2\pi }}{6} = \frac{\pi }{3}{\rm{ rad}}\).

Quãng đường lớn nhất:

\({S_{\max }} = 2A\sin \left( {\frac{{\Delta \varphi }}{2}} \right) = 2 \cdot 10 \cdot \sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 20 \cdot 0,5 = 10{\rm{ cm}}\).

Đáp án: 8

\(\Delta t = 0,4{\rm{ s}} = \frac{{0,4}}{{1,2}}T = \frac{T}{3} \Rightarrow \Delta \varphi = \frac{{2\pi }}{3}{\rm{ rad}}\).

Quãng đường nhỏ nhất:

\({S_{\min }} = 2A\left( {1 - \cos \left( {\frac{{\Delta \varphi }}{2}} \right)} \right) = 2 \cdot 8 \cdot \left( {1 - \cos \left( {\frac{\pi }{3}} \right)} \right) = 16 \cdot (1 - 0,5) = 8{\rm{ cm}}\).

Đáp án: 24

Chu kỳ \(T = \frac{{2\pi }}{{2\pi }} = 1{\rm{ s}}\).

Khoảng thời gian \(\Delta t = 1{\rm{ s}} = 1T\).

Trong đúng \(1\) chu kỳ, bất kể vị trí xuất phát, quãng đường vật đi được luôn là \(S = 4A = 4 \cdot 6 = 24{\rm{ cm}}\).

Đáp án: 28

Phân tích thời gian: \(\Delta t = 0,7{\rm{ s}} = 0,4{\rm{ s}} + 0,2{\rm{ s}} + 0,1{\rm{ s}} = T + \frac{T}{2} + \frac{T}{4}\).

- Trong 1T: \({S_1} = 4A = 16{\rm{ cm}}\).

- Trong \(\frac{T}{2}\): \({S_2} = 2A = 8{\rm{ cm}}\).

- Dư \(\frac{T}{4}\): Cần xem vị trí bắt đầu của khoảng dư này.

Sau \(T + \frac{T}{2} = 1,5T\), pha của vật quay thêm \(3\pi {\rm{ rad}}\).

Pha ban đầu là \({\varphi _0} \Rightarrow \) pha sau \(1,5T\) là \({\varphi _0} + 3\pi \equiv {\varphi _0} + \pi \).

Khoảng dư \(\frac{T}{4}\) đi từ vị trí góc \(({\varphi _0} + \pi )\) quét thêm góc \(\frac{\pi }{2}\).

Do hai góc xuất phát đối xứng qua gốc tọa độ, quãng đường đi trong \(\frac{T}{4}\) này có độ dài đúng bằng quãng đường đi trong \(\frac{T}{4}\) đầu tiên.

Nếu không cho phương trình cụ thể, ta xét bài toán chuẩn: với \(x = A\cos (\omega t)\) hoặc bất kỳ, quãng đường dư trong \(\frac{T}{4}\) phụ thuộc pha.

Giả sử phương trình \(x = 4\cos (5\pi t){\rm{ cm}}\) (xuất phát từ biên):

Trong \(\frac{T}{4}\) dư vật đi từ \( - A\) về \(0 \Rightarrow {S_3} = A = 4{\rm{ cm}}\).

Tổng \(S = 4A + 2A + A = 7A = 7 \cdot 4 = 28{\rm{ cm}}\).

Đáp án: 54,1

\(\Delta t = 2,5{\rm{ s}} = 2T + 0,5{\rm{ s}} = 2T + \frac{T}{4}\).

- Quãng đường trong 2T: \({S_1} = 2 \cdot 4A = 8A = 80{\rm{ cm}}\).

- Quãng đường \({S_{\max }}\) trong \(\frac{T}{4}\) dư: góc quét \(\Delta \varphi = \frac{\pi }{2}{\rm{ rad}}\).

\({S_{\max \left( {\frac{T}{4}} \right)}} = 2A\sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right) = A\sqrt 2 = 10\sqrt 2 \approx 14,14{\rm{ cm}}\).

Tổng \({S_{\max }} = 80 + 14,14 = 94,14{\rm{ cm}}\).

Đáp án: 16

Chu kỳ \(T = \frac{{2\pi }}{{2\pi }} = 1{\rm{ s}}\).

Khoảng thời gian \(\Delta t = 0,5{\rm{ s}} = \frac{T}{2}\).

Trong nửa chu kỳ (\(\frac{T}{2}\)), quãng đường vật đi được luôn bằng $2A$ với mọi vị trí xuất phát.

\(S = 2A = 2 \cdot 8 = 16{\rm{ cm}}\).

Đáp án: 1,73

Thời gian \(\Delta t = \frac{T}{3} \Rightarrow \Delta \varphi = \frac{{2\pi }}{3}{\rm{ rad}}\).

\({S_{\max }} = 2A\sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right) = A\sqrt 3 \).

\({S_{\min }} = 2A\left( {1 - \cos \frac{\pi }{3}} \right) = 2A(1 - 0,5) = A\).

Tỉ số \(\frac{{{S_{\max }}}}{{{S_{\min }}}} = \frac{{A\sqrt 3 }}{A} = \sqrt 3 \approx 1,73\).

Đáp án: 2,93

\({S_{\max }} = 2A\sin \left( {\frac{{\Delta \varphi }}{2}} \right) = 5\sqrt 2 \Rightarrow 2 \cdot 5 \cdot \sin \left( {\frac{{\Delta \varphi }}{2}} \right) = 5\sqrt 2 \Rightarrow \sin \left( {\frac{{\Delta \varphi }}{2}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \frac{{\Delta \varphi }}{2} = \frac{\pi }{4} \Rightarrow \Delta \varphi = \frac{\pi }{2}{\rm{ rad}}\).

Quãng đường nhỏ nhất trong cùng khoảng thời gian (cùng góc quét \(\Delta \varphi = \frac{\pi }{2}\)):

\({S_{\min }} = 2A\left( {1 - \cos \left( {\frac{{\Delta \varphi }}{2}} \right)} \right) = 2 \cdot 5 \cdot \left( {1 - \cos \frac{\pi }{4}} \right) = 10 \cdot \left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 10 - 5\sqrt 2 = 10 - 5 \cdot 1,414 = 2,93{\rm{ cm}}\).

Đáp án: 80

Chu kỳ \(T = \frac{{2\pi }}{{4\pi }} = 0,5{\rm{ s}}\).

Khoảng thời gian \(\Delta t = 0,25{\rm{ s}} = \frac{T}{2}\).

Trong \(\frac{T}{2}\), quãng đường vật đi được luôn là \(S = 2A = 2 \cdot 10 = 20{\rm{ cm}}\).

Tốc độ trung bình \({v_{tb}} = \frac{S}{{\Delta t}} = \frac{{20}}{{0,25}} = 80{\rm{ cm/s}}\).