Bài tập Bài 20. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách có đáp án

Hướng dẫn giải

Để biết các yếu tố liên quan tới đường thẳng được thể hiện qua phương trình tương ứng như thế nào ta cùng tìm hiểu qua bài học 20.

Hướng dẫn giải

a) Thay tọa độ điểm M(1; 2) vào phương trình ∆₁ ta được:

1 – 2 . 2 + 3 = 0 ⇔ 0 = 0 (luôn đúng).

Do đó điểm M thuộc ∆₁.

Thay tọa độ điểm M(1; 2) vào phương trình ∆₂ ta được:

3 . 1 – 2 – 1 = 0 ⇔ 0 = 0 (luôn đúng).

Do đó điểm M thuộc ∆₂.

Vậy M thuộc cả hai đường thẳng ∆₁ và ∆_2­.

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3 = 0\\3x - y - 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\6x - 2y - 2 = 0\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Lấy (2) trừ (1) theo vế ta được: 5x – 5 = 0 ⇔ x = 1.

Thay x = 1 vào (1) ta được: 1 – 2y + 3 = 0 ⇔ 2y = 4 ⇔ y = 2.

Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y) = (1; 2).

c) Theo câu a, điểm M(1; 2) thuộc cả hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ nên M là giao điểm của hai đường thẳng này.

Do đó ta thấy tọa độ giao điểm của ∆₁ và ∆₂ giống với nghiệm của hệ phương trình ở câu b.

Hướng dẫn giải

a) Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4y - 3 = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x - 4y - 3 = 0\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Lấy (1) cộng vế theo vế với (2) ta được: 2x – 6 = 0 ⇔ x = 3.

Thay x = 3 vào (1) ta được: 3 + 4y – 3 = 0 ⇔ 4y = 0 ⇔ y = 0.

Do đó hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất (x; y) = (3; 0).

Vậy hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ cắt nhau tại điểm M(3; 0).

b) Đường thẳng ∆₁: x + 2y –\(\sqrt 5 \)= 0 có vectơ pháp tuyến là \({\overrightarrow n _1} = \left( {1;\,\,2} \right)\).

Đường thẳng ∆₂: 2x + 4y – \(3\sqrt 5 \) = 0 có vectơ pháp tuyến là \({\overrightarrow n _2} = \left( {2;\,\,4} \right)\).

Ta thấy: \({\overrightarrow n _2} = 2{\overrightarrow n _1}\) nên hai vectơ này cùng phương.

Do đó hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ song song hoặc trùng nhau.

Mặt khác, ta lại có điểm A(\(\sqrt 5 \); 0) thuộc đường thẳng ∆₁ nhưng không thuộc đường thẳng ∆₂ nên hai đường thẳng này không trùng nhau.

Vậy hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ song song với nhau.

Hướng dẫn giải

Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc, trong đó có hai cặp góc đối đỉnh với nhau. Hai góc đối đỉnh thì có số đo bằng nhau. Một cặp góc đối đỉnh là góc tù thì cặp còn lại là góc nhọn.

 

Hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ cắt nhau tại A như hình trên. Khi đó ta có:

+) \({\widehat A_1} = {\widehat A_3}\) (2 góc đối đỉnh, đây là hai góc tù);

+) \({\widehat A_2} = {\widehat A_4}\) (2 góc đối đỉnh, đây là hai góc nhọn).

Hướng dẫn giải

a) Quan sát Hình 7.7, ta thấy góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ là góc φ, góc này bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ \({\overrightarrow n _1}\) và \({\overrightarrow n _2}\).

b)

+) Với trường hợp góc φ và góc \(\left( {{{\overrightarrow n }_1},\,\,{{\overrightarrow n }_2}} \right)\) bằng nhau thì ta có: cosφ = cos\(\left( {{{\overrightarrow n }_1},\,\,{{\overrightarrow n }_2}} \right)\);

+) Với trường hợp góc φ và góc \(\left( {{{\overrightarrow n }_1},\,\,{{\overrightarrow n }_2}} \right)\) bù nhau thì ta có: cosφ = – cos\(\left( {{{\overrightarrow n }_1},\,\,{{\overrightarrow n }_2}} \right)\).

Hướng dẫn giải

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆₁ là \({\overrightarrow n _1} = \left( {1;\,3} \right)\).

Ta có: y = 3x + 1 ⇔ 3x – y + 1 = 0 hay ∆₂: 3x – y + 1 = 0, do đó vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆₂ là \({\overrightarrow n _2} = \left( {3;\, - 1} \right)\).

Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂. Ta có:

cosφ = \(\left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_1},\,\,{{\overrightarrow n }_2}} \right)} \right|\) \( = \frac{{\left| {{{\overrightarrow n }_1}.\,\,{{\overrightarrow n }_2}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_1}} \right|.\,\,\left| {{{\overrightarrow n }_2}} \right|}}\)\( = \frac{{\left| {1.3 + 3.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 0\).

Do đó hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ vuông góc và φ = 90°.

Hướng dẫn giải

Vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆₁ là \({\overrightarrow u _1} = \left( {1;\, - 2} \right)\), của ∆₂ là \({\overrightarrow u _2} = \left( {1;\,3} \right)\).

Suy ra vectơ pháp tuyến của ∆₁ là \({\overrightarrow n _1} = \left( {2;\,1} \right)\), của ∆­₂ là \({\overrightarrow n _2} = \left( {3;\, - 1} \right)\).

Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂. Ta có:

cosφ = \(\left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_1},\,\,{{\overrightarrow n }_2}} \right)} \right|\) \( = \frac{{\left| {{{\overrightarrow n }_1}.\,\,{{\overrightarrow n }_2}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_1}} \right|.\,\,\left| {{{\overrightarrow n }_2}} \right|}}\)\( = \frac{{\left| {2.3 + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt 5 .\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Do đó, góc giữa ∆₁ và ∆₂ là φ = 45°.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình trục hoành Ox: y = 0.

Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\y = ax + b\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: ax + b = 0 ⇔ x = \( - \frac{b}{a}\) (do a ≠ 0).

Do đó hệ trên có nghiệm duy nhất \(\left( { - \frac{b}{a};\,0} \right)\) nên ∆ và trục hoành cắt nhau tại giao điểm có tọa độ \(\left( { - \frac{b}{a};\,0} \right)\).

b) Đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {a;\,\, - 1} \right)\).

Do đường thẳng ∆₀ song song hoặc trùng với ∆ nên ta chọn vectơ \(\overrightarrow n \) là một vectơ pháp tuyến của ∆₀.

Đường thẳng ∆₀ đi qua điểm O(0; 0) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {a;\,\, - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Khi đó phương trình đường thẳng ∆₀ là: a(x – 0) – (y – 0) = 0 hay ax – y = 0 hay y = ax.

c) Khi ∆ và ∆₀ trùng nhau thì α_∆ và α_∆0 trùng nhau nên α_∆ = α_∆0.

Khi ∆ và ∆₀ song song thì α_∆ = α_∆0 (do hai góc ở vị trí đồng vị).

Vậy α_∆ = α_∆0.

d) Vì M thuộc đường thẳng ∆₀ nên tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình đường thẳng ∆₀ nên khi có hoành độ x₀ thì tung độ của M là y₀ = ax₀.

Ta có tanα_∆0 = tan\(\widehat {xOM}\) = \(\frac{{{y_0}}}{{{x_0}}} = \frac{{a{x_0}}}{{{x_0}}} = a\) (theo định nghĩa giá trị lượng giác)

Do α_∆ = α_∆0 nên tanα_∆ = tanα_∆0 = a.

Vậy tanα_∆ = a.

Hướng dẫn giải

a) Do H là hình chiếu của M lên ∆ nên MH ⊥ ∆.

Vectơ \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của ∆ nên giá của vectơ \(\overrightarrow n \) vuông góc với ∆.

Khi đó đường thẳng MH song song hoặc trùng với giá của vectơ \(\overrightarrow n \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {HM} \) và \(\overrightarrow n \) cùng phương.

Do đó hai vectơ \(\overrightarrow {HM} \) và \(\overrightarrow n \)cùng hướng hoặc ngược hướng.

+) Nếu hai vectơ \(\overrightarrow {HM} \) và \(\overrightarrow n \)cùng hướng thì \(\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} = \left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {HM} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM\).

+) Nếu hai vectơ \(\overrightarrow {HM} \) và \(\overrightarrow n \)ngược hướng thì \(\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} = - \left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {HM} } \right| = - \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM\).

Vậy \(\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM\).

b) Vì H thuộc ∆ nên tọa độ của H thỏa mãn phương trình ∆, thay tọa độ của H vào phương trình ∆ ta được: ax₁ + by₁ + c = 0 ⇔ c = – ax₁ – by₁      (1).

Ta lại có: \(\overrightarrow {HM} = \left( {{x_0} - {x_1};{y_0} - {y_1}} \right)\).

Suy ra: \(\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} = a\left( {{x_0} - {x_1}} \right) + b\left( {{y_0} - {y_1}} \right)\)= ax₀ + by₀ – ax₁ – by₁                  (2).

Từ (1) và (2) suy ra: \(\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} = a\left( {{x_0} - {x_1}} \right) + b\left( {{y_0} - {y_1}} \right)\)= ax₀ + by₀ + c.

c) Theo câu a) ta có: \(\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM\).

Theo câu b) ta có: \(\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} \) = ax₀ + by₀ + c.

Suy ra: |ax₀ + by₀ + c| = \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM\).

Vậy \(HM = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

Hướng dẫn giải

Khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ là độ dài đoạn MH.

Dùng thước ta đo được MH có độ dài bằng 2 ô vuông trên mặt phẳng tọa độ Oxy nên MH = 2.

Kết quả này hoàn toàn phù hợp với kết quả tính được trong lời giải của Ví dụ 4 vì điểm M ở đây có tọa độ trùng với điểm M của Ví dụ 4 và đường thẳng Δ có phương trình trùng với phương trình trong Ví dụ 4.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 3t\\y = - 5 - 4t\end{array} \right.\) đi qua điểm A(5; – 5) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {3;\, - 4} \right)\), suy ra ∆ có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {4;\,\,3} \right)\).

Do đó, phương trình tổng quát của ∆ là: 4(x – 5) + 3(y + 5) = 0 hay 4x + 3y – 5 = 0.

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆, ta có:

d(M, ∆) = \(\frac{{\left| {4.1 + 3.2 - 5} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{5}{5} = 1\).

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ là 1.

Hướng dẫn giải

a) Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ sau:

Vì B trùng với gốc tọa độ O nên B có tọa độ là (0; 0).

Vì ABCD là hình chữ nhật nên CD = AB = 12 m, BC = AD = 15 m.

Điểm A thuộc trục Oy và có AO = AB = 12 m nên A có tọa độ là (0; 12).

Điểm C thuộc trục Ox và có CO = CB = 15 m nên C có tọa độ là (15; 0).

Ta có: DC ⊥ Ox (do DC ⊥ BC), DA ⊥ Oy (do DA ⊥ AB) và DC = 12 m, DA = 15 m nên điểm D có tọa độ là (15; 12).

Từ E kẻ EH vuông góc với BC, H thuộc BC nên EH = AB = 12 m, lại có AE = 5 m, do đó điểm E có tọa độ là (5; 12).

Từ F kẻ FJ vuông góc với AB, J thuộc AB nên FJ = AD = 15 m, lại có CF = 6 m, do đó điểm F có tọa độ là (15; 6).

Vậy A(0; 12), B(0; 0), C(15; 0), D(15; 12), E(5; 12), F(15; 6).

Ta có: \[\overrightarrow {EF} = \left( {15 - 5;6 - 12} \right) = \left( {10; - 6} \right)\].

Chọn vectơ \(\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow {EF} = \left( {5; - 3} \right)\) làm vectơ chỉ phương của đường thẳng EF thì vectơ pháp tuyến của đường thẳng EF là \(\overrightarrow n = \left( {3;\,5} \right)\).

Đường thẳng EF đi qua điểm E(5; 12) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3;\,5} \right)\), do đó phương trình đường thẳng EF là: 3(x – 5) + 5(y – 12) = 0 hay 3x + 5y – 75 = 0.

b) Áp dụng công thức tính khoảng cách, ta có khoảng cách từ B đến EF là:

\(d\left( {B,\,EF} \right) = \frac{{\left| {3.0 + 5.0 - 75} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2}} }} = \frac{{75}}{{\sqrt {34} }}\)≈ 12,9 m.

Khoảng cách từ B đến EF là đường ngắn nhất từ B nơi Nam đứng đến EF, lưỡi câu có thể quăng xa 10,7 m và 10,7 m < 12,9 m nên lưỡi câu không thể rơi vào vị trí nuôi vịt.

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng ∆₁: \(3\sqrt 2 x + \sqrt 2 y - \sqrt 3 = 0\)có vectơ pháp tuyến là \({\overrightarrow n _1} = \left( {3\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\).

Đường thẳng ∆₂: 6x + 2y\( - \sqrt 6 \) = 0 có vectơ pháp tuyến là \({\overrightarrow n _2} = \left( {6;\,\,2} \right)\).

Ta có: \({\overrightarrow n _1} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}{\overrightarrow n _2}\) nên hai vectơ \({\overrightarrow n _1}\) và \({\overrightarrow n _2}\) cùng phương, do đó hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ song song hoặc trùng nhau.

Mặt khác, điểm A\(\left( {0;\frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right)\) vừa thuộc ∆₁ vừa thuộc ∆₂.

Vậy hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ trùng nhau.

b) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d₁: x \( - \sqrt 3 y\) + 2 = 0 là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - \sqrt 3 } \right)\)và của d₂: \(\sqrt 3 \)x – 3y + 2 = 0 là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {\sqrt 3 ; - 3} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {{n_2}} = \sqrt 3 \overrightarrow {{n_1}} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) cùng phương, do đó hai đường thẳng d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau.

Mặt khác, điểm B(– 2; 0) thuộc d₁ nhưng không thuộc d₂.

Vậy hai đường thẳng d₁ và d₂ song song với nhau.

c) Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 1 = 0\\3x + y - 2 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 6y + 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\3x + y - 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

Lấy (2) trừ vế theo vế cho (1) ta được: 7y – 5 = 0 \( \Leftrightarrow y = \frac{5}{7}\).

Thay vào (1) ta được: \(3x - 6.\frac{5}{7} + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{7}\).

Do đó hệ trên có nghiệm duy nhất \(\left( {\frac{3}{7};\frac{5}{7}} \right)\).

Vậy hai đường thẳng m₁ và m₂ cắt nhau tại điểm có tọa độ \(\left( {\frac{3}{7};\frac{5}{7}} \right)\).

Hướng dẫn giải

a) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆₁: \(\sqrt 3 x\) + y – 4 = 0 là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {\sqrt 3 ;\,\,1} \right)\) và của ∆₂: x + \(\sqrt 3 y\) + 3 = 0 là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\,\sqrt 3 } \right)\).

Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂. Ta có:

cosφ = \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right|\) \( = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\,\,\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {\sqrt 3 .1 + 1.\sqrt 3 } \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{2.2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Do đó, góc giữa ∆₁ và ∆₂ là φ = 30°.

b) Vectơ chỉ phương của đường thẳng d₁ là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;\,\,4} \right)\), của đường thẳng d₂ là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;\, - 3} \right)\).

Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng d₁ là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4; - 2} \right)\), của đường thẳng d₂ là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3;\,1} \right)\).

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂. Ta có:

cosα = \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right|\) \( = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\,\,\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {4.3 + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{{10}}{{\sqrt {20} .\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Do đó, góc giữa d₁ và d₂ là α = 45°.

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng công thức tính khoảng cách, ta có khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là: d(A, ∆) = \(\frac{{\left| {0 + \left( { - 2} \right) - 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt 2 }} = 3\sqrt 2 \).

Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là \(3\sqrt 2 \).

b) Đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {1;\,\,1} \right)\).

Do a // ∆, nên vectơ pháp tuyến của a là \(\overrightarrow {{n_a}} = \overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {1;\,\,1} \right)\).

Đường thẳng a đi qua điểm M(– 1; 0) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_a}} = \left( {1;\,\,1} \right)\), do đó phương trình đường thẳng a là: 1(x + 1) + 1(y – 0) = 0 hay x + y + 1 = 0.

c) Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1;\,\, - 1} \right)\).

Do b ⊥ ∆, nên vectơ pháp tuyến của b là \(\overrightarrow {{n_b}} = \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1;\, - 1} \right)\).

Đường thẳng b đi qua điểm N(0; 3) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_b}} = \left( {1;\, - 1} \right)\), do đó phương trình đường thẳng b là: 1(x – 0) – 1(y – 3) = 0 hay x – y + 3 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Độ dài đường cao kẻ từ đỉnh của tam giác ABC chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 2 - 3; - 1 - 2} \right) = \left( { - 5; - 3} \right)\).

Chọn vectơ chỉ phương của đường thẳng BC là \(\overrightarrow u = - \overrightarrow {BC} = \left( {5;\,3} \right)\).

Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC là \(\overrightarrow n = \left( {3;\,\, - 5} \right)\).

Đường thẳng BC đi qua điểm B(3; 2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3;\,\, - 5} \right)\), do đó phương trình đường thẳng BC là: 3(x – 3) – 5(y – 2) = 0 hay 3x – 5y + 1 = 0.

Khi đó khoảng cách từ A đến BC là:

d(A, BC) = \(\frac{{\left| {3.1 - 5.0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {34} }} = \frac{{2\sqrt {34} }}{{17}}\) .

Vậy độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là h = \(\frac{{2\sqrt {34} }}{{17}}\).

b) Ta có: BC = \(\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {34} \).

Diện tích tam giác ABC là:

S = \(\frac{1}{2}h.BC\)\( = \frac{1}{2}.\frac{{2\sqrt {34} }}{{17}}.\sqrt {34} = 2\) (đvdt).

Vậy diện tích tam giác ABC là 2 đvdt.

Hướng dẫn giải

Ta có: y = ax + b ⇔ ax – y + b = 0 hay d: ax – y + b = 0 nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là \(\overrightarrow n = \left( {a;\,\, - 1} \right)\).

Lại có: y = a'x + b' ⇔ a'x – y + b' = 0 hay d': a'x – y + b' = 0 nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng d' là \(\overrightarrow {n'} = \left( {a';\,\, - 1} \right)\).

Hai đường thẳng d và d' vuông góc với nhau khi \(\overrightarrow n \bot \overrightarrow {n'} \Leftrightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow {n'} = 0\)\( \Leftrightarrow a.a' + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow a.a' + 1 = 0 \Leftrightarrow a.a' = - 1\).

Vậy d ⊥ d' ⇔ aa' = – 1.

Hướng dẫn giải

Gọi H(a; b) là vị trí tín hiệu âm thanh phát đi.

Vì ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận tín hiệu từ H phát đi tại cùng một thời điểm nên HO = HA = HB.

Ta có: \(\overrightarrow {HO} = \left( { - a; - b} \right)\), \(\overrightarrow {HA} = \left( {1 - a; - b} \right)\), \(\overrightarrow {HC} = \left( {1 - a;3 - b} \right)\).

Do đó: \(HO = \sqrt {{{\left( { - a} \right)}^2} + \left( { - {b^2}} \right)} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \), \(HA = \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {{\left( { - b} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2}} \),

\(HC = \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {{\left( {3 - b} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {b - 3} \right)}^2}} \).

Vì HO = HA nên \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2}} \) \( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2}\)

⇔ a² = a² – 2a + 1 ⇔ 2a = 1 ⇔ a = \(\frac{1}{2}\).

Vì HA = HB nên \(\sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2}} = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {b - 3} \right)}^2}} \) \( \Rightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2}\)

⇔ b² = b² – 6b + 9 ⇔ 6b = 9 ⇔ b = \(\frac{3}{2}\).

Thay a = \(\frac{1}{2}\) và b = \(\frac{3}{2}\) vào các phương trình ta thấy đều thỏa mãn.

Vậy vị trí phát tín hiệu âm thanh là tại điểm H có tọa độ \(\left( {\frac{1}{2};\,\frac{3}{2}} \right)\).