Trắc nghiệm Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách lớp 10 (có đáp án - phần 2)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n_1}(a_1;b_1)$ và $\overrightarrow{n_2}(a_2;b_2)$

Góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ được xác định bởi:

cos(d₁; d₂) = $\left|\cos (\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2})\right|$ = $\frac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}$ = $\frac{\left|a_1{a}_2+b_1{b}_2\right|}{\sqrt{{a_1}^2+{b_1}^2}.\sqrt{{a_2}^2+{b_2}^2}}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Khoảng cách từ điểm A đến  ∆ được tính bởi công thức: A; ∆) = $\frac{\left|{\text{ax}}_0+b{y}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Để hai đường thẳng d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau thì $\overrightarrow{u_1}$ cùng phương với $\overrightarrow{u_2}$ nghĩa là tồn tại ∃k ∈ ℝ thỏa mãn $\overrightarrow{u_1}=k\overrightarrow{u_2}$.

Vậy ta chọn C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d₁ có $\overrightarrow{u_1}(4;-6)$ và A(−3; 2) ∈ d₁

Đường thẳng d₂ có $\overrightarrow{u_2}(-2;3)$

Ta có: $\overrightarrow{u_1}$= −2.$\overrightarrow{u_2}$ nên $\overrightarrow{u_1}$ và $\overrightarrow{u_2}$ là hai vectơ cùng phương . Do đó d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau.

Mặt khác, thay điểm A(−3; 2) vào phương trình đường thẳng d₂ ta có: $\left\{\begin{array}{l}-3=1-2t\text{'}\\ 2=4+3t\text{'}\end{array}\right.$⇒ $\left\{\begin{array}{l}-3=1-2t\text{'}\\ 2=4+3t\text{'}\end{array}\right.$ ⇔$\left\{\begin{array}{l}t\text{'}=2\\ t\text{'}=\frac{-2}{3}\end{array}\right.$ (không thoả mãn)

Do đó điểm A thuộc d₁ nhưng không thuộc d₂. Vậy d₁ song song với d₂

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D       

Đường thẳng ∆₁ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}(7;2)$

Đường thẳng ∆₁ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}(1;-5)$⇒ $\overrightarrow{n_2}(5;1)$

Ta có : $\frac{7}{5}\ne \frac{2}{1}$ và $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=7.5+2.1=37\ne 0$

Vậy ∆₁ và ∆₂ cắt nhau nhưng không vuông góc.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng m là:

d(M;m) = $\frac{\left|4.1+3.2-2\right|}{\sqrt{4^2+2^2}}$ = $\frac{8}{5}$.

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng m bằng $\frac{8}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt là: $\overrightarrow{n_1}(2;-1)$; $\overrightarrow{n_2}(1;-3)$

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂  

Ta có: cos α = $\frac{\left|2.1+(-1).(-3)\right|}{\sqrt{2^2+{(-1)}^2}.\sqrt{1^2+{(-3)}^2}}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

⇒α = 45^°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}7x-3y+16=0\\ x+10=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=-10\\ y=-18\end{array}\right.$

Vậy giao điểm của hai đường thẳng là: (−10; −18).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ là:

d(M; ∆) = $\frac{\left|3cos\alpha +\text{ 0.}sin\alpha +3(2–sin\alpha )\right|}{\sqrt{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }}$ = $\frac{\left|0.cos\alpha +\text{ 3.}sin\alpha +3(2–sin\alpha )\right|}{\sqrt{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }}$

= $\frac{\left|\text{ 3}sin\alpha +6–\text{ 3}sin\alpha \right|}{\sqrt{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }}$

=$\frac{6}{\sqrt{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }}$=6

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow{AB}\left(1;4\right)$

Phương trình đường thẳng AB nhận $\overrightarrow{AB}\left(1;4\right)$ làm vectơ chỉ phương nên nhận $\overrightarrow{n_{AB}}$(4; – 1) làm vectơ pháp tuyến.

Ta có: $\overrightarrow{CD}\left(-4;-1\right)$

Phương trình đường thẳng CD nhận $\overrightarrow{CD}\left(-4;-1\right)$ làm vectơ chỉ phương nên nhận $\overrightarrow{n_{CD}}$(1; – 4) làm vectơ pháp tuyến.

Ta có $\frac{4}{1}\ne \frac{-1}{-4}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{n_{AB}}$ và $\overrightarrow{n_{CD}}$ không cùng phương nên hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại một điểm.

Ta lại có: $\overrightarrow{n_{AB}}.\overrightarrow{n_{CD}}$ = 4.1 + (– 1)(– 4) = 8 ≠ 0 nên AB và CD không vuông góc.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}(6;-5)$

Đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}(-6;5)$ 

⇒ vectơ pháp tuyến của d₂ là: $\overrightarrow{n_2}(5;6)$

Ta có: $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}$ = 6.5 + (−5).6 = 0 nên $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ vuông góc với nhau

Hay hai đường thẳng d₁ và d₂ vuông góc với nhau.

Vậy góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là: 90^°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng m và n lần lượt là : $\overrightarrow{n_1}(6;-8)$ và $\overrightarrow{n_2}(3;-4)$

Ta thấy $\overrightarrow{n_1}=2\overrightarrow{n_2}$ nên $\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2}$ là hai vectơ cùng phương . Do đó m và n song song hoặc trùng nhau.

Chọn điểm A(2;0) ∈ (n)

Thay điểm A(2; 0) vào phương trình đường thẳng m ta có:6.2 – 8.0 + 3 = 15 ≠ 0

nên A ∉ (m)

Vậy m và n là hai đường thẳng song song

⇒ d(m; n) = d(A; m) = $\frac{\left|15\right|}{\sqrt{6^2+8^2}}=\frac{3}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng d₁ và d₂

Toạ độ điểm A thoả mãn hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x-3y+4=0\\ 2x+3y-1=0\end{array}\right.$

⇒$\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=1\end{array}\right.$

Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là:

d(A; ∆) = $\frac{\left|3.(-1)+1+4\right|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Bán kính đường tròn tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d là:

R = d(A,d) = $\frac{\left|3.7-4.4+8\right|}{\sqrt{3^2+{(-4)}^2}}=\frac{13}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow{n_{BH}}(1;-1)$

Đường cao BH vuông góc với AC nên đường thẳng AC nhận $\overrightarrow{n_{BH}}(1;-1)$làm vectơ chỉ phương hay nhận $\overrightarrow{n_{AC}}(1;1)$làm vectơ pháp tuyến.

Do đó phương đường thẳng AC đi qua điểm C(–1; 2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{AC}}(1;1)$ là: 1(x + 1) + 1(y – 2) = 0 ⇔ x + y – 1 = 0.

Điểm A là giao điểm của hai đường thẳng AC và AN nên toạ độ điểm A thoả mãn hệ phương trình sau: 

$\left\{\begin{array}{l}x+y–1=0\\ 2x–y+5=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{-4}{3}\\ y=\frac{7}{3}\end{array}\right.\iff A\left(\frac{-4}{3};\frac{7}{3}\right)$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C          

Gọi A là giao điểm của đường thẳng d₁ và d₂ nên toạ độ điểm A thoả mãn:

$\left\{\begin{array}{l}2x+y-1=0\\ x+2y+1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1\end{array}\right.$⇒ A(1; –1)

Ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khi d₃ cũng đi qua điểm A hay A ∈ d₃

⇒ m.1 – (–1) – 7 = 0

⇔ m = 6.

Vậy với m = 6 thì ba đường thẳng đã cho đồng quy.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂

Ta có: vectơ pháp tuyến của đường thẳng d₁ là: $\overrightarrow{n_1}$(3; 4)

Đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_2}(a;-2)$ ⇒vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}$(2; a)

Theo giả thiết ta có:

cos α = $\frac{\left|3.2+4a\right|}{\sqrt{3^2+4^2}.\sqrt{2^2+a^2}}$= cos 45^° = $\frac{1}{\sqrt{2}}$

⇔ $\frac{\left|6+4a\right|}{5.\sqrt{4+a^2}}$= $\frac{1}{\sqrt{2}}$

⇔ $\sqrt{2}.\left|6+4a\right|=5.\sqrt{4+a^2}$

⇒ 8(3 + 2a)² = 25.(a² + 4)

⇔ 8(9 + 12a + 4a²) = 25a² + 100

⇔ 32a² + 96a + 72 = 25a² + 100

⇔ 7a² + 96a – 28 = 0

⇒$\left[\begin{array}{l}a=\frac{2}{7}\\ a=-14\end{array}\right.$

Vậy với a = $\frac{2}{7}$ hoặc a = −14 thì góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ bằng 45^°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì AC ∩ AB = A nên toạ độ điểm A thoả mãn hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{array}{l}3x-y+4=0\\ x+2y-4=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=\frac{-4}{7}\\ y=\frac{16}{7}\end{array}\right.\Rightarrow A\left(\frac{-4}{7};\frac{16}{7}\right)$

Tương tự ta có: B$\left(\frac{-10}{11};\frac{14}{11}\right)$ và C (−8; 6)

Ta có: S_ABC = $\frac{1}{2}$.d(A; BC).BC

= $\frac{1}{2}.\frac{\left|2.\frac{-4}{7}+3.\frac{16}{7}-2\right|}{\sqrt{2^2+3^2}}.\sqrt{{\left(-8+\frac{10}{11}\right)}^2+{\left(6-\frac{14}{11}\right)}^2}$

= $\frac{1}{2}.\frac{26}{7\sqrt{13}}.\sqrt{{\left(\frac{-78}{11}\right)}^2+{\left(\frac{52}{11}\right)}^2}$

=  $\frac{13}{7\sqrt{13}}.\frac{26\sqrt{13}}{11}$ = $\frac{338}{77}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\overrightarrow{BC}=(-2;1)$⇒ BC = $\sqrt{{(-2)}^2+1^2}=\sqrt{5}$

$\overrightarrow{AB}=(0;-1)$⇒ AB = $\sqrt{0^2+{\left(-1\right)}^2}=1$;

$\overrightarrow{AC}=(-2;0)$⇒ AC = $\sqrt{{\left(-2\right)}^2+0^2}=2$.

Đường thẳng BC nhận $\overrightarrow{BC}$ là một vectơ chỉ phương , do đó đường thẳng BC có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(1;2)$ và đi qua điểm C(0; -1).

Khi đó phương trình đường thẳng BC là: x + 2(y + 1) = 0 hay x + 2y + 2 = 0

⇒ d(A; BC) = $\frac{\left|2+2.(-1)+2\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}$= $\frac{2}{\sqrt{5}}$

⇒S_ABC = $\frac{1}{2}$.d(A; BC) . BC = $\frac{1}{2}.\frac{2}{\sqrt{5}}.\sqrt{5}$= 1 (đvdt)

Mặt khác, ta có: S_ABC = p.r

Do đó bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là: