Đề kiểm tra Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách lớp 10 (có lời giải) - Đề 3

Chọn A

Tọa độ giao điểm \(M\) của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y\, + \,4 = 0}\\{x + y\, + \,2 = 0}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}2x\, - \,y\, = \, - 4\\x\, + \,y\, = \, - 2\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}x\, = \, - 2\\y\, = \,0\end{array} \right.\,.\)

Suy ra \(M\left( { - 2;\,0} \right)\, \Rightarrow \,2a - b\, = \,2\left( { - 2} \right)\, - \,0\, = \, - 4\,.\)

Chọn C

Vì \(\Delta \) vuông góc \(d\) nên đường thẳng \(\Delta \) có dạng: \(x + 4y + c = 0\).

Theo giả thiết ta có: \(d\left( {M,\;\Delta } \right) = 2d\left( {N,\;\Delta } \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 2 + 4.3 + c} \right|}}{{\sqrt {17} }} = 2.\frac{{\left| {4 - 4.1 + c} \right|}}{{\sqrt {17} }}\)\( \Leftrightarrow \left| {c + 10} \right| = 2\left| c \right|\)\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 10\\c = \;\frac{{ - 10}}{3}\;\;\left( {loa\"i i} \right)\end{array} \right.\]

Phương trình đường thẳng \(\Delta \)cần tìm là: \(x + 4y + 10 = 0\).

Ta được \(a = 1;\,\;b = 4;\,\;c = 10\). Do đó \(P = 1.4.10 = 40\).

Chọn C

\(\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:\frac{x}{3} - \frac{y}{4} = 1 \to {{\vec n}_1} = \left( {\frac{1}{3}; - \frac{1}{4}} \right)\\{d_2}:3x + 4y - 10 = 0 \to {{\vec n}_2} = \left( {3;4} \right)\end{array} \right. \to {\vec n_1} \cdot {\vec n_2} = 0 \to {d_1} \bot {d_2}.\)

Gọi \(M\left( {x\,;\,y} \right)\) là giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\,\, \Rightarrow \,\,\left( {x\,;\,y} \right)\) thỏa mãn hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 3y\, + \,6 = 0}\\\begin{array}{l}x\, = \,t\\y = \,1\, + \,t\end{array}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}2t - \,3\left( {1 + t} \right)\, + \,6\, = \,0\\x = \,t\\y\, = \,1\, + \,t\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}t\, = \,3\\x\, = \,3\\y\, = \,4\end{array} \right.\,\,.\)

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) là \(M\left( {3\,;\,4} \right)\,\).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3\,;\,3} \right)\) là một véctơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) nên \(\vec u = \left( {1\,;\,1} \right)\) là một véctơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\).

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) là \(1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 3 = 0\).

Ta có: \(d\left( {C,AB} \right) = \frac{{\left| {3 - 4 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \).

\(AB = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {3^2}}  = 3\sqrt 2 \).

Vậy diện tích tam giác \(ABC\) bằng: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {C,AB} \right) = \frac{1}{2}.3\sqrt 2 .2\sqrt 2  = 6\).

Ta có véctơ pháp tuyến của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt là \({\vec n_1}\, = \,\left( {m\,;\,2} \right)\,\), \({\vec n_2}\, = \,\left( {3\,;\, - m - 1} \right)\).

Để \({d_1} \bot \,\,{d_2}\,\, \Leftrightarrow \,\,{\vec n_1}\,.\,{\vec n_2}\, = \,0\, \Leftrightarrow \,m\,.\,3\, + \,2\,.\,\left( { - m - 1} \right)\, = \,0\,\, \Leftrightarrow \,m\, = \,2\).

Để hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) song song với nhau thì \(\frac{2}{1} = \;\frac{m}{{ - 3}} \ne \;\frac{3}{2}\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{1}\, = \,\frac{m}{{ - 3}}\\\frac{2}{1}\,\, \ne \;\,\frac{3}{2}\,\,\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,m\, = \, - 6\,\).

Công thức tính khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_{\rm{o}}}\,;\,\,{y_{\rm{o}}}} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :\,\,Ax + By + C = 0\) là

\(d\left( {M,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {A{x_{\rm{o}}} + B{y_{\rm{o}}} + C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}\).

Vậy khoảng cách từ điểm \(M\left( { - 2\,;\,\,1} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :\,\,x - 3y + 6 = 0\) bằng

\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 2 - 3.1 + 6} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\).

Ta có \(M \in Oy\) và có tung độ dương nên tọa độ có dạng \(M\left( {0\,;\,\,m} \right)\,\,\,\left( {m > 0} \right)\).

Theo giả thiết \[d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{8}{5} \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 3m - 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{8}{5}\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3m + 2 = 8\\3m + 2 =  - 8\end{array} \right.\]

Vậy tung độ của điểm \(M\) thỏa mãn yêu cầu đề bài bằng \[2\].

Hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {3; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2;3} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0\) nên \({\Delta _1} \bot {\Delta _2}\). Suy ra \(\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = 90^\circ .\)

a) Hai đường \({d_1},{d_2}\) có cặp vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = (2; - 1),{\vec n_2} = (1; - 3)\). \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{|2.1 + 3.1|}}{{\sqrt {4 + 1}  \cdot \sqrt {1 + 9} }} = \frac{5}{{5\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) = 45^\circ \).

b)Hai đường \({d_1},{d_2}\) có cặp vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = (1;2),{\vec n_2} = (1; - 1)\). \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{|1 \cdot 1 - 2 \cdot 1|}}{{\sqrt {4 + 1}  \cdot \sqrt {1 + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}} \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) \approx 71,565^\circ \).

c) Hai đường \({d_1},{d_2}\) có cặp vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = (3;4),{\vec n_2} = (5; - 12)\). \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{|3.5 - 4.12|}}{{\sqrt {9 + 16}  \cdot \sqrt {25 + 144} }} = \frac{{33}}{{65}} \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) \approx 59,49^\circ \).

d) \({\Delta _1},{\Delta _2}\) có cặp vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = ( - 1; - 2),{\vec n_2} = (2;4)\) với \( - 1.4 =  - 2.2\) nên hai vectơ này cùng phương. Mặt khác \(A(4;0) \in {\Delta _1}\) mà \(A(4;0) \notin {\Delta _2}\). Vì vậy hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) song song nhau.

a) Ta có: \(d(A,\Delta ) = \frac{{| - 6 + 1 + 11|}}{{\sqrt {4 + 1} }} = \frac{{6\sqrt 5 }}{5}\).

b) Ta có phương trình \(\Delta :y = 0\) (trùng với \(Ox\) ). Suy ra \(d(A,\Delta ) = \frac{{|2|}}{{\sqrt 1 }} = 2\).

c) Ta có: \(d(A,\Delta ) = \frac{{|0 + 0 - 225|}}{{\sqrt {9 + 16} }} = 45\).

d) Phương trình tổng quát \(\Delta :x - 1 = 0\). Suy ra \(d(A,\Delta ) = \frac{{| - 1 - 1|}}{{\sqrt 1 }} = 2\).

a) Ta có: \(\frac{4}{1} \ne  - \frac{{10}}{1}\). Vậy \({d_1}\) cắt \({d_2}\).

b) Ta có: \(\frac{{12}}{2} = \frac{{ - 6}}{{ - 1}} \ne \frac{{10}}{5}\). Vậy \({d_3}//{d_4}\).

c) Phương trình tổng quát của \({d_6}\) là: \(4x + 5y - 6 = 0\).

Ta có: \(\frac{4}{8} = \frac{5}{{10}} = \frac{{ - 6}}{{ - 12}}\). Vậy \({d_5} \equiv {d_6}\).

d) \({d_7}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + t}\\{y =  - 2 - 2t}\end{array}} \right.\) có một vec tơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_7}}  = (1; - 2)\)

\({d_8}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 2{t^\prime }}\\{y =  - 8 + 4{t^\prime }}\end{array}} \right.\) đi qua điểm \(B(2; - 8)\) và có một vec tơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_8}}  = ( - 2;4)\).

Ta thấy \(\overrightarrow {{u_7}} ,\overrightarrow {{u_8}} \) cùng phương và điểm \(B(2; - 8)\) thuộc đường thẳng \({d_7}\). Vậy \({d_7} \equiv {d_8}\).

a) d1:3x−2y−6=0→n→1=3;−2d2:6x−2y−8=0→n→2=6;−2→36=−2−2n→1⋅n→2=0→d1,  d2 cắt nhau nhưng không vuông góc.

b) d1:x=4+2ty=1−5t→A4;1∈d1,  u→1=2;−5d2:5x+2y−14=0→  n→2=5;2→u→2=2;−5→u→1=u→2A∈d2→d1||d2.

c) d1:mx+m−1y+2m=0d2:2x+y−1=0→d1||d2m2=m−11=2m−1⇔−1=2m=2m−2⇔m=2.  

d) Hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt có vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = (1; - 3)\), \({\vec n_2} = (1; - 3)\) với \(1.( - 3) =  - 3.1\) nên hai vectơ này cùng phương. Mặt khác: \(A(0;1) \in {\Delta _1}\) mà \(A \notin {\Delta _2}\) nên hai đường thẳng này song song nhau.

Viết phương trình tham số ; gọi .

Ta có: \(d(M,\Delta ) = \frac{{|3t + 4(1 - t) - 6|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{| - t - 2|}}{5} = \frac{4}{5} \Rightarrow |t + 2| = 4 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t + 2 = 4}\\{t + 2 =  - 4}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 2}\\{t =  - 6}\end{array}} \right.} \right.\).

Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là: \((2; - 1),( - 6;7)\).

Ta có: \(d//\Delta :y - 3 = 0 \Rightarrow \) Phương trình \(d\) có dạng: \(y + c = 0\).

Ta có: \(M(0;3) \in \Delta \). Vì \(d\) cách \(\Delta \) một khoảng bằng 5 nên \(d(d,\Delta ) = 5\)

\( \Rightarrow d(M,d) = 5 \Rightarrow \frac{{|3 + c|}}{{\sqrt {0 + 1} }} = 5 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 2}\\{c =  - 8}\end{array}.} \right.\)

Vậy có hai phương trình đường thẳng thỏa mãn là \(y + 2 = 0;y - 8 = 0\).

Tọa độ của điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 1 = 0\\x + y + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 5\\y = 3\end{array} \right.\)

Suy ra điểm \(A\) có tọa độ là \(\left( { - 5;3} \right)\).

Gọi \(AH\) là đường cao kẻ từ \(A\) của tam giác \(ABC(H \in BC)\). Ta có:

\(AH = d(A,BC) = \frac{{|2 \cdot ( - 5) + 3 \cdot 3 - 5|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = \frac{{6\sqrt {13} }}{{13}}.\)

Từ các phương trình đường thẳng chứa các cạnh của tam giác \(ABC\) ta tính đuợc

toạ độ của điểm \(B\) và điểm \(C\) lần lượt là \((7; - 3),( - 11;9)\).

Do đó, độ dài đoạn thẳng \(BC\) là \(6\sqrt {13} \).

Diện tích tam giác bằng \(\frac{1}{2}.\frac{{6\sqrt {13} }}{{13}}.6\sqrt {13}  = 18\)

Đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 3t}\\{y =  - 2 - t}\end{array}} \right.\) có vectơ chỉ phương là \(\vec u(3; - 1)\) nên nhận \(\vec n(1;3)\) làm vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) là: \((x - 2) + 3(y + 2) = 0 \Leftrightarrow x + 3y + 4 = 0.\)

Vì đường tròn tâm \(I\) tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta \) tâm \(I\) bằng khoảng cách từ \(I\) đến đường thẳng \(\Delta \) tâm I bằng khoảng cách từ \(I\) đến đường thẳng \(\Delta .\) \(R = d(I,\Delta ) = \frac{{|( - 2) + 3 \cdot 4 + 4|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} \approx 4,4.\)

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({\Delta _1}:x - my + 1 = 0\) và đường thẳng \({\Delta _2}:2x + 3y + m = 0\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} (1; - m),\overrightarrow {{n_2}} (2;3)\). Để đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau thì \(\overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow {{n_2}}  \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}}  \cdot \overrightarrow {{n_2}}  = 0 \Leftrightarrow 1 \cdot 2 - m \cdot 3 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{2}{3}\).

\({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt có vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = \left( {2;{m^2} + 1} \right),{\vec n_2} = (1;m)\).

Điều kiện cần: \({\Delta _1}//{\Delta _2} \Rightarrow {\vec n_1}\) cùng phương với \({\vec n_2} \Rightarrow 2 \cdot m = \left( {{m^2} + 1} \right) \cdot 1 \Rightarrow m = 1\).

Điều kiện đủ: Với \(m = 1\) thì \({\Delta _1}:2x + 2y - 3 = 0,{\Delta _2}:x + y - 100 = 0\) (hai đường thẳng này đã có cặp vectơ pháp tuyến cùng phương nhau). Vì \(A\left( {0;\frac{3}{2}} \right) \in {\Delta _1},A \notin {\Delta _2}\) nên \({\Delta _1}//{\Delta _2}\). Do vậy \(m = 1\) thỏa mãn đề bài.