10 Bài tập Phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi phương trình đường thẳng Δ là ax + by + c = 0 (với a² + b² ≠ 0).

Điểm A(–1; 2) thuộc vào đường thẳng Δ tức là –a + 2b + c = 0 suy ra c = a – 2b (1)

Khoảng cách từ B(3; 5) đến đường thẳng Δ bằng 3 nên ta có:

3a+5b+ca2+b2=3⇔3a+5b+c=3a2+b22

Thay (1) vào (2), ta có:

4a+3b=3a2+b2⇔16a2+24ab+9b2=9a2+9b2

⇔7a2+24ab=0⇔a=07a+24b=0.

Với a = 0, chọn b = 1 suy ra c = –2. Vậy đường thẳng Δ₁: y – 2 = 0.

Với 7a + 24b = 0, chọnb = –7 suy ra a = 24, c = 38. Vậy phương trình đường thẳng Δ₂: 24x – 7y + 38 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng Δ: 2x + y – 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến n→Δ=2;1

Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng Δ nên d nhận n→d=1;−2 làm một vectơ pháp tuyến. Khi đó giả sử đường thẳng d có phương trình dạng: x – 2y + c = 0.

Vì d cách điểm M(3; – 2) một khoảng bằng 5 nên ta có:

dM,d=5⇔3−2⋅−2+c12+−22=5⇔c+7=5⇔c=−12c=−2.

Vậy có hai đường thẳng d thỏa mãn yêu cầu bài toán là: d₁: x – 2y – 12 = 0 và d₂: x – 2y – 2 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d song song với đường thẳng d’ nên phương trình đường thẳng d’ có dạng 3x + 4y + c = 0.

Lấy điểm M(–1; 1) thuộc vào d’ nên ta có:

dd,d'=dM,d'=2⇔−3+4+c5=2⇔c+1=10⇔c=9c=−11.

Với c = 9 ta có d : 3x + 4y + 9 = 0.

Với c = –11 ta có d: 3x + 4y – 11 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có AB→=12;4 và AC→=−3;−1=−4AB→ nên hai vectơ này cùng phương.

Do đó ba điểm A, B, C thẳng hàng nên đường thẳng d cách đều A, B, C là đường thẳng song song hoặc trùng với AB.

Ta thấy trong 4 phương án, không có đường thẳng nào đi qua A nên ta loại trường hợp d trùng AB. Khi đó đường thẳng d // AB.

Ta thấy đường thẳng x – 3y + 4 = 0 có một vectơ pháp tuyến là n→=1;−3 nên nhận AB→=12;4 làm một vectơ chỉ phương. Do đó đường thẳng này song song với AB.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Giả sử M(x; y) là điểm cách đường thẳng Δ: 3x – 4y + 2 = 0 một khoảng bằng 2.

Ta có:

dM,Δ=2⇔3x−4y+25=2⇔3x−4y+2=10⇔3x−4y+12=03x−4y−8=0.

Vậy tập hợp điểm M là hai đường thẳng 3x – 4y – 8 = 0; 3x – 4y + 12 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi H(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng Δ luôn đi qua.

Khi đó x₀ + (m – 1)y₀ + m = 0 với mọi m

⇔ (y₀ + 1)m + x₀ – y₀ = 0 với mọi m

⇔y0+1=0x0−y0=0⇔y0=−1x0=y0⇔x0=−1y0=−1

Suy ra Δ luôn đi qua điểm cố định H(–1; –1).

Với A(5; 1) và H(–1; –1) ta có AH→=−6;−2 nên AH=−62+−22=210.

Gọi M là hình chiếu của A trên Δ, ta có d(A, ∆) = AM ≤ AH.

Giá trị lớn nhất của d(A, Δ) = AH khi M ≡ H, suy ra maxd(A, Δ) = AH = 210.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi M(x; y) là điểm nằm trên đường thẳng song song và cách đều với d₁, d₂.

Ta có dMx;y,d1=dMx;y,d2⇔5x+3y−352+32=5x+3y+752+32

⇔5x+3y−3=5x+3y+7   vô lí5x+3y−3=−5x−3y−7

⇔5x+3y+2=0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi H là hình chiếu của điểm A lên đường thẳng (d).

Khi đó ta có:dA,d=AH≤AB=3−12+4+12=29.

Do đó khoảng cách từ A đến đường thẳng (d) đạt giá trị lớn nhất bằng 29 khi H ≡ B hay (d) ⊥ AB tại B.

Vì vậy (d) đi qua B và nhận AB→=2;5 làm vectơ pháp tuyến.

Do đó phương trình của đường thẳng (d) là 2(x – 3) + 5(y – 4) = 0 hay 2x + 5y – 26 = 0.